CC BY
15
УДК 620.17 В.Л. Лапшин,
д.т.н., профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и строительной механики
ИрГТУ (г. Иркутск), тел. 40-54-25, е-mail: [email protected]
В.П. Ященко,
к.т.н., доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики ИрГТУ
(г. Иркутск), тел. 40-51-44, е-mail: [email protected]
А.Ю. Перелыгина,
старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и строительной механики
ИрГТУ (г. Иркутск), тел. 40-51-44, е-mail: [email protected]
Е.И. Демаков,
старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и строительной механики
ИрГТУ (г. Иркутск), тел. 40-51-44, е-mail: [email protected]
ВЛИЯНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ БЛОКА МЕХАНОРЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА СИЛУ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СФЕРИЧЕСКОГО ТЕЛА С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
V.L. Lapshin, V.P. Yashenko, A.U. Perelygina, E.I. Demakov
THE INFLUENCE OF THE PARAMETERS OF THE ELASTIC - PLASTIC BLOCK OF THE MECHANOREOLOGICAL MODEL ON FORCE OF CONTACT INTERACTION A SPHERICAL BODY
WITH A FLAT SURFACE
Аннотация. Рассматривается механорео-логическая модель процесса ударного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью. Модель учитывает упругие, вязкие и пластические свойства материала. Приводится математическое описание модели, анализируется влияние параметров упруго-пластического блока модели на силу ударного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью.
Ключевые слова: удар, сферическое тело, сила ударного взаимодействия, контактное взаимодействие тел.
Abstract. Is considered mechanoreological model of a striking interaction process a spherical body with a flat surface. The model takes into account elastic, viscous and plastic properties of material. The mathematical description of model is resulted, the influence of parameters of the elastic -plastic block of the mechanoreological model on force of contact interaction a spherical body with a flat surface is analyzed.
Keywords: stroke, spherical body, force of contact interaction, contact interaction of the solids.
В результате выполненных исследований для углубленного моделирования и изучения процесса ударного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью была разработана упруго-вязко-пластичная механореологическая модель (рис. 1) [1]. Модель обеспечивает исследование основных закономерностей процесса ударного взаимодействия тел, а именно: зависимости силы контактного взаимодействия, времени удара, высоты отскока сферического тела от физико-механических свойств материала (упругости, вязкости, пластичности), размера сферического тела, скорости удара. Предложенная модель (рис. 1) имеет в своем составе два последовательных блока: упруго-вязкий блок Kl — C и упруго-пластический блок K2 — f2 .
С помощью блока K — C учитываются упруго-вязкие деформации системы «сферическое
Современные технологии. Механика и машиностроение
тело - плоская поверхность» и возникающие при этом потери энергии.
Упруго-пластический блок включается в работу, когда усилие сопротивления деформированию Р8Т достигает заданного значения, соответствующего интенсивному появлению в материале пластических деформаций. Дифференциальные уравнения движения масс т1 и т2 на данном этапе имеют вид [1]: •• • •
тУ1+с (у - у2у Ч у - у 2у2 +
+К (у - У2)"1 =-т8;
Рис. 1. Схема упруго-вязко-пластич-ной модели
В этом блоке использован вязкий элемент С (демпфер) с нелинейной характеристикой, сила сопротивления которого зависит от скорости и величины упруго-вязкой деформации системы «сферическое тело - плоская поверхность», возникающей при ударном воздействии сферического тела на поверхность. Сила упругих сопротивлений в упругом элементе К1 нелинейно зависит от величины деформации системы.
Блок К2 - /2 определяет пластические (остаточные) деформации системы «сферическое тело - плоская поверхность» и учитывает возникающие при этом потери энергии. Использование элемента сдвига /2 и упругого элемента К2
обеспечивает более полное и эффективное моделирование такого явления, как упрочнение материала, при котором увеличение пластической деформации в материале сопровождается ростом усилия сопротивления деформированию.
Масса сферического тела сосредоточена в инерционном элементе т1, масса элемента т2 принимается ничтожно малой (т2 ^ 0), поэтому она не оказывает заметного влияния на динамику движения упруго-вязко-пластичной модели. Она введена для удобства математического описания динамики движения модели с помощью двух дифференциальных уравнений второго порядка.
На начальном этапе ударного взаимодействия возникает только упруго-вязкая деформация. Динамика движения массы т1 описывается дифференциальным уравнением следующего вида [1]: •• • •
ту+с (У1 - У2Г 1( У1 - у 2 )а 2 +
+К1( У1 - У2)"1 =-т&-
т2 У2 + КУ2п2 + /2У2"3 +
+ С (У 2 - У1Г 1( У 2 - У1Г 2 +
+ К1(У2 - У1)П1 =-т2£ + ,
где: у1; У 2, У1, У2 - перемещение и скорость центров тяжести масс т1 и т2 соответственно; К1, К2 - коэффициенты жесткости соответствующих упругих элементов модели; С - коэффициент вязкости вязкого элемента модели; /2 - коэффициент сдвига элемента сдвига модели; Р8Т - усилие сопротивления деформированию, соответствующее началу образования пластических деформаций.
После того, как деформация системы «сферическое тело - плоская поверхность» достигает максимального значения, на модели начинается этап разгрузки. При этом функционирует только упруго-вязкий блок модели, описывающий исчезновение только упругих деформаций.
Если говорить о конкретных значениях степенных показателей п1,п2,п3,а15а2, характеризующих нелинейность упругих, вязких сопротивлений и сопротивления сдвигу, то можно рекомендовать следующие значения. Сила упругих сопротивлений при ударном взаимодействии сферического тела пропорциональна величине упругой деформации в степени п1 = п2 = 3/2, сила пластических сопротивлений (сопротивлений сдвигу) может быть приближенно принята пропорциональной пластической деформации в степени п3 = 1. Диссипативные сопротивления при
исследовании колебательных и ударных процессов чаще всего принимаются пропорциональными скорости деформации (ах = 0; а2 = 1).
Важным параметром упруго-вязкого блока модели является коэффициент демпфирования
у = п/Р (п = С/2тх; Р = л\КХ/т1 ) [2]. Для абсолютно упругого удара у = 0 . С увеличением V
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
потери энергии при упруго-вязком ударном взаимодействии модели увеличиваются, что соответствует уменьшению высоты отскока сферического тела от поверхности.
Коэффициент жесткости упругого элемента модели К связан с механическими свойствами и геометрическими параметрами сферического тела и опорной поверхности и рассчитывается по формуле [2]:
1 3ж
ЯЛ
(Я +
1 -д2 | 1 —д2 жЕх жЕ2
где Е1, Е2 - модули упругости сферического тела и опорной поверхности; ¡\, д2 - коэффициенты Пуассона сферического тела и опорной поверхности; Я1, Я2 - радиусы кривизны сферического тела и опорной поверхности. При данных исследованиях процесса соударения сферического тела с плоской поверхностью для поверхности принималось условие Я2 ^го.
Сила упруго-вязких сопротивлений деформированию блока К1 — С определяется: • •
N = С(У! — У2)а1(у! — у2)°2 + Кг(у! — у2).
Сила упруго-пластических сопротивлений в блоке К 2 — /2 определяется:
п 2 п 3
^2 = К2 У 2 + /2 У 2 + Р8Т ■
При выполнении условия т2 ^ 0 допустимо принять = Ы2 = N.
Для решения дифференциальных уравнений использовался численный метод Рунге-Кутта.
С использованием упруго-вязко-пластичной механореологической модели был выполнен комплекс численных экспериментов, позволивших оценить значимость упруго-пластического блока К 2 — /2 , добавленного в исходную упруго-вязкую модель [2]. Целью исследования являлось выявление основных закономерностей, характеризующих влияние упруго-пластических параметров механо-реологической модели К2, /2 на силу ударного воздействия сферического тела на плоскую поверхность.
В качестве примера на рисунках 2-5 приводятся результаты численных экспериментов при следующих параметрах ударного процесса: сферическое стальное тело Я = 4,75 мм и массой т = 3,5 г; высота падения к = 30 мм; коэффициент Пуассона опорной поверхности д = 0,27; модуль Юнга опорной поверхности Е2 = 50000— 200000МПа; у = 0,001; Е5Г = 10 Н; а1 = 0; а2 = 1 (диссипативные сопротивления пропорциональны скорости деформации); п1 = п2 = 3/2 (для сферической контактной поверхности); п3 = 1. Для удобства сопоставления численных значений коэффициентов модели / 2 и К2 с упругим коэффициентом исходной упруго -вязкой модели К1 , их значения задавались при помощи коэффициентов пропорциональности ЕК и Е/ : Ек = К 2/К ; Е/ = /2 / К,.
Шах (Н)
(Е =50000 МПа)
--
¥- —С—Ев1=10;Ек=100 —□—Езг=10;Ек=10 —й—Езг=10;Ек=1 —X— Ев1=10;Ек=0.1 —Ж—Езг=10;Ек=0.01 —О—Езг=10;Ек=0.001 - - - упруго-вязкая модель
---лг
Ь——
235
215
195
175
155
135
115
95
75
55
35
15 0.00001
0.00010
0.00100
0.01000
0.10000
Г2
1.00000
Рис. 2. Зависимость №„ах от I-
2
Современные технологии. Механика и машиностроение
275 255 235 215 195 175 155 135 115 95 75 55 35 15
Nmax(Н)
4.......... ----------1---------1----------^
Т- >-" ;
1
I (Е =200000 МПа )
I
¥-1 г-----
; •
—О—Ря1=10;Рк=100 —□—Ря1=10;Рк=10 —й—Ря1=10;Рк=1 —X—Ря1=10;Рк=0.1 —Ж—Ря1=10;Рк=0.01 —О—Ря1=10;Рк=0.001 - - - упруго-вязкая модель —
; •
; •
;;
;; —
*4
—
0.00001 0.00010 0.00100 0.01000
Рис. 3. Зависимость Мтах от ^
и ¥
0.10000
/2
1.00000
Рассмотрим влияние факторов ¥к и ¥^ на
силу контактного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью. Результаты исследования, представленные в виде графиков, приводятся на рис. 2-3.
При увеличении коэффициента сдвига /2
упруго-пластического блока модели сила контактного взаимодействия увеличивается. При достижении величины /2 = 0,1КХ сила контактного взаимодействия практически стабилизируется. При этом, с увеличением коэффициента жесткости упругого элемента К2 упруго-пластического блока влияние параметра /2 уменьшается. При достижении величины ¥к = 10 влияние /2 стано-
вится малосущественным. Увеличение К 2, так же как и К1 = /(Е), приводит к увеличению силы контактного взаимодействия. Таким образом, диапазоны варьирования численных значений параметров упруго-пластического блока модели, в пределах которых наблюдается их значимое влияние на динамику протекания ударного процесса, для рассмотренных условий можно ограничить следующими значениями: ¥К = 0,001—10;
= 0,00001— 0,1.
Другим важным параметром ударного взаимодействия является временное положение максимума силы контактного взаимодействия () в течение удара (рис.4, 5). Данный параметр
Ктах
0.82
0.77
0.72
0.67
0.62
0.57
0.52
0.47
------- ^Ч^Р81=10;Рк=100 —□—Рв1=10;Рк=10 —Л—Рв1=10;Рк=1 —X— Рв1=10;Рк=0.1 —Ж—Р81=10;Рк=0.01 —О—Р81=10;Рк=0.001 ■ ■ ■ упруго-вязкая модель
V-- с__ \
-- ---■>
(Е =50000 МПа)
5- с------
I
Л А 1
.........к.
9Г2
0.00001
0.00010 0.00100 0.01000
Рис. 4. Зависимость от ^
0.10000
1.00000
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Ктах
0.87 0.82 0.77 0.72 0.67 0.62 0.57 0.52 0.47
—0—Г&=10;Ек=100 ^ЧИ^—Е81=10;Ек=10 —Л—Гз1-10;Гк-1 —^Х—Г81-10;Гк-0.1 ——Г81-10;Гк-0.01 —О— Ея1=10;Гк=0.001 ■ ■ ■ упруго-вязкая модель
---------- ------
X--__ -- — с____ \
1111 (Е =200000 МПа)
*-*-1--
::
0.00001
0.00010
0.00100
0.01000
0.10000
1.00000
Рис. 5. Зависимость К^,,, от й
ч
описывается отношением Кгтах = / гК (где
г
#тах — период времени с начала контактного взаимодействия до момента, когда сила контактного взаимодействия достигает максимума; гК — продолжительность удара). При увеличении коэффициента сдвига /2 упруго-пластического блока модели параметр Кг тах уменьшается и время наступления максимума Nmax смещается к середине этапа ударного взаимодействия. При достижении величины /2 = 0,1Л"1 параметр Кгтах практически стабилизируется на величине 0,5, соответствующей упругому и упруго-вязкому деформированию тел. При этом, с увеличением коэффициента жесткости упругого элемента К2 упруго-пластического блока влияние параметра /2 уменьшается. При достижении величины ¥К = 10 влияние /2 становится малосущественным. Увеличение К 2 приводит к уменьшению параметра Кгтах . В качестве примера на рисунках 6, 7 приводятся диаграммы, наглядно характеризующие влияние параметров упруго-пластического блока модели на закономерность изменения силы контактного взаимодействия N в течение удара N = /(г) . Диаграммы получены с помощью разработанной специальной исследовательской программы.
Проведем краткий сравнительный анализ динамики ударного взаимодействия упруго-вязкой и упруго-вязко-пластичной моделей. Динамика ударного взаимодействия упруго-вязкой модели
на графиках (рис.2-5) характеризуется пунктирной линией, на диаграммах (рис.6, 7) - кривой 1. Величина и закономерность изменения силы сопротивления деформированию при ударном взаимодействии модели определяются упруго-вязкими параметрами модели, учитывающими упругие и вязкие (диссипативные) свойства материала, проявляющиеся при ударном взаимодействии тел.
Рис. 6. Влияние коэффициента сдвига модели на силу контактного взаимодействия
Современные технологии. Механика и машиностроение
Рис. 7. Влияние коэффициента жесткости К2 на силу контактного взаимодействия
Включение в моде ль упруго -пластического блока существенно расширяет возможности исходной упруго-вязкой модели, повышает достоверность моделирования процесса упруго-пластического взаимодействия тел. Путем изменения численных значений параметров упруго -пластического блока модели появляется возможность в широком диапазоне влиять на закономерность изменения силы сопротивления деформи-
рованию модели в упруго-пластической зоне деформаций.
Как показали результаты проведенных численных экспериментов, с увеличением пластичности материала сила ударного взаимодействия уменьшается, увеличивается время удара (кривые 1-5 на рис.6, 7), что характерно для упруго -пластичекого взаимодействия тел. Поэтому адаптация упруго-вязко-пластичной модели к условиям упруго-пластического удара может быть выполнена на более высоком качественном уровне, что позволит повысить достоверность численных экспериментов по исследованию процессов ударного взаимодействия тел.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лапшин В. Л. Упруго-вязко-пластичная меха-нореологическая модель для оценки упруго-вязкий свойств минералов при моделировании процессов вибросепарации / В. Л. Лапшин, Е. И. Демаков // Механика - XXI веку. VI Всероссийская науч. -техн. конф. с международным участием : сб. докладов. - Братск : ГОУ ВПО «БрГУ», 2007. - С. 67-71.
2. Лапшин В.Л. Исследовательская модель процесса ударного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью рудного материала / В.Л. Лапшин, В.П. Ященко, А.В. Рудых // Вестник ИРГТУ. - 2006. - №2(26). -С. 110-115.
