CC BY
16
14. DIMACS - Discrete Mathematics and Computer Science. URL: ftp: //dimacs.rutgers.edu/pub/challeng e/graph/benchmarks
15.Hanjoul P. A facility location problem with clients' preference orderings / P. Hanjoul, D. Peeters // Regional Science and Urban Economics. 1987. V. 17. P. 451-473.
16.Hansen P., Lower bounds for the uncapacitated facility location problem with user preferences / P. Hansen, Y. Kochetov, N. Mladenovi c'. Les Charies du GERAD G-2004-24, 2004.
17. Hoffman K. Solving airline crew scheduling problems by branch-and-cut / K. Hoffman, M. Padberg // Management Science. 1993. V. 39, N 6. P. 657-682.
18. IBM ILOG CPLEX. URL: http://www-01. ibm.com/software/integration/optimization/cplex
19.Nemhauser G.L. Integer and Combinatiorial Optimization. / G.L. Nemhauser, L.A. Wolsey. -New-York: A Wiley-Interscience Publication, 1999.
20. Pochet Y. Production Planning by Mixed Integer Programming / Y. Pochet, L.A. Wolsey. - New-York: Springer, 2006.
21.Waterer H. Savelsbergh M.W.P. The relation of time indexed formulations of single machine scheduling problems to the node packing problem / H. Waterer, E.L. Johnson, P. Nobili // Mathematical Programming. 2002. V. 93. P. 477-494.
22. Fair Isaac Corporation: Xpress Optimization Suite. URL:http://www.fico.com/
УДК 620.17 Лапшин Владимир Леонардович,
д. т. н., профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и строительной механики Иркутского государственного технического университета,
тел. 40-54-25, E-mail: [email protected] Глухов Александр Владимирович, соискатель Иркутского государственного технического университета.
тел. 40-54-25, E-mail: [email protected]
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ УДАРНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
УПРУГО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОЙ МЕХАНОРЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
V.L. Lapshin, A. V. Gluhov
THE RESEARCH OF RESIDUAL DEFORMATIONS OF SHOCK INTERACTION PROCESS ELASTIC-VISCOUS-PLASTIC MECHANOREOLOGICAL MODEL
Аннотация. Приводится математическое описание механореологической модели процесса ударного взаимодействия сферического тела с поверхностью, анализируется влияние упруго-пластических параметров модели на величину остаточных деформаций и высоту отскока модели. Приводится алгоритм расчета, на основе которого в результате компьютерного эксперимента получены уравнения регрессии, описывающие влияние рассматриваемых факторов на исследуемые параметры процесса ударного взаимодействия модели.
Ключевые слова: удар, сферическое тело, контактное взаимодействие тел, механореологи-ческая модель.
Abstract. The mathematical description of me-chanoreological model ofprocess of a shock interaction of a spherical body with a surface is resulted, the influence of elastic - plastic parameters of a model on size of residual deformations and size springback of model is analyzed. The algorithm of analysis is resulted. As a result of computer experiment the regression equations are derived. They describe influence of the considered factors on researched parameters of process of shock interaction of model.
Keywords: shock, spherical body, contact interaction of the solids, mechanoreological model.
При моделировании ударных процессов во многих случаях необходимо учитывать потери энергии, возникающие при взаимодействии тел.
иркутским государственный университет путей сообщения
- Рдис + Рупр\; Руип - К1 (у1 - у 2 )
п1.
• •
Рдис - С(У1 - У2 ) (У1 - У2)°2, • •
где: у1, у2, у1, у2 - перемещение и скорость массы т1 и т2; К1 - коэффициент жесткости упругого элемента упруго-вязкого блока модели; С - коэффициент вязкости вязкого элемента упруго-вязкого блока модели.
Рис. 1. Схема упруго-вязко-пластичной модели
Эти потери могут быть связаны как с диссипацией энергии при упругих деформациях, так и с протеканием необратимых процессов, например развитием остаточных (пластических) деформаций. С целью решения подобных задач была разработана упруго-вязко-пластичная механореологиче-ская модель, имеющая в своем составе дополнительный элемент сдвига, позволяющий отдельно учитывать потери энергии при ударном взаимодействии, связанные с возникновением в материале остаточных (пластических) деформаций [1, 2].
Модель обеспечивает исследование основных закономерностей процесса ударного взаимодействия сферического тела и включает в себя два последовательных блока (рис. 1): упруго-вязкий блок К1 - С и упруго-пластический блок К2 — /2 . Блок К1 - С описывает упругие деформации системы и учитывает возникающие при этом потери энергии с помощью демпфера С, сила сопротивления которого зависит от скорости и величины деформации. Сила сопротивления упруго-вязкой деформации определяется:
Коэффициент жесткости упругого элемента модели К связан со свойствами и параметрами сферического тела и свойствами исследуемой поверхности и рассчитывается по формуле [3]
К -
4
3ж
№ + Ъ)
_
1 | 1 -М?2 жЕ, жЕп
где Е1, Е2 - модули упругости сферического тела и исследуемой поверхности; - коэффициен-
ты Пуассона сферического тела и исследуемой поверхности; , Л2 - радиусы кривизны сферического тела и исследуемой поверхности.
При исследовании процесса соударения сферического тела с плоской поверхностью для поверхности принимается условие Л2 ^ .
Блок К2 - /2 с нелинейным упругим элементом К2 и нелинейным элементом сдвига /2 описывает пластические деформации и учитывает возникающие при этом потери энергии. Установка элемента сдвига /2 параллельно с упругим элементом К2 обеспечивает более полное и эффективное моделирование такого явления, как упрочнение материала, которое характеризуется ростом усилия с увеличением пластической деформации. Сила сопротивления упруго-пластической деформации определяется:
^2 — Р„Л + РуПР2 ; РупР2 — К2у2 ; ^ПЛ — ./2У2 , где К2 - коэффициент жесткости упругого элемента упруго-пластического блока модели; / 2 -коэффициент сдвига упруго-пластического блока модели или коэффициент податливости материала.
Вся масса сферического тела сосредоточена в инерционном элементе щ, масса элемента т2 ничтожно мала (т2 ^ 0) и не оказывает заметного влияние на динамику движения системы. Она введена для удобства математического описания системы с помощью двух дифференциальных уравнений второго порядка.
Все элементы модели имеют нелинейные характеристики. Если говорить о конкретных значениях степенных показателей, то для упругой составляющей при ударном взаимодействии сферического тела следует принимать п — 3/2 [3-5], пластическую составляющую можно приближенно принимать пропорциональной действующей силе (п3 — 1) [4, 5]. Диссипативные сопротивления при исследовании колебательных и ударных процессов чаще всего принимаются пропорциональными скорости деформации (а1 — 1; а2 — 0).
2
(1) (2)
Важным параметром упруго-вязкого блока модели является коэффициент демпфирования
у = п/Р (п = С/2щ ; Р = л]К /т ). Для абсолютно упругого удара у = 0 . С увеличением у потери энергии при упруго-вязком ударном взаимодействии модели увеличиваются, что соответствует уменьшению высоты отскока сферического тела от поверхности. Дифференциальные уравнения движения модели записываются следующим образом:
т1у1+С1(у1-у2У\у1-у2У2 + +КЛ)\ -У2Т1
т2у2 + К2у:2 + /2 у2и3 + С\ (У2 ~ У Г (У2 ~ У Г + +К1{у2-у1)'л =-т2ё. Сила ударного взаимодействия определяется:
^ = С(л - у2 г (у, - у2 у2 + К1 (у, - у2 г; (3)
Н2=К2у^+/2у^-Решение системы уравнений осуществлялось численным методом Рунге - Кутта.
Разработанная математическая модель позволяет исследовать влияние упругих, вязких (диссипативных) и пластических свойств материала на динамику ударного взаимодействия сферического тела. На базе математической модели была разработана специальная исследовательская программа «УДАР». Она позволяет рассчитать параметры динамического взаимодействия сферического тела с образцом материала (время удара, силу ударного взаимодействия, величину и скорость деформации, высоту отскока тела). Укрупненный алгоритм расчета приводится на рис. 2:
1. Блок 1 формирует исходные данные.
2. Блок 2 производит расчет постоянных величин, входящих в математическую модель.
3. Блок 3 задает начальные условия для этапа ударного взаимодействия.
4. Блок 4 производит расчет скорости и величины деформации (полной ух, у1, упругой
у — у 2, Ух — У г и остаточной у2, у2 составляющих), силы нормальной реакции N и определяет момент времени ТДтах, когда сила N достигает максимального значения Дтах (уравнения (1)-(3)).
5. Блок 5 определяет окончание этапа нагру-жения. Когда скорость нагружения становится равной нулю (у1 = у 2 = 0), динамическое усилие N и остаточная деформация у2 достигают максимальных значений и наступает этап разгрузки модели. На данном этапе в работу вступает только упруго-вязкий блок модели, описывающий исчезновение только упругих деформаций. При этом
упруго-пластический блок остается в деформированном состоянии, так как характеризует пластические (остаточные) деформации материала.
6. Блок 6 производит расчет скорости и величины деформации (упругой) на этапе разгрузки, силы нормальной реакции N (уравнения (1), (3)). Рассчитывается скорость и величина упругой деформации y, y1. Уравнение (2) не используется, при этом принимается y2 = 0, y2 = const (максимальное значение этапа нагружения).
7. Блок 7 определяет момент времени, когда сила N становится равной нулю (окончание этапа контактного взаимодействия, сферическое тело отскакивает на высоту Н0).
8. Блок 8 производит расчет выходных параметров процесса ударного взаимодействия.
Рис. 2. Схема алгоритма
С целью изучения закономерностей поведения разработанной модели был выполнен комплекс компьютерных экспериментов. Исследовалось влияния упругих и пластических параметров модели на динамику ударного взаимодействия
иркутский государственный университет путей сообщения
с поверхностью путем проведения факторных экспериментов и получения уравнений регрессии, отражающих влияние рассматриваемых факторов на время удара, силу ударного взаимодействия, высоту отскока сферического тела, величину пластической деформации. Методика проведения компьютерных экспериментов была разработана на основе теории рационального планирования эксперимента.
При проведении вычислительных экспериментов был использован ортогональный центральный композиционный план. Плечо «звездных» точек принималось на уровне -1, +1 (центрированные звездные точки). Уравнение регрессии для трехфакторного эксперимента в общем виде выглядит следующим образом:
У — Ъ0 + ЪХ + ъ2Х2 + Ъ3Х3 + Ьг-Х? + Ъ22Х1 +
+Ъ33Х3 + Ь2Х^Х2 + Ъ3Х^Х3 + Ъ23Х2Х3 •
Для расчета коэффициентов уравнений регрессии, проведения статистической оценки значимости коэффициентов с помощью критерия Стью-дента ^кр) и проверке адекватности модели использовался программный комплекс «8ТАТ18Т1-СА». Проверка адекватности моделей производилась по ^-критерию (критерию Фишера) при уровне значимости Р — 0,05.
В качестве исследуемых факторов рассматривались упругий параметр модели К1 и коэффициенты К2, / (размерность МН/м"). Диапазон изменения упругого параметра модели К соответствовал диапазону изменения модуля упругости материала поверхности Е2 от 60000 МПа до 200000 МПа, что охватывает основные металлы, стали и сплавы.
В качестве сферического тела был принят стальной шарик с параметрами Е\ = 2*105 МПа;
= 0,27; Я1 = 4,75 мм. Высота падения составляла 30 мм, коэффициент Пуассона для поверхности принимался ц2 = 0,27, коэффициент демпфирования V = 0,0004. Показатели степени на модели принимались неизменными: а1 = 1; а2 = 0; "1 = 1,5; "2 = 1,5; "3 = 1. Уровни факторов и интервалы их варьирования представлены в табл. 1. При выборе уровней варьирования факторов К2 и /2 использовались результаты предшествующих исследований.
Таблица 1
Факторы Кодовое обозначение Уровни факторов -1 0 +1
К1 Хх 4000 7000 10000
К2 Х2 400 5200 10000
/2 Хз 10 55 100
тШШ
В данной статье приводятся результаты экспериментов по определению высоты отскока сферического тела и по определению dY. В ходе исследования рассчитывалась относительная высота отскока ёН — Н0 / НП (где Н0 - высота отскока, НП - высота падения) и полная деформация Ymax ( у1), состоящая из упругой Yуnр (у1 - у2) и пластической Ynл (у2) составляющих. Далее определялась величина ёУ — Упл / Утах , характеризующая величину пластической составляющей по отношению к полной деформации. Матрица планирования и результатов эксперимента представлена
в табл. 2 (где ёН и ёУ - параметры ударного
Л Л
взаимодействия модели; ё н и ёу - параметры, рассчитанные по полученным уравнениям регрессии).
Таблица 2 Матрица планирования и результатов эксперимента
№ Х2 Х3 а н Л ё н ёУ Л ёу
уровни факторов
1 -1 -1 -1 0,414 0,428 0,523 0,510
2 -1 -1 1 0,815 0,819 0,123 0,117
3 -1 1 -1 0,661 0,656 0,297 0,301
4 -1 1 1 0,829 0,821 0,112 0,122
5 1 -1 -1 0,273 0,284 0,675 0,664
6 1 -1 1 0,706 0,712 0,221 0,215
7 1 1 -1 0,520 0,517 0,442 0,446
8 1 1 1 0,732 0,719 0,201 0,211
9 -1 0 0 0,757 0,752 0,179 0,182
10 1 0 0 0,629 0,629 0,301 0,303
11 0 -1 0 0,652 0,618 0,274 0,308
12 0 1 0 0,706 0,735 0,230 0,201
13 0 0 -1 0,498 0,481 0,458 0,473
14 0 0 1 0,765 0,777 0,169 0,159
15 0 0 0 0,683 0,688 0,249 0,245
16 0 0 0 0,683 0,688 0,249 0,245
В результате эксперимента и выполненных расчетов на ПК были получены коэффициенты уравнений регрессии. Их значения для кодированных значений факторов приводятся в табл. 3. Выделенные коэффициенты являются незначимыми, т. е. в рассматриваемом диапазоне значений они не оказывают существенного влияния. Статистический анализ показал, что полученные уравнения регрессии адекватны.
Для наглядности в качестве примера на рис. 3-8 приводятся диаграммы, характеризующие поверхность отклика функции (относительная высота отскока dH, относительная величина пластической деформации dY) в зависимости
от двух факторов. Величина третьего фактора принималась на среднем уровне значимости. Диаграммы построены с помощью программного комплекса «8ТАТ18Т1СА».
Таблица 3
Ь0 Ь1 Ь2 Ьз
а н 0,688 -0,062 0,059 0,148
аУ 0,245 0,061 -0,053 -0,157
Ьп Ь22 Ьзз
ан 0,002 -0,012 -0,059
ау -0,002 0,001 0,071
Ь12 Ь13 Ь23
ан 0,001 0,009 -0,056
ау -0,002 -0,014 0,053
Рис. 5. Зависимость высоты отскока dH от факторов /2 и К2
Уменьшение значений факторов К2, /2 приводит к увеличению пластической деформации в связи со снижением упруго-пластических сопротивлений и уменьшению относительной высоты отскока модели, так как увеличиваются потери энергии ударного взаимодействия на пластические деформации. Увеличение К приводит к увеличению пластической деформации и уменьшению высоты отскока, так как увеличивается жесткость упруго-вязкого блока модели.
Во всех экспериментах при достижении величиной фактора/2 наибольших значений влияние фактора К2 становится несущественным. Значимость факторов можно оценить по значениям коэффициентов уравнений регрессии. Следует также отметить, что рассмотренные закономерности характеризуются существенной нелинейностью.
Рис. 4. Зависимость высоты отскока dH от факторов К1 и /2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лапшин В.Л. Упруго-вязко-пластичная меха-нореологическая модель для оценки упруго-вязких свойств минералов при моделировании процессов вибросепарации / В. Л. Лапшин, Е. И. Демаков // Механика - XXI веку. VI Всероссийская науч.-техн. конф. с международным участием: сб. докладов. - Братск: ГОУ ВПО «БрГУ», 2007. - С. 67-71.
2. Лапшин В.Л. Моделирование упруго-пластического взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью при ударе [Текст] / В. Л. Лапшин, Е. И. Демаков // Материалы XI Международной науч. конф., посвящ. памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева
(6-10 нояб. 2007, г. Красноярск) / под общ. ред. И.В. Ковалева; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. -Красноярск, 2007. - С. 240-241.
3. Лапшин В.Л. Исследовательская модель процесса ударного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью рудного материала / В.Л. Лапшин, В.П. Ященко, А.В. Рудых // Вестник ИРГТУ. - 2006. - №2(26). - С. 110115.
4. Батуев Г.С., Голубков Ю.В., Ефремов А.К., Федосов А.А. Инженерные методы исследования ударных процессов. - М. : Машиностроение. -1977. - 240 с.
5. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. - Киев: Наукова думка. - 1976. - 319 с.
