CC BY
22
Значения температур для узлов сетки, пронумерованных, как показано на рис.2, сведены в таблицу. Решения представлены по методу конечных разностей [5], аналитически [2], а также по МКЭ, причем для МКЭ приводится несколько вариантов в зависимости от густоты сетки. _Значения температур в узлах сетки, °С_
Номер узла Метод конечных разностей Аналитический метод МКЭ
4 элемента на ребре Отклонение относительно аналитического метода, % 8 элементов на ребре Отклонение относительно аналитического решения, % 16 элементов на ребре Отклонение относительно аналитического решения, %
1 30,4 30,7 30,4 0,98 30,8 0,33 30,7 0,0
2 9,8 9,1 9,2 1,1 8,8 3,3 9,0 1,1
3 3,0 2,6 2,9 11,5 2,5 3,8 2,6 0,0
4 36,2 37,3 37,2 0,27 37,6 0,80 37,4 0,27
5 12,8 12,3 11,5 6,5 12,1 1,63 12,2 0,81
6 4,0 3,7 3,6 2,7 3,6 2,7 3,6 2,7
7 36,2 37,3 37,2 0,27 37,6 0,80 37,4 0,27
8 12,8 12,3 11,5 6,5 12,1 1,63 12,2 0,81
9 4,0 3,7 3,6 2,7 3,6 2,7 3,6 2,7
10 43,6 45,8 49,1 7,2 46,6 1,75 46,0 0,44
11 16,7 16,7 16,7 0,0 16,7 0,0 16,7 0,0
12 5,5 5,1 4,8 5,9 5,0 1,96 5,1 0,0
Из приведенных решений можно констатировать совпадение результатов, полученных реализацией алгоритма, представленного выше, с отклонением, не превышающим 11,5% по отношению к аналитическим данным, даже при достаточно крупном разбиении (4 элемента на ребре). С увеличением густоты сетки точность в сравнении с аналитическими данными повышается, однако использование сетки с количеством элементов на ребре куба более 16 уже нецелесообразно, так как выигрыш точности не оправдывается потерями времени на расчеты.
Библиографический список
1. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 542 с.
2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., 1964.
3. Пыхалов А.А., Милов А.Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбомашин: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2007. 192 с.
4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.
5. Юдаев Б.Н. Теплопередача: учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. школа, 1981. 319 с. УДК 620.17
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ СИЛЫ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГО-ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОЙ МЕХАНОРЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
В.Л.Лапшин1, А.В.Глухов2
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассматривается упруго-вязко-пластичная механореологическая модель, предназначенная для исследования процессов ударного взаимодействия тел. Модель позволяет изучить влияние упругих, вязких (диссипативных) и пластических свойств материала на динамику ударного взаимодействия тел. Приводятся результаты компьютерного исследования, отражающие влияние упругих и пластических параметров модели на силу ударного взаимодействия, полученные путем проведения факторных экспериментов с использованием уравнений регрессии. Ил. 8. Табл. 3. Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: упруго-вязко-пластичная модель; механореологическая модель; ударное взаимодействие тел; компьютерное моделирование.
1-
Лапшин Владимир Леонардович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой сопротивления материалов и строительной механики, тел.: (3952) 405425, е-mail: [email protected]
Lapshin Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: (3952) 405425, e-mail: [email protected]
2Глухов Александр Владимирович, студент, тел.: (3952) 405425, е-mail: [email protected] Glukhov Alexander, Student, tel.: (3952) 405425, e-mail: [email protected]
REGRESSION ANALYSIS OF THE FORCE OF IMPACT INTERACTION OF A VISCO-ELASTIC PLASTIC MECHANO-RHEOLOGICAL MODEL V.L. Lapshin, A.V. Glukhov
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The article examines a visco-elastic plastic mechano-rheological model designed to study the processes of impact interactions of bodies. The model allows to study the effect of elastic, viscous (dissipative) and plastic properties of a material on the dynamics of impact interaction of bodies. The article presents the results of the computer study that reflects the influence of elastic and plastic parameters of the model on the force of impact interaction, which were obtained through factorial experiments with the use of regression equations. 8 figures. 3 tables. 9 sources.
Key words: visco-elastic plastic model; mechano-rheological model; impact interaction of bodies; computer simulation.
Важной задачей при изучении ударных процессов является оценка величины усилия ударного взаимодействия тел. Для решения подобных проблем разработана упруго-вязкая механореологическая модель с нелинейным упругим элементом для математического описания процесса ударного взаимодействия сферического тела с поверхностью [1]. Выявлены основные закономерности поведения модели [2-4]. На основе результатов выполненных исследований разработан и запатентован новый ударный способ определения модуля упругости материала [5].
С целью повышения достоверности модели и расширения ее возможностей была разработана более общая, упруго-вязко-пластичная, механореологическая модель, имеющая в своем составе дополнительный элемент сдвига, позволяющий отдельно учитывать потери энергии при ударном взаимодействии, связанные с возникновением в материале остаточных (пластических) деформаций [6, 7].
Модель обеспечивает исследование основных закономерностей процесса ударного взаимодействия тел и включает два последовательных блока (рис.1):
упруго-вязкий К ~ С и упруго-пластический
К —/• Блок К —С описывает упругие деформации системы и учитывает возникающие при этом потери энергии с помощью демпфера С, сила сопротивления которого зависит от скорости и величины деформации. Сила сопротивления упруго-вязкой деформации определяется: N = Г + Г ■
Л1 1 ДИС ^ 1 УПР1;
• •
Гдис = С( * - у 2Г( У1 - у 2)а 2;
Гупр1 = Кг(У1 - у2Г, • •
где у,у2,у1,у2 - перемещение и скорость массы
т и т; К - коэффициент жесткости упругого
элемента упруго-вязкого блока модели; С - коэффициент вязкости вязкого элемента упруго-вязкого блока модели.
Рис.1. Схема упруго-вязко-пластичной модели
Коэффициент жесткости упругого элемента модели ^ связан со свойствами и параметрами сферического тела и свойствами исследуемой поверхности и рассчитывается по формуле [1]:
4 r1R2
Ъл 1 (R + R) 1 ! 1 -Д2 лЕх лЕ2 2
где Е1,Е - модули упругости сферического тела и
исследуемой поверхности; - коэффициенты
Пуассона сферического тела и исследуемой поверхности; ^, - радиусы кривизны сферического тела
и исследуемой поверхности.
При исследовании процесса соударения сферического тела с плоской поверхностью для поверхности
принимается условие ^да .
Блок К -/ с нелинейным упругим элементом
К2 и нелинейным элементом сдвига / описывает пластические деформации и учитывает возникающие при этом потери энергии. Установка элемента сдвига
/ параллельно с упругим элементом К обеспечивает более полное и эффективное моделирование такого явления, как упрочнение материала, которое характеризуется ростом усилия с увеличением пластической деформации. Сила сопротивления упруго-пластической деформации определяется:
N = 1 + 1 ■
1У2 1 ПЛ ^ 1 УПР2 ;
Рпл /2 У2 + ,
где Р5Т - усилие, соответствующее началу образования пластических деформаций; К2 - коэффициент жесткости упругого элемента упруго-пластического блока модели; /2 - коэффициент сдвига упруго-
пластического блока модели или коэффициент податливости материала.
Вся масса сферического тела сосредоточена в
инерционном элементе щ, масса элемента щ ничтожно мала (щ ^ 0) и не оказывает заметного влияния на динамику движения системы. Она введена для удобства математического описания системы с помощью двух дифференциальных уравнений второго порядка.
Функционирование упруго-вязко-пластичной модели осуществляется следующим образом. На начальном этапе ударного взаимодействия возникают только упругие деформации, поэтому деформации
подвергается только упруго-вязкий блок К - С. Упруго-пластический блок включается в работу, когда динамическое усилие достигает заданного значения FsT, соответствующего интенсивному появлению в материале пластических деформаций. Когда динамическое усилие достигает максимального значения
, наступает этап разгрузки модели. На данном этапе в работу вступает только упруго-вязкий блок, описывающий исчезновение только упругих деформаций. При этом упруго-пластический блок остается в деформированном состоянии, так как характеризует пластические (остаточные) деформации материала.
Все элементы модели имеют нелинейные характеристики, причем показатель степени задается в общем виде (а, а2, П, П, П). Если говорить о конкретных значениях степенных показателей, то для упругой составляющей при ударном взаимодействии сферического тела следует принимать щ =3/2 [1,8,9], пластическую составляющую можно приближенно принимать пропорциональной действующей силе (
щ = 1) [8,9]. Диссипативные сопротивления при исследовании колебательных и ударных процессов чаще всего принимаются пропорциональными скорости
деформации (щ =1; а2 =0).
Важным параметром упруго-вязкого блока модели является коэффициент демпфирования V = п/Р (
п = С /2щ; Р = ^К /Щ ). Для абсолютно упругого удара V = 0. С увеличением V потери энергии при упруго-вязком ударном взаимодействии модели увеличиваются, что соответствует уменьшению высоты отскока сферического тела от поверхности.
Дифференциальные уравнения движения модели записываются следующим образом:
1УПР2 К2 У 2
п2
ЩУ1 + С1(У1 - У2ЛУ1 - У2)щ2 + + К( У1 - У2)п1 =-Щ&
ш2 у2+К2У2п2 + /2У2п + С1(У2 - У1УЧУ2 - У)2 +
+ К1(У2 - У1)П1 = Ш2Я + Рт
Сила ударного взаимодействия определяется: • •
N1 =С(У1- У2)щ1(У!- У2)щ2 + К(у1 - У2)п1;
N2 =к2Уп + У2У2п3+1зт; N -N2.
Решение системы уравнений осуществлялось численным методом Рунге-Кутта. Начальная скорость ударного взаимодействия определяется без учета аэродинамических сопротивлений движению сферического тела из выражения уя = -\\2gH (Н- исходная высота падения сферического тела на поверхность). При рассматриваемых скоростях ударного взаимодействия данное допущение вполне правомерно. Завершение процесса ударного взаимодействия модели соответствует моменту времени, в который выполняется условие N =0.
Разработанная математическая модель позволяет исследовать влияние упругих, вязких (диссипативных) и пластических свойств материала на динамику ударного взаимодействия сферического тела. На базе математической модели была разработана специальная исследовательская программа «УДАР». Рабочее поле программы представлено на рис. 2. Она позволяет рассчитать параметры динамического взаимодействия сферического тела с образцом материала (время удара, силу ударного взаимодействия, величину и скорость деформации, высоту отскока тела). Практическое применение разработанной модели имеет целью дальнейшее развитие методик и способов определения физико-механических характеристик материалов, знание которых необходимо при решении различных исследовательских задач путем математического моделирования вибрационных и ударных процессов.
С целью изучения закономерностей поведения разработанной модели был выполнен комплекс компьютерных экспериментов. Исследовалось влияние упругих и пластических параметров модели на динамику ударного взаимодействия с поверхностью путем проведения факторных экспериментов и получения уравнений регрессии, отражающих влияние рассматриваемых факторов на время удара, силу ударного взаимодействия, высоту отскока сферического тела, величину пластической деформации. Методика проведения компьютерных экспериментов была разработана на основе теории рационального планирования эксперимента.
При проведении вычислительных экспериментов был использован ортогональный центральный композиционный план. Плечо «звездных» точек принималось на уровне -1, +1 (центрированные звездные точ-
п3
• •
Рис.2. Рабочее поле программы
ки). Уравнение регрессии для трехфакторного эксперимента в общем виде выглядит следующим образом:
у = ь0 + ьх+ь2Х2+ь3Х3+ь X+ъ22х\ +
+ Ь33Х2 + Ь2Х^Х2 + Ь3Х^Х3 + Ь23Х2Х3 •
Для расчета коэффициентов уравнений регрессии, проведения статистической оценки значимости коэффициентов с помощью критерия Стьюдента (1кр) и проверки адекватности модели использовался программный комплекс "БТАТ^ТЮА". Проверка адекватности моделей производилась по Р-критерию (критерию Фишера) при уровне значимости Р = 0,05.
В качестве исследуемых факторов рассматривались упругий параметр модели К1 и коэффициенты К2, ^ (размерность МН/м"). Диапазон изменения упругого параметра модели К1 соответствовал диапазону изменения модуля упругости материала поверхности Е2 от 60000 до 200000 МПа, что охватывает основные металлы, стали и сплавы. В качестве сферического тела был принят стальной шарик с параметрами Е1=2х105 МПа;у1=0,27; ^=4,75 мм. Высота падения составляла 30 мм, коэффициент Пуассона для поверхности принимался у2=0,27, коэффициент демпфирования у=0,004. Показатели степени на модели принимались неизменными: а1=1; а2=0; "1=1,5; "2=1,5; "3=1. Величина принималась равной нулю, то есть полагалось, что пластические деформации начинают развиваться с самого начала ударного процесса. Уровни факторов и интервалы их варьирования представлены в табл. 1. При выборе уровней варьирования факторов К2 и ^ использовались результаты предшествующих исследований.
Таблица 1
Уровни факторов и интервалы варьирования
Факторы Кодовое обознач. Уровни факторов -1 0 +1
к Х1 4000 7000 10000
к Х2 400 5200 10000
2 Хз 10 55 100
В данной статье приводятся результаты экспериментов по определению максимальной величины силы нормальной реакции модели Мшх и коэффициента Ктытах, который определялся из соотношения ТЫтах/Тк (где Тк - время ударного взаимодействия). В ходе исследования определялось время ТЫтах, соответствующее максимальному значению силы нормальной реакции в процессе ударного взаимодействия модели с опорной поверхностью (рис.2). Матрица планирования и результатов эксперимента представлена в табл.
2 (где Nmax и Кттах - параметры ударного взаимо-
Л л
действия модели; и КШтах - параметры, рассчитанные по полученным уравнениям регрессии).
В результате эксперимента и выполненных расчетов на ПК были получены коэффициенты уравнений регрессии для кодированных значений факторов (табл. 3). Выделенные в табл. 3 коэффициенты являются незначимыми, т.е. в рассматриваемом диапазоне значений они не оказывают существенного влияния. Статистический анализ показал, что полученные уравнения регрессии адекватны.
Таблица 2
Матрица планирования и результатов эксперимента
№ п/п X1 X2 X3
Уровни факторов N max N max KTN max KTN max
1 -1 -1 -1 116,04 115,49 0,5915 0,5907
2 -1 -1 1 173,92 176,89 0,5188 0,5163
3 -1 1 -1 153,41 154,68 0,5478 0,5474
4 -1 1 1 175,81 170,17 0,5178 0,5229
5 1 -1 -1 130,69 136,61 0,6368 0,6313
6 1 -1 1 230,65 229,66 0,5331 0,5332
7 1 1 -1 191,97 189,28 0,5764 0,5786
8 1 1 1 235,59 236,42 0,5298 0,5303
9 -1 0 0 166,46 168,41 0,5273 0,5258
10 1 0 0 215,17 212,1 0,5470 0,5498
11 0 -1 0 190,48 183,14 0,5416 0,5504
12 0 1 0 199,89 206,11 0,5347 0,5273
13 0 0 -1 162,16 158,20 0,5795 0,5840
14 0 0 1 209,63 212,47 0,5259 0,5227
15 0 0 0 195,91 197,03 0,5381 0,5368
16 0 0 0 195,91 197,03 0,5381 0,5368
Для наглядности в качестве примера на рис. 3-8 приводятся диаграммы, характеризующие поверхность отклика функции (максимальная величина силы нормальной реакции Мшх , коэффициент К^тах, характеризующий закономерность изменения силы нормальной реакции) в зависимости от двух факторов. Величина третьего фактора принималась на среднем уровне значимости. Диаграммы построены с помощью программного комплекса '^ТАТ^ТЮА".
Рассмотрим влияние факторов на максимальную силу нормальной реакции Мтах (рис.3-5). Увеличение всех рассматриваемых факторов приводит к росту силы нормальной реакции. Это связано с увеличением возникающих упруго-пластических сопротивлений деформированию.
Рассмотрим влияние факторов на коэффициент Ктмтах, характеризующий асимметричность графика, описывающего закономерность изменения силы нормальной реакции (рис.6-8). Для этого дадим более подробные пояснения о работе упруго-вязко-пластичной модели. При отсутствии пластических деформаций, когда работает только упруго-вязкая модель, закономерность изменения силы нормальной реакции описывается симметричным графиком. Максимального значения сила Мшх достигает в середине периода контактного взаимодействия, при этом К^тах=0,5. А теперь рассмотрим работу упруго-вязко-пластичной модели. Пластические деформации возникают на этапе нагружения, на этапе разгрузки модель рассматри-
вается как упруго-вязкая. Поэтому чем в большем объеме возникают пластические деформации на этапе нагружения, тем больше продолжительность данного этапа и тем большую асимметричность приобретает график силы N. Таким образом, с уменьшением К2, значение коэффициента К^тах увеличивается. Увеличение К1 приводит к увеличению Кттах, так как увеличивается жесткость упруго-вязкого блока модели и соответственно увеличивается остаточная деформация упруго-пластического блока модели. Во всех экспериментах при достижении фактором 12 наибольших значений влияние фактора К2 становится несущественным. Следует также отметить, что рассмотренные закономерности характеризуются существенной нелинейностью. Значимость факторов можно оценить по значениям коэффициентов уравнений регрессии.
Рис.3. Зависимость силы N max от факторов Ki и Кг
Рис.4. Зависимость силы N max от факторов f2 и Ki
Таблица 3
Коэффициенты уравнения регрессии
b0 bi b2 b3 bn b22 b33 b12 b13 b23
N max 197,03 21,84 11,49 27,13 -6,78 -2,41 -11,69 3,37 7,913 -11,48
к TN max 0,5368 0,012 -0,012 -0,031 0,001 0,002 0,0166 -0,0024 -0,0059 0,0125
Рис.5. Зависимость силы N max от факторов f2 и K2
Рис.6. Зависимость Кгмтах от факторов К и К
Таким образом, полученные результаты исследования позволяют заключить, что наибольшее влияние на силу ударного взаимодействия оказывает коэф-
Библиограф
1. Лапшин В.Л., Ященко В.П., Рудых А.В. Исследовательская модель процесса ударного взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью рудного материала // Вестник ИрГТУ. 2006. №2(26). С. 110-115.
2. Лапшин В.Л., Рудых А.В. Компьютерное исследование времени ударного взаимодействия системы сферическое тело - плоская поверхность // Вычислительная механика деформируемого твердого тела: тр. междунар. науч.-техн. конф. В 2 т. М.: МИИТ, 2006. С. 265-268.
3. Лапшин В.Л., Рудых А.В. Компьютерное исследование высоты отскока сферического тела при ударном взаимодействии системы сферическое тело - плоская поверхность // Вестник Иркутского регионального отделения АН ВШ. Иркутск, 2006. №2(9). С. 187-193.
4. Лапшин В.Л., Ященко В.П., Рудых А.В. Исследование влияния параметров упругого нелинейного элемента упруго-вязкой модели на время ударного взаимодействия системы модель - плоская поверхность // Механика - XXI веку. V межрегиональная науч.-техн. конф. с международным участием: сб. докладов. Братск: Изд-во БрГУ, 2006. С. 100-105.
5. Пат. 2272274 Российская федерация, МПК 001N 3/32. Способ определения модуля упругости материала / Лапшин
Рис.7. Зависимость KTNmax от факторов K1 и f2
Рис.8. Зависимость KrNmaxот факторов f2 и K2
фициент сдвига упруго-пластического блока механо-реологической модели, характеризующий склонность материала к образованию пластических деформаций.
ский список
В.Л., Ященко В.П., Рудых А.В., Вугмейстер Б.О., Демаков Е.И., Петров А.В. № 2004134044/28; заявл. 22.11.04; опубл. 20.03.06, Бюл.№8.
6. Лапшин В.Л., Демаков Е.И. Упруго-вязко-пластичная ме-ханореологическая модель для оценки упруго-вязких свойств минералов при моделировании процессов вибросепарации // Механика - XXI веку. VI Всероссийская науч.-техн. конф. с международным участием: сб. докладов. Братск: Изд-во БрГУ, 2007. С. 67-71.
7. Лапшин В.Л., Демаков Е.И. Моделирование упруго-пластического взаимодействия сферического тела с плоской поверхностью при ударе // Материалы XI Международной науч. конф., посвящ. памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф.Решетнева (610 нояб. 2007, г. Красноярск) / под общ. ред. И.В.Ковалева; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2007. С. 240-241.
8. Батуев Г.С., Голубков Ю.В., Ефремов А.К., Федосов А.А. Инженерные методы исследования ударных процессов. М.: Машиностроение, 1977. 240 с.
9. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар. Киев: Наукова думка, 1976. 319 с.
