CC BY
15
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2001. №4. С. 28-30. © Омский государственный университет
УДК 539.173
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ КРИТЕРИЯ РАЗРЫВА ЯДРА НА ОСКОЛКИ ПРИ ДЕЛЕНИИ ВОЗБУЖДЕННЫХ ЯДЕР
О.В. Лахина
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр.Мира, 55A
Получена 30 апреля 2001 г.
A new probabilistic approach to definition the criterion of scission of nucleus into fragments is proposed.
В физике деления атомных ядер, несмотря на более чем полувековую историю ее существования, до сих пор остается множество актуальных проблем, требующих разрешения. Одной из таких проблем является отсутствие однозначного критерия разделения ядра на осколки, или, другими словами, условия разрыва шейки ядра, образующейся между будущими осколками в процессе эволюции формы ядра. Этот вопрос неизбежно возникает при моделировании динамики деления ядер и расчете экспериментально наблюдаемых величин. Существует множество работ, затрагивающих эту тему [1—4], однако в должной мере эта проблема до сих пор не решена.
В работах, посвященных динамическим расчетам деления ядер, используются различные физические и геометрические условия, определяющие линию разрыва, то есть такую линию в пространстве коллективных координат, по одну сторону от которой лежат координаты, определяющие сплошные формы, а по другую - разделенные. Например, как описано в [3], точка разрыва шейки обусловлена исчезновением при некоторой деформации ядра энергетического барьера между областями сплошных и разделенных форм. Такое описание привело авторов к значению радиуса шейки в точке разрыва, равного трети До (До = гоА1/3, До - радиус равновеликой сферы, А - массовое число элемента, го — константа ядерного радиуса). Этот критерий разрыва используется, например, в [5,6]. Другим физически приемлемым критерием разделения ядра, описанным в [2], является равенство величин двух основных сил, влияющих на изменение формы ядра - кулоновской силы отталкивания будущих осколков и поверхностной силы их при-
тяжения. Когда ядро имеет форму с достаточно большим радиусом шейки, то поверхностная сила притяжения по величине превышает кулонов-скую силу отталкивания, поэтому ядро остается устойчивым к делению. Постепенно с уменьшением радиуса шейки кулоновская сила становится больше по величине, а поверхностная уменьшается, и при равенстве их по величине происходит деление ядра на осколки.
Во всех этих работах, а также в большинстве других, посвященных расчетам динамики деления ядра, линия разрыва является строго определенной и четко разделяющей сплошные и разделенные формы ядра. Нами предлагается несколько иной подход к этому вопросу. Предполагается, что существует ненулевая вероятность разделения ядра при любой его конфигурации после появления шейки. Разрыв шейки ядра рассматривается как флуктуация, тогда вероятность разрыва равна [8]:
Wrupt - exp(-AE/T)
(1)
где АЕ - изменение энергии при флуктуации, Т -температура ядра. Под АЕ понимается разность энергий двух форм ядра, одна из которых сплошная, а другая разрывная. Следует отметить, что идеи теории флуктуаций довольно давно и неоднократно использовались для описания разрыва ядра на осколки [7] и формирования массового, зарядового распределений, а также многих других характеристик, наблюдаемых при делении. Так, например, в модели случайного разрыва шейки Броза с соавторами [7] для оценки вероятности разрыва перемычки в ином месте, нежели соответствующем минимальному значению радиуса шейки, использовали формулу больцманов-
Вероятностный подход к определению критерия разрыва ядра.
29
ского типа, аналогичную (1). Разность энергий ДЕ ими вычислялась как дополнительная поверхностная энергия, появляющаяся при таком разрыве, в простой модели жидкой капли [9]. Если отсчитывать потенциальную энергию разрывной формы ядра относительно энергии исходной формы ядра, то ДЕ представляет собой энергию взаимодействия осколков. Нами две основных составляющих этой энергии - кулоновская и ядерная энергии, которые рассчитывалась в модели жидкой капли, учитывающей конечность радиуса действия ядерных сил и диффузность поверхности ядра [10]. Кулоновская энергия в этой модели представляет собой сумму двух слагаемых: кулоновской энергии в модели жидкой капли с резким краем поверхности ядра и поправки, обусловленной диффузностью поверхности ядра. Все эти энергии, так же, как и их сумма, в данной модели имеют вид:
Е = / / /(|г1 - Г2|) ¿3т[ ¿3т'2
(2)
где / - скалярная функция |Г[ — Г,.
При расчете потенциальной энергии ядра функция / для кулоновской энергии и ее поправки, учитывающей диффузность поверхности ядра определяются соответственно как:
^[эНагр
15Е,
(0)
1
32п2то5А5/3 К — Г2|!
(3)
/иц =
15ЕС0) 32п2т05А5/3
1 +
Г» — Г?,|\ е-|Г1 -Г2 |/а
2ас
|Г1 — Г*2
(4)
Для ядерной энергии функция / в этом случае равна:
/пис1
8п2т03а4
2
|г1 — ^22^ е
|г1 —
(5)
При расчете энергии взаимодействия осколков перед функцией / появится дополнительный коэффициент 2 , обусловленный тем, что в этом случае векторы гЦ и Г, - это радиус-векторы точек, лежащих слева и справа от плоскости разрыва соответственно. А при расчете потенциальной энергии ядра векторы г1 и г2 могут лежать как слева, так и справа от плоскости разрыва.
Для описания форм ядер используется параметризация {о,Ь,а} [11]. Выражение для профильной функции, вращение которой вокруг оси симметрии образует поверхность ядра, приведено, например, в [11, 12].
Пользуясь формулой (1), можно рассчитать вероятность деления для любой формы ядра. Предполагается, что ядро обязательно делится
Рис. 1. Вероятность деления ядра в зависимости от координаты удлинения с и радиуса шейки.
в области от появления шейки до равенства ее радиуса нулю, поэтому сумма вероятностей деления по всем возможным формам ядра равна 1. Это условие и является условием нормировки для вероятности, определенной уравнением (1).
На рисунке изображена нормированная вероятность разделения ядра на осколки для случая Л = 0 и а = 0 в зависимости от координаты удлинения с и радиуса шейки. Видно, что наибольшая вероятность деления ядра соответствует радиусу шейки « 0, 24 Д0 .
Особенно важным и интересным в применении любого нового подхода является то, как он повлияет на значения уже известных величин, вычисленных ранее в других подходах, и как его результаты соотносятся с экспериментальными данными. Для проведения такого исследования были выполнены динамические расчеты средней кинетической энергии в рамках подхода с определенной линией разрыва (для двух случаев: радиус шейки в точке разрыва равен 0.35До и 0.01 До) и в рамках вероятностного подхода, где на каждом шаге определялась вероятность деления и ТКЕ (полная кинетическая энергия осколков) в предположении, что на каждом шаге с определенной вероятностью возможен разрыв, а затем средняя ТКЕ для каждой траектории вычислялась по формуле
ЕЕк, ежр —
ТКЕ =
ДЕг Т:
Е ежР —
ДЕг Т:
(6)
где суммирование ведется по шагам траектории. В рамках подхода с определенной линией разрыва ТКЕ вычислялась в точке разрыва. Так же была вычислена дисперсия энергетического распределения в обоих подходах.
Для описания динамики деления ядер использовался стохастический подход [12, 13]. В стохастическом подходе к динамике деления эволюция
2
с
30
О.В. Лахина.
коллективных степеней свободы ядра рассматривается [13] по аналогии с описанием броуновского движения. Уравнениями движения в этом случае является система связанных уравнений Лан-жевена, которая в дискретной форме, применяемой при компьютерном моделировании процесса, имеет вид:
(п+1) 1 (п) (п) д3 (д) дУ (д)
Р = - 2 1 рк +
-1И (Ч)Нк (я)р{кп)т + Из(д)Т^ («)УТ,
Jn+1)
(7)
где = 1, 2) — коллективные координаты q = (с, Ь), pi(i = 1, 2) — сопряженные им импульсы,
, — фрикционный и инерционный тензора, Т — температура внутренних степеней свободы ядра, т — временной шаг интегрирования уравнений Ланжевена, — случайное число, распределенное нормально с дисперсией 2. Фрикционный тензор рассчитывался в модифицированном варианте однотельного механизма ядерной вязкости [14,15]. Верхий индекс п в уравнениях Лан-жевена показывает, что значение данной величины берется в момент времени пт.
Расчеты были проведены для следующих ком-паундядер: 2обРо, 236и, 244Ст, 26°Д/, коэффициентом редукции трения к8 = 0.25 и с учетом испарения легких предразрывных частиц.
Результаты расчетов параметров энергетического распределения осколков деления: ТКЕ и дисперсии этого распределения показывают, что значение средней кинетической энергии в вероятностном подходе для всех ядер уменьшились на 5-7%, а значения дисперсии увеличились на 1020%. Результаты расчетов с использованием вероятностного разрыва лучше согласуются с экспериментальными данными и известными систематиками [16,17].
Сравнение экспериментальных данных с расчетными показывает, что в рамках вероятностного подхода значение полной кинетической энергии осколков и ее дисперсии ближе по значению к экспериментальным, чем в рамках подхода с определенной линией разрыва, особенно для более тяжелых ядер.
Основным результатом данной работы следует считать то, что предложен качественно новый вероятностный подход к определению критери разделения ядра. При моделировании динамики деления ядра в рамках предложенного подхода исчезает проблема выбора конкретной линии разрыва шейки ядра в пространстве коллективных координат. Вероятностный подход является наиболее общим и естественным, тогда как подход
с любой определенной линией разрыва содержит в себе в некоторой степени произвольность, поскольку до настоящего времени не была в должной мере обоснована предпочтительность выбора какой-либо линии разрыва. Хотя следует подчеркнуть, что расчеты, представленные на рисунке говорят об интуитивно правильном выборе, сделанном Струтинским [3,11] относительно критерия разрыва делящегося ядра на осколки.
В заключении я хочу поблагодарить П.Н. Над-точего и Г.Д. Адеева за многочисленные полезные обсуждения данной темы и любезное предоставление ряда вычислительных программ.
[1] А.И. Старцев, Session Papers// XIII Meeting on Physics of Nuclear Fission, (SSCRF-IPPE), Obninsk, 1998, edited by B.D. Kuzminov. P. 94.
[2] K.T.R. Davies, R.A. Managan, J.R. Nix, A.J. Sierk, Phys. Rev. C16, 1890 (1977).
[3] V.M. Strutinsky, N.Ya. Lyashchenko, and N.A. Popov, Nucl. Phys. 46, 639 (1962).
[4] Г.И. Косенко, И.И. Гончар, О.И. Сердюк, Н.И. Писчасов, Я.Ф. 55, 920 (1992).
[5] A.V. Karpov, P.N. Nadtochy, D.V. Vanin, G.D. Adeev, Phys. Rev. C63, 054610 (2001).
[6] J. Bao, Y. Zhuo, X. Wu, Z. Phys. A 352, 321 (1995).
[7] U. Brosa, S. Grossmann, and A. MUller, Phys. Rep. 197, 167 (1990); U. Brosa, S. Grossmann, Z. Phys. A 197, 177 (1989).
[8] Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.
[9] N. Bohr, J.A. Wheeler, Phys. Rev. 56, 426, (1939)
[10] H.J. Krappe, J.R. Nix, A.J. Sierk // Phys.Rev. 1979, Vol. C20, P. 992.
[11] M. Brack, J. Damgaard, A.S. Jensen, H.C. Pauli V.M. Strutinsky, and C.Y. Wong, Rev. Mod. Phys 44, 320 (1972).
[12] Д.В. Ванин, А.В. Карпов, П.Н. Надточий, Г.Д Адеев // Вестник Омского университета. 1999 Вып. 3. С. 44.
[13] H.A. Kramers, Physica 7, 284 (1940).
[14] J.R. Nix and A.J. Sierk,, in Proceedings of the International School-Seminar on Heavy Ion Physics, Dubna, USSR, 1986 edited by M.I. Zarubina and E.V. Ivashkevich (JINR, Dubna, 1987), p. 453; J.R. Nix, Nucl. Phys. A502, 609 (1989).
[15] J.R. Nix and A.J. Sierk,, in Proceedings of the 6th Adriatic Conference on Nuclear Physics: Frontiers of Heavy Ion Physics, Dubrovnik, Yugoslavia, 1987, edited by N. Cindro, R. Caplar, W. Greiner. (World Scientific, Singapore, 1990), p. 333.
[16] М.Г. Иткис, А.Я. Русанов, Физика Эл. частиц и ат. ядра, 29, 389 (1998).
[17] V.E. Viola, K. Kwiatkowski, and M. Walker, Phys. Rev. C 31, 1550 (1985).
