CC BY
12
Вестник Омского университета, 2006. № 1. С. 5-11. © A.B. Машковцев, Г.Д. Адеев, 2006
УДК 539.173
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ФОРМЫ ЯДРА, ОСНОВАННОЙ НА РАЗЛОЖЕНИИ ПРОФИЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА
А.В. Машковцев, Г.Д. Адеев
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 23 января 2006 г.
Modification of well-known shape parameterization based on on the expansion of profile function in Legendre polinomials for nuclear fission is considered. Transformation of the shape parameters, that define profile function is suggested. The proposed transformation is especially convenient and suitable for dynamical calculations of fission process.
1. Введение
Традиционно для решения многих задач, связанных с делением ядра, успешно применяется модель жидкой капли (МЖК) [1-4]. В этой модели предполагается, что ядро в начальный момент времени находится в состоянии равновесия и имеет сферическую форму. Далее, благодаря флук-туациям, ядро деформируется, принимая более или менее вытянутые формы. При значительных флуктуациях ядро может значительно вытянуть-
ся и потерять устойчивость к разрыву. В этом случае ядро преодолевает потенциальный барьер, принимая на его вершине седловую форму. Чаще всего эта форма достаточно вытянута и имеет «шейку», разделяющую два будущих осколка. Преодолев потенциальный барьер, ядро уже не может вернуться к сферической форме. В этом случае ядро скатывается с потенциального барьера, его шейка постепенно сужается и происходит деление.
В МЖК вопрос о форме ядра является одним из первоочередных. При описании деления обычно делается предположение об аксиальной симметрии формы. Поэтому рассмотрение формы ядра основывается на понятии профильной функции рц (г ). Вращением этой функции вокруг оси аксиальной симметрии г получается некоторая поверхность, внутри которой заключена ядерная материя.
При исследовании динамики процессов, связанных с деформацией ядра, как правило, р3(г) задается некоторым аналитическим выражением и зависит от набора деформационных параметров. Количество этих параметров всегда ограничено возможностями вычислительной техники. Как правило, при динамическом описании зер-
кально симметричных форм профильная функция включает в себя не более двух параметров деформации, а при рассмотрении асимметричных форм — не более трех. В зависимости от значений этих параметров профильная функция может описывать различные формы. Причем, чем большее разнообразие форм удается описать не меняя аналитического вида , тем более удачной считается параметризация. В силу неотрицательности профильной функции часто оказывается удобным рассматривать ее квадрат
В последнее время все чаще динамику деления описывают в рамках стохастического подхода [5—7], основанного на идее Крамерса [8]. В своем подходе, названном диффузионной моделью, Крамере предложил рассматривать динамику химических и физических барьерных процессов в системе небольшого числа коллективных степеней свободы, которые взаимодействуют с «термостатом», образованным одночастичными степенями свободы. В этом случае эволюция изменения коллективных координат похожа на динамику движения броуновской частицы. Так как число коллективных степеней свободы обычно достаточно мало и ограничено возможностями современной вычислительной техники, то оказывается удобным под коллективными степенями свободы понимать деформационные параметры, входящие в описание профильной функции. Поэтому удачный выбор параметризации позволяет снять многие трудности, связанные с численными вычислениями.
Моделирование динамики деления до сих пор остается сложной задачей как с физической, так и технической точки зрения. С одной стороны, деление ядра является многомерным процессом, следовательно, физическая модель, созданная для описания этого процесса, должна содержать в себе достаточно много коллективных степеней свободы (коллективных координат). С другой стороны, при включении дополнительных координат возрастает объем вычислительного времени. Поэтому от качества коллективных координат может зависеть не только скорость получения решения задачи, но и техническая возможность построения той или иной физической модели.
Современные вычислительные средства позволяют строить динамическую модель в системе не более чем из 2-3 коллективных координат [9-11], поэтому и профильная функция должна содержать в себе не более трех деформационных параметров. Понятно, что чем больше коллективных координат удается включить в описание, тем оно становится более реалистичным. Поэтому в последнее время делаются попытки увеличить это число хотя бы до четырех [12].
В ранних работах, связанных с описанием ядерных реакций, динамика деления основывалась на многомерном уравнении Фоккера-Планка (УФП) [13]. Однако решение этого уравнения значительно усложняется при увеличении количества коллективных координат и требует использования различных приближений. Поэтому в последнее время для решения подобных задач отдается предпочтение системе уравнений Лан-жевена [5,6], эквивалентной УФП.
В настоящее время можно выделить несколько наиболее удачных параметризаций формы делящегося ядра: {с, /г, а}-параметризация, описанная в работе [14], параметризация овалоидов Кассини [15-17] и параметризация Тренталэн-жа [18], основанная на разложении квадрата профильной функции р1(г) по полиномам Лежанд-ра. Однако, несмотря на свою популярность и широкое использование при проведении статических расчетов, эти параметризации обладают рядом недостатков, что делает их неудобными при моделировании динамических процессов. В частности, при численных расчетах профильная функция должна быть легко дифференцируема и интегрируема. Только последняя из перечисленных параметризаций, пожалуй, удовлетворяет этому условию, так как квадрат профильной функции является полиномом из ограниченного числа слагаемых. Кроме того, желательно, чтобы деформационные параметры, по возможности, были ограничены некоторыми предельными значениями, при которых профильная функция еще описывает неразрывные формы и не является отрицательной между крайними точками формы. Этим недостатком обладает лишь параметризация овалоидов Кассини, а параметризация, разработанная в работе [18], вообще не предполагает каких-либо ограничений, накладываемых на параметры деформации. Таким образом, ни одна из вышеперечисленных параметризаций не является идеальной.
Поэтому в последнее время стали появляться работы, направленные на совершенствование упомянутых параметризаций формы. В частности, {с, /г, а}-параметризация была доработана в работе [19] преобразованием а' = ас3. Параметризация овалоидов Кассини — в работе [20], где введены масштабные факторы вдоль аксиальной (к~) и радиальной (кр) осей. Настоящее исследование посвящено преобразованию параметризации, разработанной в [18].
Нами предлагается использовать набор преобразованных параметров, связанный с оригинальным простыми соотношениями. Новые параметры, в отличие от оригинальных, ограничены прямыми, параллельными координатным осям. Это позволяет проводить вычисления на прямоуголь-
ной сетке, которая ограничена прямыми, параллельными координатным осям, что предоставляет дополнительные удобства при работе с параметризацией.
2. Определение профильной функции
В оригинальной работе [18] квадрат профильной функции р1(г) представляет собой разложение по полиномам Лежандра с ограниченным числом слагаемых
14 / -^)=Д§5>ПР„ — , (1)
где Рп - полиномы Лежандра ?г-го порядка, Е -координата середины формы, ¿о ~ величина, равная половине расстояния между крайними точками, ап - набор деформационных параметров, Но - радиус недеформированного сферического ядра. Крайние точки формы определяются соотношениями = г — ¿о 1 ¿тах = 5 + ^о. Форма ядра заключена между точками £тт и гтах. Если на этом отрезке профильная функция обращается в нуль при г ¿т^тах; Т0 такие формы будем исключать из рассмотрения. Причем, если на этом отрезке профильная функция имеет один минимум и два максимума, то такие формы будем считать разрывными, а если два минимума и максимум — то физически недопустимыми или «запрещенными». Более детальное обсуждение таких форм представлено в работе [19] на примере {с, /г, а}-параметризации.
Введем также понятие «шейка». Координата шейки ¿„.еск — значение координаты г , при которой профильная функция р1(х) достигает минимума. Координата шейки определяется из условия
которое приводит к алгебраическому уравнению. При наличии у этого уравнения трех вещественных корней, лежащих в пределах [гтш, £тах], один из них (минимум) является координатой шейки ¿„.еск , а два других (максимумы) — координатами самых толстых мест в форме составного ядра. Эти максимумы определяют будущие осколки. Если на отрезке [¿тш, гтах] профильная функция имеет минимум, то точку этого минимума будем считать шейкой формы, если же на этом отрезке точек минимума нет, то под шейкой будем понимать точку перегиба профильной функции на указанном отрезке.
В силу замкнутости профильной функции не все параметры ап являются независимыми. А
именно, первые два из них параметра определяются через остальные: сад = ' а1 = = 5^нечет а1 ■ Таким образом, число независимых параметров равно N — 1. Из закона сохранения объема ядерной материи можно выразить половину длины формы ¿о = 2/(Зао), а Е можно записать как х = Поэтому, зная значения параметров {сад, ..., адг}, можно определить все остальные величины, входящие в разложение
Вид профильной функции (1) позволяет описывать формы, имеющие более одной шейки. А именно, число возможных шеек равно N — 3. Это является достаточно сильным достоинством данной параметризации, так как остальные из вышеупомянутых параметризаций описывают формы, имеющие не более одной шейки. В данной работе мы ограничимся рассмотрением бинарного деления (положим N = 4 в формуле (1)). Это ограничение основано на том, что вероятность того, что в результате деления образуется пара осколков, значительно превышает более сложные исходы (деление на три и более осколков) рассматриваемого процесса. Иначе говоря, ширина зеркально симметричного бинарного канала реакции значительно превышает остальные ширины.
Отсутствие каких-либо математических ограничений, накладываемых на параметры деформации ап, приводит к тому, что квадрат профильной функции, записанный в виде (1), при некоторых наборах деформационных параметров принимает отрицательные значения между точками и ¿тах • Это является существенным недостатком параметризации, так как, зная набор параметров ап, приходится каждый раз проверять, имеются ли точки на отрезке [гтш, £тах], при которых р1(х) принимает отрицательные значения. Если да, то такие формы следует исключать из рассмотрения?
В статических расчетах [4, 21] число слагаемых N в разложении (1) может быть достаточно велико, так как численные расчеты не требуют высокой вычислительной скорости. В работе Ко-эна и Святецки [2] это число достигает 18. Данная работа считается одной из классической в этой области, и ее результаты согласуются с численными вариационными расчетами, проведенными Струтинским [3], в которых на форму ядра не накладывается никаких ограничений. Однако в динамических расчетах такой точности на сегодня добиться невозможно.
В случае бинарного деления форма ядра будет определяться набором из трех параметров деформации {сад, сад, сад}. Отрицательность квадрата профильной функции можно трактовать двояко: если на отрезке между крайними точками [¿гит 1 ¿шах] профильная функция имеет два мак-
симума, то такую форму следует считать разрывной. Если же на этом отрезке один максимум и два минимума, то такая форма считается физически недопустимой или «запрещенной».
Рассмотрим сначала симметричные формы, т. е. положим аз = 0. При энергиях возбуждения ядра от 50 до 80 МэВ с большой вероятностью можно считать, что деление происходит по симметричному каналу, а значит, и ядро в процессе деления должно приобретать, в основном, зеркально симметричные формы. Основываясь на этом предположении, обозначим набор {0^2,0^4} = ос и рассмотрим поведение р28(г,а.) при различных значениях параметров деформации.
Если все три экстремума профильной функции находятся между крайними точками формы, а максимум расположен между двумя точками минимума, то такие формы (в силу замкнутости формы) будут физически запрещенными. Математически это можно записать в виде
dp3(z, а)
dz
= 0.
(3)
— min j^max
Решив это уравнение, мы можем записать уравнение прямой, выше которой формы будут запрещенными:
3
а4 + —«2 = 0. (4)
Геометрически разрывные формы, по определению, удовлетворяют соотношению
Ps(Zneck, «0=0,
(5)
где гпеск — координата шейки формы. В работе [22] было получено уравнение, эквивалентное (5), в виде
12
а4 + = 0. (6)
о
Формы, лежащие выше этой прямой, представляют собой два разделенных осколка.
Таким образом, мы показали способ определения семейства, к которому принадлежит та или иная форма при выборе соответствующего ей набора параметров деформации а. Недостаток системы координат а состоит в том, что, выбрав конкретные значения параметров а, мы не можем сказать, к какому семейству форм относится фигура, построенная с помощью профильной функции, не проверив условия (4) и (6). При моделировании динамики деления с помощью стохастических уравнений такую проверку приходится выполнять на каждом шаге интегрирования, что увеличивает время вычислений, т. к. обычно шаг интегрирования выбирается малым по сравнению со временем эволюции системы. В данной работе предлагается путь решения этой
проблемы путем введения нового набора деформационных параметров /3, который связан с а. взаимооднозначными соотношениями.
2.1. Преобразование симметричных параметров
Преобразуем систему координат а, таким образом, чтобы прямая, заданная уравнением (4), в новой системе координат превратилась в прямую /?4 = 0, а прямая (6) — в /?2 = 0. При этом все физически разрешенные сплошные формы находились бы в третьем координатном углу, т. е. удовлетворяли двум условиям: /З2 ^ 0, /З4 ^ 0. Это преобразование сделает сетку прямоугольной и жестко ограниченной сверху и справа двумя взаимно перпендикулярными прямыми, параллельными координатным осям.
В системе координат а повернем ось против часовой стрелки на некоторый угол (р таким образом, чтобы она совпала с линией запрещенных форм. Для сохранения направления оси (т. е. чтобы разрывные формы получались при отрицательных значениях параметра ) угол (р должен находиться в четвертом координатном угле. Кроме того, согласно (4), tg(р = —3/10. Аналогичным образом повернем а 4 на угол ф так, чтобы она совпала с линией разрывных форм. Этот угол, относительно а4, находится в первом координатном угле, поэтому, используя (6), можно записать tg'ф = 5/12. Полученные прямые будут являться осями новой системы координат /3. Оси, полученные поворотом осей а 2 и обозначим /?2 и /?4 соответственно (рис. 1).
\ а4
^^^^ V а
<р
Рис. 1. Схема преобразования симметричных координат
Легко показать, что матрица перехода описанного преобразования имеет вид
В=( C0S<? sin^V (7)
У — sin гр cos гр J 4 7
После подстановки в (7) численных значений имеем
„ / 10/л/Т09 —3/л/109 \ . .
В~{ -5/13 12/13 )• (8)
Для того чтобы из новых координат /3 выразить а., достаточно умножить вектор, компонентами которого являются параметры /32 и /З4, на матрицу В:
а = /ЗВ. (9)
Следует отметить, что при (р = ф матрица В описывает стандартное преобразование поворота системы координат на произвольный угол вокруг оси г.
2.2. Преобразование асимметричных параметров
Теперь рассмотрим зеркально асимметричные формы (аз 0). В этом случае возникают дополнительные условия, определяющие запрещенные и разрывные формы. В частности, для каждого набора симметричных параметров са = {а2,^4} существует максимально допустимое значение модуля параметра асимметрии 1|. Следует отметить, что при одном и том же наборе параметров а, не имеет значения знак параметра асимметрии, так как формы, получающиеся при изменении знака параметра аз, являются зеркально симметричными относительно плоскости г = 0. Причем, если набор симметричных координат при аз = 0 определяет форму ядра без шейки, то при |аз| > | форма будет запре-
щенной. Напротив, если набор а. при аз = О определяет форму с шейкой, то при \а$\ > ¡а™21*! форма будет разрывной.
Параметр а^ах можно определить путем анализа поведения профильной функции и ее первых двух производных. Математически все это можно записать следующим образом:
— |а2 — 2а4,
без
^л/ 175а4 (а4 + ^а2), с
шейкой
(10)
Для зеркально симметричных форм условие появления шейки (при аз = 0) можно записать в следующем виде:
д2рЦг,сх)
дг2
= 0.
(П)
г=0
Подставляя сюда явный вид профильной функции (1), имеем уравнение прямой, отделяющей формы с шейками от тех, которые шейки не имеют:
2
а4 ~ -а2 = 0. (12)
о
Если выражение, стоящее в левой части уравнения, отрицательно, то соответствующая фигура имеет шейку, в противном случае — шейка отсутствует. Используя (12), можно переписать выра-
жение (Ю) в следующем виде:
аГх= 0(х) (--а2-2а4) +
+ в(-х) ^у175а4 (а4 + уа2 ) ,(13)
где х = а4 — 2а2/5, 0(х) — ступенчатая функция Хэвисайда.
На рис. 2 показано поведение модуля параметра асимметрии | для различных значений параметров симметричной деформации. Видно, что на линиях разрыва и запрещенных форм этот параметр обращается в нуль. В остальных случаях значение этого параметра может достигать достаточно больших значений.
Рис. 2. Контурная карта модуля максимального значения параметра асимметрии |о;™ах| в оригинальной системе координат
При исследовании поведения каких-либо величин в зависимости от асимметрии ядер работа с аз сопряжена с трудностью выбора его максимального значения. Чаще всего вычисления проводятся на прямоугольной сетке с постоянными ее границами. При выборе в качестве границы аз малого значения есть риск не учесть формы со значительной асимметрией. Напротив, если граница аз достаточно велика, увеличивается время счета, т. к. (с^з1^! будет зачастую меньше граничного значения, накладываемого на аз.
Моделируя динамику деления, необходимо отсекать формы, у которых |аз| > |. Для этого введем параметр /З3 таким образом, чтобы при Дз = 1 параметр асимметрии принимал свое максимальное значение, т. е.
Рз =
а з
тах ' 3
а
/Зз € [-1,1].
(14)
Этим преобразованием мы жестко ограничиваем изменение параметра /З3 для всех форм. При решении задач, связанных с асимметричными формами, полученное преобразование значительно
облегчает работу с сеткой, на которой проводятся расчеты.
Следует отметить, что максимальной асимметрии осколков, когда вся масса заключена в одном из них, в данной параметризации удается достичь только при условии, что набор симметричных координат удовлетворяет уравнению (12).
3. Потенциальная энергия
Рассмотрим применение новых координат для вычисления потенциальной энергии. В МЖК потенциальная энергия Е чаще всего [1-3] вычисляется в виде суммы поверхностной энергии и энергии кулоновского взаимодействия будущих осколков:
Е(д)=Е8(д) + Ес(д), (15)
где д — набор коллективных коллективных координат. В качестве д чаще всего используются либо набор деформационных параметров, входящих в вид профильной функции, либо физические величины, характеризующие физические параметры формы (длина формы, радиус шейки, расстояние между центрами масс будущих осколков, асимметрия осколков и др.).
В работах Краппе, Никса и Сирка [23-25] оригинальная МЖК, предложенная Бором и Уил-лером [1], была существенно усовершенствована и развита учетом конечного радиуса действия ядерных сил и диффузного распределения ядерной плотности. Отметим, что в последнее время используется именно этот вариант МЖК.
На рис. 3 представлены контурные карты потенциальной энергии для ядра 213 At в оригинальной (а) и преобразованной (/3) системах координат. Детали модели и набор физических параметров взяты также из работы [4]. Точечной кривой на рисунках показан наиболее вероятный путь эволюции системы — дно долины деления.
Набор координат /3 позволяет, не используя дополнительных ограничений кроме /?2 ^ 0 и /?4 ^ 0, полностью избежать проблемы исключения физически недопустимых и разрывных форм.
Аналогичным образом приведем результаты вычислений в координатах расстояния между центрами масс будущих осколков вдоль дна долины деления д и параметра асимметрии.
Расстояние между центрами масс будущих осколков для симметричных форм в единицах
А
Рис. 3. Карта потенциальной энергии в оригинальной а) и модифицированной Ь) системе координат для ядра 213 построенная для симметричного деления. Штриховой линией на каждом из графиков обозначено дно долины деления. Точечной линией отмечены формы,
радиус шейки которых 0.3 До • Числа на рисунке соответствуют значению потенциальной энергии в МэВ
Я0 определяется выражением
го
I ИС*
д(а) = 2^-. (16)
-¿О
На рис. 4 приведена карта потенциальной энергии для асимметричного деления.
Для удобства восприятия приведем поверхность потенциальной энергии в тех же координатах, что и на предыдущем рисунке (см. рис. 5).
В качестве нижних границ изменения параметров деформации достаточно взять такие их значения, при которых потенциальная энергия превышает величину потенциального барьера хотя бы в несколько раз. С нашей точки зрения, на основании приведенных результатов корректными с физической точки зрения можно считать следующие ограничения параметров /?2, Рз и Ра-
/?2 е [-1.2,0], р* е [-1,0], & е [-1,1]. (17)
Продемонстрированные результаты позволяют адаптировать параметризацию формы, взятой из работы [18], для описания динамических процессов, связанных с делением атомного ядра.
Рис. 4. Карта потенциальной энергии в системе координат в) и вз для ядра 213 Л1. Штриховой линией показана линия разрыва, соответствующая радиусу шейки, равному 0.3^0 . Числа на рисунке соответствуют значению потенциальной энергии в МэВ
Рис. 5. Поверхность потенциальной энергии в системе координат q (в) и в3 для ядра 213 Л1
Оставляя все преимущества оригинального вида профильной функции (1), мы получили преобразование, которое существенно облегчает численные вычисления при решении как статических, так и, особенно, динамических задач. Полученные в настоящей работе преобразования оригинальных деформационных параметров позволяют проводить численные расчеты на ограниченной прямоугольной сетке. Этот факт не только позволяет облегчить двух и трехмерные расчеты, но и реализовать более сложные многомерные расчеты, включая большее число слагаемых в разложение профильной функции (1). Следует отметить, что рассмотренная нами модификация параметризации использует оригинальный вид профильной функции и не меняет определение параметров, входящих в нее. Поэтому достаточно вычислить набор параметров а2, аз и и работать с параметризацией, используя оригинальные формулы и методы.
Нами представлена модификация одной из популярных и наиболее часто используемых пара-
метризаций формы делящегося ядра [26-28]. Получена связь между старыми и новыми координатами. Представленные в работе результаты позволяют проводить численное моделирование динамики бинарного деления как для симметричного, так и асимметричного случая. Новые координаты значительно упрощают работу с параметризацией, облегчая численные расчеты, необходимые при моделировании.
1] Bohr N, Wheeler J.A. // Phys. Rev. 56. 426 (1939).
2] Cohen S, Swiatecki W.J. // Ann. Phys. 22. 406 (1963).
3] Strutinsky V.M., Lyashenko N.Ya., Popov N.A. // Nucl. Phys. 46. 639 (1963).
4] Sierk A.J. // Phys. Rev. 33. 2039 (1986).
5] Abe Y, Ayik S., Reinhard P.-G, Suraud E. // Phys. Rep. 275. 49 (1996).
6] FröbrichP. GontharI.I. //Phys. Rep. 292.131 (1998).
7] Адеев Т.Д. и др. // ЭЧАЯ. 36. 712 (2005).
8] Kramers H.A. // Physica 7. 284 (1940).
9] KarpovA.V. et al. //Phys. Rev. C 63. 054610 (2001).
24
25
26
27
28
Nadtochy P.N., Adeev G.D., Karpov A. V. // Phys. Rev. C 65. 064615 (2002).
Nadtochy P.N., Adeev G.D. // Phys. Rev. C 72. 054608 (2005). Blocki J. et al. // Acta Phys. Polon. 31.1513 (2000). Г.Д. Адеев и др. // ЭЧАЯ. 19. 1229 (1988). Adeev G.D, Pashkevich V. V. // Nucl. Phys. A 502. 502 (1989).
Brack M. et al. // Rev. Mod. Phys. 44. 320 (1972). Ставинский В.С, Работное Н.С., Серегин А.А. // ЯФ. 7. 105 (1968).
Pashkevich V.V. // Nucl. Phys. A 169. 275 (1971). Adeev G.D., Gamalya I.A., Cherdantsev P.A. // Phys. Lett. B 35. 125 (1971). Trentalange S. etal. //Phys. Rev. C 22.1159 (1980). Mamdouh A., Pearson J.M., Rayet M., Tondeur F. // Nucl. Phys. A 644. 389 (1998). Shuwei X., Zhengda W. // Phys. Rev. C 37. 1968 (1988).
Davies K.T.R., Sierk A.J. // Phys. Rev. C 31. 915 (1985).
Wada T, Carjan N, Abe Y. // Nucl. Phys. A 538. 283 (1992).
Krappe H.J, Nix J.R. // Proc. Third IAEA Symp. on Physics and Chemistry of fission (Rochester). Vol. 1 (Vienna: IAEA). 159 (1973). Krappe H.J, Nix J.R, Sierk A.J. // Phys. Rev. C 20. 992 (1979). Krappe H.J, Nix J.R, Sierk A.J. // Phys. Rev. Lett. 42. 215 (1979).
Carjan N, Sierk A.J, Nix J.R. // Nucl. Phys. A 452. 381 (1986).
Wada T, Abe., Carjan N. // Phys. Rev. Lett. 70. 646 (1993).
Carjan N, Alexander J.M. // Phys. Rev. C 45. 2185 (1992).
