CC BY
12
Вестник Омского университета, 2006. № 2. С. 6-13. © P.M. Хирьянов, A.B. Сагдеев, Г.Д. Адеев, A.B. Карпов, 2006
УДК 539.173
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МОНТЕ-КАРЛО К РАСЧЕТУ УГЛОВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ ВОЗБУЖДЕННЫХ КОМПАУНД-ЯДЕР
P.M. Хирьянов, А.В. Сагдеев, Г.Д. Адеев*, А.В. Карпов**
* Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра теоретической физики,
644077, Омск, пр. Мира, 55а, ** Лаборатория ядерных реакций. Объединенный институт ядерных исследований, 141980, Московская обл., Дубна, ул. Жолио Кюри, 6
Получена 28 февраля 2006 г.
Stochastic approach to calculation of angular distribution was developed on the base of three-dimensional Langevin equations. In this approach the relaxation time of tilting mode was phenomenologically estimated.
Введение
При теоретическом анализе данных по угловым распределениям осколков деления традиционно используется модель переходного состояния [1— 3]. Суть ее заключается в предположении, что
существует некоторая выделенная (переходная) конфигурация делящейся системы, которая определяет угловое распределение осколков деления. При этом существует два предельных предположения о положении переходного состояния и, соответственно, два варианта модели переходного состояния: модель переходного состояния в сед-ловой точке (ПССТ) [1—3] и модель переходного состояния в точке разрыва (ПСТР) [4-6].
Хорошо известно, что модель ПССТ достаточно точно воспроизводит экспериментальные данные по анизотропии угловых распределений осколков деления для реакций, в которых в качестве налетающих частиц выбирались нейтроны, ионы 3Не и а-частицы [1; 7]. Составные ядра, образующиеся в таких реакциях, имеют температуру порядка 1 МэВ и невысокие значения углового момента.
Для реакций с участием более массивных налетающих ионов углерода, кислорода и тяжелее [7] обнаружилось, что модель ПССТ предсказывает систематически низкие значения анизотро-
пии углового распределения, и экспериментальные данные лежат ближе к значениям, рассчитываемым согласно модели ПСТР. Больших успехов в описании угловых распределений в реакциях с тяжелыми ионами удалось добиться в модели ПСТР, развитой в работе [6]. В ней была разработана модель, более корректно (по сравнению с первыми вариантами модели ПСТР [4; 5]) учитывающая спиновые моды формирующихся осколков деления (twisting и wriggling).
В то же время в работе [8] было показано, что наблюдаемые экспериментально значения анизотропии угловых распределений не могут быть описаны ни моделью ПССТ, ни моделью ПСТР. Поэтому в общем случае было высказано предположение, что эффективное переходное состояние, определяющее угловое распределение осколков деления, находится где-то между седловой точкой и точкой разрыва.
Наиболее общее решение задачи об угловом распределении может быть получено с учетом динамических аспектов формирования углового распределения. В настоящем исследовании представлены результаты динамических расчетов углового распределения осколков деления ядер, образованных в реакциях с тяжелыми ионами. Расчеты проведены в четырехмерной модели, основанной на уравнениях Ланжевена, в широком интервале энергий налетающего иона для реак-.'О +224 TI, ^248 С:. 16 О +238 U ^254 Fm, 160 +248Cm ^264 Rf. Анализ экспериментальных данных позволил определить основную временную характеристику, определяющую динамику формирования угловых распределений, - время релаксации А'-моды (степени свободы, связанной с проекцией полного момента I на ось деления). В разделах 1. и 2. данной статьи описаны модель и алгоритм метода Монте-Карло, используемый для моделирования эволюции А'-моды. При этом дано детальное описание той части модели, которая касается расчета угловых распределений. Подробное изложение других деталей многомерной ланжевеновской модели, учитывающей испарение предразрывных частиц, может быть найдено в [9—11,16]. В разделе 3. представлены результаты расчетов в настоящей модели и их обсуждение. Выводы и заключения сделаны в разделе 4.
1. Модель
В качестве уравнений движения для моделирования динамики деления составного ядра использовалась система уравнений Ланжевена, которые в разностной форме для случая N коллективных
координат имеют вид:
(п + 1) (п)
Pi = Pi
(n)Jn)
dAtjfc(q) %
(n)
-Af >(q) - 7S0(q)/#)(q)pLn)) - +
n)(q)fen)+Mn+1))r, (1)
1i
n + l)
1i
n)
где <|г = (с, /г, а') - набор коллективных координат; р1 - сопряженные им импульсы; ту (||/%|| = ||тг^'||_1) — инерционный тензор; - фрикционный тензор; - случайная сила; -амплитуда случайной силы; К^ - консервативная сила, определяемая термодинамическим потенциалом свободной энергии К^ = — ^ ) • Конкретный вид зависимости свободной энергии от коллективных координат можно найти в [16].
В уравнениях (1) верхний индекс п означает, что соответствующая величина вычисляется в момент времени 1п = пт, где г - шаг интегрирования уравнений Ланжевена по времени. Здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до N (N = 3).
Начальные координаты qo, импульсы р0 и угловой момент I для динамических расчетов разыгрывались методом Неймана с образующей функцией:
Р(ц0,р0,1,г = 0) ~
ехр -
V(q0,l, К) + ЕсоН(ц0,р0)
Т
(2)
где q9S - координаты основного (сферического) состояния составного ядра (с=1,/г = 0,а'=0), а /(/) аппроксимируется выражением вида
««=S
21 + 1
1 + ехр [(l-lc)/6l\
(3)
Параметры 1С и 61 выбираются таким образом, чтобы воспроизводить результаты теоретических расчетов слияния и глубоко неупругих столкновений тяжелых ионов в рамках модели поверхностного трения [12].
Предполагается, что спин входного канала равен нулю. Тогда полный момент составного ядра I равен угловому моменту I и распределение (3) переходит в распределение для /.
При анализе угловых рапределений обычно предполагается, что осколки деления разлетаются в направлении оси симметрии ядра. В этом случае угловое распределение определяется тройкой квантовых чисел: I, К и М, где I - полный
момент составного ядра, К - проекция I на ось симметрии ядра и М - проекция полного момента на направление пучка налетающих ионов. В случае слияния бесспиновых ионов значение М = 0. Тогда угловое распределение для фиксированных значений I и К имеет вид
W(9,1, К) = (1+1/2) \с1{1=0гК(в)\
(4)
где с11м=0 к(в) - функция вращения Вигнера, явный вид которой можно найти в монографии [1], в - угол между осью симметрии ядра и осью пучка налетающих ионов. Угловое распределение осколков деления, наблюдаемое на эксперименте, может быть получено усреднением (4) по распределениям I и К в виде
оо I
\¥{в)=^1 Е Р(КЩ(в,1,К). (5)
/=о
к=
Из (5) видно, что для расчета углового распределения необходимо конкретизировать вид распределений составных ядер по I [07] и по К [Р(К)\. Если считать, что 07 известно, то проблема расчета угловых распределений осколков состоит только в определении распределения Р(К). В моделях ПССТ и ПСТР считается, что распределение по К равновесное (определяется больцмановским фактором ехр(—Е10ъ/Т) [3]), соответственно, в седловой точке или точке разрыва, где энергия вращения Е^ дается выражением
Е,ot(q, Р К)
tfK2 fr2 (I2 - К2) ft2/2 fr2К2
2.1
2J± 2J± 2Jeg
(6)
Таким образом, равновесное распределение по К имеет вид
Ptat(Ä') =
ехр
к
' 2 А'2
£ ехР
К=-1
к2
"2А-2
(7)
Параметр Ко определяет ширину этого распределения
Т
W
KQ - IP^JeS,
Jeff —
J||JjL
J_L - J I,
(8)
где T - температура ядра в переходном состоянии, Jeff - эффективный момент инерции, J|| и Jj_ - твердотельные моменты инерции ядра относительно оси симметрии и относительно оси, перпендикулярной оси симметрии соответственно.
Температура термостата Т может быть определена в модели ферми-газа
T=(Emt/a(4))1/2.
(9)
Энергия возбуждения внутренних степеней свободы составного ядра Pi„t (внутренняя энергия) определяется из закона сохранения энергии:
E*(t) = Eint + EcoU(q, p) + V(q, I, K) + Eevap(t),
(10)
где E* - полная энергия возбуждения ядра; Есоц - кинетическая энергия коллективных степеней свободы:
Есоц{ q,p) = .,/'.;;q :/'./';•
(11)
Ееиар (1) - энергия, уносимая испаряемыми частицами за время I.
Потенциальная энергия определяется в модели жидкой капли с диффузным краем [13] в виде суммы трех частей: кулоновской энергии отталкивания протонов, ядерной энергии притяжения нуклонов и энергии вращения ядра как целого
у(ч,г, к) = (ЕМ - 40)) + (ЕМ) -
+ЕгоМЕК). (12)
Параметр плотности уровней а^), зависящий от деформации, определяется как
а(Ч) =а1А + а2А2/'лВь(ч)-
(13)
Здесь А - массовое число делящегося ядра; безразмерный множитель В3(ц) равен площади поверхности деформированного ядра в единицах поверхности равновеликой сферы; значения параметров сч = 0, 073МэВ-1 и а-2 = 0,095МэВ-1 взяты из работы [14].
Величины и 3рассчитывались с учетом диффузности распределения ядерной материи, которая, как было показано в [15], может быть учтена следующим образом:
J
-L(ll)
J
(sharp)
-L(ll)
AM a
M'
(14)
-ЛэЬагр)
где - моменты инерции, полученные с
резким краем ядра; ам = 0, 704 фм - параметр диффузности распределения ядерного вещества; М - масса ядра [13].
Усредняя (4) по распределению Р^а^-К") 113 (7), получаем выражение для углового распределения для фиксированного I и заданного Ко:
К=1
W(ej) = (I+ 1/2)
£ |<А.(0)ГехР(-А'2/2^2;
к=
V ехр (—K'2/2Kq) k=-I
Дисперсия же величин К дается формулой: К=1
(4-)stat = X К2 Ptat (К) =
К=-1
KJ2 К2 exp (—A'2/2A'q ) k=-I
Е1 exp (—A'2/2A'q ) k=-I
(16)
Отметим, что в общем случае дисперия распределения по К не равна А'д, хотя для больших значений I имеем — К'о ■
Как уже было сказано, ни одна из моделей ПССТ и ПСТР, описанных выше, не дает одновременно удовлетворительного описания угловых распределений для реакций и с тяжелыми, и с легкими ионами. Существующая неопределенность с положением переходного состояния указывает на необходимость учета динамических особенностей формирования угловых распределений. В наиболее общем случае А'-моду следует рассматривать как самостоятельную коллективную координату и изучать ее эволюцию, используя, например, многомерный ланжевенов-ский подход [16]. Такой полностью динамический подход позволит в наиболее общем виде определить распределение Р(А'). Однако в этом случае возникает проблема расчета консервативной силы, а также транспортных коэффициентов для А'-моды (инерционного, фрикционного и диф-фузионого параметров). Зная зависимость вращательной энергии от К, не составляет труда определить искомую компоненту консервативной силы. В то же время в литературе не описан способ расчета транспортных коэффициентов для А'-моды. Поэтому полностью динамическое рассмотрение эволюции степени свободы, связанной с К, пока затруднительно.
Однако динамические аспекты формирования угловых распределений могут быть «упрятаны» в характеристику, называемую временем релаксации А'-моды тк • В работе [17] было предложено рассматривать эволюцию А'-моды методом Монте-Карло, где процесс деления характеризовался двумя коллективными степенями свободы: параметром удлинения ядра и К.
2. Формализм расчета угловых распределений
Стохастический подход к рассмотрению эволюции А'-моды, предложенный в [17], в настоящем исследовании обобщен на трехмерную ланжеве-новскую модель деления [9—11,16]. Таким образом процесс деления описывается тремя коллективными координатами формы делящегося ядра с, /г, а' и дополнительной степенью свободы, связанной с К. Такая четырехмерная модель позволяет (помимо характеристик процесса деления ядер, которые могут быть получены в трехмер-
ной модели [9-11;16] динамически рассчитывать угловые распределения осколков деления.
Эволюция координаты К рассматривалась в процессе движения составного ядра от основного состояния до разрывной конфигурации. Для основного (сферического) состояния предполагалось, что координата К может принимать равновероятные значения из интервала от —/ до /. Далее для того, чтобы учесть вероятностный характер релаксации рассматриваемой моды, использовался следующий алгоритм. На каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена по времени вычислялась вероятность того, что К придет в равновесие с термостатом, имеющим температуру Т. Для этого разыгрывалось равномерно распределенное на отрезке [0,1] случайное число которое сравнивалось с отношением т/тц {тк - время релаксации А'-моды). При выполнении условия
С < т/тк
на следующем шаге интегрирования по времени выбиралось новое значение К = К'. Иначе сохранялось предыдущее значение К. Определение К' производилось с помощью существенной выборки по методу Метрополиса [18], где в качестве вероятности и>кк' перехода системы из состояния с К в состояние с К' использовалась функция Метрополиса:
wkk>
ехр
АЕъ
АЕ АЕ
КК'
КК> Ъ
>0; < 0;
(17)
где
АЕкк> = iU(q, I, К') - Arot(q, /, А).
Более подробное описание и обоснование использования данного алгоритма можно найти в [19].
Связь алгоритма Метрополиса со стохастической кинетикой можно обосновать в динамической интерпретации. Известно [20], что данный алгоритм описывает марковский релаксационный процесс, определяемый основным кинетическим уравнением, которое при определенных условиях [21] может быть сведено сначала к уравнению Фоккера-Планка, а затем к уравнениям Ланжевена.
На каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена по времени учитывался вклад вращательной энергии в полную энергию системы и производился пересчет температуры составного ядра. Вращательная энергия составного ядра Erat, учитывающая вклад координаты К, определялась выражением (6). Температура термостата рассчитывалась по формуле (9).
В процессе эволюции составного ядра от основного состояния до точки разрыва учитыва-
лось испарение легких частиц (модель испарения подробна описана в [9-11; 16]. Следует отметить, что вероятности испарения предразрывных легких частиц также рассчитываются методами Монте-Карло.
Для каждой динамической траектории, дошедшей до точки разрыва, значения координаты К фиксировались в седловой и разрывной конфигурациях. Таким образом, рассматривая ансамбль разделившихся траекторий, мы имеем распределения по координате К в двух характерных областях потенциальной поверхности составного ядра - седле и разрыве.
Усредняя (4) по ансамблю траекторий разделившихся ядер, получим вероятность вылета осколков под определенным углом относительно оси пучка налетающих ионов:
Nf
И* — / ¿=1
¿ок* (0)
(18)
где Р, Ю - значения полного момента и его проекции в конфигурации, определяющей угловое распределение, для ^'-той траектории, Nf - число событий деления, в - угол между направлением вылета осколков деления и осью пучка налетающих ионов. Состоянием, определяющим угловое распределение в данной модели, считается разрывная конфигурация составного ядра.
В настоящем исследовании использовался хорошо известный критерий разрыва [16], в котором конфигурация деформированного ядра считается разрывной, если радиус шейки ядра равен 0,3^о (До - радиус недеформированного ядра).
Выражение (18) в данном подходе использовалось для расчета угловых распределений осколков деления, в частности анизотропии угловых распределений, определяемой отношением И^(0°)/И^(90°).
В данном подходе время релаксации К-моды - Тк является свободным варьируемым параметром. Предполагается, что параметр тк не изменяется в процессе эволюции составного ядра от основного состояния к точке разрыва.
Вообще говоря, время релаксации тк не является постоянной величиной. В работе [22] было показано, что существует зависимость тк от эффективного момента инерции и, следовательно, от формы составного ядра. Но конкретный вид данной зависимости пока не известен, выяснить его в данном подходе не представляется возможным.
В связи с использованием алгоритма Метро-полиса для моделирования эволюции К-моды заметим, что данный подход является достаточно общим методом для рассмотрения эволюции
Рис. 1. Дисперсии динамических распределений по К-моде (а) и анизотропии угловых распределений осколков деления (Ь), определенные в седловой (верхний на рис. (а) и нижний на рис. (Ь) графики) и разрывной
(нижний на рис. (а) и верхний на рис. (Ь) графики) конфигурациях: пунктирные кривые - соответствующие статистические пределы, полученные в моделях ПССТ и ПСТР
любой финитной коллективной моды при делении ядер. Например, аналогичным образом могут быть исследованы эволюции координат массовой и зарядовой асимметрии. Применение данного метода для изучения эволюции этих мод является особенно интересным, так как известны зависимости времен их релаксации от параметра удлинения делящегося ядра [23].
3. Результаты и обсуждение
Для того чтобы протестировать данный динамический подход был рассмотрен следующий предельный случай. Пусть время релаксации тк меньше шага интегрирования уравнений Лан-жевена по времени т и, следовательно, много
меньше характерных времен деления ядра:
Тк<Т, Тк^Тдз-за, ТК<^Т3(1-8С,
где Тд§—вЛ "> ^всг-вс ~ среднее время эволюции составного ядра от основного состояния до седло-вой конфигурации и среднее время спуска с седла к разрыву соответственно. Тогда координата К приходит в равновесие с термостатом на каждом шаге интегрирования уравнений Ланжевена по времени.
В этом случае дисперсии динамических распределений по К в седловой точке и точке разрыва с хорошей точностью должны совпадать со значениями, полученными из статистических моделей ПССТ и ПСТР (используя формулу (16)) соответственно. Следовательно, анизотропии угловых распределений \¥(0°)/\¥(90°), рассчитываемые в настоящей модели по формуле (18) в седловой и разрывной конфигурациях, также должны совпадать с соответствующими значениями, предсказываемыми статистическими моделями ПССТ и ПСТР (формула (15)). На рис. 1 представлены результаты расчетов для реакции 160+ 238и, Еыъ = 148 МэВ, выполненных в настоящей модели с временем релаксации тк = 0, 001 • Ю-21 сив моделях ПССТ и ПСТР. Представленные результаты демонстрируют, что для дисперсии распределения по К-моде статистические пределы практически совпали с ди-нимаческими расчетами, а для анизотропии углового распределения осколков деления отличие составило 0,5-1,0%.
В рамках предложенной модели формирования угловых распределений были проанализированы экспериментальные данные по угловым распределениям и энергетические зависимости анизотропии угловых распределений для ряда реакций. Результаты расчетов угловых распределений в данной модели представлены на рис. 2, 3. На рис. 2 приведены результаты, полученные с тк = 4 • Ю-21 с и тк = 8 • Ю-21 с. Видно, что угловое распределение чувствительно к значению времени релаксации К-моды.
Расчеты анизотропии углового распределения в зависимости от энергии налетающего иона Е1аь представлены на рис. 4. Рассчитанные в настоящей модели (тк = 4- Ю-21 с) значения анизотропии удовлетворительно описывают экспериментальные данные в широком диапазоне энергий возбуждения. Видно, что полученные разульта-ты лежат, как и ожидалось, между значениями, предсказываемыми моделями ПССТ и ПСТР. Из рис. 4 также следует, что существует зависимость времени релаксации тк от энергии возбуждения составного ядра (видно, что для лучшего описания данных по анизотропии при низких энергиях возбуждения тк должно быть ниже, чем
О з
1 1 1 1 (а) ■ 1 1
120 МэВ
□ 1=1
~ ~ -В ^Ъч
1 1 1 п^о -1 1 1
(Ь) 1 1 1 1 1 1
Р = ^аЪ 140 МэВ
~ ~ ~ - п\
1 1 1 - ■ 1 1
248СГ
□ □ \ Р = 160 МэВ
~ ~ - - □ \ " ^ п\
чо\
20 40 0 60 80 ЮС
е
Рис. 2. Угловые распределения осколков деления составного ядра, образующегося в реакции 16 О + 232 ТЪ при различных энергиях налетающего иона 16 О: открытые квадраты - экспериментальные данные [25], сплошная и пунктирная кривые - расчет в настоящей модели с тк = 4 • Ю-21 и 8 • Ю-21 с. соответственно
при средних и высоких энергиях. Таким образом можно предположить, что время релаксации К-моды растет с увеличением энергии возбуждения составного ядра).
Следует отметить, что 50 60 • 103 разделившихся траекторий - это минимальная статистика, при которой значение анизотропии достигает статистического равновесия и незначительно меняется при дальнейшем увеличении числа разделившихся траекторий. Это объясняется тем, что вклад в анизотропию дают лишь такие траектории деления, для которых значение К, определяющее угловое распределение, равно нулю, а доля таких траекторий в общей статистике мала.
254г ■ (а) рт v ; Е = 90 МэВ 1аЬ □ -п ■ ((1) ^ Е,. = 110 М 1аЬ □
254-р " (Ь) К1 Е= 130 МэВ 1аЬ 1 1 1 1 1 ■ (е) м w Е = 130 Мэ 1аЬ
(с) "Ь Е= 148 МэВ 1аЬ 264^ ■ № w Е, = 148Мэ 1аЬ □
40 60
0 20 40 60
> 1 > 1 > 248СГ 1 ' 1 '
ПСТР
ПССТ
-
1 1 1 1 1 - 254^ Бт > , . 1 > ПСТР
□
▼ -
□
ПССТ
80 120 160 200 240
1 ■ 1 ■ : 264рт 1 ■ 1 ■
ПСТР
„ - ' ^— 1.1. ПССТ 1.1.
100
120
140
160
Е,аь, МэВ
Рис. 3. Угловые распределения осколков деления составного ядра для реакций 16 О + 238 и (а, Ь, с) и
1еО+248Ст (с1, е, Г): открытые квадраты -экспериментальные данные [25], сплошная кривая -расчет в настоящей модели с тк = 4 • Ю-21 с
4. Заключение и выводы
Трехмерная ланжевеновская динамика дополнена монте-карловскпм алгоритмом расчета угловых распределений осколков деления, учитывающим стохастическую природу процесса деления и формирования угловых распределений. Предложенная модель позволила лучше описывать экспериментальные значения анизотропии угловых распределений, чем статистические теории переходного состояния (ПССТ и ПСТР) для реакций слияния - деления тяжелых ионов. В рамках данного подхода выполнена оценка времени релаксации степени свободы, связанной с проекцией полного момента на ось деления К. Рассчеты анизотропии углового распределения, проведенные со временем релаксации тк = 4-Ю-21 с, оказались наиболее близки к экспериментальным значениям. Такое время релаксации сопоставимо со
Рис. 4. Зависимость анизотропии углового распределения от энергии налетающего иона: открытые
квадраты - экспериментальные значения [25], перевернутые треугольники - расчет в настоящей модели с тк = 4 • Ю-21 с, пунктирные линии - предсказания классических моделей ПССТ и ПСТР
средним временем спуска делящейся ядерной системы от седловой точки к точке разрыва т^-йс
б-Ю-21 с), что указывает, с одной стороны, на возможность изменения значений К в процессе спуска с седла к разрыву, с другой - на неприменимость классической теории переходного состояния в точке разрыва.
Следует отметить, что полученное значение времени релаксации К -моды близко к оценке, сделанной в работе [24] на основе анализа данных по анизотропии угловых распределений для ряда реакций (тк = 8 • Ю-21 с).
Подводя итог, следует отметить, что выяснение роли динамических факторов при формировании угловых распределений осколков деления находится лишь на начальном этапе. Примененный в данном исследовании подход позволил получить достаточно хорошее описание угловых
распределений в динамическом рассмотрении их формирования. Представляется перспективным использование многомерных ланжевеновских моделей, рассматривающих А'-моду как самостоятельную коллективную степень свободы.
[1] Vandenbosch R. and Huizenga J.R. Nuclear Fission. N.Y.: Academic Press, 1973. 422 p.
[2] Bohr A. // Proc. of the United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy. Geneva, 1955. N.Y.: United Nations, 1956. V. 2. P. 151.
[3] Halpern I. and Strutinsky V.M. // Proc. of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy. Geneva, 1957. Geneva: United Nations, 1958. V. 15. P. 408.
[4] Bond P.D. jj Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 414; Phys. Rev. 1985. V. C32. P. 471, 483.
[5] Rossner H.H., Huizenga J.R., and Schröder W.U. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 38; Phys. Rev. 1986. V. 33. P. 560.
[6] John B. and Kataria S.K. j j Phys. Rev. 1998. V. 57. P. 1337.
[7] Vaz L.C. and Alexander J.M. j j Phys. Rep. 1983. V. 97. P. 1.
[8] Freifelder R., Prakash M. and Alexander J.M. j j Phys. Rep. 1986. V. 133. P. 315.
[9] Karpov A. V., Nadtochy P.N., Vanin D.V. and Adeev G.D. // Phys. Rev. 2001. V. C63. P. 054610.
[10] Nadtochy P.N., Adeev G.D. and Karpov A.V. j j Phys. Rev. 2002. V. C65. P. 064615.
[11] Nadtochy P.N., Karpov A.V., Vanin D.V. and Adeev G.D. // ЯФ. 2003. T. 66. C. 1240.
[12] Fröbrich P. and Gontchar I.I. j j Phys. Rep. 1998. V. 292. P. 131.
[13] Sierk A.J. j j Phys. Rev. C. 1986. V. 33. P. 2039.
[14] Игнатюк A.B., Иткис М.Г., Околович B.H., Смиренкин Г.Н., Тишин A.C. // ЯФ. 1975. Т. 21. С. 1185.
[15] Davies K.T.R., Nix J.R. // Phys. Rev. 1976. V. C14. P. 1977.
[16] Адеее Г.Д., Карпов A.B., Надточий П.Н., Ванин Д.В. // ЭЧАЯ. 2005. Т. 36. С. 732.
[17] Drozdov V.A., Eremenko D.O., Fotina O.V. et al. // Nucl. Phys. 2004. V. A734. P. 225.
[18] Metropolis N., Rosenbluth A., Rosenbluth M., Teller A., Teller E. // J. Chem. Phys. 1953. V. 21. P. 1087.
[19] Binder K. // Rep. Prog. Phys. 1997. V. 60. P. 487.
[20] Binder K., Heerman W. // Monte-Carlo simulation in statistical physics, Springer-Verlag, 1988.
[21] Weindenmuller H.A. // Progr. Part. Nucl. Phys. 1980. V. 3. P. 49.
[22] D0ssing T. and Randrup J. // Nucl. Phys. 1985. V. A433. P. 215.
[23] Адеее Г.Д., Гончар И.И., Пашкевич В.В., Сердюк О.И. II ЯФ. 1989. Т. 50. С. 1242.
[24] Ramamurthy V.S. and Kapoor S.S. 11 Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 178.
[25] Back B.B., Betts R.R., Gindler J.E. et al. j j Phys. Rev. 1985. V. C32. P. 195.
[26] Дроздов В.А., Еременко Д.О., Платонов С.Ю., Фотина О.В., Юминов О.А. // ЯФ. 2001. Т. 64. С. 221.
[27] Кунин С. // Вычислительная физика. М.: Мир, 1992.
