CC BY
35
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2008. № 4. С. 40-44.
УДК 539.173
М. В. Бору нов, Г.Д. Адеев
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского,
ТОЧНОСТЬ ОПИСАНИЯ СЕДЛОВЫХ КОНФИГУРАЦИЙ В {с, h, а} -ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
A felicitous choice of parametrization of the shape of the fissinioning nucleus is very important when one is considering its dynamical evolution. Present article is devoted to our analysis of {c,h,a} -parameterization, comparison of saddle characteristics and fission barriers obtained in this parameterization with results of other processes with a great number of parameters. The comparison was carried out in model of liquid drop with sharp and diffusive edge for finite range of nuclear forces.
Ключевые слова: модель жидкой капли, седло вые конфигурации, рассчитанные барьеры деления и эффективные моменты инерции.
Введение
Несомненная актуальность практических приложений процесса деления атомных ядер, а также уникальная возможность исследовать свойства ядер в коллективном движении большой амплитуды обусловили интерес к этой реакции, не ослабевающий с момента ее открытия вплоть до наших дней. За более чем полувековую историю изучения процесса деления атомных ядер и благодаря интенсивным исследованиям международного масштаба удалось накопить обширный экспериментальный материал и добиться заметного прогресса в теоретическом осмыслении целого ряда выявленных закономерностей. Однако полного количественного описания всей совокупности имеющейся экспериментальной информации о массово-энергетических (МЭР), зарядовых и угловых распределениях осколков деления к настоящему моменту достичь не удалось. Проблема теоретического описания экспериментально наблюдаемых МЭР тесно связана с динамикой протекания процесса деления, с термодинамическими и диссипативными свойствами делящихся ядер, с критериями разрыва делящегося ядра на осколки.
При изучении реакции деления обычно ограничиваются случаем аксиально-симметричных форм. В этом случае форма ядра может быть описана в цилиндрических координатах профильной функцией р, (г), вращение которой вокруг оси симметрии задает поверхность ядра. Наиболее часто используемыми параметризациями являются {с, /г, а} -параметризация [1], параметризация Тренталенджа [2], параметризация овалоидами Кассини [3], двуцентровая параметризация
[4]. Использование конкретной параметризации формы ядра тесно связано с проблемой выбора коллективных координат. Все возможные
© М.В. Боруное, Г.Д. Адеев, 2008
коллективные координаты можно условно разделить на координаты, задающие форму ядра, и координаты, описывающие другие коллективные степени свободы ядра, не связанные с изменением формы. Для адекватного описания процесса деления ядра необходимо, чтобы выбранная параметризация содержала как минимум три параметра и позволяла ввести следующие координаты формы: удлинение ядра, координату, определяющую эволюцию шейки в форме ядра, и координату зеркальной асимметрии. Такой минимальный набор коллективных координат дает возможность рассчитывать двухмерные МЭР осколков деления. Среди коллективных координат, не являющихся координатами формы ядра, можно назвать, например, координату зарядовой асимметрии, задающую распределение заряда между формирующимися осколками, а также проекцию полного момента на ось симметрии [5].
Параметризация формы и седло-вые конфигурации
Удачный выбор коллективных координат определяет удобство проведения динамических расчетов, а зачастую и точность получаемых результатов. Далее речь пойдет о введении коллективных координат формы на примере использования хорошо известной {с, И, а} -параметризации [1]. В работах [1; 6] было показано, что в рамках {с, /г, а} -параметризации удается с хорошей точностью воспроизвести характеристики седловых конфигураций ядра, полученных на основе вариационных расчетов [7] в модели жидкой капли (МЖК) с резким краем поверхности ядра. Седловая конфигурация делящегося ядра определяет многие характеристики процесса, в том числе барьер деления. Координаты седловой точки находились численно из уравнений:
ôV(c,h,a = 0) ôV(c,h,a = 0)
= 0
д с дк
где V - потенциальная энергия деформации делящегося ядра, рассчитанная в одном из вариантов МЖК.
В {с, /г, а} -параметризации были выполнены статические расчеты в методе оболочечной поправки Струтинского [1], динамические расчеты МЭР в диффузион-
ной модели [8; 9], а также проведено большое количество расчетов различных характеристик деления в ланжевеновском подходе [10-14]. Эта параметризация задает трехпараметрическое семейство форм, являясь тем самым достаточно удобной для проведения трехмерных ланжевеновских расчетов. Параметр с описывает удлинение ядра (длина ядра в единицах радиуса начальной сферы R0 равна 2с), параметр
h определяет изменение толщины шейки при заданном удлинении, координата а задает отношение масс будущих осколков. Уравнение поверхности ядра в выбранной нами параметризации формы представляется в виде:
■ Bz2 ! с1 + az ! с), если В > 0;
/ \ Bcz2
az і с )е
если В < 0,
где ps (z) - полярный радиус, a Z - координата вдоль оси симметрии ядра. Величина В выражается через параметры формы ядра {с, h, а} [1] следующим образом:
с — 1
В = 2h +------.
2
Параметр As определяется из условия
сохранения объема ядра и для сплошных форм ядра имеет вид:
---, если В> 0;
5
В
P2ÁZ) =
/ 2 2 ІС — Z
[ 2 2 \С - Z
и
Xa
А =
4
З
ж
1-
2 fíe
если В < 0.
Форма ядра в {с, к, а} -параметризации заключена в пределах от гтт = —с до 2тах = С ■ Если В ЭТИХ Пределах фуНКЦИЯ
р2 (г) обращается в нуль только при г = с , то это сплошные формы ядра. Если на отрезке [г|т1|п, гтах ] появляются еще два
корня, то такие формы интерпретируются как разрывные. Остальные случаи (с нечетным числом корней в пределах [ггт1|п, 2 гт1;|Х ]) не могут считаться формами
ядра и часто называются «запрещенными», или «нефизичными» формами.
Параметризация Тренталэнжа [2] отличается тем, что в профильную функцию можно включать достаточно много как симметричных, так и асимметричных параметров. Естественно, точность результатов прямым образом связана с количеством деформационных параметров. Профильная функция в данном случае записывается так:
рЦ-)=Щ 2>,д
Vzo J
Rn
где “о - радиус сферического ядра, N -число рассматриваемых параметров, -деформационные параметры, Р„ - полиномы Лежандра порядка п, 2о - половина длины фигуры. При рассмотрении симметричных форм индексы п должны принимать только четные значения.
Расчет характеристик седловых конфигураций и их сравнение с результатами вариационных расчетов в МЖК и расчетов, выполненных с большим числом параметров деформации, является обязательным тестом для используемой параметризации. Мы сравнили свои расчеты эффективного момента инерции Jс вариационными
расчетами Струтинского [7], в которых на форму ядра не накладывалось никаких ограничений. Эффективный момент инерции определяется выражением
J eff
JA\
JL ~Ju
где
J\\ =7^ \dzp4s(z) и
16
л =— {^р,200(4^2 +р,2(Х>)
^шш
представляют собой твердотельные менты инерции ядра относительно симметрии и оси, перпендикулярной ей соответственно. Здесь все моменты инер-
мо-
оси
ции Jeff
Ju И J,
определены в единицах
момента инерции, эквивалентной по объему сферы. Результаты
т~1
расчетов и е# в зависимости от различных значений параметра х на интервале 0.1-1.0 представлены на рисунке 1.
1/J,
2,0-
1,5-
1.0-
0,5-
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1.0
Рис. 1. Обратная величина эффективному моменту инерции в единицах J~l = | —МЯ2
0 1.5 0
(закрашенные треугольники - результаты настоящих расчетов, пунктирная линия - результаты вариационных расчетов Струтинского [7])
Результаты расчетов
Проанализируем сначала МЖК с резким краем. Барьер деления определяется [1; 2] потенциальной энергией деформации ядра в седловой конфигурации
у{чЛ = ^Шч^-\) + Е^\всСч^-1) =
= Е(р [(-£>х ) -1) + 2х(Вс ) -1)],
где и 1'^'' представляют собой энергию поверхностного натяжения и куло-новскую энергию сферического ядра со-—^ ^
ответственно, В5(ц^) и вг(с/,с1) - безразмерные поверхностный и кулоновский функционалы в седловой конфигурации
соответственно, х = ЕІ0-1 / 2ЕІ0-1
пара-
коллективные ко-
метр делимости, qsd
ординаты, описывающие форму ядра в седловой точке. В МЖК удобно считать
барьер деления в единицах Е^:
Для аксиально-симметричных форм ядра в цилиндрических координатах функционалы поверхностной и кулоновской энергии определяются следующим образом
[16]:
и =А.
5 г(°)
^5
2
шах I
Е 15 г7х г г
Вс=^г=^!^ Кй
. &)
ріфріі2')™2 ф 2-2' + /
где
/ = ^(г-г’)2 + р] (г) + р] (г’) - 2рх {г)рх {г') сое ф.
Мы провели расчеты величины барьера деления для параметра делимости 0.1<х<0.9 в {с,И,а} -параметризации для МЖК. Результаты представлены на рисунке 2. Полученные нами значения сравниваются со значениями, полученными раннее в работе [2], где проводились расчеты в модели с восьмью симметричными параметрами, описывающими
форму атомного ядра.
0,25
0,20
г
0,15 0,10 0,05 0,00
В
0,8
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6
X
Рис. 2. Высота барьера деления в единицах поверхностной энергии сферической формы как функция параметра делимости в модели жидкой капли
(закрашенные треугольники - значения, полученные в настоящей статье, в {с, И, а} -параметризации. Открытые круги представляют значения из работы [2], полученные в параметризации с восемью параметрами)
Зависимость высоты барьера деления в МЖК от параметра делимости X в расчетах с разным числом параметров, описывающих симметричные формы атомного ядра
В таблице приведены полученные значения барьера деления вместе с результатами работ [2; 15; 17], в которых использовалось разное число симметричных параметров для описания формы делящегося ядра.
Проанализируем теперь другую модель, а именно модель жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил и диффузным краем. При использовании потенциала Юкава-плюс-экспо-нента при расчете потенциальной энергии ядра необходимо учитывать уменьшение ее составляющих за счет размытия края ядра. Поверхностная энергия преобразуется к виду [18; 19]:
Е=-
8тт2г2а3
-с! /• с! г2
где
— ^яО-- ^5^ )’
1 = {ТЯ-%)1А, а = 0.68 фм - параметр потенциала Юкавы. Для сферического ядра интеграл Еп может быть вычислен аналитически:
д(.0) = ЕІ
ґ а ^
1-3
Л/
^ + 1 х
2 + 3------
Я,
а
-2 / й
Для кулоновской энергии вводится поправка на диффузность края ядра. Функционалы поверхностной и кулоновской энергии в МЖК с диффузным краем преобразуются следующим образом [19]:
я5=(£,-£т+4"1)/4").
В с =Вс
АВ,
С’
X, 10'1 9 параметров [15] 8 параметров [2] 3 параметра [17] 2 параметра, наст, статья
2 0.20214 0.20217 0.21924
3 0.16924 0.16814 0.16791 0.1801
4 0.13284 0.13190 0.13236 0.1384
5 0.09535 0.09527 0.09464 0.09872
6 0.05696 0.05674 0.05747 0.05829
7 0.02236 0.02293 0.02237 0.02096
8 0.00591 0.00071 0.00605 0.00588
9 0.00071 0.00073 0.00071 0.00074
где АВС - поправка к кулоновской энергии:
15£(°) .
Абс=---------г~5 Ь
32я" і?п 3 3
2 а
-сі ггс1 г2,
Л У
где ал - параметр диффузности зарядового распределения.
На рисунке 3 представлены значения барьеров деления для МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил. Полученные значения сравниваются со значениями, полученными в работе [19], вдоль
линии бета-стабильности ядер. В работе
[19] использовалось 5 параметров для описания симметричных форм атомного ядра. Линия бета-стабильности ядер определяется соотношением между числом протонов и нейтронов[19]:
Ы-2=0АА2
А+ 200
60
S' 50 О
2 40
ссГ зо 20 10 о
О 50 100 150 200 250 300 350
А
Рис. 3. Высота барьера деления в МэВ для бета-стабильных ядер в модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил
(полученные в {с, к, а} -параметризации значения отмечены закрашенными треугольниками. Кругами представлены значения из работы [19], где использовалось пять параметров для описания симметричных форм делящегося ядра)
Заключение
Проведенное нами сравнение показывает, что {с, к, а} -параметризация очень удачна. Полученные в данной параметризации в разных макроскопических моделях статические характеристики делящихся ядер - барьеры деления - хорошо качественно и даже неплохо количественно согласуются с результатами расчетов этих же величин, проведенных с большим числом параметров деформации для параметра делимости х > 0,3 (ядер с Z >80). Приближение седловых конфигураций в {с, к, а} -параметризации также является очень хорошим. Выбранная нами параметризация достаточно точно описывает форму (эффективные моменты инерции) делящегося ядра и может быть использована в динамических расчетах по моделированию процесса деления, в том числе и для изучения распределения осколков деления [20-23].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Brack М., Damgaard J., Jensen AS. et al. // Rev. Mod. Phys. 44. 320 (1972).
[2] Trentalange S., Koonin S.E., Sierk A.J. // Phys. Rev. С 22. 1159 (1980).
[3] Adeev G.D., Gamalya I.A., Cherdantsev P.A. II
Phys. Lett. 35B, 125(1971); Adeev G.D. and Cherdantsev P.A. // Phys. Lett. 39 В. 485 (1972).
[4] Maruhn J„ Greiner W. HZ. Phys. A 251. 431 (1972).
[5] Хирьянов P.M., Карпов A.B., Адеев Г.Д. II ЯФ 71.
1389 (2008).
[6] Pauli Н.С. II Phys. Rep. 7. 35 (1973).
[7] Strutinsky V.M., Lyashchenko N.Ya., Popov N.A. II
Nucl. Phys. 46, 639(1963); Струтинский В.М., Лященко Н.Я., Попов H.A. II ЖЭТФ 43. 584
(1962).
[8] Адеев Г.Д., Гончар И.И., Пашкевич В. В. и др. И ЭЧАЯ 19. 1229 (1988).
[9] Сердюк О. И., Адеев Г.Д., Гончар И. И. и др. II ЯФ
46. 710 (1987).
[10] Karpov A.V., Nadtochy P.N., Vanin D.V., Adeev G.D. II Phys. Rev. С 63. 054610 (2001).
[11] Nadtochy P.N., Adeev G.D., Karpov A.V. II Phys.Rev. С 65. 064615 (2002).
[12] Косенко Г.И., Коляри И.Г., Адеев Г Д. // ЯФ 60. 404 (1997).
[13] Косенко Г.И., Ванин Д.В., Адеев ГД. II ЯФ 61. 416 (1998).
[14] Косенко Г.И., Гончар И.И., Сердюк О.И. и др. И ЯФ 55. 920 (1992).
[15] Cohen S., Swiatecki W.J. // Ann. Phys. 22. 406
(1963).
[16] Hasse R. W., Myers W.D. II Geometrical Relationships of Macroscopic Nuclear Physics, Berlin: Springer, 121 (1988).
[17] Nix J.R., Swiatecki W.J. II Nucl. Phys. 71. 1 (1965).
[18] Krappe HJ., Nix J.R., Sierk A.J. II Phys. Rev. С 20. 992 (1979).
[19] Sierk A.J. II Phys. Rev. С 33. 2039 (1986).
[20] Borunov М. V., Nadtochy P.N., Adeev G.D. II Nucl. Phys. A 799. 56 (2008).
[21] Борунов M.B., Надточий П.H., Адеев ГД. // ЯФ 70. 1897 (2007).
[22] Адеев Г.Д., Карпов A.B., Надточий П.Н. и др. // ЭЧАЯ 36. 732 (2005).
[23] Ryabov E.G., Karpov A.V., Nadtochy P.N., Adeev G.D. II Phys. Rev С 78. P. 047614. (2008).
