УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ одной СИСТЕМЫ ЧЕТЫРЕХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ДВУХ НУЛЕВЫХ КОРНЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 517.925

устойчивость в целом одной

системы четырех уравнений при двух нулевых корнях

Е, т. Софронов

В статье рассматривается одна система автоматического регулирования:

X = х - /(х), X = х — Ь\Х\ — ^/(х), X = X — ^Х — С2/(х),

х4 = —^х — ^/(х),

где Ъ^ и е — некоторые постоянные, /(х±) — непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшигца, /(0) = 0. Предполагается, что для системы уравнений (1) выполнены обобщенные условия Рауса — Гурвица:

Ъ{х{) > 0, А = + — [62 + с2М(х1)] >

Ъ3 + е3М(х1) > 0, [62 + е2М(х1)]Д — М2(х1)[Ъ3 + е3М(х3)] > 0,

Мх^ = при х 0.

х

Пусть

а(х1 )

-->0 при х 0.

х

В работах [1-3] рассматривались различные случаи относительно корней уравнения

А4 + рА3 + (61 + е^А2 + (Ъ2 + с2р)А + (Ъ3 + с3р) = 0. (3)

© 2008 Софронов Е. Т.

(5)

В данной работе предположим, что уравнение (3) имеет корни А1,2 = 7 ± 6г, А,4 = 0,7 6 > 0. Тогда выполняются следующие равенства:

Ь2 + с2р = Ь3 + с3р = 0, р = —27, 61 + С1р = 72 + 62. (4) Учитывая условия (4), приведем систему уравнений (1) к виду Ш= 7У1 — 6у2 — Ла{хх), Ш = 6У1+ 1У2 — Ба^хх),

Уз = Уа — С2а(хг),

У4 = — сза^г).

Линейное преобразование, приводящее систему уравнений (1) к виду (5), имеет вид

У\ = 1\Х\+ 1^X2 + 1^X3+ У2 = т\Х\ + Ш2Х2 + т3х3 + х4, У3 = х3, У± =

где

¿1 = 73 — 3-у26 — 3^62 + = 73

¡2 = ^ — 2^6 — 62, Ш2 = 72

¿3 = 7 — 6, =

Введем обозначения:

и = —^—с3>

(6 — 7)

^2 = ———С3,

+ 3726 — 3 7^ — 63, + 276 — 6.

г = (ч2 + 62)с3.

66

С>

случаи.

6.1. Ли <0, Б > 0.

6.2. Ли > 0, Б < 0.

6.3. Б ф$, ^1=0.

6.4. Ли < 0, Б < 0. 6.5 Ли > 0, Б > 0.

6.6. Б = 0, ф 0.

6.7. Л = 0, Б ф 0.

6.8. Б = 0, и = 0, ЛфО.

6.9. Л = 0, Б = 0.

Теорема 1. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур вица (2), уравнение (3) имеет корни А ,2 = 7 ± А ,4 = 0, 7 < О выполнены случаи 6.1, 6.2, 6.3 и

(Л/ +^)2 + (В/ + ^2)2

4/7

>,

(7)

где / = — А в случае 6.1; / = щ случаях 6.2 и 6.3. Тогда для того чтобы нулевое решение системы уравнений (1) было асимптотически устойчивым в целом, необходимо н достаточно выполнения условия

х1

Ит

|х |—

1ах)| + j аю ¿в =

о

Доказательство. Рассмотрим функцию

XI

(8)

V = + ^) + \у4+ Г ! ^

(9)

Ее производную, вычисленную в силу систем уравнений (1) и (5), можно привести к виду

2 / N 2п

/ Л/ -I- г,)-, \

V =

Л/ + ^ . . --—— ах1)

2/7

в/ + , ч

(Л/ +^)2 + (В/ + ш2)

4/7

(10)

— а(х!) ■

где х 5 х 5 У4 выражены через х, > У2 из тождества

—С3У4 — грх! + гх2 + + ^2У2 = 0. (11)

Так как е3 > 0 то предположению, то а<-х^ > о при хЛ ф 0, г > 0. В силу условия (7) теоремы функция V определенно положительна, а функция V знакопостоянно отрицательна, обращается в нуль там, где нет целых траекторий, кроме начала координат. Тогда если

Ит

| х | —

XI

J а(в) ¿в =

(12)

то функция V бесконечно большая и нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом [4]. Если не выполняется условие (12), то выполняется условие

lim |a(xi) | = (13)

| X\1 —>Ю

В таком случае докажем ограниченность положительных полутраекторий системы (1). Из тождества (11) имеем

r(x2 - pxi) = С3У4 - Ш1У1 - Ш2У2-

В силу отрицательности величины V |yi |, У |, У | ограничены, тогда ограничено |r(x2 — pxi)I и xx < 0 при больших |x|. Отсюда следует ограниченность положительных полутраекторий. Применяя теорему Барбашина — Красовского [4], доказываем достаточность условий (8) нашей теоремы. Теперь докажем необходимость условий (8) от противного. Пусть не выполнены условия (8), т. е.

с

|a(xi)| < M, J a(s) ds < M < + ж. о

Обозначим

сю

у аю ds = J < m.

о

Возьмем положительную полутраекторию с начальными данными

x° = 0, x04 = c3 + (72 + S*)(2M+1) + -(|uК N|)(|A| + |B|)M,

Сз Y

x x У У

x — pxi >2M для данного решения, выполняется неравенство

x - pxi >2M + 1.

Из уравнения

_ с3а(х)

¿х х — рх — ах)

следует, что > — е3. Введем обозначение

2 , 2 5 = + У2 .

Тогда имеем Пусть

Х1

5 = е м х и.

Подставляя это выражение в последнее неравенство, получим

£ < ¿(|ЛМВ|)ах)е-мхVй.

и

М \ ^ х,

/и < М)е-

Используя это неравенство, приходим к оценкам для |у1|, |у2

Ы < (|Л| + |в|)-.

1

Имеем

х — № = -[е3у4 — — №>у2]

г 1

> -

г

е3(4 — е3) — (И| + ИМ

>2 М+ 1,

ы]

когда х — рх >2М. Следовательно, вдоль нашего решения при всех £ > 0 не выполняется неравенство

х2(г) — рх^) <2М.

Отсюда следует, что выполняется неравенство

х > М + 1 и х^) ^ при ^

Это противоречит асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы уравнений (1). Доказана необходимость условий (8).

Теорема 2. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-внда (2), уравнение (3) нмеет корни А1 ^ = 7 ± 5%, А3д = 0, 7 < О, выполнены случаи 6.4-6.9 и условие

+ + + ^ 1 (14) 4/7 ]

где

1) 1= |щ| пли 1= ^ при 6.4, 6.5;

2) 1= 1 Щ1 при 6.6;

3) 1= при 6.7;

4) 1= при 6.8; /

Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (8).

/

рем либо — Щ, либо — ¡В так) чтобы выполнялось неравенство (14). Тогда функция V отрицательна. Аналогично выбираем / в случае 6.5, т. е.

/ = — или I = -—.

А В

В случае 6.8 при / = щ неравенство (14) выполняется, если

|А| ^<2 |7 К ^ +

АВ

/

(14), то функция V будет отрицательной, остальная часть доказательства теоремы аналогична доказательству теоремы 1.

Теперь рассмотрим тот случай, когда уравнение (3) имеет два нулевых и два чисто мнимых корня, т. е. А,2 = ±5г, А3д = 0, 5 > 0. Тогда

= Ьз = 0, р = 0, Ъ\ = 52.

Условия Рауса — Гурвица (2) имеют вид

c3h(x) >0, cih2(x) + (6i — c2)h(x) > 0, (cic2 — c3)h3(x) + c2(6i — c2)h2(x) > 0.

Система уравнений (5) примет вид

Ш = —¿У2 — A/(x), У2 = öyi — B/(x),

(15)

Уз = У4 — c2/(xi),

У4 = —c3/(x)

при преобразовании

yi = ö3x — ö2x — öx + x, y2 = — ö3x — ö2x + öx + x, Уз = X У4 = X.

В системе уравнений (15)

A = ö3 — ö2ci — öc2 + c3, В = —ö3 — ö2ci + öc2 + c3.

Теорема 3. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ PciyCci Гурвица (2), уравнение (3) имеет корни Aij2 = ±öi, ö3= 0, ö > 0, и c2 = 6i = ö2, cic2 — c3 > 0, c3 > 0. Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (8).

Доказательство. Возьмем в качестве функции Ляпунова V функцию, определенную равенством (9). Ее производная по t имеет вид

V = —/(Ayi + By2)/(x) — c3y4/(x) + r[x — /(x)]/(x).

Она будет отрицательной, если выполняется тождество —/Ayi — /By2 — c3y4 + rx + wx = 0.

Отсюда находим

г = 2/52(52с1 — с3), ^ = 2/54(52 — с2), Из условий теоремы следует, что

^ = 0, т = 2/52(е101 — с3) > 0, Тогда производная имеет вид

V = —сз52/2(х),

отрицательна и обращается в нуль при х = 0. Сама функция V бесконечно большая, если выполняется (12). Тогда нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом. Если не выполняется (12), то выполняется условие (13), и мы можем доказать ограниченность положительных полутраекторий. Тогда, применяя теорему Барбашина — Краковского, докажем теорему 3. Необходимость условий (8) доказывается, как раньше, от противного.

ЛИТЕРАТУРА

1. Софронов Е. Т. Об устойчивости в целом одной системы четырех уравнений в случае комплексных корней // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 93-97.

2. Софронов Е. Т. Асимптотическая устойчивость в целом в одном критическом случае // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т 9, вып. 2. С. 102-110.

3. Софронов Е. Т. Устойчивость в целом одной системы четырех уравнений в случае кратных корней // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 101-106.

4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.

А=В, с3 = —/(А + В).

/

с

с с — с

> 0.

г. Якутск

13 апреля 2005 г.