Построение области притяжения для одной системы автоматического регулирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.31

ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ

ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ*)

М, А. Иванова

1. Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений Зх Зу

— = 1г1(у)х + 1г2{х)у = Р(х, у), — = /3(ж) + 1г4(х)у. (1)

Всюду в дальнейшем предполагается, что функции, входящие в правую часть этой системы, непрерывны при всех значениях своих аргументов; /з(0) = 0 и ^(х) > 0 при х € К; выполнены обобщенные условия Рауза — Гурвица

Ь^у) + Н±(х) <$, ^1(у)^4(х) - Н2(х)Н3(х) > 0, хуфО, (2)

где Нй{х) = /3(х)/х, хфО.

После введения нового параметра т по формуле

г

т= ! к2(х(Ь))А (3)

о

получим систему

Зх Зу /3(х) Н4(х)

т = тт^х + у> т = ~т + ~ту-

Зт 112\х) Зт 112\х) П2\х)

Решения х = у = 0 систем (1) и (1') либо одновременно асимптотически устойчивы, либо одновременно таковыми не являются. Другими словами, преобразование (3) является для системы (1) допустимой заменой времени [1] по отношению к устойчивости в целом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (код проекта АОЗ-2.8-541).

© 2008 Иванова М. А.

2. Предположим, что

Мы) <0, МХ • (4)

Пусть н\{х) = ^(^(х)), где <^(х) — единственная непрерывная неявная функция, определенная уравнением р(х, у) = 0. Ясно, что функция И\ (х) определена при всех х € М.

В работе [1] доказана следующая

Теорема. Пусть выполнены условия РдьУЗдь Гурвица (2) и существуют числа г > 0, й > 0 такие, что

r(Hihn — >2(^1^4 — ^2^3)

(5)

при \х\ > й. Тогда в случае (4) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось одно пз условий:

1) имеет место равенство f Ых) |

^(а

х ^dxx

±оо

dx

(6)

2) уравнение P(x,y) = 0 определяет единственную непрерывную кривую L, проходящую через начало координат, вдоль которой

sup y = inf y = —ж. (7)

Далее предположим, что условия (6) и (7) нарушаются. Тогда возникает проблема построения области притяжения состояния равновесия. Данная проблема является одной из трудных и недостаточно разработанных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Конфигурация области притяжения существенно зависит от того, каким образом нарушаются условия (6) и (7).

Возможны следующие варианты.

I. Хотя бы одно из условий (6) и (7) выполняется при х < 0 и не выполняется при х > 0, т. е.

1Мж)1.

1 dx ■

dx

< +оо,

(8)

= +оо

1М*)|;

1 dx ■

h.

■ dx

= +00,

(9)

вир у < + ж>, х > 0, (10)

ш£ у = —то, х < 0. (11)

II. Хотя бы одно из условий (6) и (7) выполняется при х > 0 и не

выполняется при х < 0, т. е.

+оо

Г Ых)\

I -X

У ^(х)

dx ■

hx

1М*)|;

hx

1 dx ■

hx

hx

ho

dx

dx

= +ж,

< +00,

(8'

(90

sup y = +ж, x > 0,

inf y < —ж, x < 0.

III. Условия (6) и (7) не выполняются как при x < 0, так и при x > 0, т. е.

' '

hx

1 dx ■

hx hx

dx

<,

|y| < + ж, x e R.

(12) (13)

3. В случае I изучается поведение сепаратрисных кривых, ограничивающих область притяжения состояния равновесия, в I и IV координатных четвертях. Справедлива следующая

Теорема 1. Предположим, что выполняются все условия теоремы [1], за исключением (6), (7), которые нарушаются при х ^ Тогда

для дифференциального уравнения

¿у кз(х)х + к^(х)у

dx h\(y)x + h%{x)y

(14)

существуют

1) решение у = y* (x), лежащее в первой четверти и такое, что lim у* (x) = K, где K > K;

x—

y y** x lim у** (x) = —2KA.

x—

Доказательство. 1. Из условий (8) и (10) следует, что суще-

K K K

у = <^(x) < K < + ж при x > 0,

м

h2

xdx = K < +оо,

h~2

dx

K < .

(15)

(16)

Тогда существуют траектории, не примыкающие при £ ^ к началу координат. Покажем это.

Введем в рассмотрение функцию [1]

2

Щх,у) = r J

x ix

Hih^ — h2h3 1 I f h ,

--5-x dx + - у - — dx

hh

(17)

производная которой в силу системы (1')

dV { x h

—— >0 в области Di = < (х, у) : х > d, у — / dx > 2{К\ + К4 dr I J h 2

Так как интеграл

H h — h h

1 dx

сходится (см. [1]), положим

K =

H h — h h

h

dx

и рассмотрим линию уровня

V3(x, у) = rK2 + 2(Ki + K±? = K

(18)

(19)

функции (17). Вследствие (18) она незамкнута и состоит из двух ветвей, дуга одной из которых содержится в где ЗУ^/Зт > 0. Поэтому в кривая (19) пересекается траекториями (1') в сторону возрастания функции (17). Кроме того, в

в дальнейшем ее не покидают. Следовательно, решение х = у = 0 си'

преобразование (3) является допустимой заменой времени, то и реше-

ху целом.

Таким образом, существуют траектории, уходящие в бесконечность т. е. существует множество Е = {у} точек (0,у), через которые проходят положительные полутраектории, уходящие в бесконечность. Состояние равновесия системы асимптотически устойчиво по Ляпунову, Е

точную нижнюю грань у*. Обозначим через у = у*(х) положительную полутраекторию, выходящую из точки (0,у*). Очевидно, данная траектория будет точней нижней гранью траекторий, уходящих в бесконечность.

у у* х

Тогда имеется два варианта:

у у* х

тиворечит теореме о непрерывной зависимости решений от начальных

^ ¿х) > 0.

Поэтому траектории (1'), начинающиеся при £ = 0 в области

данных, ибо в любой сколь угодно малой окрестности точки N данной траектории существуют точки, через которые проходят неустойчивые траектории с монотонно возрастающей абсциссой;

2) У = У* (x) — положительная неустойчивая траектория, но при этом не уходит в бесконечность, т. е. она имеет замкнутую предельную траекторию Lg. Так как область, заключенная внутри Lq, целиком принадлежит области определения системы, внутри Lg лежит по крайней мере одно состояние равновесия, что противоречит единственности состояния равновесия.

Таким образом, y = y* (x) — полу траектория, уходящая в бесконечность. Очевидно, она удовлетворяет условию

lim y* (x) = K,

X—

где K — некоторое число, которое больше либо равно K\. 2. Рассмотрим функцию

x

V2~(x,y) = J^dx-y, (20)

о

производная которой в силу системы (1') (см. [1])

>0 при ж > 0. (21)

ат

Далее, рассмотрим линию уровня

V- = K (22)

функции (20). Решая уравнение (22) относительно переменной у, находим решение, которое обозначим через

X

yr{x) = Jhdx-Ki. (23)

о

Ввиду (16) у** (x) ^ —2K при x ^ При x = 0 имеем

у**(0) = —K.

Ясно, что кривая (25) лежит в области

D$= I (х, У) '■ x>Q, у < J

X

h4

-— dx

h

0

Так как —> 0 в этой области, кривая (23) пересекается траектори-ат

ями системы (1') в сторону возрастания функции. Введем в рассмотрение линию уровня

У3 = ^К1+гК2 (24)

функции (17). Аналогично, решая уравнение (24), получаем следующий вид нижней ветви:

X

У? (х) = J

h

о

2гК2 + К\ - 2т [ Hlhi~h2hzx dx. (25)

о

В силу (18), (16) кривая у" (х) стремится к —2^4 при х ^ При

х = 0 имеем у^* (0) = — \/2гК2 + которая лежит ниже, чем точка

(0; —К4). Кривая (25) также принадлежит области £>3. Так как <

ат

0 в области

[ X h Di = < (х, у) : х Js d, у — / — dx < 2(Ki + K4

I J h2

0

и тем более в области D3, эта кривая пересекается траекториями системы (1') в сторону убывания функции. Рассмотрим область

D5 = {(x,y) : y** (х) <y< у** (х)}.

Границы у = у** (х) и у = у** (х) области D5 являются точками строгого входа. Поэтому по теореме Важевского [2] существует хотя бы одно

решение, которое лежит между линиями уровней (22), (24). Обозна-

у у** х

решение удовлетворяет условию lim у** (х) = —2K4.

X

Следствие. Полутраектория f+(p,t), обладающая свойством

lim f+(p,t) = (+ю,К5),

t—>+^

является сепаратрисиой полутраекторией, отделяющей семейство полутраекторий со свойством

lim f+(p,t) = (+ю,К5)

t—>+^

от семейства положительных полутраеторпй f+(p,t), которые пересекают график функции

h

У = ~х (26)

h

и для которого p лежит на положительной части оси OY.

Доказательство вытекает из доказательства п. 1 теоремы 1. Так как решение y = y* (x) уравнения (14) является самой нижней из траекторий, уходящих в бесконечность при x ^ то любое решение y = y(x) этого уравнения с начальным значением y(0), удовлетворяющее неравенствам 0 < y(Ö) < y*(0), пересекает график функции (26).

y y* x

тельной полутраекторией f+(p,t), которая удовлетворяет требованиям следствия.

4. Конфигурация области притяжения существенно зависит от того, каким образом нарушаются условия (6) и (7). В случае I из условия (9) следует, что возможны два подслучая

,, Г \h3(x)\ 7 !) / , [ xdx = +оо; hx

о

2) / ЪШхАх = К7 < +оо hx

о

h

x

dx

= +оо.

^(а

Рассмотрим случай 1. Введем в рассмотрение знакоположительную функцию

х ^

VI (х, у) = [ ^Щ-х<1х + (27)

] п2(х) 2

о

V1 = Уо/2

У = у*(х)

у = —Н1х/Но

В работе [1] показано, что ¿У1(х,у) ат

Рис. 1.

< 0 при всех (х, у) £

Далее, из точки у* = у* (0) выпустим линию уровня

*2 у*

(28)

(29)

У\ (х, у) =

Она обязательно пересечет отрицательную полуось абсцисс в некото-

х*

у у* х

в направлении отрицательной полуоси абсцисс не может пересечь эту линию уровня. Тогда она пересечет отрицательную полуось Ох в некоторой точке х** > х*. Далее, возможны 2 случая:

у у* х у у* х

Рассмотрим область (рис.1)

= {(х,у) : —ж <х <+ ж, у < у* (х)}.

Теорема 2. В случае 1а) С\ является областью притяжения состояния равновесия системы (1).

х

Доказательство. Так как область G ограничена траекторией y = y* (х), обе ветви которой уходят в бесконечность, решение (x(t), y(t)) системы (1) будет всегда оставаться в том множестве (G\ ил и М2 \ G\), в котором лежит точка (хо, y), и, следовательно, не может стремиться к началу координат при t ^ если X, y0) € М2 \ G-

Пусть поэтому X, уо) € Gi, и пусть щ = 0, 0 < yo < у*. Из следствия теоремы 1 рассматриваемое решение пересечет график функции (26) в первой четверти. Затем ввиду того, что

• п h

х < U при у < ——х, h-2

оно либо будет стремиться к началу координат, либо пересечет график функции (26) в третьей четверти. Далее, так как (x(t),y(t)) не может пересечь решение y = y** (х), оно либо стремится к началу координат, либо пересечет положительную полуось ординат, причем в силу (28) ниже точки (0,yo). Таким образом, мы пришли к исходному положению. Через какое-то число оборотов вокруг начала координат {x(t), y{t)) будет стремиться к точке (0,0), в противном случае оно будет стремиться к положению равновесия по спирали. Теорема доказана.

Рассмотрим случай 16). Покажем, что траектория y = y* (х) пересекает отрицательную полуось ординат. По предположению она пересекает график функции (26). В дальнейшем в силу условия dV— /dr < 0 при х < 0 она не может пересечь линию уровня функции (20) и, следовательно, пересечет отрицательную полуось ординат в некоторой точке.

Из этой же точки выпустим линию уровня функции (27). В силу

(28) траектория y = y* X лежит ниже этой линии и при х ^ будет

y

область притяжения целиком содержит положительную полуось Ох.

Обозначим через G2 область, ограниченную траекторией y = y* (х) (рис. 2).

G

стояния равновесия системы (1).

У

У = у*(х)

у = -Н1х/Н2

Рис. 2.

Доказательство. Так как область С2 ограничена траекторией у = у* (х), обе ветви которой уходят в бесконечность, решение (ху(£)) системы (1) будет всегда оставаться в том множестве (С2 ил и М2 \ С2), в котором лежит точка (хо, у), и, следовательно, не может стремиться к началу координат при £ ^ если (хо, уо) & К2 \ С-

Пусть поэтому (хо,уо) & С2, и пусть щ = 0, 0 < уо < у*. Далее рассуждаем, как при доказательстве теоремы 2.

у

Отсюда получаем, что

2а) если у* ^ 2Кз, то линия уровня (30) функции (27) пересекает отрицательную полуось абсцисс в некоторой точке; дальнейшие рассуждения сводятся к рассмотрению случая 1: получаются области С* и С*, аналогачше областям С и С2 соответственно;

26) если у* < 2Кз, то линия уровня (30) функции (27) не пересекает отрицательную полуось Ох.

X

(30)

y* t

лутраекторию y = y* (х). Она не может пересечь линию уровня (30) в силу условия (28) и, следовательно, асимптотически будет стремиться сверху к прямой y = const > 0. Полутраектории y = y— (х) и у = у* (х) образуют траекторию y = y* (х).

Рассмотрим область G3, лежащую ниже траектории y = y* (х) (рис. 3).

G

стояния равновесия системы (1).

Доказательство. Теорема доказывается аналогично теореме 2.

5. Рассмотрим случай II, когда выполняются условия (8')^(11')-Относительно свойств траекторий в левой полуплоскости (х < 0) справедливы утверждения, аналогичные теореме 1 и его следствию. Карти-

G* G* G* G

G3, G соответственно лишь поворотом на 180° вокруг начала координат. Аналогичным образом доказываются теоремы (2)-(4) при замене х = —xny= —y.

6. Далее рассмотрим случай, когда выполняются условия (12) и (13). Аналогично рассмотренным выше случаям I, II существуют решения уравнения (14), обладающие следующими свойствами:

1)у = у!+(х), у^(0) = ую>0: lim y+(x) = K5;

X—►

2)y = yi(x), yi(0) = y2o<0: lim ytX = -K5;

X—> — ж

3) y = y— X, y—(0) = y3o<0'- Um y— X = -2K4;

4)y = y— X, y—(0) = y40 > 0 : lim y— X = K-

x—> — ж

Логически возможны 9 случаев взаимного расположения точек то, то, то, Ую на оси ординат:

6.1) ую = то, У20 = Узо;

6.2) у10 = ую, у20 > УЗО;

6.3) у10 = шо, У20 < УЗО;

6.4) у10 > у40, у2о = узо;

6.5) у10 < ^о, У20 = Узо;

6.6) ^ > ^о, У20 > УЗО;

6.7) ^ > ^о, У20 < УЗО;

6.8) у10 < ^о, У20 > УЗО;

6.9) ^ < у40, у2о < у3о-

6.1. Рассмотрим случай 6.1. При данных условиях полу траектории у = у^х и у = у-(х) образуют траекторию у = у+(х), а полутраектории у = у^х и у = у-(х) — траекторию у = тХ)- Обозначим С

С4 = {{х,у) : -то < х < + то, у2х <у < тХ)}.

С

стояния равновесия системы (1').

С

обеими ветвями уходящими в бесконечность, то решение {х(1),у(1)) системы (1') те может стремиться к началу координат при £ ^

Рис. 4.

если (жо,уо) € R \ G4. Если же (xo,yo) G G4, то, используя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 2, убеждаемся, что (x(t), ^^ ^ (0,0) при t ^ Теорема доказана.

6.2. В случае 6.2 из точки (0, yo) выпустим отрицательную полутраекторию y = y- (x). При убывании t возникает альтернатива:

а) отрицательная полутраектория y = y- (^^и t ^ —ж уходит

в бесконечность, так что x(t) ^ +ж, Hm y(t) = ci, где узо < <0;

t—

б) отрицательная полутраектория y = y- (x) при t ^ —ж уходит

в бесконечность, так что x(t) ^ +ж, Hm y(t) = с2, где 0 < ci < K5;

t—

в) полутраектория y = y- (^ри t ^ —ж описывает дугу, лежащую в правой полуплоскости (x > 0), и пересекает положительную полуось ординат в некоторой точке.

y y x y y- x y

y x y y x y y- x y y x

GG

G (G6) = {(x,y) : —ж <x <+ ж, y2(x) <y < yi(x)}. GG

G4, за исключением того, что для нее lim y2(x) = ci, где узо < ci < 0

x—

Рис. 5.

( lim У2Х = с2, где 0 < ci < K5), тогда как lim y2X = K4

x—x—

для G- Поэтому анадогично показывается, что область G (G) в случаях 6.2а), 6.26) является областью притяжения состояния равновесия системы (1').

Обращаясь к случаю в), заметим, что при дальнейшем убывании t снова возникают альтернативы а), б) и в), но в левой полуплоскости:

либо x(t) ^ —то щи t ^ —сю, а y(t) асимптотически стремится к пря-y > y <

y y— x

чет отрицательную полуось ординат в точке (0,у*). Таким образом,

y y— x

'

y y— x

у*2 > у|0. Но это невозможно, так как \у* \ < \у2оСледовательно, третья альтернатива не имеет места, и, значит, реализуются первая и GG

ограниченная траекторией у = тХ)-, G — область, которая обладает

G*

GG

'

6.3. Рассмотрим случай 6.3. Продолжаем полутраекторию y = y^ (ж) в сторону убывания t. Тогда полутраектория y = y- (ж) пройдет ниже полутраектории y = y- (ж) и будет асимптотически стремится к прямой y = const < —2К4. Полутраектории y = у^(ж) и y = y- (ж) образуют траекторию y = yi(x), а полутраектории y = y2 (ж) и y =

y- ж y y ж

Ge = {(ж,у) : —ж <ж <+ ж, у2(ж) <y < шХ) }■

Область G$ обладает теми же свойствами и конфигурацией, что и G$, за исключением того, что для нее lim уг(ж) = const < —2К, тогда

x—

G

lim уг(ж) = const > —2К.

x—

6.4. Рассмотрим случай 6.4. Из точки (0, ую) выпустим отрицательную полутраекторию y = y- (ж). Эта полутраектория при ж ^ —ж будет асимптотически стремится сверху к прямой y = const > 2К4. По-

y y ж y y- ж y y ж

y y ж y y- ж y y ж

G

Gw = {(ж, y) : —ж < ж < + ж, у2(ж) <y< ш(ж) }■

Нетрудно заметить, что область Gio получается поворотом G на 180° вокруг начала координат.

6.5. Рассмотрим случай 6.5. Из точки (0, ую) выпустим отрицательную полутраекторию у = у- (x). Возникают альтернативы:

а) отрицательная полутраектория у = у- (^^и t ^ —ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ — ж, lim у^) = const > 0;

t—У-Ж

б) полутраектория у = у- (x) при t ^—ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ — ж, lim у^) = const < 0;

t—У-Ж

в) полутраектория у = у- (x) при t ^ —ж описывает дугу, лежащую в левой полуплоскости (x < 0), и пересекает отрицательную полуось ординат в некоторой точке.

у у x у у- x у

у x у у x у у- x у у x

В случаях 6.5а), 6.56) областью притяжения будет

Gil (Gi2) = {(x,у) : —с <x <+ ж, <у < тХ }■

Заметим, что область Gn (G12) отличается от G (Gg) лишь поворотом

°

t

ва возникают альтернативы а), б), но в левой полуплоскости либо x(t) ^ щ t ^ —ж, a у^) асимптотически стремится к прямой у = const < 0, либо к прямой у = const > 0. Тогда область G13 (G14), содержащая начало координат и ограниченная траекторией у = ^(x), будет областью притяжения состояния равновесия системы (1') в случае 6.5в). Область G13 обладает теми же свойствами и конфигурацией, что и G2, G14 отличается от Gg поворотом на 180° вокруг (0,0).

6.6. Рассмотрим случай 6.6. Из точки (0, у2о) выпустим отрица-

у у- x

а) x(t) ^ lim у№) = const < 0;

t—У-Ж

б) x(t) ^ lim у(Ь) = const > 0;

t—У-Ж

У

У10

У20

Ь,\х/Ъ,2

Рис. 7.

в) полутраектория у = у- (^ри £ ^ —ж описывает дугу, лежащую в правой полуплоскости (х > 0), и пересекает положительную полуось ординат в некоторой точке.

В случаях а), б) из точки (0,ую) выпустим отрицательную полутраекторию у = у-(х), которая при убывании £ пройдет выше полутраектории у = у- (х) и будет асимптотически стремиться сверху к у>

у у х у у- х у

у х у у х у у- х у у х

В случаях 6.6а), 6.66) областью асимптотической устойчивости состояния равновесия системы (1') будет область (рис. 7)

^15 (С16) = {(х,у) : —ж < х < + ж, у2(х) <у< ух(х)}.

Рассмотрим возможность в). Возникает вопрос: каким образом полутраектория у = у2(х) пересекает положительную полуось ординат? Возможны три случая:

уу

у у

В случае bi полутраектория y = y- (x), монотонно убывая, асимптотически стремится сверху к прямой y = const > 2K4. Полутраектории y = y^(x) и y = y- (x) образуют траекторию y = y2(x). Обозначим через On область, содержащую начало координат и ограниченную траекторией y = y2(x). Эта область обладает той же конфигурацией, что и O*2.

y y x y y- x y y- x

образуют траекторию y = y2 (x). Область Oi8, содержащая точку (0,0) и ограниченная траекторией y = y2(x), будет областью притяжения состояния равновесия системы (1') в случае 6.6в2 (рис. 8).

В случае вз полутраектория y = y- (x) при убывании t будет лн-

y>

бо пересечет отрицательную полуось абсцисс и будет асимптотически стремиться сверху к прямой y = const < 0. Полутраектории y = y2(x),

y y- x y y x

начало координат и ограниченную траекторией y = y2(x), обозначим

O O O O

конфигурацией, что и O2 (O8).

6.7. Рассмотрим случай 6.7. Из точки (0, ую) выпустим отрица-

тельную полутраекторию y = y- (x). Она, монотонно убывая, будет асимптотически стремиться сверху к прямой y = const > 2K4. Из точки (О, У20) также выпустим отрицательную полутраекторию y = y- (x), которая при убывании t будет асимптотически стремиться снизу к прямой y = const < —2K4. Полутраектории y = yf{x) и y = y- (x), а так-

y y x y y- x y y x y y x

соответствеппо. Обозначим через G2i область притяжения состояния равновесия системы (1') в случае 6.7:

G2i = {(x,y) : —ж < x < + ж, y2(x) <y< yi(x)}.

Свойства и конфигурация области G2i те же, что и у G15, за исключением того, что для нее lim y2 (x) = const < —2K4, тогда как

x—У-Ж

lim y2(x) = const > —2K4 для Gi5.

x—У-Ж

6.8. Рассмотрим случай 6.8. Из точки (0, ую) выпустим отрица-

y y- x

а) отрицательная полутраектория y = у- (^^и t ^ —ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ —ж, Hm y(t) = const > 0;

t—У-Ж

б) полутраектория y = у- (x) при t ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ —ж, Hm y(t) = const < 0;

t—У-Ж

в) полутраектория y = у- (^ри t ^ —ж описывает дугу, лежащую в левой полуплоскости (x < 0), и пересекает отрицательную полуось ординат в некоторой точке.

В случаях а), б) из точки (0,y2o) выпустим отрицательную по-

y y- x

ai), Ъ\) отрицательная полутраектория y = y-(x) при t ^ —ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ +ж, lim y(t) = const < 0;

t—У-Ж

a2), Ъ2) полутраектория y = y-(x) при t ^ —ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ +ж, y{t) = const > 0;

t—У-Ж

аз)) Ъз) полутраектория y = y-(x) при t ж описывает дугу, лежащую в правой полуплоскости (x > 0), и пересекает положительную полуось ординат в некоторой точке.

Полутраектории у = у^(ж) и у = у- (ж), а также y = ^(ж) и у = у- (ж) образуют траектории у = y\{x) и у = у (ж) соответственно. В случае ai), 6i) областью притяжения будет область

G22 (G23) = {(ж, у) : -ж < ж < + ж, й(ж) < у < у^ж)}•

Область G22 обладает теми же свойствами и конфигурацией, что и G15, за исключением того, что для нее lim у (ж) = const < 2K4, тогда как

x—

для Gis

lim у2(ж) = const > 2K4,

x—>+ ж

G23 получается из G15 поворотом на 180° вокруг начала координат. В случаях а,2), Ъ2) областью притяжения будет область (рис. 9)

G24 (G25) = {(ж, у) : -ж < ж < + ж, у2(ж) <у < ш('ж)},

GG В случаях аз), Ъ3) полутраектория у = у-(ж) либо при t ^ —ж уходит в бесконечность так, что ж^) ^ —ж у^) = const > 0,

í—у — Ж

либо пересекает отрицательную полуось абсцисс и будет асимптоти-

у<

GG

ниченную траекторией у = у2(ж). Область G26 (G27) обладает теми же свойствами и конфигурацией, что и G2 (Gg).

t у у- x

либо уходит в бесконечность так, что x(t) ^ +ж, lim у^) = const <

t—У-Ж

О, либо пересечет положительную полуось абсцисс и будет асимптотически стремиться снизу к прямой у = const > 0. Обозначим через G28 (G29) область притяжения, содержащую начало координат и ограниченную траекторией у = у!^). Область G2g (G29) обладает теми же свойствами, что и G2 (G14).

6.9. Рассмотрим случай 6.9. Из точки (0, ую) выпустим отрица-

у у- x

а) отрицательная полутраектория у = у- (x) при t ^ —ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ — ж, lim у^) = const > 0;

t—У-Ж

б) полутраектория у = у- (x) при t ^—ж уходит в бесконечность так, что x(t) ^ — ж, lim у^) = const < 0;

t—У-Ж

в) полутраектория у = у- (^ри t ^ —ж описывает дугу, лежащую в левой полуплоскости (x < 0), и пересекает отрицательную полуось ординат в некоторой точке.

В случае а), б) из точки (0, у2о) выпустим отрицательную полутра-

у у- x

прямой у = const < —2К4. Полутраектории у = у^ (x) и у = у- (x),

у у x у у- x у у x

у = m{x) соответственно. Через G30 (G31) обозначим область

G30 (G31) = {(x,у) : —ж < x < + ж, у2^) <у < m(x) }■

Область G30 (G31), обладающая теми же свойствами и конфигурацией,

что и область G15 (Gi6), повернутая на 180° вокруг (0,0), будет обла-

'

6.96).

В случае в), как и в случае б.бв), возникает вопрос: каким образом полутраектория пересекает отрицательную полуось ординат? Возможны три случая:

уу

В2) точка пересечения совпадает с точкой узо; В3) точка пересечения лежит ниже точки

Полутраектории у = у+(х) и у = у- (х) образуют траекторию у = У!(х).

В случае bi) полутраектория у = у- (х), монотонно убывая, асимптотически стремится снизу к прямой у = const < 2К4. Область, содержащую начало координат и ограниченную траекторией у = у(х), обозначим через G32. Область G32 обладает той же конфигурацией, что и G2.

у у х у у- х у у- х

разуют траекторию у = у\ (х). Тогда область притяжения G33, содержащая начало координат и ограниченная траекторией у = ш(х), будет областью притяжения состояния равновесия системы (1'). Область G33 получается из Gig поворотом на 180° вокруг начала координат.

GG

держащая начало координат и ограниченная траекторией у = у(х).

GG G G °

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров И. Г., Иванова М. А. К устойчивости в целом нулевого решения одной автономной системы второго порядка. I // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 24-32.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

г. Якутск

26 января 2004 г-