Асимптотическая устойчивость в целом в случае кратных корней Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ В СЛУЧАЕ КРАТНЫХ КОРНЕЙ

3, И, Мыреева

В статье рассматривается система уравнений автоматического регулирования вида [1-5]

' X = х - 1(х1), X = X — Ь\х\ — ^/(хх),

Х4 = х5 - Ъгхл - сг1(хл), „ Хь = -Ъ±хл - Ciffa), где Ъг, с (« = 1,4) — const, f(xi) — непрерывная функция при любых х1, удовлетворяющая условию Липшица, f(0) = 0.

Пусть для (1) выполнены обобщенные условия Рауса — Гурвица: h (х^ = h > 0,

Д2(h) = h^ + cxh) - (Ъ2 + c2h) > 0,

Д3(h) = (Ъ2 + c2h)A2(h) + Щ_(ЪА + cAh) - ЦЪ3 + c3h)\ > 0,

A4(h) = (Ъ3 + c3h)A3(h) - Q>4 + c4h)

x[(Ъг+ cih)A2(h) - hQ>3 + c3h) + (Ъ4 + cAh)] > 0, „ A5(h) = (Ъ4 + c4h)A4(h) > 0

при x ф 0, где Ыхл) = f . Киоме того, пиедположим. что

p — const, p > 0, Ъз + pc3 = Ъ4 + pc± = 0, c4 > 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта ректора Якутского государственного университета.

< х = х - Ъ2хг - ),

(1)

(3)

© 2008 Мыреева 3. И.

Пусть характеристическое уравнение соответствующей линейной системы уравнений

Л5 + рЛ4 + (Ьг+ рс!) Л3 + (Ъ2 + рс2) Л2 + (Ь3+ рс3)Л + Ъ4 + рс4 = О

имеет корни

Л1 = Л2 = 7 < Л3 = Л < 0 и Л4 = Л5 = 0. (5)

При таких условиях будем исследовать систему уравнений (1) на асимптотическую устойчивость в целом. С помощью преобразования вида

Ш = (74 + 13)х1 + Зч2)х2 + + 27)х3 + (7 + 1)х4 + х,

У2 = 4^X1+ Ч3Х2+ Ч2Хз+ 4X1+ X,

УЗ = Л4Х + Л3Х2 + Л2Хз + Лх4 + X,

У4 = Х4,

У5 = Х5

приводим систему уравнений (1) к виду

• у1=чу1+у2 - Аа (х), У2 = 1У2 - Ва (х), Уз = Лу3 - Са (х), Уь = Уь - сза (х), { Уь = -с±а (х),

(6)

(7)

где

А = В + 473 + 3^72 В = 7' С = Л4 + с!Л: Введем обозначения:

4 , 3 , 2 с17 + с27

сЛ

• 2с27 + с3, ■ с37 + с4, с Л с .

(8)

Л 2 Л7 (7 - Л) г = - Л 7 с4, < = —-—с4,

Л27 - Л72 + Л2 - 2Л7 <¿2 = -5-с4

(Л - 7)

(Л - 7)'

,<

(9)

(Л - 7)'

с.

7

Теорема 1. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-впца (2), условия (3) н одно пз условий:

1) А > О, <В < О, С < О,

<< 7 В - 4А <

2) А > О, <В < О, С > О,

7В - 4А < ^Т >°;

А > < В > С <

< < < <

-7В - 4А < 7 В +4А Г + 7<>°;

А > < В > С >

-7в- 4А < в;+7<>0;

А < < В < С <

<<

-7 В - 4А > А < < В < С >

< < А

—^---г + ^—<

<< "7 В - 4А >

2< < V , , А ^ П

"7 В -—)+7В<<>0;

А < < В > С <

< < А

'---г 4- ^—<

<<

7 В - 4А > V В - м]^ Т^«2 + 7< - 2 > ; А < < В > С >

- Й>0' ^В -4А1|Г

< < А ( <С\ А 9

— —— I I г Н--— I + 7В<1<2 + 7<2 - А< > и.

Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия

Ит

|ах |'

¿в

.

(10)

Доказательство. Возьмем функцию

XI

V = + ку1 + НУ1 + У1 ) + г ! а(в) ^ (И)

о

и производную по Ь, вычисленную в силу систем уравнений (1), (7). Ее можно представить в виде

з

V = /17У1+^27У2+гзАуз + /1У1У2 — ^ + Ук — га2^) (12)

к=1

с учетом тождества

—С4У5 + г (х2 — рх±) + + Ш2У2+ <зУз = 0. (13)

Здесь ¿1 = А, 3.2 = В, ¿з = С. Тождество (13) приводит к системе уравнений:

' + + ^74 + «зА* = рг,

+ З72) + + <А3 = —г, + 27) + Ш212 + <зА2 = 0, <1(7 + 1) + Ш2Ч + «зА = 0,

< + <¿2 + <¿3 = С4.

Из последних трех уравнений находятся значения <, < 5 <з • А первые

г

Функция (12) отрицательна, если

1

1г>0, 1 = 121112 — -1*>0, 13>0, 1г+ <)2 + ^ук{В12 + <2?

(14)

1.

— - ш1)(В12 + <)

I

4А1-

-{С1з + <з)2 > 0.

Во всех восьми случаях в качестве 1\, ¿2, 1з возьмем выражения

<

/ _ < А ¿я . <1

ВфО, к = |С|, СфЪ.

Тогда в силу условий теоремы функция V будет знакоотрицательной и в нуль обращается там, где нет целых траекторий, кроме состояния

равновесия x = 0. Кроме того, из V ^0 следует, что вдоль траекторий |yk | ^и t > t0 ограничены (k = 1, 2,3, 5). Из (13) имеем

Х2 - px\ = -{-Uiyi - Ш2У2 - ^зУз - C4y5). (15)

r

Ограниченность правой части (15) влечет ограниченность |x - px|-

Отсюда если lim |a(x)| = ж, то xx < 0, т. е. |x(t)| огранн-

| x | —

чена при t ^ +ж. Отсюда вытекает ограниченность положительных полутраекторий.

± сю

Если J a(s) ds = ж, то функция V бесконечно большая, о

В обоих случаях из теорем Барбашина — Красовского [2] следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения системы уравнений (1). Доказана достаточность условия (10).

Теперь докажем необходимость условия (10) от противного, т. е. пусть не выполнено условие (10), тогда существует число М такое, что

|a(xi)| < M, J a(s) ds < M < + ж. (16)

Обозначим / a(s) ds = I. о

Возьмем положительную полутраекторию с начальными данными:

С4 С4

И К|ДК|А7 I) N | |в| ^ |с I

72 |7 I И

(17)

х§, х®, х% находятся из уравнений = 0, у% = 0, у§ = 0.

Из первых трех уравнений (7) найдем оценки для |у\ (¿) у (£) |уз (£) |, а у5 — из уравнения

¿у5 -с4о: (х) .„,.

-— = --—- при х2 — рх М.

ах X — Рх — а (х1)

Тогда

Ы*)I < |В| + |Л7|), |у2(*)| < Т~\М|В|, Т |71

Ы*)I < щм 1СI, у5ыг)) > 4 — а.

Отсюда, учитывая (13), (17), будем иметь

х2 (*) — Р%1 (*) М + 1 щи всех * ^ *о

для данной положительной полутраектории. Тогда

х\ ^ М + 1, Ж1 (*) ^ при * ^

Существование такой траектории противоречит устойчивости в целом и показывает неверность нашего предположения (16). Теорема доказана полностью.

Теорема 2. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-впца (2), условия (3) и одно из условий:

1) А = 0, ш2В < О, С < О,

1 9 „

7 V — 4

2) А = О, ш2В <0, С > О,

1м3С Ви^ < 0 или г -I---— <

Л Л и>2

3) А = О, и2в >0,С<0,

1 (2 1 А 2^ 1 2 ^п 4 17^ — -Ш\Ш2 I 7 + > 0;

4) А = О, ^В > О, С > О,

. ^3С 2 1 А 2 , 1 2^п

^ Н--— > 0; 4 I 7^2 — -Ш\Ш2 I 7 + >

Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (10).

Доказательство. Пусть выполнены условия 1. Возьмем функцию вида (11) и производную по вычисленную в силу систем уравнений (1), (7), которая имеет вид (12), где

юч (¿з

¿1 = 0, ¿2 = В, ¿з = С, /2 = — в, /з = —

Тогда функция V отрицательна при условиях

/= (—7в —I ^) /^

1 9 1 ,9 9^2 1

/г — I7В^ = —I— гВг/1 — I7в

Последнее неравенство выполняется, если

(18)

2 1

4Ш2 2 1 2Ч п /1П\

7 — ^> (19)

Из условий 1 следует, что это неравенство возможно и существует /\ < —472 ПРИ которой V <0.

Пусть выполнены условия 2, /2 = — /з = С* Тогда фупкция V

отрицательна, если справедливы неравенства

/= (——() /^

1 2 1 ^3С ( ^3С\ ( 1 2 2^2, А 1 ^2 2 ^ П /г — 47 В ^ + 4^^ = ^ + —; \ 4^ — 7 В ^ — 47 В ^ > ^

(20)

Пусть г + Тс < 0- Тогда уравнение

1 ( I /2 ( , ^С^ 2^2, 1 ^2 2 п ,01ч

—I ^+—; ^— ^+—;7 в ^ —I7 в ^=0 (21)

имеет один положительный и один отрицательный корни, при этом положительный корень меньше выражения

—47аВ (22)

Отсюда следует, что существует /1 > 0 такое, что функция V отрицательна. Если

шчС В^>?

г + Ч— > Т^-,

А

то уравнение (21) имеет два положительных корня и наибольший корень меньше числа (22). Отсюда если число 1± лежит между этими корнями, то функция V отрицательна.

Пусть выполнены условия 3, 12 = В' ¿з = — т^. Тогда функция V отрицательна, если

1.

(23)

, 2 1 I ,

Y ~r + ) 'i

1 2 ^ п IYB-1

В

Последнее неравенство выполняется при 1\ = 472ТВ- Поэтому существует ¿1 такое, что функция V отрицательна.

Пусть выполнены условия 4, 12 = В» ¿з = ТС- Тогда функ ция V отрицательна, если

1.

/= i-^B -i п^0-

lr ■

1 ^2 9 4YB^

2, , Y^2n — — 1\Ш\Ш2 ~г l—г— 2 Л

(24)

2

Л У1

C \ 9

l

B

■

l

1 2 ^ n

При выполнении условий 4 теоремы эти неравенства выполняются при li < 4y2 B Отсюда следует, что функция V отрицательна.

Из (13) имеем (15). Из ограниченности правой части (15) следует

ограниченность |x — pxi Отсюда если lim |a(x) | = го, то xx <

| x | —

О, т. e. |x (t) | ограничена при t ^ +го, откуда вытекает ограниченность положительных полутраекторий.

± сю

Если J a (s) ds = го, то функция V бесконечно большая, о

В обоих случаях из теорем Барбашииа — Красовского [2] следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения системы уравнений (1). Этим доказывается достаточность условия (10) теоремы.

Теперь докажем необходимость условия (10) от противного. Тогда М

Возьмем положительную полутраекторию с начальными данными

х^ — 0, х^ — С4

(2М+1)г М

ИI |В| ИI |В| и|СI 72 Ы |А|

(25)

сс

х х х у у у .

Из первых трех уравнений (7) найдем оценки для |у]_(£)|, |у2(^) |уз(£) | ^ а у5 — из уравнения

¿у5 _ — с4а (х!)

¿х х — рх — а (х!)

при х — рх ^2М.

Тогда

| < |В|, |у2(;)| < |В|, Г |7|

|Ы*)| < |А|М|С^(хй) > 4 — с4.

Отсюда, учитывая (13), (25), будем иметь

х (£) — рх ^2М + 1 щи всех 4 ^ ¿о для данной положительной полутраектории. Тогда х ^ М+1, х (¿) ^

Существование такой траектории противоречит устойчивости в целом и показывает неверность (16). Теорема доказана полностью.

Теорема 3. Пусть выполнены обобщенные

УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-

внда (2), условия (3) и одно из условий:

1) А > 0, В = 0, С < 0;

2) А > 0, В = 0, С > 0,

I

г -I--— > 0;

А

3) А < О, В = О, С <0, 72г + > 0;

4) А < О, В = О, С > О,

7

-

7А^ > 0.

Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (10).

Доказательство. Во всех случаях берем

1 =

Ш1

А

1?, =

шз

С

Докажем эту теорему в случае 4, остальные случаи доказываются аналогично. Возьмем функцию V, определенную равенством (11), производная которой по £ имеет вид (12). Она отрицательна при выполнении неравенств

/ ( 2, 1 | ^ п 1=А 7/2 "I "А '

А

• 7 ¿2^1

1 2

1

2 А

(26)

> 0.

Последнее неравенство представим в виде

Ш1

А

+ 7А^1

, 1 ^2 2

Ь---

2 А 1

, 1 2 + 37Т-2

1 2 1

¥)>0-

Так как А > 0 и выражение, стоящее внутри квадратной скобки, положительно, то это неравенство выполняется при больших положительных ¿2-

В всех случаях V либо бесконечно большая, либо любая положительная полутраектория ограничена. Из теоремы Барбашина — Кра-совского [2] следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения системы уравнений (1). Доказана достаточность условия (10).

1

Теперь докажем необходимость условия (10) от противного, т. е.

М

выполняется (16).

Возьмем положительную полутраекторию с начальными данными

■ ||А71 , ^|С|■

I2 |Л|

(27)

С4 С4

х§, х®, х% находятся из уравнений = 0, у2 = 0, у% = 0.

|у * |у * |

|у * |, у

&Уь _ —е4а(х!)

¿х\ х2 — рх\ — а(х\)

Тогда

при х2 — рх1 ^2М.

ы*)| ^М|А7|, |у2(*)| <0,

Ы*)| < |Л|М^|, у5ы*)) > 4 —

Отсюда, учитывая (13), (27), будем иметь

х (*) — рх (*) ^2М + 1 щи всех * ^ *о для данной положительной полутраектории. Тогда х ^ М +1, х (*) —

+ ^ Щ)И * —> +ГО.

Существование такой траектории противоречит устойчивости в целом и показывает неверность нашего предложения (16). Теорема доказана полностью.

Теорема 4. Пусть выполнены обобщенные

УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-

впца (2), условия (3) н одно пз условий: 1) А >0, и2В <0,С = 0,

2^2 „ п

7 В — 4А <

2) А >0, и2В >0,С = 0,

( 2 \ , 2 ^ п I7 -В+4А)Г + ^2>0;

3) А < О, ш2В < О, С = О

> ^2

7

В

а

—^ + <0;

4) А < О, ^В > О, С = О,

7

В - 4А

>0, ('

^2 \ 9 /А

7" — — — ) г + 7^ + ^^ 7 — — 1 | > и.

ВА

В

Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (10).

Доказательство. Во всех случаях в качестве /1, /2 возьмем числа

/ =

А

¿

и>2

В

Докажем эту теорему в случае 3, остальные случаи доказываются аналогично. Возьмем функцию V, определенную равенством (11), производная которой по £ имеет вид (12). Она отрицательна при выполнении неравенств

/ = — а^ВПА^0' /г — 7В^

Последнее неравенство перепишем так:

3 > 0.

А/

(28)

" А

9 1 \

ГВ+4А г + ^В

3 > 0.

А/

По условию теоремы выражение, стоящее внутри квадратной скобки, отрицательно, тем самым

2 1^1 7В + 4А <а

Отсюда следует первое неравенство, а второе неравенство выполняется

/

Из теоремы Барбашина — Красовского [2] следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения системы уравнений (1). Доказана достаточность условия (10).

Теперь докажем необходимость условия (10) от противного, т. е.

М

выполняется (16).

Возьмем положительную полутраекторию с начальными данными

х? = 0, = 04 •

(2М + 1)г М

К |(|В| + |А7 |) ||В| 72 + |7|

,

С4 Сц

х х х у у у .

|у * | |у * |

|у * | у

¿у5 —с4а(х1)

¿х\ х — рх\ — а(х\)

при х — рх\ М.

Тогда

Ы*)| < 1м(|В| + |А7|), м*)| < ^М|В|,

г |71

уз(*)=0, ^(хй) ^ ^ — С4. Отсюда, учитывая (13), (29), будем иметь

х (*) — рхг (*) ^2М + 1 щи всех * ^ *о

для данной положительной полутраектории. Тогда х ^ М+1, х1 (*) — +го при * — +го.

Существование такой траектории противоречит устойчивости в целом и показывает неверность (16). Теорема доказана полностью.

Теорема 5. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-впца (2), условия (3) н одно пз условий:

1) А= В = О, С < 0;

2) А = В = 0, С > 0, г + >0;

3) А < 0, В = С = 0, 72 аг + ШЪ > 0; А > В С

5) А = 0, В < 0, С = 0;

6) А = 0, В > 0, С = 0;

7) А = В = С = 0.

Тогда для асимптотической устойчивости в целом пулевого решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно выполнения условия (10).

Доказательство. Возьмем

/

Ш1

А

А ^ 0, /2 =

В

в ^ о, /3 =

шз

С

, С .

Докажем эту теорему при предположении, что выполнены условия 1 и 2.

Возьмем функцию (11). Ее производная (12) в случае 1 отрицательна, если выполнены неравенства

/ = 12кк — |/? >0,

/г + Т7/2"? + 11к"2 — т/1"1"2 = ( 72/1г + т7"? )/2 4 4^4 у 4 '

+ -(7"| — "1"2— -г/?г > 0, 4у 7 4

в случае 2 отрицательна, если

(30)

/г

"зС

/ = ^кк — |Я > 0,

— ^к" + — 7/1",--- /1""

4 4^4

(31)

12к г

"3С\ , 1

к + т(7"2 — "1"2)/1

4

--/

*С)>„.

/

/

положительным, что возможно при

"С

3

>.

При так выбранных ^ функция (12) отрицательна. Рассмотрим следующие два условия. Если А < 0, то 1\ = А> и выберем /2, ¡з так, чтобы

1 = 12кк — |/? >0,

(32)

А 2^1 , 2Л , 1(о 2\ 1 ^ п

(7 Аг + 7^ Г2 — 2^2 - А — 4ГА .

Если А > 0, то /1 = — А> и выберем /2, /3 так, чтобы

/ = ^ — т/? > 0, ¡г — ^7^-1 + т^32 > 0. (33)

/ = 12кк — | /?>0,

^72/1г + |(7^2 — 1Ш2— |г/

///

(34)

Тогда в силу условий теоремы функция V будет знакоотрнцатель-

ной.

Во всех случаях из теорем Барбашина — Красовского [2] следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения системы уравнений (1). Доказана достаточность условия (10).

Доказательство необходимости условия (10) теоремы проводится от противного. При выборе начальных данных полутраекторий в равенстве (17) А, В С заменяются соответствующими значениями, указанными в теореме.

Таким образом, теорема доказана полностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Плисс В. А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1958.

2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959.

3. Варбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

4. Софронов Е. Т. Устойчивость автономных систем в критических случаях. Новосибирск: Наука, 2000.

5. Мыреева, 3. И. Асимптотическая устойчивость в целом в одном критическом случае // Лучшие доклады научной конференции студентов ЯГУ (30 мая 2003 г.). Якутск: Изд-во ЯГУ, 2004. С. 39-45.

г. Якутск

28 апреля 2005 г.