Краевая задача для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции в конечной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ СИСТЕМЫ ЧЕТЫРЕХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ ОДНОГО НУЛЕВОГО И ПАРЫ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ Е, Т. Софронов

В статье рассматривается одна система автоматического регулирования четвертого порядка:

где bi, ci (i = 1, 2, 3) — const, /(xi) — непрерывная функция.

Для того чтобы составить обобщенные условия Рауса — Гурвица, заменим функцию /(xi) на hx\ и составим характеристическое уравнение, рассматривая систему уравнений (1) как линейную систему уравнений. Тогда характеристическое уравнение имеет вид

Тогда при х\ ф О обобщенные условия Рауса — Гурвица выражаются в виде следующих неравенств:

Xi = х2 - /(xi), Х2 = Хз — b\X\ — ci/(xi), Хз = х± — b2x\ — C2/(xi), Х4 = —b3xi — c3/(xi),

(1)

A4 + hA3 + (bi+ cih)A2 + (b2 + c2h)\+b3 + c3h = 0.

△ = hfa+cxh) — (b2 + c2h) > 0, Д2 = △ (b2 + c2h) — h2(b3 + c3h) > 0, △ =△ (b3 + c3h)>0, h>0.

(2)

© 2009 Софронов E. T.

Предположим, что

a(*i)

f(x 1) = pxi + a(xi), p — const,--> 0 при x\ —> 0.

X\

Заменив /(xi) этим выражением, составим характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы:

Л4 + pЛ3 + (Ьг+ сгр)\2 + (b2 + C2p)\+b3 + c3p = 0. (3)

Система уравнений (1) рассматривалась при различных предположениях относительно корней характеристического уравнения [1—4]. Нашей задачей является исследование нулевого решения системы уравнений (1) на асимптотическую устойчивость в целом в случае, когда уравнение (3) имеет такие корпи: Л <0, Л,з = ±вь Л4 = 0, где в > 0. Такой случай возможен при следующих соотношениях: h + с3р = 0, Ai = -р, Л2 з = ±y/bi + cip ■ i = ±/3i,

(4)

b2 + c2p = p^ = p(bi + cip). Обобщенные условия (2) при xi ф 0 примут вид

Ai = ci

a

x

x

. a(xi)

+ (b\ 2cip — C2) > 0,

x

axi)\ ( «ыуаы

Д2 = Д1 [Ь2 + с2р + с2 ——- - с3 [р Н—-—- ——- > 0,

V X ) \ X ) XI . а(х1) а(ж!)

Л3=с3^-^>0, где р Н--> 0. (5)

X XI

С помощью замены переменных у\ = А|х1 + А|х2 + А1Х3 + Х4, у2 = -03Х1+ рх3, уз = —@2Х2 + Х4, У4 = Ж4 приведем систему уравнений (1) к виду

VI = МУ1 - Аа(х1), У2 = @Уз + Ъа(х1),

(6)

Уз = -рУ2+ Ъа{х1), У = -^ах), где А = А| + с^ + С2А1 + с3, 71 = в3 - вс2, 72 = в2С1 - сз-

Будем рассматривать следующие случаи: 1) < 0, 2) > 0, 3) = 0 А # 0, 4) # 0, А = 0, 5) А = 0, ^ = 0, 6) 'ю1ф 0, ад = 0. Здесь

^ ДЗ л „2

го 1 = —-—, го = 71 р — 72А1Р . А

Докажем следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-внда (5), соотношения (4) н прн х\ ф 0 выполнены неравенства

Тогда нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова вида

о

где I, к — постоянные. Производная этой функции, вычисленная в силу системы уравнений (1), (6), представима в виде

— 1с%у^а(х1) + то(х!)(х2 — рх! — а(х\)). Эта функция будет отрицательной только тогда, когда —7Ш — 12Уг + 1с3у4 — тх2 + трхх ху

—71У2 — 72Уз + 1с3у4 — тх2 + трх\= юхг + югуг.

Сравнивая коэффициенты при х^ с учетом замены у^ через х^, получим систему уравнений

(8)

= кМу\ — кАуха^хх) + (7^2 +

•уг/З3 + тр = ю + у2/2 — т =

— у\3 = —+ 1с% =

Из этой системы уравнений находим

Из условий Рауса — Гурвица и из неравенства (7) следует, что

a(XlK n ^ л ua

с3- > 0, w- > 0 при xi ф 0.

XX

Производная функции V то времени t примет вид dV f hA + W! ~

-di = liXi {yi-^ra{xi)

. . ff (M + Wi)2 \ . . \

- ) x II r H---j a(x\) + wx i j .

Пусть l\ = — Тогда мы имеем

-jj- = l\Xiyl — a(xi)(ra(xi) + wx i).

Из условий теоремы следует, что ^ ^ 0. Возможны следующие случаи:

1) с3 > 0, r > 0,2) с3 > 0, r < 0, 3) с3 < 0, r < 0, 4) с3 < 0, r > 0.

V

большая. Поэтому выполняются все условия теоремы Барбашина — Красовского [5], тогда нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом. Если выполняется второй случай, то

a(xi) w 0 < ——- <--при х\ ф 0.

Xr

Если выполняется четвертый случай, то существует положительное число k такое, что

a (Xi j

—к < - < 0 при х\ ф 0, к — const.

X

V

тельна и бесконечно большая. Тогда, применяя теорему Барбашина — Красовского, доказываем нашу теорему.

Теорема 2. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-внда (5), соотношения (4) и при х\ ф 0 выполнены неравенства

а{хА (( \ а(хх) А

Ашх > 0, —— г + —- —^ + ад >0.

X \\ \\ ) хЛ )

Тогда пулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Возьмем функцию Ляпунова (8), где пусть

>Л)1

А

1\ = ^т* • Тогда имеем

= ¿1 Ах ^г/1 - -^-а(жх)^ - а(жх) ^г + «(^1) + гожх

В силу условий теоремы ^ не больше и обращается в нуль там, где нет целых траекторий, кроме начала координат. Если сз > 0, г ^ 0 или сз < 0, г ^ 0, то функция V определенно положительна и бесконечно большая. Тогда, применяя теорему Барбашина — Красовского, доказываем нашу теорему. Пусть с3 > 0, г < 0. Тогда ад > 0 и

0 < <--д— = ^ при Х\ ф 0.

XI г +

Представим функцию V следующим образом:

X1

V = V + г У (а(в) - 4 в) ¿е. о

Можно показать, что функция V определенно положительна и бесконечно большая. Тогда сама функция V определенно положительна и бесконечно большая, и теорема доказана. Аналогично можно доказать теорему при с3 < 0, г > 0.

Теорема 3. Пусть выполнены обобщенные

УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ

Гур-

впца (5), соотношения (4) н = 0, А ф 0. Тогда нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Так как и>1 = 0, то 71 = 0, г = 72/З2, / = ■ = — и условия Рауса — Гурвица при х ф 0 имеет вид

а(х1) . ах1) А «(х1)\

Д1 = С1-^ >0,

х X \ )

Д2 = 72 —- ПН---—1 >0, С3 —- > 0.

X \ ) х\

Отсюда следует, что сз, 72, г имеют один и тот же знак и / > 0. Возьмем функцию Ляпунова (8), а ее производная по времени £ примет вид

¿V , / А . Л2 а^) /7 М2N . . N

■Ж = 11X1- ^АГа(ж1)) - ^Г Цг + 1л7; а(ж1) + ™Х1 ■

Она отрицательна, если сз > 0 и > 0, достаточно мала. Если сз < 0,

йУ

м

то ^ < 0, если при Ж1 ф 0 и достаточно малых > 0

■ ах

-Р <--^ < < О-

г + жг

Здесь ■ = рг. Сама функция V определенно положительна и бесконечно большая. Поэтому все условия теоремы Барбашина — Красовского выполняются, следовательно, теорема доказана.

Теорема 4. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гурвица (5), соотношения (4) н А = 0, ■ ф 0,

1 и> > 0 при х\ Ф 0, (9)

4/1А1 / XI

Где /1 — достаточно большое положительное число. Тогда нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Уравнение

«(^Л хз , (г. , „ „ , „ а(х1) хх

А4 + р + ——- А3 + ( + с\р + с\ —А

ах ах

С2Р + А + ^ = 0

хх

Ь

при А = 0 примет вид

(A-Ai

з a(xi) 2 / 2 с2 а^) c3a(xi)\ ^ a^i)

Л н--Л + Р ------"2- Л ~~ --

x \ A x A x / A x

= 0.

Тогда при х ф 0 обобщенные условия Рауса — Гурвица можно представить так:

«ы>0> ^ + ^ _ ^ + ^ > о,

х\ А1Х1 \ / X / х1

т. е.

с3 > 0, ^>0, -(с2А1+Сз)^^ + /32А? + СзА1 >0. (10)

X XI

Отсюда следует, что

в

1> 0, w > 0, /З2Af + c3Ai > 0, w= '-^{р2+ \\){р2\\ + c3Ai). Функция

A

2 / / 2

^ =/1Л1 (» - ) ~а(Х1) {{г+жк)а{Х1)+тХ1

отрицательна в силу неравенства (9). Если г ^ 0, то функция V определенно положительна и бесконечно большая. Применяя теорему Бар-башина — Красовского, доказываем нашу теорему. Если г < 0, то, исходя из условия (9), можно показать, что функция V определенно положительна и бесконечно большая. Таким образом, и в этом случае доказывается наша теорема.

Теорема 5. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гурвица (5), соотношения (4) н = 0, А = 0. Тогда нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Из доказательств теорем 3 и 4 следует, что выполняются условия (10) и г > 0, т > 0. Дальнейшее доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4.

Теорема 6. Пусть выполнены обобщенные УСЛОВИЯ РсЬУСсЬ Гур-

■А

выполняется неравенство

г+(К|зёпА + ч)* ^

4А ■ |

Тогда нулевое решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво в целом.

■А

г = 72 + А) = /ЗЧ^+Аг).

Из условия Рауса — Гурвица следует, что

0, — (с2А1 + с3) > 0, А1+С1>0, г > 0.

Возьмем функцию V вида (8), где / = 0. Производная этой функции по времени £ будет отрицательной при больших положительных а сама функция V определенно положительна. Если А ф 0, ■ ф 0, то выберем ¿1 = Тогда в силу (11) функция ^ знакоотрицательна, а сама функция V определенно положительна. Если функция V в обоих случаях бесконечно большая, то теорема доказана. Если V не бесконечно большая, но все положительные полутраектории ограничены, то, применяя теорему Барбашина — Красовского, доказываем теоре-

х

то эта траектория ограничена при £ ^0. Если же положительная полу траектория не пересекает гиперплоскость х = 0 щи всех £ ^ Т, то так же можно показать, что эта полу траектория будет ограничена при £ ^ Т. Ограниченность этой полутраектории следует из ограниченности |уз(£) | при £ ^ го. Таким образом, теорема доказана полностью.

■■

ЛИТЕРАТУРА

1. Софронов Е. Т. Об устойчивости в целом одной системы четырех уравнений в случае комплексных корней // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 1. С. 93—97.

2. Софронов Е. Т. Асимптотическая устойчивость в целом в одном критическом случае // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 102-110.

3. Софронов Е. Т. Устойчивость в целом одной системы четырех уравнений в случае кратных корней // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 1. С. 101-106.

4. Софронов Е. Т. Устойчивость в целом одной системы четырех уравнений при двух нулевых корнях // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 93-100.

5. Варбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

г. Якутск

9 апреля 2009 г.