CC BY
23
УДК 5179 Е. М. НАЗАРУК
Омский государственный технический университет
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
Для указанного в названии класса линейных систем доказан прямым методом Ляпунова критерий экспоненциальной устойчивости в Н'-топологии. Приведен иллюстрирующий пример.
Ключевые слова: Пространство Соболева, Н'-устойчивость, функционал Ляпунова.
1. Работа является продолжением выполненных в последние годы исследований по прямому методу Ляпунова для функционально-дифференциальных уравнений [1—6]. Рассматривается задача Коши
x (t ) = I[d sR(s,t)]x(t - s) + |[d sТ(s,t)]x(t - s) (t > 1),
I [0,1]
д] = рє E = H1([0,1]^ C").
(1)
Здесь R, Т : [0,1] x [1, ю) ^ C"
R абсолютно непрерывна по s, | R'| < const,
s=1
V (Т) < ю, Т < const, Т(0, t) = 0,
s=0
Rs, Т непрерывны по t.
(2)
существует
Igdf и
|gdf =bb gf'dt.
Оба утверждения без труда переносятся на векторно-матричный случай.
Далее |'|— эрмитова норма в CN, так же обозначается согласованная с ней матричная норма; End E — множество линейных непрерывных операторов E^ E .
3. Функции феЕ абсолютно непрерывны [10, с. 253], в частности, однозначно определяются данными p(t), p(0). Далее феЕ отождествляется с этой парой:
ф~
ф
po
, ф = ф є H0 = L2 ([0,1] ^ Cw), Po = р(о) (3)
Имеет место однозначная разрешимость задачи Коши (1) в классе функций х : [0, <») ^ С, принадлежащих Н1 на каждом отрезке полуоси [0,ю);класс таких функций далее обозначается Л1. В автономном случае это следует из результатов в [7], в случае (1) является следствием выполняемых далее построений.
В работе [6] рассматривается задача Коши вида (1) для подкласса систем (1) Устойчивость решений линейных систем нейтрального типа. Доказан, в рамках прямого метода Ляпунова, критерий экспоненциальной устойчивости в Н1-топологии в терминах операторных неравенств сведением к такой же задаче для разностного уравнения в фазовом пространстве Н1[0,1]. Данная работа посвящена переносу результатов работы [6] на более общий случай функционально-дифференциальной системы (1) нейтрального типа.
2. Приведем для удобства ссылок два используемых далее факта из теории интеграла Стилтьеса.
ЛЕММА 1. [8, с. 323]. Если f, д : [а, Ь] ^ С имеют ограниченное изменение на [а,Ь] и f О С [а,Ь], то
Операторы из End Е представляются в «базисе» (3) операторными матрицами второго порядка.
Определим скалярное произведение в Е формулой
ф,у) = Jl/> ф dt + ^0ф0.
Нетрудно убедиться, что соответствующая норма
ІФІІ2 = II Ф|2 dt + |ф0|
топологически эквивалентна стандартной норме в Е.
4. Пусть х(^ — решение класса Н1 системы (1). Применение к первому интегралу в (1) — с учетом абсолютной непрерывности Я по 5 — леммы 2 и ко второму интегралу — с учетом абсолютной непрерывности функции у( (5) — последовательно лемм 1 и 2 дает:
|[dsR(s,t)] x(t - s) = | Rs(s,t)x(t - s)ds
(4)
при этом
|^Т(s, t)] x(t - s) = | Т(s, t)x(t - s)ds + Т(1, t)x(t - 1)
]fdg = fg\b - Igdf.
ЛЕММА 2. [9, с. 359] Если f абсолютно непрерыв-
на на [а, b] и существует
I Sdf,
(учтено Т (0,t) = 0). Построим по решению xє H 1 последовательность функций
xn (t) = x(t + n), 0 < t < 1,
Z+
(5)
Подставляя (4) в (1), записывая, при фиксированном £е[0,1], полученное равенство в точке t+n, п>1 и,
а
а
0
2
0
0
n є
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
23
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014
представляя интегралы в виде сумм интегралов по [0,і], [і, 1], после вычислений получим уравнение на функции (5):
і
Хп (і) - | К(б, і + п)хп (і - Б)ds =
0
1
= |К(б,І + п)Хп-і(і + і - Б)йБ + Т(1,І + п)хп-і(ґ ), (6)
К (б, і ) = R's(s(і) + Т (б,і ).
Функция х : [0, <х>) ^ (См является решением класса Н 1 системы (1) точно тогда, когда все функции (5) принадлежат Е, удовлетворяют уравнению (6) и условию согласования
Хп (0) =Хп_, (1). (7)
Запишем систему (6) — (7) с хп є Е в «базисе» (3). Введем вектор
5. Операторная матрица
xn (t)'
xn (0)
Z+
Замены в интегралах (6) соответственно s~t—s, s~1 + t—s и учет соотношений 1 1
р(:) = ф(я)ds + р(1), р(1) = |р(я)ds + р(0) (ре Е)
( о
приводят после вычислений систему (6) — (7) к виду
10 ч A - о ‘-ч TnS - Bn rnS' дают
0 I zn = S I zn-1, (9)
(Io - An )-1 (^S - Bn) (I - An )-1 rnS
SI
F =
Fl F2S SF* F
F1,F2 є End H0, F0 є CNxN, (13)
с эрмитовыми F0, F1 задает с учетом 5’*=5’ в Н0 эрмитов оператор в Е.
ЛЕММА 5. Пусть при некотором с > 0 имеют место оценки
F0 > cI, A = Fl - F2F0-1F2* > cI0.
(14)
(8)
(12)
Тогда при некотором С > 0 имеет место оценка Т > С1Е , где 1Е — единица в Е.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем 8 > 0 столь малым, что
А = А - еТ2 Т0-1 Т2* > ~ 10, с > 0.
Имеет место равенство Т = Т + 0, где
F =
'a 0 " , в =
0 eF0 _
F2 Fo-1 F2 <~2
s F; ~
~ f
F = о 0 1 + е ■
Очевидно ~ > CIE где С = min{с, e(l + є)1 с}.
Легко получить:
в = Z
F F~
SF12 Fo
Z * Z =
F2~o-12 O'
0I
ть рє Е, ¥ = Z p = [¥, ¥0
вычисления
где 10, I — единицы в Н° и С14 , операторы Ап, Вп, S: И0^И0 и матрица Гп даются формулами
t
Апф = |К^ - 5, t + п)ф(5)ds,
0
1
Брф = |[Т(1, t + п) - К(1 +1 - 5, t + п)]^Э(s)ds,
t
>$ф = Jрo(s)ds, ,Гп (t) = Т(1, t + п). (10)
0
ЛЕММА 3. Оператор 10 —Ап имеет равномерно по п ограниченный обратный Н°^Н°.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится повторением доказательства, аналогичного утверждению в [6] с учетом вытекающей из (2) оценки |K|<const.
Из леммы 3 и доказанной выше эквивалентности системы (1) в классе хеН 1 и системы (9) для вектора г еЕ вытекает
п
ЛЕММА 4. Задача Коши (1) в классе функций хеН 1 эквивалентна разностной задаче Коши
гп = Лпгп-1 (п > ^ г0 = Ре E, (11)
где ф, гп — векторы (3), (8), Лп — матрица
{вРР) = Jw| + 2ReV>* Fol2 ¥0 +
Fol2 ¥0
ds >
¥0
ds > 0
тем самым 9 >0. Лемма доказана.
6. Будем говорить, что решение х = 0 задачи Коши (1) экспоненциально устойчиво в Н1-топологии, если это свойство имеет место для решения zn = 0 разностного уравнения (11): для решений задачи Коши (11) с любой феЕ верна при некоторых ц, v> 0 оценка
II II -v (n-m)|| II / ,-.4
Ы| < Me у zj (n > m > 0).
Обозначим J класс операторных матриц Fn:
End Е со значениями вида (13), удовлетворяющих требованиям
К = Fn , ai IE<Fn<a2 h (a > 0) (15)
Поставим в соответствие матрице Fn е J эрмитову форму
n) = {Fnpp), Рє E.
(16)
с операторами (10) .
СЛЕДСТВИЕ. Задача Коши (1) однозначно разрешима в классе Н 1.
Разностная производная о( гп, п) — о( гп1, п—1) формы (16) вдоль траекторий системы (11) после подстановки гп=Лп гп-1 и замены гп-1~ф принимает вид
й(р, п) = (Орр, р, Сп = Л*п Еп Лп - Еп-1. (17)
ТЕОРЕМА. Для того чтобы решение х=0 уравнения (1) было экспоненциально устойчиво в Н1-то-пологии, необходимо и достаточно существование
zn =
T
2
}
Л n =
матрицы FnєJ такой, что эрмитова форма (11) равномерно отрицательна:
Gn < -а ІЕ (а = сопбі > 0).
(18)
Представим функцию Ь-\б\ рядом Фурье на [-1,1]:
Ь - | б | = Ь----сп cos ПЖБ,
2 п = 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится, с небольшими отличиями, по схеме, примененной в [6] при доказательстве критерия устойчивости для подкласса систем (1); в [6] матрица Лп в разностном уравнении (11) имеет такой же вид (12) с операторами А,, Вп частного вида.
ПРИМЕР. Рассмотрим задачу Коши
21 -(- 1)п ] (пж)2
> 0.
(24)
Подставляя в (23), с учетом равномерной сходимости ряда (24) получим
х(і) = | б Х (і - б) йБ + ах (і) + Ьх (і - 1), (і > 1),
0
х| [01] = <р є Е = Н1([0,1] ^ ]&), а, Ь є ]^.
И-^Ь - 2 + 1 с, (,
2 п-1
+ > сп (cos ПЖБ • cos жі +
(19)
+ ПЖБ • пж
і)
/(б)/(і)йБ йі =
Уравнение (19) имеет вид (1) при R = яу2 ,
Т = 0 при я = 0; Т = а при 0 < я < 1;
Т = а + Ь при я = 1.
Требование (2) выполняется очевидным образом. Покажем: при условиях
|/(Б )
Б ) йБ
+ Х с,
|СОБ ПЖБ • /(б) йБ
| БІП ПЖБ • /(б) йБ
2\
> 0,
+ Ь < 0, < Ь < ^2 + //'12
(20)
решение х=0 уравнения (1) экспоненциально устойчиво в И1 -топологии. Здесь К(я)=я+Т(я), уравнение (11) имеет вид
что означает выполнение (22). 20. Положим в (21)
(і0 - А*)(і0 - а) -(і0 - A'r)ГS - SГ(і0 - А) Г2 - Г
= Л 2,-и Л =
(10 - А )-1(ГБ - В) (10 - А )-1 ГБ Б І
А = | (і - б + а) • йБ, В = | [Ь - (1 + і - б)] • йБ,
Г = а + Ь .
Требование (18) означает существование матрицы Ее J такой, что матрица
(21)
Проверим выполнение условий леммы 5. В проверке нуждается второе неравенство (14). Из (22), в частности, следует А + А* < 0 (учтено Г < 0 ). С учетом этого имеем
А = (10 - А*) (10 - А) - (I - А*)Г(Г2 - Г)-1Г(I - А) =
= ф0 + А*А-(А + А*)]> 5 10,
где 5 = (1 +| Г |) 1. В силу леммы 5 для матрицы Е верна
нижняя оценка (15). Верхняя оценка (15) следует из ограниченности Е. Тем самым Ее^
30. Подстановка в (21) дает
равномерно положительна.
10. Покажем, что при Ь > 12 выполняется неравенство
- G
(і0 - А*)(І0 - А) + ГБ - В'В А'Г Б
БГА
Г Б - (А+А*)>0. Имеем: при їєН0
(22)
і
[ГБ - (а + А*)] / = (а + Ь)|/йБ -
0
і 1 | (і - б + а)/йБ + І (б - і + а)/ йБ
0і
1
= І (ь - І і - Б |) / йБ,
Проверка условий леммы 5 здесь также сводится к оценке оператора (14). Вычисления с учетом (22) дают
А = І0 - В*В + ГБ - (А + А*) >
> І0 - В"В > 1 - В І0 >
(• - В Г)
> ] 1 - І[Ь - (1 + і - Б)]2йБ | І0
= | 1 - |(Ь - б)2йБ І І0 > 10,
тем самым форма
ш (/) = ([гБ - (а + А*)] //)Н0 = 1 1
= Я(Ь - | і - Б | ) /(б) /(і) йБйі.
(23)
где 5 = 1 - |(Ь - я)2ds. Нетрудно показать: при 0
условиях (20) на параметр Ь будет 5 > 0. В силу леммы 5 матрица (21) равномерно положительна, тем самым выполнено условие (18) теоремы, что и требовалось.
с
ш
0 0
2
2
+
п=1
0
0
+
0
0
2
0
0 0
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
25
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014
Библиографический список
1. Алексенко, Н. В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа / Н. В. Алексенко // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2000. — № 2. — С. 3-6.
2. Алексенко, Н. В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Н. В. Алексенко, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. — 2001.— Т. 37; № 2. — С. 147-153.
3. Романовский, Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский, Г. А. Троценко // Сибирский математический журнал. — 2003. — Т. 44; № 2. — С. 444-453.
4. Троценко, Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г. А. Троценко // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2003. — № 1. — С. 43-50.
5. Павликов, С. В. Знакопостоянные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа / С. В. Павликов // Математические заметки. — 2008. — Т. 83; № 3. — С. 417-427.
6. Романовский, Р. К. Прямой метод Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа
в пространстве Соболева / Р. К. Романовский, Е. М. Назарук// Доклады Академии наук высшей школы РФ. — 2013. — №2(21). — С. 6-15.
7. Власов, В. В. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории / В. В. Власов, Д. А. Медведев// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2008. — Т. 30. — С. 3-173.
8. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 542 с.
9. Эванс, Л. К. Уравнения с частными производными / Л. К. Эванс. — Новосибирск : Изд-во «Тамара Рожковская», 2003. — 560 с.
10. Мышкис, А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис. — М. : Наука, 1972. — 352 с.
НАЗАРУК Елена Маратовна, аспирантка кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики, старший преподаватель кафедры высшей математики.
Адрес для переписки: [email protected].
Статья поступила в редакцию 11.02.2014 г.
© Е. М. Назарук
Книжная полка
51/П39
Плохотников, К. Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB: курс лекций: учеб. пособие для вузов по специальности 010701.65 «Физика» / К. Э. Плохотников. — 2-е изд., испр. — М. : Горячая линия -Телеком, 2013. — 496 с.
Изложены основные теоретические положения вычислительных методов, особое внимание уделено развитию у студентов практических навыков программирования классических вычислительных алгоритмов. В качестве среды программирования выбран пакет МА^АВ, отличающийся простым в употреблении языком программирования и огромной библиотекой уже имеющихся программ для разного рода расчетов. В курсе из 15 лекций приводятся и разбираются 124 учебные программы МА^АВ, на базе которых разработаны две контрольные работы, содержащие 180 задач. Для удобства читателей учебные программы, рассмотренные в книге, доступны на сайте издательства. Книга подготовлена на основе курса лекций «Вычислительные методы», прочитанного автором на физическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Для студентов вузов; будет полезна инженерам и преподавателям.
51/Ф33
Федосеев, В. В. Экономико-математические методы и прикладные модели : учеб. для вузов по направлениям подгот. «Экономика» и «Менеджмент» для бакалавров / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И. В. Орлова ; под ред. В. В. Федосеева. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Юрайт, 2013. — 328 с.
Изложена система экономико-математических и математико-статистических методов и моделей для решения широкого класса теоретических и прикладных задач анализа и прогнозирования социально-экономических процессов. Теоретическое рассмотрение указанных моделей сопровождается конкретными числовыми примерами. Приведены вопросы, задания и упражнения для контроля усвоения изучаемых тем. Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения. Для студентов и аспирантов экономических направлений и специальностей, преподавателей дисциплин экономико-математического цикла, а также для практических работников в области финансово-экономической деятельности.
