Об устойчивости решений линейных автономных дифференциально-разностных систем в пространстве Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 47-51.

УДК 517.9

Е.М. Назарук, А.М. Романовская

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

Исследуется устойчивость решений задачи Коши для указанного в названии статьи класса систем с начальными данными в пространстве Соболева Н1. Подход состоит в сведении к такой же задаче для разностного уравнения в фазовом пространстве Н1. Прямым методом Ляпунова доказан критерий экспоненциальной устойчивости в Н1-топологии в терминах операторных неравенств. В качестве следствия для подкласса таких систем доказан достаточный признак экспоненциальной устойчивости в терминах коэффициентов.

Ключевые слова: сведение к разностному уравнению, матричное представление операторов, Н1-топология, функционал Ляпунова.

1. Постановка задачи. Схема решения

Работа является продолжением исследований по прямому методу Ляпунова для систем с распределенными параметрами, выполненных в последние годы группой сотрудников и аспирантов Омского государственного технического университета [1-15]. Рассматривается задача Коши для линейной системы ФДУ запаздывающего типа:

* (t) = £ Akx(t - ak ) t ^ 1

k=0

[0,1]= Е = H1 (H CN )

(1)

Здесь Ак - матрицы порядка М 0 = а 0< а1 <... < аг = 1. Из дальнейшего следует однозначная разрешимость задачи Коши (1) в классе функций х: [0, х) ^ С * , принадлежащих Н1 [а,Ь] при каждом [а, ¿]с[0, да) . Класс

таких функций далее обозначается Н1. Исследуется устойчивость решений системы (1) в Н -топологии. Подход состоит в сведении к такой же задаче для разностного уравнения в фазовом пространстве Е = Н1 [0,1]. Построен вариант прямого метода Ляпунова применительно к этой ситуации.

Укажем основные опорные пункты выполняемых построений. Далее

| • | - эрмитова норма в С *, так же обозначается согласованная с ней

матричная норма.

1. Функции фе Е абсолютно непрерывны [16, с. 253], в частности,

однозначно определяются данными ф(?), ф(0). Далее феЕ отождествляется с соответствующей парой: ф

у

%

ф = ф е Н0 = Z2([0,1] ^CN), %0 =%(0) .

(2)

Операторы из End E представляются операторными матрицами второго порядка. Скалярное произведение в Е определяется формулой

%,y) = \y % dt + WV

(3)

© Е.М. Назарук, А.М. Романовская, 2013

Нетрудно убедиться, что ассоциированная с (3) норма

И2 = \\Ф\г dt+к

(4)

топологически эквивалентна стандартной норме в Е.

2. Показано, что задача Коши (1) в классе H1 эквивалентна разностной задаче Коши в Е вида

un = Г un-1 (n Є Z + ) U0 = РЄ E (5)

где Г є End E, p -вектор (2),

' Xn (t)_

u =

x

(0).

x„ (t) = x(t + n), t є [0,1]. (6)

Отсюда, в частности, следует однозначная разрешимость (1) в классе H1.

3. Будем говорить, что решение x = 0 уравнения (1) экспоненциально устойчиво в H1- топологии, если это имеет место для решения и = 0 уравнения (5): для решений задачи Коши (5) верна оценка

Il II ^ -vin-m) Il II

INI 1 JUm||

(v = const > 0; n > m > 0). (7)

Зафиксируем операторную матрицу F e End E со свойствами

F* = F, SiIE < F <s2IE

(sk = const > 0). (8)

Здесь и далее операция сопряжения и операторные неравенства в End E понимаются в метрике (3), Ie - единица в End E. Построим эрмитову форму:

v(<p) = {Fpp), Е . (9)

Разностная производная и (un ) - и (un_1) формы (9) вдоль траекторий системы (5) после подстановки un = Гип1 и замены

Un_1 ~ p принимает вид

и (p) = (Gp,p%, G = Г*FГ _ F. (10)

В работе получено необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости в терминах пары (F, G) . В качестве

следствия для подкласса систем (1) доказан достаточный признак экспоненциальной устойчивости в терминах коэффициентов.

2. Две леммы

Записывая равенство (1) в точке t + n, t е [0,1], n е Z+ и используя обозначение (6), получим

*n (t )=Z„ Axn (t _ ak ) +

+ Zl Akxn_1 (1 + t _ ^, (11)

где в сумму ^0 входят слагаемые, отвечающие значениям индекса k таким, что ak < t; в сумму ^1 _ остальные; в случае

t = 1 ^ 1 = 0. Функция x: [0,<»)^ CN являет-

ся решением класса Н1 уравнения (1), если все хп е Е, удовлетворяют (11) и условию

согласования

xn (0) = Xn—1 (1) (12)

Запишем систему (11)-(12) для функций xn є E в «базисе» (2). Представляя xn в (11),

(12) через xn, хп (0), после простых вычислений приведем (11), (12) к виду

То 4S + Bi А S I

где ип — вектор (6), I — единица в End CN ,

A = ІАк, (14)

I - Bo 0

0 I

u„ =

un-1 , (13)

k=0 10 ч tt0

операторы Bk, S : Н ^ Н даются формула-

t-ak

В0И = Z0 Ak f И (s)ds

0

1+t-ak

вИ = L Ak f $(s)ds,

(15)

S ф = f ф (s)ds .

Лемма 1. Оператор I - В0 имеет ограниченный обратный Н0 ^ Н0 .

Доказательство. Достаточно доказать оценку

В0У|<

/ \ n n

(ar) t

(n -1)!

(/є H°, t є [0,1], n є Z+), где a = max| Ak |. При n = 1 имеем

t It

|B0/ < arf I /ds < ar f | //2 ds ■

(16)

t 1 f ds < art21I /||

Предполагая оценку (16) верной с заменой n на n-1, получим

/ \n t 3

(ar )

I B/\ < ar f I B0n 1 / ds:

0

= (ar )ntn

(n -2)!

(n - 2)in - 2

откуда следует требуемое.

Следствие. Задача Коши (1) в классе

функций х е Н1 эквивалентна разностной задаче Коши (5), где Ып - вектор (6),

ми

2

0

H

2

Г =

(I — Во)—1 ( AkS + Bi) (I — Во)—1А S I

(17)

A, Bk, S _ матрица (14) и операторы (15).

Будем говорить, что операторная матрица F е End Е равномерно положительна, если F эрмитова и F >s 1Е при некотором s > 0.

Пусть F имеет вид

" A B"

SB* C

F =

(18)

где A, B е End H0, C _ матрица порядка N, при этом

A* = A, C* = C, C > 0. (19)

Обозначим

Д = A _ B C lB*. (20)

Лемма 2.

I. Операторная матрица (18) с элементами (19) эрмитова в метрике (3): F * = F.

II. Матрица (18) равномерно положительна тогда и только тогда, когда оператор (20) равномерно положителен: Д>81 при некоторомЗ > 0.

Доказательство утверждения I проводится прямым вычислением с учетом определения (3) скалярного произведения в Е. Доказательство утверждения II проводится повторением с небольшими видоизменениями доказательства аналогичного утверждения для эрмитовой блок-матрицы

a Ъ\

(см. [4, с. 8]) с учетом легко прове-

ряемого неравенства

(3).

I I S I

> 0 в метрике

3. Признаки устойчивости

Обозначим П класс операторных матриц F е End Е со свойствами (8).

Теорема 1. Решение x = 0 уравнения (1) экспоненциально устойчиво в Н -топологии тогда и только тогда, когда при некоторой F еП операторная матрица G эрмитовой формы (10) равномерно отрицательна:

G = ГFГ _ F < _а1Е (а = const > 0) .(21)

Доказательство. Необходимость. Пусть решение x = 0 экспоненциально устойчиво в Н1-топологии. В силу данного в п. 1 определения это означает выполнение оценки (7) для решения (6) задачи Коши (5) с матрицей (17). Из (7) с учетом формулы

un = Г np

вытекает оценка

||Гn|| </ue-vn, n е Z +.

Построим операторную матрицу

F = ±(Г *)n Гn.

Имеем:

F* = F, L < F <-

2v E ’

1 — e

да

Г * FГ = Х(Г *)n Гn = F — I

п=1

тем самым Е еП и для матрицы

О = Г*ЕГ - Е верна требуемая оценка (21)

при а = 1. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть при некоторой Е еП имеет место оценка (21). Без ограничения общности можно считать а<е2, где е2 - постоянная (8) для Е . Из формулы и -и , = (Оы ,,Ы Л, и =и(ы )

п п-1 \ п-1’ п-1/1 п \ п /

для разностной производной формы (9) на решении уравнения (5), оценки (21) и правой оценки (8) вытекают неравенства

и - и . < -а II ы Л2, и . < е21| ы Л2,

п п-1 || п-1 || ’ п-1 2 || п-1 || 5

откуда легко получить

(22)

Пусть 0 < m < n. Из (8), (22) вытекает цепочка неравенств

<u < qn—mvm <є2 qn

Отсюда

V ' S2 ,

следует

1i -1

v = — in q . 2

оценка

(7) при

Достаточность доказана. Теорема доказана.

Рассмотрим задачу Коши для подкласса систем (1):

X (г) = Ах () + А1 х (г -1), х| [01] = ф е Е. (23)

В этом случае

г

а = А) + 4, Вкф = Ак|ф (5)<*, к = 0,1.

0

Теорема 2. Пусть в (23) а;= Ак, А < 0, 0 < А < I, А < 0. (24)

Тогда решение х = 0 уравнения (1) экспоненциально устойчиво в Н1 -топологии.

Доказательство. Из (24) легко получить:

А2 - А > 0, I - А <(1 + | А |) I,

В0 + В * = А Б > 0, А15 > 0 .

Обозначим

"(I - В0*)(! - В0) -(I - В0*)А"

- БА! - В0) А2 - А

Матрица Е имеет вид (18), при этом с

учетом А = А и первого соотношения (25) выполняются требования (19). В силу первой части леммы 2 Е* = Е. Подстановка

F =

(25)

(26)

элементов Е в (20) и учет второго и третьего соотношений (25) дают

Л = (I - В0*)(! - В0 )-

-(I - в;) а (а2 - а)-1 а (I - В0) =

= ( - В0 )•(I - А)-1 (I - В0 )>

>(1+| А )-1 [ I-(В0 + в*)+в;в0 ]>(1+| а| )-11.

В силу второй части леммы 2 для матрицы Е имеет место нижняя оценка (8). Верхняя оценка следует из ограниченности Е . Тем самым Е еП.

Подставляя в (21) выражения (17), (27) для матриц Г, Е и получая прямым вычис-

т-1*

лением выражение для матрицы Г в метрике (3)

г *

(о АкБ + В ) - Во*) I БЛ(і - В*) I

после вычислении с учетом очевидного равенства

і

^о ЛкБ + В1 = ЛБ - В, В 3 = Л1 ^ ,

получим

-С =

(I - В0*)(! - В0) + ЛБ - В*В В0*Л

БАВп

(27)

Эта матрица также имеет вид (18) с элементами вида (19). Вычисления по формуле (20) дают:

Л = I + АБ-(В0 + В0*)-В*В = I + ДБ - В* В,

откуда, ввиду ИI =1 В'1 < | А11 < 1 и последней оценки (25), следует

Л<8^ 8 = 1 -|А112 > 0.

В силу второй части леммы 2 матрица (27) равномерно положительна; тем самым выполнено требование (21) теоремы 1, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Замечание. Ранее в работе [3] (см. также книгу [4]) был доказан признак слабой экспоненциальной устойчивости в С-тополо-гии для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами в терминах матричных неравенств; термин «слабый» означает, что скорость экспоненциального убывания зависит от начального возмущения. В [17] исследовалось асимптотическое поведение решений автономных систем (1) первым методом Ляпунова, доказан критерий экспоненциальной дихотомии в С-топологии в терминах расположения на плоскости нулей некоторой трансцендентной функции комплексного переменного. В [18] этот результат распространен на линейные автономные системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. № 6. С. 1290-1292.

[2] Алексеенко Н. В. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем ФДУ запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. 2000. № 2. С. 3-6.

[3] Алексеенко Н. В., Романовский Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 2. С. 147153.

[4] Романовский Р. К., Алексеенко Н. В., Добровольский С. М., Кириченова О. В. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами. Омск : Изд-во ОмГТУ. 2001. 80 с.

[5] Романовский Р. К., Троценко Г. А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. № 2. С. 444-453.

[6] Троценко Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы ФДУ нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. 2003. № 6. С. 7781.

[7] Макарова И. Д. Об устойчивости стационарных режимов в химическом реакторе с кипящим слоем катализатора // Вестн. Ом. ун-та. 2003. № 2. С. 16-18.

[8] Романовский Р. К., Воробьева Е. В., Макарова И. Д. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Сиб. журн. индустр. математики. 2003. Т. 6. № 1. С. 118-124.

[9] Макарова И. Д. Об - устойчивости стационарных режимов в реакторе с кипящим слоем катализатора при реакции нулевого порядка // Докл. АН ВШ РФ. 2004. № 1. С. 20-27.

[10] Добровольский С. М., Рогозин А. В. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46. № 1. С. 98-105.

[11] Рогозин А. В. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве с почти периодическим оператором // Докл. АН ВШ РФ. 2006. № 1 (6). С. 24-32.

[12] Мендзив М. В., Романовский Р. К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48. № 5. С. 1134-1141.

[13] Мендзив М. В., Романовский Р. К. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими по времени коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 2. С. 257-262.

[14] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1125-1134.

[15] Бельгарт Л. В. Об одном классе индефинитных функционалов Ляпунова // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». 2010. № 3 (93). С. 11-13.

[16] Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск : Тамара Рожковская.

2003. 560 с.

[17] Назарук Е. М., Романовская А. М. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши

для системы дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами // Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 4. С. 45-49.

[18] Назарук Е.М., Романовский Р.К. Спектральный критерий экспоненциальной дихотомии для линейной автономной системы функционально-дифференциальных уравнений // Докл. АН ВШ РФ. 2012. № 1 (18). С. 19-27.