CC BY
8
УДК 517 9
Р.К. Романовский, R.K. Romanovsky
Е.М. Назарук, Е.М. Nazaruk, e-mail: [email protected]
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
Omsk State Technical Univeisity, Oui^k., Russia
ДИХОТОМИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА
DICHOTOMY OF SOLUTIONS ТО LINEAR NONAUTONOMOUS DIFFERENCE-DIFFERENTIAL SYSLEMS IN SOBOLEV SPACES H1
Для указанного в названии статьи класса систем доказан прямым методом Ляпунова достаточный признак экспоненциальной дихотомии в Н" — норме сведением к такой же задаче дтя разиосгаого уравнения в простралстве Н" . Приведен иллюстрирующий пример.
For the Title of article class of linear systems is proved by the direct method of Lyaptmov exponential dichotomy sufficient criterion H1 — normal reduction to the same problem for a differential equation in the space H1 . An illustrative example.
Ключевые слова: H1 — топология, дшо/полтя, индефинитный фунюрюнал Ляпунова
Keywords: н1 — topology dichotomy, indefinite Lyaptmov functional
Работа является продолжением выполненных в последние несколько лет исследований по теории экспоненциальной дихотомии для подклассов эволюционных уравнений [1-5? см. также ссылки в 3-5]. Рассматривается задача Коши
¿(t)-J[^T(M)]x(t-B) = 0 (t>l),
(l)
XL
i[o,i] -<pe Е = Н1((0Л) —>CN).
Здесь T = [T-J :[0j]]x[15qo)->C№Nj предполагается:
V^ (Tjj) < const. T1} (0. t) = 0. T y(s.t) измеримы. Из первых двух требований (2) вытекает ограниченность Т:
(2)
Т (s;t)
у
Т. (s,t) -Т. (0,t)
ij у
<^(Ту)< const.
213
Имеет место однозначная разрешимость 'задачи (1) в классе Н1 функций Л": [О,«») —> С14", принадлежащих Н" на каждом отрезке полуоси [0.°о) Доказан достаточный признак экспоненциальной дихотомии б терминах операторных неравенств сведением к такой же задаче для разностного уравнения в фазовом пространстве Е . Приведен иллюстрирующий пример.
1. Функции ф Е Е абсолютно непрерывны, в частности, однозначно определяются данными фП), ф(0)_ Будем отождествлять ф с этой парой:
"Ф
Фо
ф.
(3)
, ф = феН0=Ь2((0,!)-►€"), Фо = Ф(о).
1
Определим скалярное произведение в Е формулой (ф,ф) = | + ф^ ф„.
о
1
Нетрудно убедиться, что соответствующая норма ||ф||~ = | | +
о
топологически эквивалентна стандартной норме в Е .
2. Обозначим X (г) = Л"( г+п). где г е [0.1], и - целое> 0. Введем операторы
1 I
Асф= [т(т-в,т+п)ф(в)(Ь, Впф = [[т(1,т + п)-1(1+т-б.т+п)]ф{б)сК
эф = гж = т(1,т+п).
(4)
н
ЛЕММА 1. Оператор 1с — Аи имеет равномерно по II ограниченный обратный
Нс. Задача Кош и (1) с? классе Н1 эквивалентна разностной задаче Коши
ип =Лпип-1> 11 = 1,2,.... и0 = феЕ, (5)
де ф - вектор (3),
Пт.8-В. Г, 51 Гх„1
I } 11°=_хоа]' »
ЛП компактный, равномерно по и ограниченный оператор Е —> Е. Задача Коши
(1) однозначно разрешима в классе Н 1.
3. Операторная матрица
Р ^РеЫН^^ЕС^, (7)
1 2 "О
с эрмитовыми Р0 . Р, задает, с учетом 5 = 5 в Н0. эрмитов оператор в Е. ЛЕММА 2. Пусть при некотором с > 0 имеют место оценки
Р0 >с1. А = >с1а. <8)
Тогда при некотором с > 0 имеет мести о оценка р > с1£
4. Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия в Н' —топологии решений задачи Коши (1), если имеет место прямое разложение
Е = Е_ -Е_. Е± Ф {о}. dimE_ < такое, что для решений задачи Коши (5) имеют место при некоторых ji^}vt оценки
■г- ИИ- -».(inn] и и i \
феЕ+^>|ип|-м1е |пш| (n>m),
т—1 _ 11 п . -v^fm-nl и и , ,
феЕ_ =>|un| < д2е (n<m).
Введем класс J операторныхматрнц-фуыкднн ~~ —> EudE вида
F^dmgft-P^-Q,)^,
где
< const. Р^. Qk - эрмитовы проекторы соответственно в Hfl.:CN. Pj + Рт = Qj +Q, = I. при этом
dimP2H° < Пк = diag(Pt,Qt) * 0. k = 1.2. Отнесем оператору (9) эрмитову форму и(ф,п) = ¡Fncp.фу.Разностная производная формы U вдоль траекторий системы (3) имеет вид
о(ф.п) = (Опф.ф), Gn = л; FnAn -F^.
ТЕОРЕМА. Для того чтобы имела место экспоненциальная дихотомия в Н1-топологии решений задачи Коши (1),, достаточно, чтобы при некоторой Fu Е J операторная матрица Gn была равномерно отрицательна'.
Gn < -sIE (s = const >0). (10)
ПРИМЕР. Рассмотрим задачу Коши
x(t)-bx(t-l) = 0 (t>l), х|[ад=феЕ, (11)
btR; Е - Н1 (( 0.1) ^ R). Задача(11) имеет вид (1) при
0. s е [ОД), Ь. s — 1.
операторы (4) и матрица (6) даются формулами
\=0; Bn =bS=b|«ds, En = b, AQ = A = rbS_bS bS
T(s) =
Покажем: при условии — < b < -J~2
(12)
[10 Г1п -bsl
с z. z = и
0 -1 0 1
для решений системы (11) имеет место экспоненциальная дихотомия в Н1 -типологии. Положим
Т = Т
Матрица Р имеет вид (9) при Р, = 10. Р, = 0. = 0. = 1. Вычисления дают для матрицы (10) выражение
Б(1-Ь) Ь2
-G = F—A* F Л =
(13)
Матрица (13) удовлетворяет первому требованию (8). Имеем:
2о (1-Ъ)2 „ т . 2Ь — 1
Д <1„ -Ь^ 8 + 8-
Ъ2
(учтено 8 =8). Нетрудно получить: | 5 юг:
-Б = 13 -Ь" +
0 Ь5
< —. Б > О, С учетом этого условия (12) да-
ъ2
Д>с1п, с = 1- — >0.
0 2
В силу леммы 2 отсюда следует равномерная положительность матрицы (13), тем самым - выполнение условия теоремы, что и требовалось.
Библиографический список
1. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почли периодической матрицей / Р. К. Романовский. Л. В. Бельгарт // Матем заметки. -2003. - Т. 34, № 4. - С 633-640.
2. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Р. К. Романовский. Л. В. Бельгарт // Сиб. мат. журнал. - 2009. -Т. 50, № 1,-С. 190-193.
3. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости / Р. К. Романовский, Л. В. Бельгарт // Дифферени. уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1125-1134.
4. Романовский, Р. К О дихотомии линейных автономных систем функционально -дифференциальных уравнений / Р. К. Романовский, Е. М. Назару к // Матем. заметки. -2014. - Т. 95, № 1_ - С 129-135.
5. Баскаков, А.. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами теории разностных операторов и линейных отношений / А. Г. Баскаков //Успехи матем. наук.-2013.-Т. 68. № 1(469) С 77-128.
216
