Об асимптотическом поведении решений задачи Коши для системы функционально-дифференциальных уравнений гиперболического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.1.57-68

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОМ ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Г.Д. Анисимова

аспирант, e-mail: [email protected]

Омский государственный технический университет, Омск, Россия

Аннотация. Для указанного в названии класса систем доказаны необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и дихотомии решений задачи Коши в терминах нулей (А,^) определителя матричного пучка - символа функционально-дифференциального оператора в левой части системы. Приведён иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: переход к разностной задаче Коши, характеризация спектра разрешающего оператора.

Введение

1. Работа является продолжением цикла работ по теории устойчивости для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), выполненных в последние годы группой сотрудников и аспирантов Омского технического университета [1-8]. Развитый в [5-8] подход к анализу поведения при большом времени решений обыкновенных линейных ФДУ сведением к такой же задаче для разностного уравнения вида ип = Гип-\ с компактным оператором Г в пространстве начальных данных распространён на подкласс ФДУ с частными производными. Доказаны необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и дихотомии решений задачи Коши для одномерной стационарной гиперболической системы, возмущённой слагаемыми с запаздывающим аргументом, в терминах нулей квазимногочлена где А(А,^) - символ оператора в левой части системы. Основной результат проиллюстрирован на модельной задаче управления с запаздыванием в управляющем устройстве.

2. Рассмотрим в полуплоскости П = К х [0, то) задачу Коши

Lu = Du\(Xtt) + / [dB (s)] и (x,t - s) = 0, (x,t) E П \ П0, Jo

и |n0 = <p E E, По = R x [0,1].

(1)

Здесь

d d

D = — + A—, A = diag(ai Ii,...,amIm), ai > ... > am, ak = 0, (2)

Ik - единичная матрица порядка Nk, ^ Nk = N, В: [0,1] ^ CNxN, V0 (В) < то

и1 V1

и = , V = , uk, >^k - столбцы размера Nk, Е - банахово простран

ит ^т

ство непрерывных ограниченных функций П0 ^ CN с нормой \\^\\Е = sup |<^|, |-| - эрмитова норма в CN.

При условиях 2 через каждую точку (x,t) е П проходят характеристики

qk (х, t) = {(а,т) е R2 | a = ak (x,t,r) = х + ak (т — t)} ,k = 1, ra. (3)

Оператор D далее понимается в обобщённом смысле:

D = diag (D1,...,Dn), (4)

где Dkuk - производная по t вдоль qk. Под решением задачи 1 понимается непрерывная функция и: П ^ CN с С^гладкими в П \ П0 вдоль «своих» характеристик qk компонентами uk, удовлетворяющая 1. Класс таких функций далее обозначается С1. Из выполняемых в разделе 1 построений, в частности, следует однозначная разрешимость задачи 1 в классе С1.

Далее в разделе 1 построена эквивалентная 1 разностная задача Коши в фазовом пространстве Е

!

un = Yun-1, n =1, 2, и0 = у е Е.

(5)

Доказана компактность оператора Г. В разделе 2 описан спектр Г в терминах нулей (X, ¡л) квазимногочлена, указанного в п.1. В разделе 3 на этой базе доказаны итоговые результаты. В разделе 4 приведён иллюстрирующий пример.

3. Приведём здесь для удобства ссылок используемый далее факт из теории интеграла Стилтьеса.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 [9]. Пусть функция /: [а,Ь] х [с,в\ ^ К непрерывна и функция д: [с,в\ ^ К имеет ограниченную вариацию. Тогда функция

h (х)

непрерывна и верна формула

Гb

/ h (х) dx =

f (х, s) dg (s)

(^J f (x,s) dx^jdg (s).

d

Этот результат без труда переносится на случай / со значениями в См и д со значениями в СмхМ.

1. Переход к разностной задаче Коши

Поставим в соответствие р E Е функции П0 ^ CN

Вор\(x,t) = [dB (s)]^ (x,t - s), Biip\(x,t) = / [dB (s)]^ (x, 1+ t - s), (6)

Sp \ (x,t) =

P1 (^i,r)

pm (am, т)

dr, Pp \(x,t)

p1 (x - a1t, 1)

pm (x - amt, 1)

(7)

Tk p = SBk p, k = 0,1,

где ak - функции 3. Нетрудно убедиться, с учётом предложения 1, что формула 7 задаёт линейные ограниченные операторы Е ^ Е.

Лемма 1. Оператор I + Т0 имеет ограниченный обратный Е ^ Е. Доказательство. Из 6, 7 следует неравенство

i

|ЗД ^ Mtsup М, М = у (В), t E [0,1].

0

Индукцией по п получим

Mtn

1ЗД ^ —г sup м, П = 0,1,....

т

Отсюда следует требуемое. Положим

Г = (/ + Т0)-1 (Р - Ti). Лемма 2. Формула 8 задаёт компактный оператор Е ^ Е.

(8)

Доказательство. Пусть М - ограниченное множество в Е. Равенство ф = Г^, р Е М, равносильно соотношению

Из 9 попутно следует

ф = Рр - (Т0ф + Tip).

Ф (x, 0) = Р (x, 1)

(9)

(10)

Положим при (x,t) E П0 = R x [-1,1]

а (х, t)

р (х, 1 + t) ,t E [-1, 0),

ф (x,t) ,t E [0, 1].

(11)

0

t

t

0

Функции 11 равномерно по <р € Ш ограничены и, с учётом 10, непрерывны в П0. Применяя к обеим частям 9 оператор 4, после вычислений с учётом равенств ИРр = 0, ИБ^ = у найдём:

Щ\(х,г) =! № (в)] а (х,г - в) , ф € ГШ. (12)

0

В силу предложения 1 функция в правой части 12 непрерывна в П0. Представим матрицу В в блочном виде В = [Ьк]] с блоками размера Ык х N3. Вытекающие из 12 соотношения для Икфк после замены

/к (х,Ь) = фк (х + акм)

принимают вид

1ы = [^к] (^)] а3 (х + акЬ,Ь - з), к =1,т. (13)

Из 9, 13 вытекают равномерные по гф е ГМ оценки

1ЛI ^ С1,

Г,

kt

^ с2, Ck = const > 0, к = 1,т. (14)

Будем рассматривать /к как функции от £ со значениями в банаховом пространстве Ск непрерывных ограниченных функций К ^ СМк с равномерной нормой. В силу второй оценки 14 можно рассматривать как производную ^/к (Ь) в топологии Ск. Обозначим

Мк = {¡к (ь) | ф € ГШ} , к = 1,т.

Из оценок 14 следует: при каждом к множество Мк - равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное семейство функций в банаховом пространстве С ([0,1],Ск) с нормой

ИДИ = вир \\!к\\Ск = йир ^к (х,г)1.

*е[о,1] По

Таким образом, при каждом к множество Mk - предкомпакт в С([0,1],Ск) и, с учётом sup Ifk (x,t)I = sup (x,t)\, множество {фк | ф е ГМ} - пред-

По По

компакт в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций П0 ^ CN. Отсюда следует требуемое. ■

Замечание 1. Из формул 11, 12 для функции гф = Г<р, с учётом предложения 1, следует: для любой у е Е

БГр е Е, \\БГ(р\\Е ^ const •WvWz . (15)

Рассмотрим разностную задачу Коши 5 с оператором 8. Очевидно, задача 5 имеет единственное решение ип = Г'п^.

Лемма 3. Функция и: П ^ См является решением класса С1 задачи Коши 1 точно тогда, когда последовательность

ип (x,t) = и (x,t + п), (x,t) E П0, п = 0,1, является решением задачи 5.

(16)

Доказательство. Пусть и - решение класса С1 задачи 1. Записывая систему 1 в точке (х,Ь + п), указанной в 16, представляя интеграл в 1 в виде суммы интегралов по [0, , [¿, 1] и вводя обозначения 16, получим соотношение

(Б + Во) ип + В1ип-1 = 0, п = 1, 2,..., с операторами 4, 6; учтено равенство

и (х,Ь + п — з) = ип-1 (х, 1 + Ь — в), 5 Е [¿, 1]. Применяя к обеим частям 17 оператор 5, с учётом равенств

(17)

(18)

SDun = ип (x,t) -

uln (х - a1t, 0)

Ur/2 (^ 0)

ип (х, 0) = ип_ 1 (х, 1)

п

1, 2,

получим равносильное 5 уравнение

(I + 70) ип = (Р - Ti) ип_i, п = 1, 2,

(19)

Обратно, пусть ип - решение задачи 5. Определим, с учётом вытекающего из 19 равенства ип (х, 0) = ип-1 (х, 1), функцию и: П ^ CN равенством 16. Выполнение начального условия и непрерывность функции и очевидны. Применяя к обеим частям 19 оператор D, получим равенство 17, равносильное, с учётом 18, равенству 1 при t E [п,п + 1], п ^ 1, с односторонними производными Dkuk на прямых t = п, t = п + 1. Записывая в предположении п ^ 2 равенство 17 при t = 0 и такое же равенство с заменой п на п - 1 при t =1 и сравнивая полученные соотношения, найдём Dun |t=0 = Dun-1 |i=1.

Лемма доказана. ■

Следствие 1. Задача Коши 1 однозначно разрешима в классе С1.

Обозначим Ср банахово пространство кусочно-непрерывных ограниченных функций v: R ^ CN со скачками в целых точках с нормой sup |г>|; Ci - банахово пространство кусочно-гладких ограниченных функций v: R ^ CN со скачками v, v' в целых точках с нормой sup |г>| + sup |г>'|. Будем предполагать функции v соответственно непрерывными и гладкими слева.

Лемма 4. Оператор L = ff - Л, Л e CnxN, действующий из Ci в Ct

i>

имеет ограниченный обратный £ 1: Ср ^ С^ точно тогда, когда спектр матрицы Л не пересекается с мнимой осью.

Доказательство. В силу теоремы Банаха об обратном операторе утверждение леммы равносильно следующему: уравнение = Н при любой Н € Ср имеет единственное решение V € точно тогда, когда выполняется указанное условие. Доказательство достаточности проводится повторением с очевидными отличиями аналогичного утверждения в [5, с. 119] для непрерывного случая. Если ^ € Ж - собственное число Л с собственным вектором /, уравнение = 0 имеет, помимо решения ь = 0, ещё одно решение из С£: V = ; таким образом, условие леммы необходимо. ■

2. Характеризация собственных чисел оператора Г

В силу структуры спектра компактного оператора в банаховом пространстве спектр оператора Gamma состоит из точки £ = 0 и не более чем счётного множества собственных чисел с единственной возможной предельной точкой £ = 0.

Поставим в соответствие оператору 1 матричный пучок

A(X,ß) = XI + ßA +[ e-XsdB (s), X,ß E C. (20)

J 0

Теорема 1. Число £ = 0 является собственным числом оператора Г точно тогда, когда при некотором ß E Ж и некотором X из множества Мц = [X = ln £ + 2kni, k E Z} выполняется равенство

detA(X,ß) = 0. (21)

Доказательство. 1. Пусть пара (X,ß), X E C, ß E Ж, удовлетворяет 21 и вектор f E CN, ЦI = 1 таков, что А (X, ß) f = 0. Положим

£ = ex, и = ext+ßX f.

Подстановка в 1 даёт: Lu = ext+^XA (X,ß) f = 0. В силу леммы 3 функции

ип (x,t) = ex(t+n)+^Xf, (x,t) E По, n = 0,1,... (22)

удовлетворяют уравнению 5, в частности, верно равенство Гм0 = щ или, что то же, Гм0 = £и0.

2. Пусть £ = 0, Г'^ = ^ при некоторой у E Е, у ф 0. В силу первого соотношения 15 Dip E Е. Так как [e2kmt,k E Z} - полная ортогональная система на [0,1], существует Л E М^, такое, что

h (х)= f e-xt<р (x,t) dt ф 0. (23)

0

Функция 23 непрерывна и ограничена на оси.

Зафиксируем последовательность еп ^ 0. Построим последовательность кусочно-гладких, гладких слева функций ipn: П0 ^ C N со скачками ipn, ip'nx, tp'nt на отрезках [х = п E Z, 0 ^ t ^ 1} такую, что

[^п - fl + lD<fn - DtpI ^ £n, n =1, 2,.... (24)

Имеет место равенство

Г tpn = £ (tpn + 5п), (25)

где 5п = p — pn + £-ir (pn — p). Из 24 и неравенства 15 следует оценка

| Snl + |D S,ni ^const en, n = 1, 2,.... (26)

Представим 25 в виде

C(I + Ta)(pn + Sn)+Tipn = Ppn. (27)

Применяя к обеим частям оператор D, получим

£ (D + Во) (pn + Sn) + Bipn = 0 (учтены соотношения DSp = p, DPp = 0). Подстановка

pn = extpn, Л-число (23), (28)

даёт после вычислений с учётом е л = £ равенство

^ + + bn (x, t, Л) + £е-л4 (D + Во) Sn = 0, (29)

где bn = /0 е-л s [dB ( s )]/3n (x,t — s ), fin (х, t)

pn (x, t), te [0,1]. Применим к обеим частям 29 оператор • dt. Имеем

pi PS pi

/ /n (x,t — s) dt = pn (x, 1 + t — s) dt + p (x, t — s) dt = hn (x), 00

hn (x) = pn (x, t) dt, n = 1, 2,....

J о

С учётом этого и вытекающего из 27, 28 соотношения pn (x, 1) — pn (x, 0) = = n ( x, 0) после преобразований получим равенство

Lhn =( hn = On (x), n =1, 2,..., (30)

где

1 _лвг,п,.м0 л., .ч о ^ I pn (x, 1+Í) , te [—1, 0),

!

Л = A

-i

■i

Л1 + / е-лЧВ (s)

/ о

n= A

-i

8n (x, 0) + £ Í e(D + В) <Jndt J о

Нетрудно убедиться:

hn G Ср, hn y h в Ср, 0п G Ср.

Так как с учётом h ф 0, ||hn||c ^ const > 0 (п ^ п0) и ввиду 26, 9п ^ 0 в Ср, из 30 вытекает: оператор L не имеет обратного Ср ^ Ср. Тогда в силу леммы 4 существует ^ G Ж такое, что выполняется равенство det (ц1 — Л) = 0, равносильное равенству 21 с матрицей 20. Теорема доказана. ■

3. Признаки устойчивости и дихотомии

Имея ввиду установленное леммой 3 соответствие между решениями класса С1 задачи Коши 1 и решениями разностной задачи Коши 5, примем следующие определения.

Будем говорить, что решение и = 0 системы 1 экспоненциально устойчиво, если это имеет место для решения ип = 0 уравнения 5: для решений задачи Коши 5 верна при некоторых а,и > 0 оценка

||Г>||е ^ ае-пЫЕ. (31)

Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений класса С1 задачи Коши 1, если фазовое пространство Е задачи Коши 5 разлагается в прямую сумму подпространств

Е = Е1+Е2, Ек = {0}, (32)

так, что для решений задачи Коши 5 верны при некоторых а,и > 0 оценки

V е Е1 ^ ||Г>||е ^ ае-пМЕ, у е Е2 ^ ||Г>||е ^ ае^ЫЕ.

Теорема 2. Решение и = 0 системы 1 экспоненциально устойчиво точно тогда, когда при каждом /л е Ж уравнение 21 не имеет \-корней с реальной частью Яе Л > 0.

Доказательство. 1. Пусть требование теоремы выполняется. Так как спектр компактного оператора состоит из множества (возможно пустого) собственных чисел и точки £ = 0, в этом случае, в силу теоремы 1, спектр оператора Г лежит целиком в круге |£| < 1. Ввиду замкнутости спектра существует г е (0,1) такое, что спектр Г лежит в круге |£| < г. Из формулы Коши-Рисса

Г> =(2^)-1/ с ш - Г)-1 ^ (34)

•^Наследует для решений задачи Коши 5 оценка 31 при а = г • тах || (£I — Г)-1 ||, V = 1п г-1.

2. Пусть требование теоремы не выполняется: существует удовлетворяющая уравнению 21 пара (Х,ц), Яе Л ^ 0, 1тц = 0. Тогда, очевидно, не выполняется оценка 31 для решения 22 задачи 5. Теорема доказана. ■

Теорема 3. Экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши 1 имеет место точно тогда, когда при каждом /л е Ж уравнение 21 не имеет \-корней на мнимой оси и имеет хотя бы один Х-корень в полуплоскости Яе Л > 0.

Доказательство. 1. Пусть требование теоремы выполняется. С учётом структуры спектра Г и теоремы 1 это означает: спектр и (Г) оператора Г распадается на две непустые компоненты и1, и2, лежащие соответственно внутри и вне окружности |£| = 1, и тогда пространство Е распадается [10] в прямую сумму 32 инвариантных подпространств, таких, что спектр сужения оператора Г на подпространство Ек - множество ик. Из формулы вида 34 при <р е Е1 следует первая оценка 33. Так как спектр оператора Г-1: Е2 ^ Е2 - множество (и2)-1, лежащее в круге |£| < 1, из формулы вида 34 для Г-1 при << е Е2 следует вторая оценка 33 с переменой местами левой и правой частей и переменой знака неравенства на противоположный.

2. Пусть требование теоремы не выполняется. Нетрудно усмотреть, с учётом структуры спектра Г и теоремы 1, что в этом случае имеет место одно из двух: либо спектр Г лежит целиком в круге |£| < 1, либо существует собственное число оператора Г с модулем 1. В первом случае, в силу теоремы 2, первая оценка 33 выполняется при всех <р е Е, тем самым не выполняется требование Е2 = {0} в 32. Во втором случае имеем для некоторой <р е Е, \\<р\\Е = 1, Г<р = £0<, откуда следует равенство \\Гга<\\Е = \\Со<\Е = 1, несовместимое с оценками 33. Теорема доказана. ■

Замечание 2. Утверждения теорем 2, 3 сохраняются, если матрица А в 1 имеет вид А = , где А - диагональная матрица 2. Это следует из

равенства ёе1А(Х,р) = detД (Х,ц), где пучок Д строится по коэффициентам А, В = ZB (в) 2-1 системы, получающейся заменой и = 2и.

4. Пример

Рассмотрим систему управления теплопереносом в бесконечном стержне с запаздыванием в управляющем устройстве

{

Du (х, t) + В0и (х, t) + b(7 (x,t — 1) = 0 а (х, t) = d*u (х, t), и|По = р Е Е.

Здесь D - оператор 4,

(х, t) Е П \ По,

(35)

T

u = , А =

0

к£-1

(ср)~ 0

00 , ь = 1 , d = 1

, В = 0 £-1

р2_ d2

(36)

T,q - температура и плотность теплового потока, р,с,к - плотность, удельная теплоёмкость и теплопроводность, е - время релаксации, b,d - векторы управляемости и наблюдаемости, а - сигнал обратной связи, Е - банахово пространство непрерывных ограниченных функций р: П0 ^ R с нормой sup |р|. Нетрудно убедиться, что матрица А подобна матрице

А = diag (а, — а) , а = \ -.

/А

V £ ср

Система 35 при Ь = 0 описывает теплоперенос в стержне в рамках гиперболической теплопроводности [11,12], в частности, возмущения распространяются вдоль стержня с конечной скоростью а. Система 35 имеет вид 1 при

В (S)

0, s = 0,

Во, 0 < s < 1, В0 + bd*,s = 1.

Подстановка в 20 даёт

А ( Л, ¡¡) = Л1 + ¡А + В0 + e-xbd*

(37)

С учётом замечания в конце раздела 4 устойчивость решения и = 0 системы 35 зависит от расположения нулей ( определителя пучка 37. При 6 = 0 имеем: А (0,0) = detБ0. Тем самым, при отсутствии управления не выполняется требование теоремы 2, и решение и = 0 системы 35 не является экспоненциально устойчивым. Покажем: при условиях

1

0 < Mi <

1

62 = d2 =

0

(38)

решение и = 0 экспоненциально устойчиво. Вычисления с учётом 36-38 дают

А (Л,л) = А (¡I — Л), Л = -

0

к-1 (1 + еЛ)

ср (Л + b1d1e

-х

0

Отсюда следует для ¡ - корней уравнения 21 равенство

¡2

-к(1 + еЛ) (Л + Miе-х) , j = 1, 2.

Подстановка Л = а + гш приводит это равенство к виду

¡ = ~¡: (Р + ^ ,

р = а + е (а2 — ш2) + b1d1 [(1 + еа) cos ш + еш sin ш] е-а, q = ш [1 + 2еа + b1d1 (е cosш — (1 + еа) ^) е-а] .

Пусть выполняется требование 38 и а ^ 0. Возможны два случая.

1. ш = 0. В этом случае р + qi = а + еа2 + b1d1 (1 + еа) е-а > 0.

2. ш = 0. Из оценки

Iql ^ 1ш1г (а), г(а) = 2еа + 1 — М1 (еа + 1 + е) е-а,

(39)

с учётом

(0) = (1 + )

(гЬ—м0

— М 1 > 0, г (а) = 2е + Mi (1 + еа) еа > 0

следует: в этом случае q = 0. Таким образом при условии И,еА ^ 0 правая часть уравнения 39 заведомо не является квадратом мнимого числа, и ^ -корни уравнения 21 не лежат на мнимой оси. В силу теоремы 2 отсюда следует требуемое.

Случай любого запаздывания > 0 в 35 приводится к случаю = 1 масштабным преобразованием.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность профессору, д.ф.-м.н. Романовскому Рэму Константиновичу (1929-2016 гг.) за оказанную помощь при написании

настоящей статьи.

Литература

1. Алексенко Н.В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. 2000. Вып. 2. С. 3-6.

2. Алексенко Н.В., Романовский Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 2. С. 147-153.

3. Троценко Г.А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. 2003. Вып. 36. С. 77-81.

4. Романовский Р.К., Троценко Г.А. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 444-453.

5. Романовский Р.К., Назарук Е.М. О дихотомии линейных автономных систем функционально-дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 2014. Т. 95, № 1. С. 129-135.

6. Романовский Р.К., Назарук Е.М. Прямой метод Ляпунова для линейных систем функционально-дифференциальных уравнений в пространстве Соболева // Сиб. матем. журн. 2014. Т. 55, № 4. С. 846-857.

7. Романовский Р.К., Назарук Е.М. Дихотомия решений функционально-дифференциальных уравнений в пространстве Соболева // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 4. С. 459-471.

8. Романовский Р.К., Назарук Е.М. Дихотомия решений дифференциально-разностных уравнений в пространстве Соболева // Докл. Акад. Наук. 2015. Т. 461, № 4. С. 394-397.

9. Халмош П. Теория меры. М. : ИЛ, 1953. 282 с.

10. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970. 536 с.

11. Лыков А.В. Проблема тепло-массообмена. Минск : Наука и техника, 1976. 312 с.

12. Корнеев С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. Вып. 4. С. 117-125.

ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF THE CAUCHY PROBLEM FOR SYSTEM OF FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

OF HYPERBOLIC TYPE

G.D. Anisimova

Postgraduate Student, e-mail: [email protected]

Omsk State Technical University, Omsk, Russia

Abstract. For the class of systems specified in the title we prove necessary and sufficient criteria for exponential stability and dichotomy of solutions of the Cauchy problem in terms of the zeros (a, of determinant of a matrix pencil - symbol of the functional-differential operator in the left part of the system. An illustrative example is considered.

Keywords: transition to the difference Cauchy problem, characterization of the spectrum of resolving operator.

Дата поступления в редакцию: 20.10.2017