УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН, СЖАТЫХ ВДОЛЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ СТОРОН (ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ) Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

MEXANIKA

УДК539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ пластин, сжатых вдоль подкрепленных сторон

(ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ)

Н.М.Меликулов к.т.н. доцент Сам ГАСУ, ([email protected])

С.К.Кучкоров PhD. НамИСИ, [email protected]

О.М.Убайдуллаев ст.преп. Сам ГАСУ, [email protected]

А.Н.Меликулов преп Сам ГАСУ, [email protected]

Ш.Бектемиров ассистент Сам ДУ, [email protected]

Аннотация. В работе для исследования влияния сжимающих сил на устойчивости пластины рассмотрены, шарнирно закрепленные на краях х = 0 и х = a жестко

соединенные на краях y = ±b /2 с тонкостенными стержнями открытого профиля.

Annotation. In this article, free oscillation of the plate is considered when the sides of х = 0, a are hinged and other sides of y = ±b /2 are free. Free sides connected with thin, open profile rods.

Ключевые слова. Сжатая, растянутая, устойчивость, пластин, упругое защемление, шарнирно опертая, крутильные, изгибные, подкрепленных, неподкрепленных, края, жесткость.

Keywords. Compressed, Compressed-curved tension, plates, elastic pinching, hinged, torsional, bending, reinforced, unreinforced, edges, rigidity.

Во многих случаях представляет практический интерес получение приближенного, но более простого решения поставленной задачи. С этой целью рассмотрим задачи с помощью известного приближенного метода Бубнова-Галеркина. Этот метод, в отличие от точного решения, позволяет получать значение интенсивности критической нагрузки

N* с

в явном виде, без решения громоздких трансцендентных уравнении

Рис 1. Пластина сжатой вдоль подкрепленных сторон

Для вывода уравнения задачу об устойчивости пластины, шарнирно закрепленной

на краях х = 0, а и жестко соединенной на краях у = + ^ тонкостенными стержнями открытого профиля (рис 1), используя известное дифференциальное уравнение задачи

Mexanika va Texnologiya ilmiy jumaU 5-jild, 4-son, 2024

MEXANIKA DV2V2w + N^^-= 0, D =

ox

e6-

(1) (2)

решение которого представим в традиционной форме

удовлетворяющей граничным условиям шарнирного опирания на краях х — 0,а Подставляя (2) в (1) получим уравнение для определения искомой функции Д (у)

Решение уравнения (3) зависит от вида корней характеристического уравнения

(4)

Рассмотрим сначала пластины, у которых длина сторон сравнима между собой. Известно, что в шарнирно опертой на всех краях пластине критическое значение интенсивности нагрузки при одностроннем сжатии равно (см. например [4])

.2® » , п

(5)

Из (5) следует, что при любой степени упругого закрепления (кроме случая, когда продольные края свободны от опирания) А' * > Л^О при произвольных значениях - и п.

Поэтому в (4) корни всегда вещественные, а корни мнимые.

С учетом сказанного представим решение уравнения (3) в форме

/„ - С^ска^у + Сгз1шпу + С3 созрпу + С4 хтрпу

где

(6)

(7)

Для конкретизации дальнейших расчетов введем некоторые частные упрощающие предположения. Сначала, для упрощения счета будем считать, что подкрепляющие стержни и условия закрепления их концов на обоих краях пластины одинаковы. Это обстоятельство позволит использовать симметрию искривления пластины относительно оси х и положит в (6) константы С2 = С4 = 0.

Подчиним теперь функцию /„ (у) граничным условиям:

Условия упругого защемления на краях у = +

I _ H^nfn-fn

/п' =

tkbK

где

Gh к* =

,

(8) (9)

dk = 1 при —

x - 0,п

= 0

(10)

А = 1 2ка Г к 1 а* I

[l-f-ll'luhi-a [l+C-lJ^taCl-^Mta)

efifen —1

2(cfckn-l)-Jtn:jiiJt

rail

'«-0,0

(10a)

Условия упругого опирания на краях у = + -:

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024

K-IEXANIKA

f _ f™~{2-rtZfi

где

£,, =

c =E_h_ а V,' u ЛЬ'Лг

Knt

* Eh

.". = 1при

d ™TUC.

- 1--^Т^при-

rt_r

= 0

(11) (12)

(13) (13a)

Напомним, что коэффициент ^ входящий в (12), зависит от формы поперечного сечения: например, для прямоугольника *

ГОСТ 8239-56

Подчиним теперь функцию (6) граничным условиям (8) и (II). В результате придем

для двутавров прокатного сортамента

и

-з

к следующей системе двух однородных уравнении относительно констант

< с^е - +2 -

-Сэ[(4/Г + 1лф2)со5П+ 21кф2П5тП] = О С&^сЩ - 2[Ц2 - (2-М2]+ -Съ^и-ф*созГ1 - 2 [4п2 + (2 - = О

В(14) обозначено

Поскольку тривиальное решение системы (14) х л не представляет интереса, то для получения уравнения устойчивости надо приравнять определитель этой системы нулю. В результате раскрытия определителя получим:

[Щ2 - + 2Гкф2$5Ц]{ги1р4созП - 2[4/22 + (2 - ц)1р2]п$т}+

"(4 П2 + цф2~)со5?1 +

(14)

(15)

+

+2tkif/ flsinfl

{Ьиф* chf- 2[4f2 - (2 = О

(16)

Связь между ^ и а также формула для критической интенсивности нагрузки

вытекают из (7)

Щ'-Г:' сФЬ)*

(17)

При совместном решении (16) и (17) параметры ^ и должны подсчитываться для

а

N1

таких значений ,1Ь, которые соответствуют минимуму х при заданных величинах коэффициентов Так, например, при ** ^ °° (шарнирное опирание всех

= 1;

ti. = t„ = оо

(продольные края

краев) этот минимум реализуется при "ь если же

защемлены), то минимум х достигается при

Уравнение (16), несмотря на принятые при его выводе некоторые ограничения, обладает все же достаточной общностью. Из него, как частные случаи, вытекают решения

при различных предположениях о значениях коэффициентов и

Ь

у = ±-

Например, если края пластины при 2 жестко оперты на шарнирные опоры

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024

МЕХАШКА

— СО (0 < < от")

( и ), но упруго защемлены по отношению к повороту краев ^ * \ то из (16) вытекает

2 U2 + tf}cosn + {^th^costl + .qsin.q)tp2tk = О

С /1 г\ ^=0 + !г~)со5?1 = 0

Если в (15) принять к ,то" -

(18)

. Так как

£ ¡1 . 0. то со5^1 0 и следовательно, 2 где т '" число полуволн в

направлении оси - (см. рис.2). Подставляя найденное значение (18), придем при классическому результату (5).

Ес

придем к

т = 1

t, — со

Если же в (17) положить к , (жесткое защемление продольных краев), то

(th( + №цТ1 = 0

(19)

что тоже совпадет с известным решением-см. ([3,4,6]) .

Рассмотрим теперь по методу Бубнова-Галеркина поставленную задачу.

т-г я = 0, а

Пусть, пластина шарнирно оперта на краях , и подкреплена тонкостенными

■ ъ

у — ±-

стержнями на краях -. Для простоты будем считать подкрепляющие стержни

настолько жесткими по отношению к изгибу, что их прогибом можно пренебречь. Нагрузка приложена к неподкрепленным краям (рис. 1).

Выберем аппроксимирующую функцию прогиба пластины в виде

(х,у) = /(у) хтгтх/а ^0)

ГДС

Первое слагаемое в (21) удовлетворяет условию шарнирного опирания незагруженных краев, а второе - условиям их жесткого защемления. Найдем соотношения

между константами ^ 11 подставив (21) в граничное условие упругого защемления (8)

У = ±7 п = 1тт 2/. = Гл^ттЪ2/а2

на краях -, считая При этом получим 1 у к '

С учетом этого соотношения функция (20) примет вид

\м{х!у) — /1(1 ~ созтгу/Ьятттх/а

Используя алгоритм метода Бубвова-Галеркина

+ь/:

'0 J —Ь/2

L(w)

Cf™J*LWWdxdy = Q

(22)

(23)

где оператор ' представляет собой левую часть уравнения (1), и выполнив операции интегрирования с учетом (22), получим следующее значение интенсивности

критической нагрузки при >г ^:

В (24) безразмерные коэффициенты имеют

(24)

вид

2 а2 4 Ь2, В Ъ*

л2 == -(1 + + —7Ф

4 Зл" * 16а *

(25)

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024

MEXANIKA

Аля Всех кривых СИ=оо, а=б, п = 1, Р=0, dK=1

f]

ск.

Рис.2. График зависимости ^ от параметра (сопоставлены кривые точному и приближенной решению)

Напомним известный факт о том, что приближенные решения типа (24) снижают

а и метод Бубнова-Галеркина дает

свою точность с увеличением отношения ъ.

Однако для сравнимых между собой значений вполне приемлемую с практической точки зрения точность. Так, например, для квадратной пластины при ^ _ 0 (шарнирное опирание всех сторон) из (24) ,(25) получаем

к = 4

TT tlr = 00

что совпадает с точным значением. При ■

К = 8.61

коэффициент в формуле (5)

незагруженные края жестко защемлены) имеем ; точное значение

Для сопоставления приближенных результатов с точными решениями (1) во всем

О < tt < 00 о д,

диапазоне изменения степени упругого защемления — к ~ , на рис. 2 приведен график ^

зависимости jV:4от параметра Кривые построены при а ~ ^ п — 11 р ~ — ^ х е депланация торцов подкрепляющих стержней свободна.

Сплошные линии на графике относятся к случаю точного интегрирования уравнения задачи - см. уравнения (17),(18); штриховые линии построены по (24). Как следует из графика приближенное решение хорошо согласуется с точным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бейлин Е.А., Меликулов Н. М. Об устойчивости прямоугольных пластин, подкрепленных тонкостенными стерженями. -В кн: Стротельная механика и расчет сооружений: Научно-технический журнал. М.Изд-во литературы по строительству. 1980, №5.с.38-42

2. Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.Физматгиз. 1959.

3. Броуде Б.М. Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций М.Машстройиздат. 1949.

4. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.Физ.мат.гиз.1967

5. Меликулов Н.М. Исследование устойчивости и жесткости пластин,

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024

MEXANIKA

подкрепленных тонкостенными стержнями, при различных случаях нагружения,- В кн: Стротельная механика сооружений. Межвуз.Темат.сб.тр-Л.ЛИСИ,1980. С. 76-85

6. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.Гостехиздат, 1955.

7. Волькович Ф.В, Сложный изгиб пластины, заделанной на длинных кромках и сжатой или растянутой вдоль коротких ее кромок. - В кн.: Тр. ВНИТООС, т.П, вып.4, Л., Главная редакция судостроительной литературы, 1938.

8. Muszkowska H. Plyty prostokatne o dwoch krawedziach przeciwleglych swobodnie podparnech i pozostalech sprezyscie zamocowanech. Prace Naykowe Insnytutu Budownictwa Politechniki Wroclawskcy.1973,Nr.11.

9. Ferachian R.H. Back ling of biaxial le compressed long rectangular plates elastically restrained along the long edges and simply supported along the short edges. Proc. Inst. Engrs. Part 2. Montreal, 1975

10. Melikulov N,. Khodjabekov, М. U.Ismatova D. M. Otaqylov A. FREE VIBRATIONS OF THE PLATE WITH THE ACCOUNT OF INFLUENCE OF LONGITUDINAL FORCES PERCEIVED BY THE REINFORCING RODS. European Journal of Research. volume 5, issue 8 2020 pages 20- 25

11. Melikulov N, Otaqylov A. Unloaded plates free vibrations, supported by elastic thin-walled rods. INTERNATIONAL JOURNAL ON ORANGE TECHNOLOGIES www.journalsresearchparks.org/index.php/IJOT Volume: 02 Issue: 11 | November 2020

12. Melikulov N. Stability of Elongated Plates Reinforced along the Contour with Thin-Walled Rods International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology Vol. 8, Issue 12 , December 2021

13. Melikulov N., Shodmonkulova N. U. Free Vibrations of a Plate Stretched along the Reinforced Sides International Journal of Innovative Analyses and Emerging Technology Volume: 1 Issue: 5. 2021

14. Melikulov N,. Khushvaktov U Stability of Long Plates with Non-Symmetric Reinforcement of the Edges withThin-Walled Rods .MIDDLE EUROPEAN SCIENTIFIC BULLETIN [Middle European Scientific Bulletin, VOLUME 19 Dec 2021

15. M. M. Mirsaidov, О. М. Dusmatov and М. U. Khodjabekov, "Stability of nonlinear vibrations of plate protected from vibrations". Journal of Physics: Conference Series, 1921, (2021), https://doi.org/10.1088/1742-6596/1921/1/012097

16. M. M. Mirsaidov, О. М. Dusmatov and М. U. Khodjabekov, "The problem of mathematical modeling of a vibration protected rod under kinematic excitations" in Proceedings of VII International Scientific Conference Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education, November 11-14, 2020, Tashkent, https://doi.org/10.1088/1757-899X/1030/1/012069

17. M. M. Mirsaidov, О. М. Dusmatov and М. U. Khodjabekov, Mode shapes of transverse vibrations of rod protected from vibrations in kinematic excitations, Lecture Notes in Civil Engineering. 170, 217-227 (2022). doi.org/10.1007/978-3-030-79983-0_20

18. K.Ismayilov, K.Karimova Application of used automobile tires granules for road construction in uzbekistan. Journal of Critical Reviews, 2020. 7 vol, Numer 12 ,pp 946-948. DOI: 10.31838/jcr.07.12.165

19. K.Ismayilov Critical strains and critical stresses in the steel rod beyond the elastic limit. European science review. 2018, Номер № 5-6.

20. K.Ismayilov, K.Karimova The Impact of Automobile Tires on the Environment from the Period of Raw Materials to the Disposal of Them, Retrieval Volume-8 Issue-3, September 2019. Number: C4473098319/19©BEIESP DOI:10.35940/ijrte.C4473.098319

Mexanika va Texnologiya ilmiy jurnali

5-jild, 4-son, 2024