CC BY
9УДК 539.3
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН, ДВА ПАРАЛЛЕЛНЫХ КРАЯ ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЕННОЙ И ЖЕСТКО СОЕДИНЕННОЙ НА ДВУХ ДРУГИХ КРАЯХ.
Н.М.Меликулов
Сам ГАСУ, к.т.н. доцент [email protected], Тел.+998937494887
О.У.Убайдуллаев
Сам ГАСУ, катта укит. [email protected]. Тел.+998933530488
С.К.Кучкоров
НамИСИ, PhD. доцент [email protected]. Тел.+998941590032
Аннотация. В работе для исследования влияния сжимающих сил на устойчивости пластины рассмотрены шарнирно закрепленные на краях х = 0 и х = a жестко
соединенные на краях y = ±Ь/2 с тонкостенными стержнями открытого профиля.
Annotation. In this article, free oscillation of the plate is considered when the sides of х = 0, a are hinged and other sides of y = ±Ь /2 are free. Free sides connected with thin, open profile rods.
Ключевые слова. Сжатая, растянутая, устойчивость, пластины, упругое защемление, шарнирно опертая, крутильные, изгибные, подкрепленные, неподкрепленные, края, жесткость.
Keywords. Compressed, Compressed-curved tension, plates, elastic pinching, hinged, torsional, bending, reinforced, unreinforced, edges, rigidity.
В работе исследуются устойчивость пластин, на кромках которых осуществляются граничные условия М. Леви: два параллельных края пластины шарнирно оперты, а два других - закреплены произвольным образом. В этом случае, как известно, можно получить замкнутое решение в одинарных тригонометрических уравнениях. Для вывода уравнения задачу об устойчивости пластины, шарнирно закрепленной на краях х = 0, а и жестко соединенной на краях у = ± - тонкостенными стержнями открытого
профиля (рис 1), используя известное дифференциальное уравнение задачи
D V2 V2 w + JVT ^-7- = О, D
ЕЁ*
12 (1-р* )
(1)
Рис 1. Пластина сжатой вдоль подкрепленных сторон
решение которого представим в традиционной форме
удовлетворяющей граничным условиям шарнирного опирания на краях х = 0, а Подставляя (2) в (1) получим уравнение для определения искомой функции
Решение уравнения (3) зависит от вида корней характеристического уравнения
(4)
Рассмотрим сначала пластины, у которых длина сторон сравнима между собой.
Известно, что в шарнирно опертой на всех краях пластине критическое значение интенсивности нагрузки при одностроннем сжатии равно (см. например [4])
N.
* — и-„г
Кп' —
,-тг Ъ
- Т. тт->1 -■
(5)
х ъ2' ~ к а ' nbJ
Из (5) следует, что при любой степени упругого закрепления (кроме случая, когда продольные края свободны от опирания) > Я^О при произвольных значениях ~ и п.
Поэтому в (.4) корни всегда вещественные, а корни 5Э 4 мнимые.
С учетом сказанного представим решение уравнения (3) в форме
= С1 с)гапУ + сгз}гапУ + сэ со3 РпУ + с4 РъУ (6)
где
(7)
Для конкретизации дальнейших расчетов введем некоторые частные упрощающие предположения. Сначала, для упрощения счета будем считать, что подкрепляющие стержни и условия закрепления их концов на обоих краях пластины одинаковы. Это обстоятельство позволит использовать симметрию искривления пластины относительно оси х и положит в (6) константы С2 = С+ = О,
Подчиним теперь функцию/„(у) граничным условиям:
Условия упругого защемления на краях у = ±
где
а2 9
^ = 1 при ^ = 0
4 = 1
2ка
[1-(-1)п] аЬгю [1 +(— 1 )п] Ь а (1— с ?! Ь а )~|
+
сЬка-1
Условия упругого опирания на краях у
г(.сЬка-1)-кааЬка J ¡¡л 'х
(8)
(9) (10) =0,я = 0 (10а)
2 '
где
= 1 при
(12)
(13) (Ш)
Напомним, что коэффициент ^ входящий в (12), зависит от формы поперечного сечения:
например, для прямоугольника ^ дЛя двутавров прокатного сортамента ГОСТ
» (2.0 ч- 2.4) 8239-56 * ^ ' ' }
Подчиним теперь функцию (6) граничным условиям (8) и (II). В результате придем
к следующей системе двух однородных уравнении относительно констант { С±[(4(2 - цф2")ск( + -
—Сэ[(41х2 + ¡¿ф2~)соз 2tk'ф2ц5inY\\ = О
С&^сН ~ 2 [Цг -(2- +
+ - 2[4ц_г + (2 - ¡л)фг]цзгпг\) = О
и
В (14) обозначено
(14)
< =
О^Ь
П =
Поскольку тривиальное решение системы (14)
Сн = С- = О
(15)
не представляет интереса, то для получения уравнения устойчивости надо приравнять определитель этой системы нулю. В результате раскрытия определителя получим: КН2 -¡лф^ск^ + 2tk'ф2(sh(]{tuфA:cosrl-2[4r[2 + (2 -/¿)^2]11<гт11)+
+
(4г]_2 + ц-ф2~)соз 11 +
] - 2[4(2 -
(16)
Связь между ^ и ^ а также формула для критической интенсивности нагрузки вытекают из (7)
$ 11 г (фъу ■
(17)
При совместном решении (16) и (17) параметры ■ и должны подсчитываться для
а
N1
таких значений пЬ, которые соответствуют минимуму :<: при заданных величинах
коэффициентов ^
Так, например, при
(шарнирное опирание всех
если же
и = = к>
(продольные края
краев) этот минимум реализуется при
М* "Г *
защемлены), то минимум х достигается при
Уравнение (16), несмотря на принятые при его выводе некоторые ограничения,
обладает все же достаточной общностью. Из него, как частные случаи, вытекают решения
при различных предположениях о значениях коэффициентов ^к
И
Например, если края пластины при ^ г жестко оперты на шарнирные опоры
ооч ГО < ^ < со") / ч
), но упруго защемлены по отношению к повороту краев ^ й то из (16)
вытекает
2((2 + + (^/г^сол! + г^гпгО^2!^
. Так как
_
С = 0 ((г + = О
Если в (15) принять к ,то^ 1
ттт
(18)
Г+ О, то СОЯ1
У
О
и, следовательно,
11 -
где
т
1.3 ...
число полуволн в ш = 1
направлении оси у (см. рис.2). Подставляя найденное значение (18), придем при классическому результату (5).
Если же в (17) положить (жесткое защемление продольных краев), то
придем к
^/1^ + 11^11=0 ^
что тоже совпадет с известным решением-см. ([3,4,6]) .
Для иллюстрации влияния на устойчивость пластины степени упругого защемления и опирания ее краев, подкрепленных тонкостенными стержнями, проведем
^ = 1
соответствующие вычисления для случая Рассмотрим влияние упругого
защемления, когда прогибом тонкостенных подкрепляющих ребер можно пренебречь
(А = «О
На рис.2 приведен график зависимости отношения ^ от параметра к оъ,
г ка
построенный для различных значении изгибно-крутильнои характеристики по
4-7^ В
Щ = -—
уравнению (18) совместно с (17). Параметр ъ -соответствует критическому
значению интенсивности нагрузки для квадратной, шарнирно опертой по всем краям, п = 1.
пластины при
Из графика следует, что сравнительно небольшая степень упругого защемления ,Ск ^ 0.5 ч- 1.5, р. „
( и ) краев пластины влечет за собой резкое повышение ее устойчивости по
сравнению со случаем шарнирного опирания. Сплошные линии на графике относятся к
свободной депланации торцов подкрепляющих стержней ^к ; пунктирные линии
соответствуют случаю полного стеснения депланации торцовых сечений - см. по (10а).
тт ка = 8 , , = 0.568.
Например, в последнем случае, при коэффициент К
Кривые на рис.2 показывают, что стеснение депланации торцов контурных ребер
может достаточно существенно повышать ( до 10%-15%) критическую нагрузку для
пластины. Этот эффект проявляется сильнее по мере уменьшения изгибно-крутильной
„ (ка)
характеристики подкрепляющих стержней ^ - .
Рис 2. Зависимости отношения ^ от параметра
оъ ка
Отметим, что для прокатных профилей малым значениям соответствуют
а к. гг
стержни с малым отношением их длины к высоте сечения 1ак, например, для
двутавровых и швеллерных профилей от №10 до №40 (соответственно ГОСТ 8239-56 и
ГОСТ 8240-56) соотношения между некоторыми значениями следующих пределах (см.табл).
ка
и ъ колеблются в Табл.
ка 3 5 8 12
а I 6-10 10 - 16 15- 25 24- 40
Ъ С 6-9 9 - 15 15 - 22 23 - 35
Таким образом учет специфики стесненного кручения в подкрепляющих стержнях позволяет более полно выявить резервы устойчивости пластин. Для сравнения см. нижнюю кривую на графике 2, построенную без учета эффектов стесненного кручения (},. = 0, ка = со")
Л Эта кривая также отражает устойчивость пластины, подкрепленной ребрами сплошного сечения (или тонкостенными, но с нулевыми секториальными характеристиками - например, уголковыми или тавровыми профилями).
ЛИТЕРАТУРА
1. Бейлин Е.А., Меликулов Н. М. Об устойчивости прямоугольных пластин, подкрепленных тонкостенными стерженями. -В кн: Стротельная механика и расчет сооружений: Научно-технический журнал. М.Изд-во литературы по строительству. 1980, №5.с.38-42
2.Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.Физматгиз. 1959.
3. Биргер И.А., Пановко Я.Г. (ред), Прочность.Устойчивость. Колебания. Справочник,т.Ш, М., "Машиностроение", 1968.
4. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.Физ.мат.гиз.1967
5.Меликулов Н.М. Исследование устойчивости и жесткости пластин, подкрепленных тонкостенными стержнями, при различных случаях нагружения,- В кн: Стротельная механика сооружений. Межвуз.Темат.сб.тр-Л.ЛИСИ,1980. С. 76-85
6.Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.Гостехиздат, 1955.
7.Muszkowska H. Plyty prostokatne o dwoch krawedziach przeciwleglych swobodnie podparnech i pozostalech sprezyscie zamocowanech. Prace Naykowe Insnytutu Budownictwa Politechniki Wroclawskcy.1973,Nr.11.
8.Ferachian R.H. Back ling of biaxial le compressed long rectangular plates elastically restrained along the long edges and simply supported along the short edges. Proc. Inst. Engrs. Part 2. Montreal, 1975
9.Melikulov N,. Khodjabekov, М. U.Ismatova D. M. Otaqylov A. FREE VIBRATIONS OF THE PLATE WITH THE ACCOUNT OF INFLUENCE OF LONGITUDINAL FORCES PERCEIVED BY THE REINFORCING RODS. European Journal of Research. volume 5, issue 8 2020 pages 20- 25
10.Melikulov N, Otaqylov A. Unloaded plates free vibrations, supported by elastic thin-walled rods. INTERNATIONAL JOURNAL ON ORANGE TECHNOLOGIES www.journalsresearchparks.org/index.php/IJOT Volume: 02 Issue: 11 | November 2020
11.Melikulov N. Stability of Elongated Plates Reinforced along the Contour with
Thin-Walled Rods International Journal of Advanced Research in Science, Engineering
and Technology Vol. 8, Issue 12 , December 2021
12.Melikulov N., Shodmonkulova N. U. Free Vibrations of a Plate Stretched along the Reinforced Sides International Journal of Innovative Analyses and Emerging Technology
Volume: 1 Issue: 5. 2021
13.Melikulov N,. Khushvaktov U Stability of Long Plates with Non-Symmetric Reinforcement of the Edges withThin-Walled Rods. MIDDLE EUROPEAN SCIENTIFIC BULLETIN 1 Middle European Scientific Bulletin, VOLUME 19 Dec 2021
