CC BY
711. Горелик С.С., Дашевский М.Я. Материаловедение полупроводников и диэлектриков, М., Металлургия, 1988, 575с.
12. Случинская И. А. Основы материаловедения и технологии полупроводников, - М., 2002, 376с.
13. Руднев H.A., Малафеева Г.И., Тузова A.M. и др. Со-осаждение микропримесей с осадками гидрокси-дов металлов, Вторая всесоюзная конференция по методам концентрирования в аналитической химии. Тезисы докладов. - М.: Наука, 1977, 282 с.
14. Серова В.А., Коган Б.И. Способы очистки сточных вод и технологических растворов от мышьяка. - М.: Цветметинформация, 1977, 52 с.
15. Салин А.А., Мокина Е.П., Моисеева О.В. Очистка промывной кислоты от мышьяка с помощью сульфидов, Тезисы НИПИ "Казмеханобр". 1973, сб.11, с.27-30.
16. Хабаров О.С., Очистка сточных вод в металлургии.-М., Металлургия, 1976, 224 с.
17. Мешалкин A.B., Шипова O.A., Дмитриенко Е.М., Обезвреживание концентрированных мышьяксо-держащих технологических растворов производства полупроводников на основе арсенида галлия, Ж. прикл. химии.1998, т.71, в.4, с.634-638.
УСТОЙЧИВОСТЬ И ОПТИМАЛЬНОСТЬ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Коляда Леонид Герасимович, Масицева Анна Александровна
Ассистенты Санкт-Петербургского государственного университета, г. Санкт-Петербург
Петрова Валентина Александровнаб, Пупышева Галина Ивановна К.Ф.-м.н., доценты Санкт-Петербургского государственного университета, г. Санкт-Петербург
Ужегов Никита Сергеевич
АссистентСанкт-Петербургского государственного университета, г. Санкт-Петербург
STABILITY AND OPTIMALITY OF CONTROL SYSTEMS
Leonid Kolada, AssistantSaint-Petersburg state university, Saint-Petersburg
Anna Masicheva, AssistantSaint-Petersburg state university, Saint-Petersburg
Valentina Petrova, Candidate physics -mathematics sciencesSaint-Petersburg state university, Saint-Petersburg Galina Pupisheva, Candidate physics - mathematics sciencesSaint-Petersburg state university, Saint-Petersburg Nikita Ugegov, AssistantSaint-Petersburg state university, Saint-Petersburg АННОТАЦИЯ
Даннаястатьяпосвященаизучению динамики управляемых систем, одним из важнейших вопросов которой является характер предельного поведения решений. Доказано существование предельного режима в виде инвариантного множества, что является основой для построения управляемых систем, обладающих целевым множеством фазовых состояний. ABSTRACT
This article is devoted to studying the dynamics of control systems, one of the key issues of which is the nature of the limiting behavior of solutions. The existence of a limiting regime in the form of the invariant set, which is the basis for building the managed systems with the target set of phase states.
Ключевые слова: динамика управляемых систем, предельный режим, вектор фазовых переменных. Keywords: dynamics of controlling systems, limiting mode, the vector of phase variables.
При изучении динамики управляемых систем важнейшим вопросом является характер предельного поведения решений. Существование предельного режима в виде инвариантного множества является основой для построения управляемых систем, обладающих целевым множеством фазовых состояний. Обеспечение существования ограниченного предельного режима является основной задачей конструирования инженерных систем. В приложениях также требуется обеспечение выполнения ограничений на геометрические размеры предельного режима. Другим важнейшим аспектом является рассмотрение широкого класса уравнений динамики с достаточно простой структурой, так как именно структура уравнений определяет возможность их инженерной реализации [41, 42, 43, с. 15].
Рассмотрим управляемую систему
Х5 = X1, ..,хп,и1, ...,иг,Ь),з = 1, ...,п. (1)
Считаем, что вектор управлений и = (и1,.,иг) принадлежит множеству вектор - функций С, которое называется множеством допустимых управлений. Вектор фазовых переменных X = (х1, ...,хп) принадлежит вещественному евклидову пространству Еп функции обеспечивают существование и единственность решений системы (1). Задачи управления весьма разнообразны. К наиболее распространенным задачам относится задача перевода решения системы (1)
Х = Х(1,Х0,10,и), (2)
проходящего через точку Х0 в момент Ь = Ь0, во множество точек 5,определяемое уравнением
.....хп,0 = 0. (3)
Множество 5 может представлять собой и поверхность, и несвязное множество точек, и одну точку. Назовем 5целевым множеством.
На управления и могут быть наложены дополнительные ограничения в виде заданных на решениях системы (1) функционалов
У^(х1, ..,хп,и1, ...,иг, I) < 0.
т = г.
¿0 = 1 ^т
Х5 = /¡¡(X1,...,хп,и1, ...,иг,Ь),з = 1, ...,п, щ = д1(х1,...,хп,и1,...,иг,г)Л = 1,...,г,
п _ Vй диI f 91 = Ь"=1дх,1:;.
^ = Ъ для 5 = 1,..., п, к1+п = д1 для I = 1,..., г. Обозначим также к = п + г. Тогда система совокупных уравнений (5) примет вид
(4)
у = н(у, о,
(8)
Могут ставиться различные условия оптимальности - по быстродействию, демпфированию некоторых функций.
Определение 1. Управление и называется оптимальным по отношению к демпфированию функции V, если эта функция убывает вдоль траектории X = Х(Ъ,Х0,Ь0,и0), соответствующей этому управлению, наибольшим образом.
Определение 2. Управление и называется оптимальным по быстродействию, если среди управлений, переводящих начальную точку на целевое множество, оно доставляет времени перехода
где У Е Ек. Рассмотрим некоторое решение этой системы
У = У(1,Уо,1о),
(9)
наименьшее возможное значение.
Как уже было отмечено ранее, критерий простоты структуры получаемой управляемой системы может превалировать над любыми другими критериями оптимальности. Простота структуры управляемой системы определяется множеством допустимых управлений С. Более общей является задача о переводе любой точки Х0 Е Еп на множество 5 или в некоторую окрестность заданного компактного целевого множества. В практических задачах важным является рассмотрение совокупных уравнений управляемой системы, в которую входят уравнения динамики фазовых переменныхх1, ...,хп (1), а также уравнения регулятора, которые получаются при выбранных управлениях и1, ...,иг. Управления, зависящие явно от времени, чрезвычайно трудно реализуемы на практике, поэтому рассматривают управления, зависящие только от фазовых переменных системы и^ = и-1(х1, ...,хп). Система совокупных уравнений регулируемой системы
которое будем называть невозмущенным. Пусть Е = (е1,.,ек)*. Рассмотрим решение (8) с «возмущенными» начальными данными У0 + Е
У = У(1,Уо+Е,1о). (10)
Это решение назовем возмущенным.
Пусть задана векторная функция
(} = (}(У) = ШП.....Qm(Y)У,
непрерывная по своим аргументам. Также Q будем обозначать значение этой функции на невозмущенном решении. Обозначим значение этой функции на возмущенном решении Р = (Р1,.,Ет). Вектор Q—F обозначим 1 = (г1,.,гт)*. При Е = 0 величины г1,...,гт, очевидно, остаются тождественно равными нулю. Возникает вопрос о характере изменения при ь^ж величин 1г11,...,1гт1 при векторе возмущений Е, отличном от нуля [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,с. 14].
Определение 3. (определение устойчивости по Ляпунову). Невозмущенное движение (9) называется устойчивым по отношению к величинам Q1(Y),..., Qm(Y), если для произвольных положительных чисел Ь1, ...,Ьт можно указать положительные числа Е1,..., Ек так, что при всяких возмущениях, удовлетворяющих условиям
1^1 < Е],} = 1, ...,к,
И при всяком Ь, превосходящем Ь0, выполняются неравенства
— ^ < Ь5,Б = 1,...,т.
(11)
(5)
имеет семейство стационарных интегралов
Щ=Щ(Х1,...,Хп)Л = 1,...,Г, (6)
благодаря которым из системы совокупных уравнений (5) исключены последние г уравнений и получена система (1). Функции д1, определяющие динамику регулятора, определены соотношениями
Если таких положительных величин Е1,.,Ек указать нельзя, то невозмущенное движение называется неустойчивым по отношению к величинам Q1(y),..., Qm(Y). В случае устойчивости, если выполняются Ю; — 0,то невозмущенное решение называется асимптотически устойчивым по отношению к величинам Ql(Y).....Qm(Y).
Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют величины z1, ...,гт:
(7)
¿1 = Ъ1,..., ¿т = Ъу)
(12)
Основная задача процесса регулирования - обеспечение устойчивости управляемой системы [35, 36, 37, 38, 39, 40, с. 15]. Устойчивость может пониматься по отношению к различным величинам, что связано с конкретным приложением. Наиболее полное определение устойчивости является универсальным, оно охватывает различные виды предельного поведения решений уравнений динамики систем. Сюда входит устойчивость по части переменных и устойчивость инвариантных множеств (орбитальная устойчивость). Сделаем в системе совокупных уравнений замену переменных. Обозначим у1 = х1,...,уп = хп,уп+1 = и1,...,уп+г = иг. Обозначим также
называются уравнениями возмущенного движения.
Понятно, что уравнения возмущенного движения могут быть получены только тогда, когда известно невозмущенное решение (9) совокупной системы (8) и заданы явно величины Q1(Y), ...^т(У). Существуют частные случаи, когда уравнения возмущенного движения могут быть составлены - когда в качестве невозмущенного решения берутся очевидные решения системы (8) - положения равновесия, которые могут быть найдены решением системы алгебраических уравнений
к] = 0,] = 1,...,р<к, (13)
а в качестве величин Qj выбраны все или часть системы.
Обычно определение устойчивости по Ляпунову дается в упрощенном виде, а именно как устойчивость нулевого решения возмущенной системы (12) по отношению к величинам г].
Как уже говорилось ранее, орбитальная устойчивость есть частный случай устойчивости по Ляпунову. Действительно, если функция р(Х) определяет расстояние от точки X до инвариантного множества М системы
Х = ¥(Х, О,
где вектор переменных X принадлежит некоторому полному нормированному пространству, то устойчивость по Ляпунову инвариантного множества М эквивалентна устойчивости решений Х(Ь,Х0, £0), где Х0Е М по отношению к величине р.
Применение второго метода Ляпунова требует выполнения требований существования и единственности решений системы уравнений возмущенного движения, а также их неограниченной продолжаемости при Ь ^ го, что является необходимым условием устойчивости по Ля-пунову.Отметим критическое свойство условий единственности решений для применения второго метода Ляпунова к возмущенной системе.
Методы А.М. Ляпунова [20, 21, 22, 23, 24, с. 13, 14] посвящены изучению уравнений возмущенного движения, а именно асимптотическим свойствам нулевого решения этих уравнений, однако во многих практических задачах построение уравнений возмущенного движения по уравнениям динамики системы эквивалентно их интегрированию (если речь не идет о положениях равновесия, которые определяются алгебраическими методами), что в общем случае является нерешенной проблемой. Этому же частному случаю посвящены алгебраические методы устойчивости, посвященные локализации собственных чисел матрицы коэффициентов линейного приближе-ния.Случайность у современного поколения математиков во многом ассоциируется с подпрограммой RANDU. Действительно. Уже многие десятилетия успешно применяются программные генераторы случайных чисел (ПГСЧ). Применение ПГСЧ более эффективно, чем выработка случайных чисел другими способами. Случайные числа, полученные с помощью ПГСЧ, используются в различных технических устройствах, при моделировании, численном анализе (метод Монте-Карло). Применяемые ПГСЧ подвергаются различным статистическим испытаниям [14, 15, 16, 17, 18, 19, с. 13] для определения их состоятельности [44, 45, 46, 47, 48, 49, с. 16].
На практике применяются последовательности случайных чисел, равномерно распределенные на интервалах (0,1) или последовательности целых чисел из множества 1, ...,Ь, получаемые с помощью чисел из интервала (0,1) по формуле
N = [аЬ] + 1,
где [и] - целая часть ц.
При изучении последовательности случайных чисел используются рекуррентные соотношения, позволяющие получать целые числа из множества 0, ...,т — 1, где т - число, обычно равное или на единицу большее, чем число, которое можно разместить в машинном слове. Числа, равномерно распределенные на интервале (0,1), получают делением элементов полученной последовательности на число т [9, 10, 11, 12, 13, с. 12,13].
Наилучшие из известных ПГСЧ (см. [8, с. 12]) основаны на применении рекуррентного соотношения
хп+1 = ахп + c(modm),
(14)
Где х0,х1,... - целые числа из множества 0,...,т — 1,а -множитель, с - слагаемое или приращение, т - модуль сравнения. Последовательность целых чисел х0,х1,х2,..., полученная с помощью соотношения (14), называется линейной конгруэнтной последовательностью. Как было указано выше, случайные числа из интервала (0,1) могут быть получены по формуле
XI
XI =-.
1 т
Можно рассматривать числовые последовательности, связанные с линейной конгруэнтной последовательностью и другими соотношениями. Рассмотрим последовательность чисел у0,у1,... из интервала (0,2л), связанную с линейной конгруэнтной последовательностью соотношением
У1=^2п. (15)
Свяжем последовательность у0,у1,... с последовательностью значений некоторой комплекснозначной функции ф(Ь)\
(р^^) = созу1 + 1зту1,1 = 0,1, ...,где ^ = ¿.
Исследуем вид функции (р(Ь). Преобразуем рекуррентное соотношение (1) с тем, чтобы получить представление Хп в явном виде
Хп = ^ап(х0Ь + с) + - (modm),
Или
хп-"п
апх0 +
■с (тойт),где Ъ = а — 1.
Операцию y= x(modm) аналитически можно выразить следующим образом:
т ,.2п ч
У = —агд exp(i — x).
Рассмотрим комплекснозначную функцию действительного аргумента
Í2TI 1 с
<(t) = ет(-а + (Ьх0 + с)--).
Рассмотрим также связанную с ней действительную функцию
А0 = ^org<p(t).
Справедлива следующая
Теорема 1. Значений функции <(t) в целочисленных точках t0 = 0,^ = 1,... связаны с последовательностью (2), полученной с помощью линейной конгруэнтной последовательности, следующим образом:
<(t¿) = cosyi + isinyi.
Последовательность значений функции f(t) в целочисленных точках 0,1,2,... совпадает с линейной конгруэнтной последовательностью х0,х1,х2, ..Таким образом, построена в явном аналитическом виде функция, порождающая те же значения, что и линейная конгруэнтная последовательность. Рассмотрим основные свойства этой функции [25, 26, с. 14].
Определение 4. Функция f(t), заданная и непрерывная при tE(—m,+m), называется рекуррентной,
п
а-1
если для любого £ > 0 можно указать число L£ > 0 такое, что в каждом интервале (a, a + L£) действительной оси а Е (-ж, +ж) для любого действительного числа t существует число Tt, удовлетворяющее условию
lf(t + Tt)-f(t)l<£.
Если число т можно при £ > 0 выбрать не зависящим от t, то f(t) является почти периодической функцией по Бору.Обозначим через Rf множество всех рекуррентных функций.
Теорема 2. Если f(t) Е Rf, то функция f(t) ограничена.
Теорема 3. Множество Rf есть полное пространство в смысле равномерной сходимости на действительной оси [1, 2, 3, 5, 6, 7, с. 12].
Определение 5. Функция f(t), заданная и непрерывная при t Е (-ж, +ж) называется рекуррентной в положительном направлении, если для каждого £ > 0 можно указать число L£ такое, что в каждом интервале действительной оси (а, а + L£), где а Е (а0, +ж), для любого действительного числа существует число Tt, удовлетворяющее условию
lf(t + Tt)-f(t)l<£.
Подобное определение можно ввести для функций, рекуррентных в отрицательном направлении.
Теорема 4. Функция y(t) является рекуррентной в положительном направлении, функция f(t) является рекуррентной в положительном направлении.
Это утверждение весьма важно, так как оно устанавливает природу линейной конгруэнтной последовательности. Использование алгоритма (1) для выработки случайных чисел было предложено американским математиком Д.Х. Лемером в 1948 г. [4, с. 12].
Результаты данной работы применены в различных отраслях науки и техники [13-28, с. 13-16].Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (пр. № 10-0800064).
Литература
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
2. Dicusar V.V., Zubov A.V., Zubov N.V. Structural minimization of stationary control and observation systems // Journal of computer and systems sciences international, 2010. - Vol. 49, - № 4. - P. 524-528.
3. Lorenz E.N. Deterministic Non-periodic Flow // J. Atmos. Sci.-1963.-V.20.-P.130141.
4. Mikheev S.E. Application of half-derivatives in numerical analysis.( Computational mathematics and mathematical physics 2008; 48(1): 1-15.
5. Miheev S.E. Exact relaxation of multy point iterative methods.( International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), 2014, pp. 116-117).
6. Mikheev S.E. Exact relaxation of multi point iterative methods in scalar case (2nd International Conference on Emission Electronics (ICEE) Selected papers. 2014, pp. 1-4).
7. Smale S. Mathematical problems for the next century // Math. Intelligencer. - 1998. - V. 20. - P. 715.
8. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14-th problem // Foundations of Computational Mathematics. - 2002. - V. 2, № 1.- P. 53-117.
9. Rychlik M. Lorenz attractors through a Sil'nikow - type bifurcation. Part 1 // Ergod. Th. Dynam. Sys. - 1989. -V. 10. - P. 793-821.
10. Андронов А.А., Леонович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1966.
11. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. - Ижевск: Издат. дом «Удмуртский университет», 1999.
12. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. - М.-Л.: ОНТИ, 1934.
13. ЗубовА.В., ЗубовН.В. Исследование устойчивости и неустойчивости для уравнений колебаний сплошной среды.-СПб: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2009. - 73 - 85 с.
14. Зубов А.В., Зубов В.И., Зубов П.А., Стрекопытова М.В. Об одном подходе к анализу системы линейных алгебраических уравнений // 2011. - С. 50.
15. Зубов А.В., Зубов Н.В., Стрекопытова М.В. О единственности голоморфного решения // Системы. Методы. Технологии, 2010. - № 5. - С. 48-50.
16. Зубов А.В., Зубов П.А., Стрекопытова М.В. Несколько теорем о поведении семейств сильно сверхустойчивых матриц // Журнал Средневолж-ского математического общества, 2010. - Т. 12, - № 3. - С. 156-158.
17. Зубов А.В., Дикусар В.В., Зубов Н.В. Структурная минимизация стационарных систем управления и наблюдения // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления, 2010. - № 4. -С. 13-17.
18. Зубов А.В., Зубов Н.В., Стрекопытов С.А. Теория устойчивости и теория квазипериодических систем. - СПб: ВВМ, 2010. - 322 с.
19. Зубов А.В., Дикусар В.В., Зубов Н.В. Критерии управляемости стационарных систем // Доклады Академии наук, 2010. - Т. 430, - № 1. - С. 13-14.
20. Зубов А.В., Зубов И.В., Зубов С.В., Стрекопытов И.С., Стрекопытова М.В. Аналитическая природа случайных последовательностей // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного Политехнического университета, 2010. - № 104. - С. 84-89.
21. ЗубовА.В., ЗубовС.В., ЗубоваА.Ф. Исследование устойчивости и надежности колебательных систем.
- Санкт-Петербург: ВВМ, 2011. - 448 с.
22. Зубов А.В., Зубова А.Ф., Зубов Н.В., Зубов С.В. Математические методы исследования устойчивости и надежности технических систем. - Санкт=Петер-бург: АООТ «Мобильность-плюс», 2011. - 362 с.
23. Зубов А.В., Зубова А.Ф., Зубов С.В. Исследование устойчивости и надежности колебательных систем.
- Санкт-Петербург: Мобильность - плюс, 2011. -450 с.
24. Зубов А.В., Зубова А.Ф., Зубов С.В. Исследование устойчивости и надежности колебательных систем.
- СПб: ВВМ, 2011. - 450 с.
25. ЗубовА.В., ЗубовН.В., ЗубовС.В., ЗубоваА.Ф.Матема-тические методы исследования устойчивости и надежности технических систем. - Санкт-Петербург: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2011.
26. ЗубовА.В., БлистановаЛ.Д., ЗубоваА.Ф., Стрекопы-товаМ.В. Аппарат матричных функций Ляпунова. НТВ Поволжья, № 4, 2014, Казань, С. 9-14.
27. ЗубовА.В., БалахнинП.А., ЗубоваО.А., Стрекопыто-ваМ.В. Существование полной системы первых интегралов. - Москва: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2010. - Т. 50(1), - 98-99 с.
28. Зубов В.И. Устойчивость движения. - М.: Высшая школа, 1984.
29. Зубов В.И. Колебания и волны. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1989.
30. Зубов В.И., Зубов А.И., Стрекопытов И.С., Стрекопы-тов С.А. Выделение кратных и кососимметрических корней многочлена с помощью алгоритма Евклида. НТВ Поволжья, № 4, 2014, с. 26-30.
31. Зубов В.И., Зубов И.В., Зубова А.Ф., Иванов А.И. Уравнение для регулярного интеграла. Известия РАЕН, «Дифференциальные уравнения», № 17, 2012, с. 17-20.
32. Зубов В.И. Теория колебаний. - М.: Высшая школа, 1979.
33. А.Ф. Зубова, Авдеева М.Б., Зубов И.В., Зубов Н.В. Определение устойчивых матриц. Известия Российской Академии естественных наук, Дифференциальные уравнения, № 16, 2011, Рязань. С.9-11.
34. Зубов В.И., Зубов И.В., Зубова А.Ф., Иванов А.И. Уравнение для регулярного интеграла. Известия Российской Академии естественных наук, Дифференциальные уравнения, № 17, 2012, Рязань. С. 1720.
35. Зубова А.Ф. Математические методы исследования колебаний и качественный анализ систем управления. - СПб.: ВВМ. - 2013. - 238 с.
36. Бондаренко Л.А., Кирпичникова Е.С., Кирпичников С.Н. Об устойчивости линейных периодических га-мильтоновых систем при наличии негамильтоно-вых возмущений // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59, вып. 6.
37. Бондаренко Л.А., Кирпичникова Е.С., Кирпичников С.Н. Об устойчивости линейных периодических га-мильтоновых систем при наличии негамильтоно-вых возмущений // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59, вып.6.
38. Бондаренко Л.А.,Кирпичников С.Н. Параметрический резонанс при вращательном движении составного спутника // Проблемы механики управляемого движения. Пермь. 1990.
39. Бондаренко Л.А.,Кирпичников С.Н. О возможности возникновения параметрического резонанса при компенсации эксцентриситетных колебаний спутника с гравитационной системой стабилизации // Проблемы механики управляемого движения. Пермь. 1989.
40. Бондаренко Л.А.,Кирпичников С.Н. Сильная устойчивость линейных гамильтоновых периодических систем при заданном негамильтоновом возмущении. Общий случай // Вестник ЛГУ, сер. 1. 1986. Вып.2.
41. Бондаренко Л.А.,Кирпичников С.Н. Сильная устойчивость линейных гамильтоновых периодических систем при заданном негамильтоновом возмущении. Нерезонансньй случай // Вестник ЛГУ. Сер. математика, механика, астрономия. 1985. №15.
42. Бондаренко Л.А.,Кирпичников С.Н. Об устойчивости одной линейной периодической системы дифференциальных уравнений четвертого порядка // Проблемы механики управляемого движения. Пермь. 1985.
43. Леонов Г.А. и др. Частотные методы в теории колебаний. Т.2. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992.
44. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. - М.: Наука, 1977.
45. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. В 7 т. Т.2. Получисленные алгоритмы. - М.: Мир, 1977.
46. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - 2-е изд. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.
47. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - М.: ГИТТЛ, 1947.
48. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1974.
49. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. - 3-е изд. - М.: Наука, 1965.
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕНТ/ЕГЭ
Кудусов Арыстан Сатыбалдинович
кандидат физ.-мат.наук, доцент, Карагандинский Государственный Университет, г. Караганда
Дарибеков Сагатбек
кандидат техн.наук, доцент, Карагандинский Государственный Университет, г. Караганда
Ильина Лидия Федоровна
кандидат физ.-мат.наук, доцент, Карагандинский Государственный Университет, г. Караганда
Рысмаганбетова Салтанат Кумаровна
магистр физики, старший преподаватель, Карагандинский Гос. Университет, г. Караганда
SOME RECOMMENDATIONS FOR TRAINING TO THE CNT/CSE
Kudusov Arystan, Candidate of Phys.-Mat. Sciences, assoc. prof. Karaganda State University, Karaganda Daribekov Sagatbek, Candidate of Techn. Sciences, assoc. prof., Karaganda State University, Karaganda Ilyina Lidiya Fedorovna, Candidate of Phys.-Mat. Sciences, assoc. prof., Karaganda State University, Karaganda
