CC BY
7УДК.517.925.51
S.A. Strekopytov, M.V. Strekopytova, O.S. Strekopytova
STRUCTURE LIMITED INVARIANT SETS OF DYNAMICAL SYSTEMS QUASIPERIODICALLY
Autonomous systems of the differential equations on m-dimensional to a Torah are considered. The geometrical structure of their integrated sets is studied. The problem of creation of system of the differential equations on m-dimensional to a Torah on the set integrated curve everywhere dense on m-dimensional to a Torah is solved.
Keywords: system of differential equations, quasi dynamic system, invariant sets, the limit points of the integral curves.
С.А. Стрекопытов1, М.В. Стрекопытова2, О.С. Стрекопытова3
СТРУКТУРА ОГРАНИЧЕННЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДИНАМИЧЕСКИХ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В статье рассматриваются неавтономные системы дифференциальных уравнений с квазипериодической по независимому аргументу правой частью. Определяется понятие динамической квазипериодической системы и проводится исследование структуры её ограниченных инвариантных множеств.
Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений, динамические квазипериодические системы, инвариантные множества, предельные точки интегральных кривых.
1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в теории колебаний Многие процессы в механических, электрических, радиотехнических и других физических системах, управляемых и неуправляемых, при известной идеализации описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений [1], [11], [12]:
dt ~ fsC2! .-■■,zm,xl,-■■,хп), s-1,71,
; = 1, т, (1.1)
так что колебания этих систем определяются свойствами решений системы (1.1), относительно которой предположим, что:
1) функции гт, Х^,..., Хп), э = 1,П, определены и непрерывны для любых 7.<е Ет и Хе Еп, принимают вещественные значения;
2) функции г^), ¡= 1,771 определены и непрерывны для всех I е (-оо,+оо), принимают вещественные значения;
3) функции fsQzl,■■■, -*!>■■■> хп.)> 5 = 1,71, удовлетворяют условию Липшица:
для любых Хо е Еп и z0 b > 0 такие, что для всех (z, х) и
Em
существуют константы а > 0
(z, X) G R = {(z, х): ||z- Z0 || < а , ||х-Х0||< £>},
.....хш)~ fs{z, %!,■■■ Лт)\< Lr £7=1
s = l,n, iR - константа, зависящая только от R.
и
е
1 Стрекопытов С.А., доцент кафедры финансов и статистики, кандидат физико-математических наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), г. Санкт-Петербург
Strekopytov S.A., Associate Professor of the Department of Finance and Statistics, PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor; St. Petersburg State Technological Institute (Technical University), St. Petersburg
E-mail: [email protected]
2 Стрекопытова М.В., кандидат физико-математических наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
Strekopytova M.V., PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor; St. Petersburg State Technological Institute (Technical University), St. Petersburg
3 Стрекопытова О.С., аспирантка, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
Strekopytova O.S., Postgraduate, St. Petersburg State University, St. Petersburg
4) для любых z е Em и x е En и Ф = 2^1, ..., k1, ..., km - целые числа.
fs(Z + Ф,X) = fs(Z, X), 5 = Щ
Выполнение первых трёх условий достаточно для того, чтобы существовало единственное решение х^) системы (1.1), у которого х(У = xo, обозначим его х(^ to, xo), причём функция х(^ to, xo) непрерывна по совокупности своих аргументов всюду, где она определена.
При фиксированных ^ и xo, функция х(^ xo) задаёт в фазовом пространстве системы (1.1) кривую, которую называют интегральной кривой системы (1.1).
В этой работе будет уделено внимание, прежде всего, геометрическим свойствам интегральных кривых системы (1.1), т.е. будут рассмотрены следующие вопросы:
• предельное множество интегральной кривой и его структура;
• зависимость поведения интегральных кривых от параметров, устойчивость;
• существование интегральных кривых с заданными свойствами.
Для интегральных кривых автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений эти вопросы рассматриваются в рамках теории динамических систем [1], т.к. интегральные кривые автономных систем задают в фазовом пространстве динамическую систему.
Такой подход позволяет исследовать свойства интегральных кривых с точки зрения, не зависящей от конкретного вида системы уравнений. Напоминаем, что динамическая система в пространстве En считается заданной [2], если:
1) для любых t е (-ю,+го) и xo е En определена функция F(t, x), значения которой расположены в En, F(o, x) = x,
2) функция F(t, x), непрерывна по всем своим аргументам,
3) F(t+т, x) = F(t, F(т, x)) для любых ^ т е (-»,+(»), x е En.
Функция F(t, x) при фиксированном x е En называется движением динамической системы, а множество значений этой функции при всех t е (-ю,+с») называется траекторией этого движения.
Интегральные кривые системы (1.1) не определяют в фазовом пространстве динамическую систему, т.е. функция х(^ xo) не удовлетворяет условиям (1-3), однако при исследовании свойств этих кривых во многих случаях можно применять методы теории динамических систем.
Пусть вектор-функция z(t) в системе (1.1) совпадает с движением какой-нибудь динамической системы в пространстве Em, например, является решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [17].
Будем предполагать, что рф определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по всем Em, тогда для любых ^ е (-ю,+ю) и zo е Em существует единственное решение z(t) системы (1.1) такое, что Z(to) = Zo. Объединим теперь системы уравнений (1.1) и (1.2).
При всех ^ е (-ю,+го), zo е Em и xo е En система (1.3) имеет единственное решение v(t) = ^0), x(t)) v(to) = vo = xo) при этом z(t)е Em, а х(t) е En при всех t из области определения решения v (t, vo). Проекцией интегральной кривой системы (1.3) v (t, to, zo, xo) в пространстве En будет кривая х (^ to, zo, xo), которая является интегральной кривой системы (1.1) при z(t) = z (t, to, zo) будет проекцией интегральной кривой v (^ to, zo, xo) системы (1.3).
Таким образом, свойства интегральных кривых системы (1.1) есть свойства проекций в пространстве En интегральных кривых системы (1.3).
Система (1.3) автономная, поэтому если v(t) её решение, то v(t+c), где с -произвольная константа, тоже будет её решением, следовательно, если v(t, решение системы (1.3), которое при t = 0 равно то v (^ = v (t - поэтому все
интегральные кривые системы (1.3), проходящие через геометрически совпадают и зависят только от
Решение v (^ vo) может быть определено не для всех t е это неудобно при
изучении геометрических свойств интегральной кривой. Однако существуют условия для
функций bk(z), k= l,m и fs(z, х), s = l,Jl , при выполнении которых любое решение
системы (1.1) определено при всех t е (-го,+сю). Одно из этих условий - ограниченность названных функций. Действительно, пусть
|bfc(z)| < М , k= t,m , \fs(z,x)\ < м ,S = Д,П для любыхz е Ет их 6 Еп.
Покажем [2], что все решения в этом случае определены при всех t е (-ю,+сю). Для этого достаточно доказать, что решение v (t, vo) определено при t > 0, т.к. для t < 0 доказательство будет аналогичным. Итак, возможны два случая: либо v (t, zo, xj ограничена при t > 0, либо не ограничена при t > 0. В первом случае последовательное применение теоремы существования показывает, что решение определено при всех t > 0. Во втором случае предположим, что решение определено лишь при t < Т < +с». Тогда, как следует из равенств
Получим оценки:
- МТ ' к = 1,771 •
\xs(\,z0,x0 )-xJ| < мт, s = l/n
что противоречит предположению о неограниченности v (t, zo, xj.
Если в систему (1.3) ввести новое независимое переменное по формуле:
то система примет вид:
dz
dT i+ rfc"=1 bl (z)+ vp=1 fi (z,xy
dr 1+ Z™ ±b2k (z)+ YJU fi (z,x)
(1.4)
Правые части системы (1.4) удовлетворяют условию ограниченности, поэтому любое её решение V (т, vo) будет определено при всех т е но геометрически
интегральные кривые V (т, и V (t, vo) будут совпадать.
Таким образом, в пространстве О = Ет х Еп посредством системы (1.4) удалось определить семейство интегральных кривых V (т, которое обладает следующими свойствами [4], [5]:
1. При любом ^ е О векторная функция V (т, определена при всех т е при этом V (т, е О и V (о, = vo.
2. Векторная функция V (т, vo) непрерывна по совокупности своих аргументов.
3. Для любых т и т1 е имеет место равенство
V (т + т1, Vo) = V (т, V (т1, Vo)) (1.5) Действительно, левая часть равенства (1.5) является решением (1.4) при
фиксированном т1, а при т = 0 имеет место равенство:
V (т1, Vo) = V (о, V (т1, Vo)),
которое справедливо в силу пункта (1), следовательно, по теореме единственности равенство (1.5) имеет место для любых т и т1 е (-да,+да). Для любых г0 е Ет, Хо е Еп и Ф = 2л(к-,, ..., кт)
У( т, 70 + ф, х0 ) = Ч(т,г0 , х0 ) + р , р = (ф, 0).
Это следует из теоремы о единственности решения задачи Коши и того, что если V (т) = (г(т), х(т)) - решение системы (1.4), то V (т) = (г(т) + Ф, х(т)) тоже будет решением (1.4).
Пусть проекция интегральной кривой системы (1.4) V (т) = V (т, ъ0, Хо) в пространстве Ет есть кривая ъ = ъ (т, ъ0, х0), а в пространство Еп - кривая х = х (т, ъ0, х0), из перечисленных свойств функции V (т, v0) = V (т, ъ0, х0) следует, что:
1) при любых 10 е Ет, х0 е Еп и т е определены две векторные функции х(т, Ъо, Х0) и ъ (т, Ъ0, Х0); х(т, Ъ0, Х0) е Еп, ъ (т, Ъ0, Х0) е Ет, х(о, Х0) = Х0, ъ(0, Х0) = Ъ0;
2) векторные функции х (т, ъ0, Х0) и ъ (т, ъ0, Х0) непрерывны по совокупности своих аргументов;
3) для любых тит! ё (-оо,+оо), е Ет и Хо е Ел
z(т + t1, то, хо) = 7- (х , хО , х (т + т1г хо) = х (т , х^ ,
= 2(Т1,г0, Хо) , Х1 = х(Т1,г0, Хо);
4) для любых т е (-го,+го), ъо е Ет и Хо е Еп, Ф = 2л(к-|, ..., кт), где к!, ..., кт - целые
числа,
Ъ (т, Ъ0 + Ф, Х0) = Ъ (т, Ъ0, Х0) + Ф , Х (т, Ъ0 + Ф, Х0) = Х (т, Ъ), Х0). Будем говорить, что в пространстве Еп задана динамическая квазипериодическая система й, если заданы две векторные функции х (т, ъ0, Х0) и ъ (т, ъ0, Х0), удовлетворяющие условиям (1-4).
Интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений [6],
[7]:
йг йх
— = С(2,х), — = Р(2,х) (1.6)
аЬ at
также определяют в Еп динамическую квазипериодическую систему, если правые части этой системы удовлетворяют тем же условиям, что и правые части системы (1.1).
2. Основные свойства динамических квазипериодических систем Векторную функцию Х(т, ъ0, Х0) при фиксированных ъ0 и Х0 будем называть движением. Значение этой функции при фиксированном т будем называть изображающей
точкой движения. Совокупность изображающих точек движения при всех Т ё Ь]
обозначим как х( [а,Ь];гд1Х(у ) если а = а Ь = +оо, то множество
х([ —ж, ) называется траекторией движения х(т, Хо)
Теорема 2.1. Если заданы е Ет и Хо е Еп , то для любых е > 0 и Т > 0 можно
указать 3 = 5 (е, Т ) > 0 такое, что при ||Х0 — у0|| +\\г0 - Б0 || < 5 {е,Т ),
Уо
Еп
будет
|х (т, г0,х0)~ х(т, , Уо )ц< £
|г (т,г0 ,х0 ) - ,у0)||< £ при | т| < Т.
Доказательство. Пусть утверждение теоремы неверно, тогда существуют последовательности Х^ —> Х0 , г^^ Zo прик^+оо, Тк Е [— Т, Г] и е > О такие, что будет верно хотя бы одно из неравенств:
( л ( (к) (йОЛ
таким образом, хотя бы одно из неравенств будет верно при бесконечном множестве тк. Допустим, что это первое неравенство, из таких тк выберем сходящуюся
подпоследовательность —» Т при п +оо, очевидно, что Т ё [—Г, Г] тогда X ( , .V) —» X (т, е.- , Л'.;; ), а по свойству (2) системы й
-> х( т,г0 ,х0 ), следовательно, ||х (т^г^х^)
— х( тп,г0 , х0 ) 11= 5п -> О
т
Е
ъ
и
е
е
о
при п ^ что противоречит сделанному предположению, поэтому теорема
верна.
Определение [8]. Множество Ае Еп называется инвариантным множеством Р, если для каждого Х0 е А можно указать такое ^о6 Еп, что траектория
движения X (т, гд , Хд ) содержится в А.
Из этого определения вытекает, что множество Ае Еп инвариантно тогда и только тогда, когда оно представляет собой теоретико-множественную сумму траекторий. Простейшим примером инвариантного множества является точка покоя Р. Точка
Хо называется точкой покоя Р, если существует хотя бы одно ¿Где Ет такое, что X (т^о ,Хд ) — Хо при всех x 6 (-00, +оо), а т.к. X (т + г0 , х0 ) = X (т, , х0),х0 ) = х0 при всех I и т е (-00, +оо), то
X (т, , Хд ) = Хо при всех т е (-оо, +оо) и для которых существует такая
последовательность что г(£и,г0 , х0) —» (тос[ 2л).
Теорема 2.2. Множество всех точек покоя й инвариантно и замкнуто. Доказательство. Действительно, каждая точка покоя представляет собой инвариантное множество. Следовательно, произвольное объединение таких точек, в частности множество всех точек покоя, является также инвариантным множеством. Остаётся показать, что совокупность всех точек покоя является замкнутым инвариантным
ДЮ ^ „.. . .. „АО
множеством.
при
к
х.
о
Пусть Х^ Х0
— точки покоя Б, тогда существуют г¿к'' такие, что х (V, ^ = х^ Для
всех т е (-оо, +оо). Из последовательности выделим такую подпоследовательность что—>г0(тос1 2л) .теперь
( (п) (71.) \ , ( (71.) (71) \ (71)
х (т,гс ^x¿ ^х (т,г0 ,х0 }, х (т,хс \х'0 )=х0 %х0 при п ->
+00 и x 6 (-00, +оо). Следовательно, х(т^о , Хд ) = Хо при всех x 6 (-00, +оо), т.е. хо -точка покоя й.
Теорема 2.3. Если множество Ае Еп является инвариантным множеством Р, то его замыкание А также является инвариантным множеством Р.
Доказательство. Пусть Хд е А , покажем, что существует ^о е Ет такое, что X (т, , Хд ) е А для всех X е (-оо, +оо). При этом возможны два случая: либо Хо е А и ¿о существует в силу инвариантности множества А, либо Хо Е А и
Х0 при к +оо, € А . Так как А
(*) - .. 7(Ю
найдется такое, что
Выделим подпоследовательность
существует последовательность Х0
инвариантное множество Р для каждого Х0
хю лю
х([-оо, +ос]; г^ Х^ о С а.
г^1 —>г0(тос[ 2тг), тогда х (V,х^п) , х0 ), при п ^ и
любых х е (-оо, +оо), следовательно, при всех х е (-оо, +оо)
теорема доказана.
Определение. Точка X е Еп называется <э-предельной (а-предельной) точкой движения X (т, ¿о , Хд ), если существует последовательность ^ ->■ +оо (^ -оо) при п +оо такая, что X (£п , , Х0 ) = Хп—>Х при п +оо.
Теорема 2.4. Множество всех со (а)-предельных точек движения х(т, , Х0 ) инвариантно и замкнуто.
Доказательство. Пусть О. - множество всех со-предельных точек
движения х(т, гд , Хд ) не пусто, покажем, что оно инвариантно и замкнуто. Если
X е о., то существует последовательность ^ +оо при п ^ +оо такая, что
х (1П , , Хо ) = хп—>х при п +оо, из последовательности гп= )
выделим подпоследовательность сходящуюся по тос1271 к некоторой точке 2 е Ет,
тогда х (т, гк, хк )—>х (т, г, х ) при к +оо для любого т е (-оо, +оо) , но
х (т Хд. ) = х (т + ,х$ ) и ^ + т +оо при к +оо, следовательно,
при всех т е (-оо, +оо) точка X (т X ) - со-предельная точка движения х(т,го,хо). Инвариантность О. доказана.
Докажем, что О. замкнуто. Пусть ХП^Х, т. е. 11 X — Хп \ \ = £п —» О
при п +оо, выберем последовательность ^ так, чтобы ^ ->■ +оо при п +оо и
||х(
^п'^О 'х0 ) Хп ||- ¿д ~~* 0 при п —> +оо. Тогда,
хп || +|| хп — х(гп,г0,х0)\\=£п
+ <5П —> 0 при п +оо, т.е. х - со-предельная точка движения х(т,гд
Замкнутость О доказана. Если О пусто, доказательство теоремы тривиально.
Доказательство инвариантности и замкнутости всех ю-предельных точек аналогично. Теорема доказана.
Замечание. Если множество всех ю-предельных (а-предельных) точек ограничено, то оно связное, действительно, предположим, что это не верно и О = Р и О, Р и О -ограниченные, замкнутые множества, Р п О = 0. Следовательно, Р(Р, О) = а > 0 и существует такая последовательность ^ ->■ +оо при п +оо, что
К(Р,х( - ) < з и Р(0,х( 12к,г0,Х0) <- тогда
Р(Р,х( ,х0 ) > Д (Р,<?) -щсиС ь2к,г0,х0 ) > у,
поэтому в силу непрерывности функции Р(Р,х( I, , Хд )) существует такая последовательность тк, что ¿2^-1 — ^к — к и Р(Р>Х( ^к'^0 > )) = ^ > откуда Р(0,х(тк , г0 , Х0 )) > Д (Р, (?) —Р(Р,х( Тк, , Х0 ) = ^ , из ограниченной
последовательности х( Тк, , Хд ) можно выделить сходящуюся подпоследовательность х(тП1г$ , Хд ), её предел - точка X, очевидно, является ю-предельной точкой движения х(т,5Го , Х^ ), но она не принадлежит ни Р, ни О, т.к.
и /?((?,х) — получили противоречие, следовательно, О. -связное множество.
3. Устойчивость по Пуассону
Определение [9]. Движение х(т , Х0 ) системы Р называется устойчивым по Пуассону в положительном направлении - устойчивым р+ (соответственно устойчивым в отрицательном направлении - р—), если существует такая последовательность ^ +оо (^ -оо) при п +оо, что
х( Ьп, , х0 ) —» х0 и ,х0 ) —>г0(той 2л) и при п +оо.
К{Р,х)=-2> О
Движение х(т , , Х0 ) называется устойчивым по Пуассону - устойчивым р, если оно одновременно устойчиво р+ и р-.
Теорема 3.1. Если движение х(т,,г0,Хо) устойчиво р+ (р-, р), то любое
движение х(т д^ ), где х^ — , Хд ), — г^т^,!^ , Хд ) также будет
устойчивым р+ (р-, р).
Доказательство. Пусть последовательность +оо, при п +оо,
что х( , х0 ) —> х0 и г( ,х0 ) —>>г0(тос1 2л ) , тогда: = х( 1п,г0 , х0 ) , х( , х0 )) —> х( т±,г0 , х0 )=х1, при п ->
+оо и
г(£п,г1,х1) = г ( + т^ , , ) =
= д0))-> г(т1гг0 ,х0')(тос1 2тг) =
— г1(то£^ 2тг ), при п +оо, что и требовалось доказать.
Из определения устойчивости по Пуассону движения х(т , , Хд ) следует, что
в случае устойчивости р+, (р-) точка хо будет ю-предельной (а-предельной) точкой этого движения, также понятно, что вся траектория
х([—) будет целиком состоять из со-предельных (а-предельных) точек движения х(т , , Хд )
Если точка Хд ё Еп такова, что существуют ^ е Ет и последовательность ^
—>+оо —>-оо) при п —>+оо, для которых , хд ) = х(), а
До)^ г0(тос1 2п ), при п +оо, то движение х(т , , Х0 ) устойчиво р+
СНесли существует такое Т > 0, что для движения х(т,^0,х0 ) равенство
(т
Т >zo >хо
) = х(т,
■о > О
)
(с)
выполняется при всех т е (-оо, +оо), то движение х (т ,zQ, х0) называется
периодическим, допускающим период Т. Пользуясь свойством (3) динамической квазипериодической системы, легко показать, что периодическое движение допускает в качестве периодов также все числа kT, k - любое целое число, отличное от нуля. Наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее условию (с), называется
периодом движения x(l, Zq , Xq ), когда у периодического движения не существует такого наименьшего периода, x(t,Z0,X0) = х0 для любого т е (-оо, +оо), действительно, для любого е > 0 найдётся такое 5 > 0, что при || t || < 8 || x(t, Zq , Xq ) — Xq || < б , согласно предположению существует период Т, меньший 5, поэтому представляя любое t в виде t = nT+t, где п - целое число 0 < t <Т, получим:
ввиду произвольности 6, x(t , Zq , Xq ) =xq.
Покажем [3] теперь, что любой период Т представляется в виде пт, где т - период движения х(т ,Zq , Xq ), n - некоторое целое число, отличное от нуля. Пусть Т > 0 -период, не кратный т, тогда найдётся такое натуральное п, что
пт < т < (m^jx, ti~t tit, - период, меньший t-i, это противоречие.
Периодическое движение x(t,Zq,Xq^ с периодом т, тогда и только тогда будет устойчивым р+, когда существует такая последовательность натуральных чисел nk, что z( ,Z0 , Х0 ) —> Zgimod 2n ) при k +00, достаточность условия очевидна, докажем его необходимость.
Пусть последовательность tn +00, х( tn , Zq , Xq ) —> Xq,
z(tn , Zq , Xq ) —> Zq (mod 2л ) при n +00, можно найти такие nk, что 0< tk — nkT < Г откуда х.( Тк , Zq , X.Q ) —> Xq и
х( t + Tkr z0 , х0 ) —> х( t, z0 , х0 ) при k +оо и всех t е (-00, +00), здесь Т-к. = ¿к ~ пк причём, не уменьшая общности, можно считать при к
+00. Поэтому х( t + T,Zq ,х0 ) =х( trz0 ,х0 ) для любого t 6 (-00, +00), т.е. Т либо равен 0, либо Т, следовательно, последовательность можно представить в виде tk — TlfcT + Olj^ или
Г;.. = (м ;.. — 1)Г— ¡Ji: , ak и ßk ^ 0 при k ^ но
Доказательство для случая устойчивости р - аналогично.
Теорема 3.2. Если движение x(t,z0 ,Xq) устойчиво Р+, то для любого Т > О существует такая последовательность натуральных чисел nk, что x(nfc Trz0 , х0) Xq a z(nkT ,Z0 ,Х0 ) —> Zq (mod 2л ).
Доказательство. Пусть lim^^ х( , z0 ,x0) — Xq,
z( , z0 ,x0) — Zq (mod 2л ) и Hm tfr = + со Представим каждое tk
в виде = T — T, где nk - натуральное число и 0< < Т. Понятно, что последовательность Т^ можно сразу считать сходящейся ^ini Т^ — Т . Таким образом,
отсюда, что равносильно,
=х( Т, Zq , XQ),
Очевидно,что:
lim x(nfc Т + IT ,z0 ,х0) =x( t + IT,z0!xq),
fc-^oo
lim x(nkT ,z0 д0)
при любом целом l. Далее,
Это означает, что для любого е > 0 существует натуральное число N, такое что при nk > N: II х(2 Т, z0 , х0) - x(nk Т + I, ZQ , Х0 )|| <
и \\z(2T,z0lx0) -z(nkT + T ,z0 ,x0)||
а т.к. при достаточно больших П|
ii х(пг T,z0,x0) -x(t,z0 , xq)||<5 и
II z(n; T,z0 , х0) -z(r ,ZQ , Х0 )ll<5(mod 2л ),
где 5 - любое положительное число, то в силу непрерывности функций x(t ,Zq , Xq )|| и
z(t, Zq , Xq ) для достаточно больших П| при фиксированном nk > N:
\\z(nk Т + t,zq,x0) -z((nk + ni)T ,z0 До )"<§(m°d2л ),
следовательно,
II x(2 Z, Zq , x0) - x((nk + щ)Т , Zq , Xq )ll <£
ii z(2 t,z0 ,x0) — z((nfc + пг)Г ,z0 , x0 )ii < £(m.od 2л ), и поскольку e может
быть любым положительным числом, то можно построить такую последовательность натуральных чисел п^ что
lim x(ri; Т , Zq , Xq ) = х(2 Т, Z0 , Х0) и
.
fc^oo
Аналогичное рассуждение покажет, что такую последовательность можно построить для любой пары точек х(к Т, z0 , х0) и z(k Т, z0 , х0), к - целое число, а по
ранее доказанному, это будет верно также для пары точек х(к Т 4- IT, zQ, х0) и
z(kr + lT,
- ; , V: I, где k и l - любые целые числа. Рассмотрим два случая:
1) т и Т - соизмеримые числа, то есть существуют целые числа к и I такие, что к Т + IT — 0. Тогда для пары точек х0 — x(0,z0,x0) и z0 — z(0, z0 ,х0) можно построить последовательность натуральных чисел nk такую, что
lim х(пк Т ,Zq ,Хо ) = Xq, lim z(nk Т , z0 , х0 ) = z(mod 2л );
к—>m к-*оо
2) т и Т - несоизмеримые числа, тогда множество чисел что к I + IT, к и I — любые целые числа, всюду плотно на числовой оси, в частности существуют такие последовательности kj и lj , что kj Т + lj Т—>0 при j +оо, поэтому
lim х( к<т + L Т ,z.| ,л'.-: ) = л-, а fä->00
lim z( kj I + LT ,Zq ,Xq) = Zq (mod 2л ) ,
k-iCC
но если последовательность положительных чисел Sj ^ 0 при j ^ то для каждого j найдётся такое натуральное число nj, что
£ 2
< - (mod 2л )
их( kjT+ lj Т, z0 До) - x(njT ,z0lx 0)|| < Ej ,
iiz( kjT + lj T , z0 , xQ ) - z( Tlj T, z0 ,xQ )|| < ej (mod 2ж ), следовательно,
Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что если т и Т - несоизмеримые числа, то для любой точки траектории движения x(£,Zq,Xq) можно построить соответствующую последовательность nk. В случае, когда т и Т - соизмеримые числа, этого утверждать нельзя. Например, если х( £,Zq , Xq ) - периодическое движение с
периодом Т, то последовательность Хп — х( Ti7\Zq , Xq ) имеет только одну предельную точку х0, здесь т = 0.
Понятно, что таким же свойством обладает движение х( £,Z0 , Х0 ), устойчивое Р, в доказательстве для этого достаточно взять Т < 0.
В силу доказанной теоремы множество пар точек X0eEn HZ0eEm, которые
определяют устойчивые Р+ движения х( £,Zq , Xq ), целесообразно рассматривать, как множество пар точек, которые можно представить в виде соответственно предела последовательности х( Tl^., Zq , Xq ) и предела по mod27i последовательности
Z( Mi.Z.; '-с.1, где nk - возрастающая до бесконечности последовательность натуральных чисел. Определим множество всех пар таких точек. Вместо пары точек Х0еЕп и Z0eEm, будем рассматривать одну точку V0 — (z0 ,Х0) eEm+n , а вместо
пары векторных функций х( T,Zq , Xq ) и z( T, Zq , Xq ) - одну векторную функцию
т, Zq ,х0) = (z( t,z0 ,x0 ), x( T, Zq , x0 )), кроме того, через v( т, А) будем
обозначать множество всех точек v( Т, Zq , Xq ), у которых
Пусть [13] Si, ...,Sn - совокупность открытых шаров в пространстве Em+n со
всевозможно рациональными радиусами и центрами, расположенными во всех точках пространства Em+n с координатами, равными 2лу, у - любое рациональное число, понятно, что каждая точка пространства Em+n принадлежит одному из таких шаров. Из
этих шаров образуем множества Clt ..., Сп так, что каждое множество ск состоит из
всех шаров с одинаковым радиусом и центром в точках
(z0 + Ф,х0),Ф = 2к( к,..., .....- любые целые числа. П°стр°им
теперь множества [14]:
С'п=Сп\ [cnn Ufc=i Cnl n=1,2...,
тогда множество Р+ состоит из точек (Zq , Xq)v определяющих устойчивые Р+ движения х(т , Zq , Xq ), a R+ - из точек (Zq ,Iq), определяющих неустойчивые Р+ движения x(t,Zq,Xq). В самом деле, пусть (z0 , х0) е Р+ и пусть с, содержит точку
По определению множества Р+ точка (Zq,Xq) не принадлежит следовательно, для некоторого ^¿(Zq,Xq) е С^ гШ?(—fej, Cj) , тогда:
у(к.>го 'хо) е эт0 верно для любого содержащего точку
(^о , Х0) , поэтому движение х( Т, , Хд ) устойчиво Р+.
Пусть теперь (-2д , Х0) е Я + , значит, найдётся множество С^, содержащее точку (¿о , х0) ,такое, что , х0)е С^' , поэтому при всех натуральных к г?(—к , С^' = 0, а т.к. С/ с С|, то у(-к , с[)г\ С[ = 0, откуда у(-к , С;)п С-ь = 0 , при всех натуральных к, т.е. точки У (к, 20 , Х0 ) не принадлежат множеству С^ поэтому движение х( , Хд ) неустойчиво Р+.
Аналогично, строя множества С^ =Сп \ \.Спп,У)к=1х?(к, Сп], п=1,2..., мы получим Я =1^=1 Сп множество точек (гд , Хо), определяющих неустойчивые Р движения х( £, 2д , Хд ), и Р — Ет + п \К - множество точек (гд , Хд), определяющих устойчивые Р движения х({,-2д , Хд). Очевидно, что Р+п, Р есть множество точек (2д , Хд), определяющих устойчивые по Пуассону движения
.V I. Г, , Л'.;: I.
В теории динамических систем известна
Теорема 3.3. Если устойчивое Р+ движение 1?(т, Уд ) динамической системы, заданной в пространстве Еп, не является периодическим, то в каждой окрестности любой точки траектории !?([—Ъ'д) найдётся со-предельная точка движения
, 17 ), не принадлежащая его траектории.
Доказательство. Очевидно, что утверждение достаточно доказать для точки УдеЕ". Покажем, что в любой замкнутой е - окрестности точки м0 - б(уд , £ ) найдётся сопредельная точка движения у(т ,Уд ), не принадлежащая !?([—По условию теоремы существует такая последовательность что < ...
Выбираем Т1 > так, что = у(т1,у0 )е5(г?д,£), очевидно, что Р!( 1?0)) > 0. Пусть
min
£ 1
- )Е - R Oo,Pi);- R( v^vd-t^tj.vо))].
Тогда £(>!,£ ) с 5(г?о,£) )пГ([-Уд) =0
Вообще, пусть Уп-1 оо,+оо], г?0) и еп_1 уже определены; выбираем
Тп > так, чтобы точки Уп = у(тп , Уд ), что возможно в силу
устойчивости Р+ движения у(т , Уд ), затем определяем
71
min
,£п-1 1
— ;En-i - Riy-n-^Vn)]- RC^Kt-i^tnL^o))]-
Получим последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров:
s(fn ,£л )г> v(.[—tn, tn], Рд) = 0, для всех п. Т.к. £п — — —> 0 при п +оо,
существует такая точка V Е s(fn, ), п = 1,2,.. , что
lim vn = lim v(rn,Vo) — V, т.е. V — со-предельная точка
71-ЭОО 71-) со
движения v(t , Vq ).
Остаётся доказать, что V Е оо,+оо], 170). Допустим обратное:
v — v(t ,Vq ) Найдётся такое п, что tn > | т| и тогда v Е l?([—tn, t„], г?0),
но I? Е s(l?n, ), а по построению , ^ )г> f ([ — tn], Р0) = 0»
следовательно, l? £ £и, £n], l?o)- Противоречие показывает, что утверждение
теоремы верно.
Следствие. Траектория устойчивого Р+ движения v(t ,v$ ), тогда и только
тогда является замкнутым множеством, когда v(t ,Vq ) — периодическое движение.
Точку покоя здесь можно считать также периодическим движением.
Устойчивое Р+ непериодическое движение х(т, Zq , Xq ) динамической
квазипериодической системы может иметь замкнутую траекторию. Рассмотрим систему [16]:
Функции x(t,Z0, Х0) = Х0ехр /о exp (cos(x + Z°)) sin(27rr + zf )iiT,
г = t — Z'{, г- = 2~ ~ — Z'2 задают в Е2 динамическую квазипериодическую систему. Траекторией любого движения здесь будет замкнутый отрезок, за исключением точки покоя Х = 0.
4. Ограниченное замкнутое инвариантное множество
Любое ограниченное замкнутое инвариантное множество состоит из замыканий траекторий ограниченных движений [11], которые с практической точки зрения вызывают наибольший интерес, поэтому в этом параграфе остановимся на некоторых общих свойствах таких множеств.
Теорема 4.1. Если F £ Еп - ограниченное замкнутое инвариантное множество
D, то любая 6-окрестность множества F - s(F, е) содержит полутраекторию системы D:
х( [-оо ,0],Zl , ХЛ ) или х( [0 ,+со],Zl )
Доказательство. Пусть x(t,ZQ,X q) - движение, траектория которого
принадлежит F, если s(F, е) не содержит таких точек Хь что
, то существует такая последовательность
Х^ Ё s(F,c) ,что Xq^^-Xq при кч>+оо. R( x(t,Zq, Xq^),F) <£ при Т Е [0,7^]
СО
и R( x(TklZ0, Xq ),F) =£, причём +оо, иначе можно было бы выделить
сходящуюся подпоследовательность Тп Т при n +оо. И тогда
71
m
limn +IR( x(Tn,z0, x^}),f) = R(x(7\z0,x0),F)=£,ho R( x(T,Zq,Xq ),F)= 0 , т.е. получили противоречие. Понятно также, что последовательность не содержит даже ограниченной подпоследовательности.
Выберем из последовательности Xk = X^T^^Zq, Х^) сходящуюся X Е Е
J'rrt in) - ._ ¥—Г
подпоследовательность Хп так, чтобы Zk = Zyl n,ZQ, XQ ) сходилась к Z ь t
по mod27i.
Полутраектория х([—оо, 0], Z0, X) будет целиком расположена в s(F, е), поскольку если предположить существование такого Т < 0, что R(x(t,Z,x), F) > F, то начиная с некоторого N, будет R(x(x,Zn,Xn),F^ > £, но n > N можно выбрать таким, чтобы было >| т| , поэтому в силу выбора
последовательности Тп должно быть R (x(f,Zn, Xn), f) > £. Полученное противоречие и доказывает утверждение теоремы.
Заметим, что если не все предельные точки полутраектории х([—оо, 0X]J принадлежат F, то s(F, е) содержит целую траекторию системы D, состоящую из а-предельных точек движения х( t, Х-jJ, аналогично для полутраектории
х([0, -1-еo]Jz1,X1), с той лишь разницей, что траектория системы D, содержащаяся в
s(F, е), будет состоять из со-предельных точек движения х( t,Z1; Х^).
Теорема 4.2. Если F с Еп - ограниченно-замкнутое множество, и любая е-
окрестность множества F - s(F, е) содержит полутраекторию системы D, то существует замкнутое подмножество Fi множества F, являющееся инвариантным множеством системы D.
Доказательство. Зададим последовательность £\ > > > 0 при к
+оо. По условию в каждой ек-окрестности множества F располагается, по крайней мере,
Л (k) (fc)4
одна из полутраектории некоторого движения x(t,z0 , XQ J, пусть это будет
х([0, +оо],zq^,Из последовательности х^ выделим сходящуюся к х0 ё F подпоследовательность так, чтобы последовательность Z^ сходилась к z0, без
уменьшения общности можно считать, что Z^ - ограниченная последовательность.
Покажем, что х([0, +оо],Zq, Xq)c F. Предположим обратное: существует такое т > 0, что х(т, Z0, Х0) =X-l и R(Xi; f) = а >0. Согласно теореме 3.1 по числам - ит
можно указать такое 5=5(х,—), что при IIX0 - Х^Н+Н Z0 — Z^II <5 будет II
х( t,Zq, Xq) — x( t,ZQtl\ II < — , если |t | < Т. Но для достаточно
. a (n) (n) a
больших n £n < —, поэтому X{t, ZQ , X0 ),F)<~ для всех
О) ЫУ
\ е (0, +оо). Однако, неравенства II х(т,г0,х0) — х(т,г^ , Х^ )П<~ и
R(x(т^ZQíг\ ХрП'),Р) < — не могут выполняться одновременно, получили противоречие и, значит, х([0, +оо], Х())с р, откуда множество всех со-предельных
точек движения х( не пусто и принадлежит Р, а оно инвариантно и замкнуто.
Теорема доказана.
Теорема 4.3. Для того чтобы точка Х0 Е Еп была точкой покоя системы Р,
необходимо и достаточно, чтобы любая е-окрестность Хд содержала полутраекторию
движения системы й.
Эта теорема непосредственно следует из теорем 3.8 и 3.9.
Определение. Точка Хд Е Еп называется блуждающей, если существуют её е-окрестность и Т > 0 такие, что любое движение х( Xначинающееся в этой е-окрестности точки Х0, не возвращается в нее при \ >Т, т.е. з(Х0, е) П х( х0, &)) = 0, для I > Т.
Из последнего неравенства следует также, что 5(х0,е)П х(—г, г, х0,&)) = 0, для— \>—Т.
Если множество блуждающих точек не пусто, то из определения следует, что оно открыто, а из теоремы 3.1, что оно инвариантно, тогда множество всех не блуждающих
точек будет инвариантным и замкнутым. Не блуждающая точка Хд ё Ь. отличается тем, что для любой её е-окрестности з(Хд, е) найдутся сколь угодно большие для которых: 5(Х0,е)П х( Ь,г, Х0,с)) Ф 0.
Например, если движение х(£,х0,х0) устойчиво Р+ или Р., то точка Х0
является не блуждающей.
Теорема 4.4. Любое ограниченно-замкнутое инвариантное множество Р ^ Еп
содержит не блуждающую точку.
Доказательство. Пусть утверждение теоремы неверно, тогда для каждой точки
Х0 Е найдутся свои е-окрестность и Т > 0, эти е-окрестности образуют покрытие
множества Р, т.к. F - ограниченно-замкнутое множество, то из этого покрытия можно
выделить конечное число е-окрестностей, покрывающих все F. Пусть б( ,£]_),...
Хп,Еп) такие е-окрестности, им соответствуют числа 7\ ,..., Тп , рассмотрим теперь
движение х(£,2г, х), траектория которого принадлежит Р, начинаясь в одной из
перечисленных е-окрестностей, оно покинет их все при I > 7\ + + Тп, т.е. при
таких I точка х( х) не будет принадлежать ни одной из указанных е-окрестностей,
а это противоречит выбору движения х( х). Теорема доказана.
Ограниченно-замкнутое инвариантное множество может содержать в себе собственное подмножество с теми же свойствами, если же нет, то такое множество называется минимальным.
Определение [15]. Движение х( Т, динамической квазипериодической
системы Р называется рекуррентным, если для любого е > 0 существует такое Т£ > О, что в любом промежутке + Т£ ] для каждого Т Е (—оо, + оо) найдется е),
при котором: II х( I + £, Х0) — х( Т, 2д, Х0) II < е.
Теорема 4.5. Движение х(т,г0,х0), траектория которого принадлежит
минимальному множеству, рекуррентно.
Доказательство. Предположим, что это не так, тогда существует, по крайней мере,
одно е > 0 такое, что можно указать такие три последовательности ¡^Т^, что
—> +оо при к^- +оо, и точка х( Тд., ^о, Хд) не принадлежит е-окрестности
множества 4- Тк ] , 2д, Хд). Выберем из этих последовательностей
подпоследовательности так, чтобы
х( ап, -» , ап,20,х0) -» ¡^(гпскИл} при п ^+оо.
Траектория движения х( Тк, ) принадлежит рассматриваемому
минимальному множеству р, поскольку оно инвариантно и замкнуто. Также Х0 е р, но II Х0 — х( Т, х1 ) II Е при I е (-оо, +оо), т.к. если бы существовало такое Т е (-оо, +оо), что II Хд — х(т XI )||< Е, тогда, начиная с некоторого п, было бы
II X ( 2д г Хд) X (^Т Ч- ап,2д,Хд)\\ <£ , ЭТО ПрОТИВОрвЧИТ Выбору
последовательностей ССк, Тк.
Следовательно, множество всех со-предельных точек движения х( Т,г1,Х1 ) будет замкнутым инвариантным собственным подмножеством множества Р, т.к. Хф не
может быть <э-предельной точкой движения х(т,21/х1), значит Р не является
минимальным множеством. Полученное противоречие свидетельствует о справедливости теоремы.
Теорема 4.6. Если х( Т, гд, Хд) - рекуррентное движение, то замыкание его траектории будет минимальным множеством.
Доказательство. Пусть х([—оо ;+оо],^0,Х0) =Р. Если существует минимальное множество М ^ Р, то для некоторого т Е (— оо,+оо), х( т, г0, х0) = х Ё М , г(т,гд, х0) = 1 и Р(х, М) = а > 0. Рассмотрим хг Е М, существует такая последовательность Тк, что х(тк,г, х) —> Х± и z(тfc,z, х) —» (то<12т1) при к +оо. Положим Е = —, найдём согласно
определению рекуррентности ТЕ и выберем 8 > 0 столь малым, чтобы при
II хг — х( тк , т.,х ) и < 6, и — тк,т., х) н < 5(то<1211) было
для т Е [—Т£,Т£] но II х — х(т ,г1,х1')\\ > а при всех т Е (— оо,+оо), следовательно, но ИХ — х(т + тк ,2,Х )||> — при Т Е [—ТЕ,ТЕ\, это противоречит выбору Т£, поэтому утверждение теоремы верно. Список использованных источников
1. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. - Л.: Изд. "Суд-промгиз", 1962. - 632 с.
2. Зубов В.И. Устойчивость движения. - М.: Изд. "Высшая школа", 1973. - 272 с.
3. Зубов В.И. Периодические динамические системы: учебное пособие. - Саранск: Изд. Мордовского ун-та, 1982. - 88 с.
4. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. - М.: Изд. "Наука", 1987. - 304 с.
5. Зубов В.И. Колебания и волны: Учеб. пособие. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1989. - 416 а
6. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: В 2 ч. - Ч. 1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические сис-
темы с цилиндрическим фазовым пространством. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1992. - 368 с.
7. Стрекопытова М.В. Качественный анализ равновесных траекторий: Учебное пособие. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1997. - 80 с.
8. Стрекопытов С.А. Аналитическая динамика квазипериодических систем / Под ред. В.Н. Щенникова. - СПб.: Мобильность-плюс, 2007. - 92 с.
9. Стрекопытов С.А., Стрекопытова М.В. Устойчивость по Пуассону / Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2008. - № 63. - С. 113-114.
10. Стрекопытов С.А., Королёва О.А., Ерёмин Д.С. Анализ динамических квазипериодических систем / Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2008. - № 63. - С. 108-110.
11. Зубов А.В., Стрекопытова О.С., Стрекопытов С.А. Орбитальная устойчивость равновесного решения / Журнал средневолжского математического общества. - 2012. -Т. 14(2). - С. 143-147.
12. Зубов А.В., Стрекопытова О.С., Стрекопытов С.А. Метод малого параметра А. Пуанкаре / Вестник Мордовского университета. - 2012. - № 2. - С. 38-40.
13. Зубов В.И., Зубов И.В., Зубова А.Ф., Стрекопытова О.С. Существование автоколебаний в динамических системах, устойчивых по Лагранжу / Журнал средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15. - № 3. - С. 166-168.
14. Зубов С.В., Стрекопытова М.В., Стрекопытова О.С. Обобщение рёберной теоремы / Журнал средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15. - № 3. - С. 169-172.
15. Стрекопытов С.А. Теория квазипериодических систем. Монография - СПб.: ВВМ, 2014. - С. 175.
16. Стрекопытова М.В. Анализ равновесных движений. Монография. - СПб.: СПбГУ. - 2014. - С. 176.
17. Стрекопытов С.А., Стрекопытова М.В. Интегральные кривые на т-мерном торе / Журнал "Экономический вектор". - СПб.: Изд-во СПбГТИ(ТУ). - 2016. - № 1(4). - С. 51-60.
