Прогнозирование динамики системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ*

В. И. Зубов, И. В. Зубов, К. А. Пешехонов, М. В. Стрекопытова

При компьютерном моделировании динамики управляемых систем чрезвычайно важным является вопрос о том, как исследовать поведение системы при различных начальных данных. Нами рассмотрен метод вычисления некоторого фиксированного набора решений, из которого в дальнейшем можно сделать выводы о поведении целого множества решений, масса начальных данных которых представляет компактное множество.

Пусть исследуемая система описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений

X = ^(X, I), (1)

= X щ (ь, ао ) X (Ь, Xi,t0) + i=l 4 '

п , >

+ Х а (ь, а0) ^ (X (Ь, Х1,Ьо), t). i=1 4 '

(4)

где Х = (х1, к, хп). Функции F будем пред- Здесь и далее а0 = (а?, к, а°„). Перепишем полагать удовлетворяющими условиям, обес- ^ '

печивающим существование и единствен- систему (4) в виде

ность решений. Пусть Хо е Еп; тогда обозначим решение системы (1), удовлетворяющее условию X = Хо при Ь = ¿о.

Пусть X

Х„

линейно независи-

мые векторы. Тогда любой вектор Хо е Еп

п 0

представим в виде Хо = ^ Если си-

¿=1

стема (1) линейна, то справедливо равенство

X (¿, Хо, ¿о) = £ а0Х (¿, X¿,tо). (2) ¿=1

Если система (1) является нелинейной

А (и) а = -В (и) а + Ф (и, а), (5)

где А — матрица, столбцами которой являются решения

X(и,Х^о),X(и,Х2,^), к, X(и,ХпЛо).

Определение 1. Пусть Х1, ..., Хп — линейно независимые векторы. Будем называть систему (1) невырожденной, если векторы

Х(и,Х^о),Х(и,X2,tо), Х(и,ХпЛо) также линейно независимы в любой момент времени и > tо [3].

В дальнейших рассмотрениях мы будем

то попытаемся построить функции а; таким считать, что исследуемые системы дифференциальных уравнений являются невырожден-образом, чтобы решение X и,Ходо) было ^ г

г г о о' ными, если не оговорено противное и

представлено в виде

X Хо, ¿о) = £ a¿ а0)х X¿, ¿о). (3)

¿=1

Г (0,t) = 0.

В силу невырожденности системы (1) матрица А является невырожденной, а В —

Составим дифференциальные уравне- это матрица со столбцами

ния, которым удовлетворяют функции а;.

Продифференцируем выражение (3) и, используя (1), получаем

Г(X(иХ^о),t), к, Г(X(и,Xn,tо)) Векторная функция Ф имеет вид

Га (и,ао)X(и,Xi,tо),и

Ф =

Г [£ ai (и, ао) X(и, Х^), tj.

* Работа вытолнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталъны1Х исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000624).

© Зубов В. И., Зубов И. В., Пешехонов К. А., Стрекопытова М. В., 2о12

34 ВЕСТНИК Мордовского университета | 2о12 | № 2

Приведем уравнения (5) к нормальной форме:

а = -А-1Ва + А-1Ф. (6)

Таким образом, если вычислены базовые решения, то правая часть системы (6) определена, и задача вычисления решения

X (¿, Х0^0) сводится к задаче Коши а = ад

при t = ¿0 для системы (6).

Пусть О — связное замкнутое множество в пространстве Еп. Рассмотрим множество траекторий системы (1), имеющее множеством начальных данных множество О. Пусть система уравнений [1]

Ф1 (а1, к, ап) =

Ф2 («l, ап) = 0,

Фк (al, ап) = 0

определяет в Еп замкнутую поверхность М. Рассмотрим множество траекторий системы (1), у которого множеством начальных данных является тело, ограниченное поверхностью М.

В пространстве Еп с базой -Х^, ..., Хп множеству М будет отвечать множество М' = Гд, которое будет определяться уравнениями

п

X = Ф (а-1, к, ап) = 0,

i=1

где Ф = (Ф1 Фк).

Определение 2. Сгустком с базой Х[, ..., X , определяемой системой (1), называется замкнутое связное множество О = Оь траекторий системы (1), определяемое в любой момент времени как множество точек в пространстве Еп, граница которого удовлетворяет системе [7]

п

X = (', ^), Ф (а1, к, ап) = 0 (7)

i=1

Сгусток мы будем обозначать В (Х1, ...,

Хп, Ф), ¿-сечение будем обозначать

В ((Х1, ..., Хп, Ф) .Сгусток В (X (^ , Х1,<0,) ...,

..., Х(¿1, Хп, ¿0), Ф) эквивалентен сгустку

В (Х (¿2, Х1 ,¿0 ) , к, Х (¿2, Xn,tо ) > Ф ) для любых моментов ¿1, ¿2.

Серия «Физико-математические науки»

Процесс изменения конфигурации множества (7) в фазовом пространстве системы (1) при изменении времени мы будем называть эволюцией сгустка В(Х1, ..., Хп,Ф).

Определение 3. Сгусток В(Х1, ..., Хп, Ф) называется инвариантным по отношению к системе (1) (или, для краткости, просто инвариантным), если из Х0 е В (Х1; к, Хп,Ф) следует Х(',Х0,'0) е В (Х1, Хп,Ф).

Инвариантный сгусток можно назвать также пучком.

Определение 4. Инвариантный сгусток

В(Х1, Хп,Ф) называется устойчивым, если по любому е < 0 можно указать 3 > 0 такое, что из р (Х0, Вф (Хь ..., Хп)) <5 следует р(Х(',Х0,'0),В' (Х1, к, Хп)) < е для всех

значений параметра Ь > ¿0 [6].

Определение 5. Устойчивый инвариантный сгусток называется асимптотически устойчивым, если 3 в определении устойчивости можно выбрать так, чтобы

р(Х(',Х0,'0),В' (Х1, Хп)) ^ 0.

Теорема. Для того чтобы инвариантный сгусток В (Х1, Хп,Ф) (в дальнейшем В) был устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности 5 (г, В')

^ > ¿0) был задан функционал V(X) , определенный на решениях системы (1) со свойствами:

1) функция V (Х (¿, Х0, ¿0 )) ^ 0, причем равенство возможно лишь при Х (',Х0,')) е В';

2) для любой величины У1 > 0 можно указать величину У2 > 0 такую, что

при р (Х (Ь, Хо, ¿о ), В ) < У2 выполняется V(Х (¿,Хо, ¿о)) < п;

3) функция V (Х (¿, Xo,to)) является невоз-растающей функцией Ь, пока X (¿, Х0, ¿0) е е 5 (г, Вг).

Доказательство. Достаточность. Пусть функционал V с указанными выше свойствами существует. Тогда возьмем е > 0

(е < г) и положим 1 = ^ V (X (¿, Х0,^)) при р (X (Ь, Хо,Ьо), Вь) = е. В силу свойства 2

можно указать 3 > 0 такое, что V (Х0) < 1 при р (Хд, Во) < 3. Покажем, что найденное 3 отвечает е в определении устойчивости 2. Предположим противное, т. е. пусть существует момент Ь = Ь такой,

что р ( X (У, Х0, *0), В**) = е. Тогда

V (X )) > 1, что невозможно по условию невозрастания функции

V (X ((, Х0,(0)) [4].

Необходимость. Определим функционал V следующим соотношением:

V (X (¿, Хо, <о)) = sup р (X (¿, Хо,<о), В).

г >¿0

Выполнение условия 1 очевидно. Докажем, что условие 2 тоже выполняется. В силу определения устойчивости 1 по любому У1 > 0 можно указать У2 > 0 такое, что при

р (Х0, В0) < У2 > ^ будет выполняться

р (X (£, Х0, ¿0),В) < У1. Следовательно,

¿>гр Р (X Xо,¿0),В) " У1. Значит, условие 2

выполнено (при У1 = У2). Покажем справедливость условия 3. По условию устойчивости X (£,Xо,¿о) е ^ (г,Вг), следовательно, значение V определено на траекториях X (£, Xо,tо) при любом значении параметра Ь. Выполняется [2]

V (X (I, Xо, ¿о)) = *ир р (X (¿, Xо, ¿о), В) =

г >¿0

= V (X (¿, Xо, <о)).

Это и показывает справедливость условия 3. Теорема доказана.

Уравнения X = У, У = У х Ь (X, Ь) являются безразмерными уравнениями, описывающими движение заряженной частицы в

магнитном поле с индукцией Ь(X,t) = = (р1, &2, Ьз) . Здесь и далее X = (х^ х2, Х3) —

вектор положения частицы, У = (у^ у2, Уз) —

вектор скорости. Эти уравнения можно записать в матричном виде:

X = У, У = В (Х,Ь) У, (8)

где B ■■

0 Ъ

'3 "Ъ2 0 b -Ъ1 0

Отметим, что система (8) имеет интеграл Y2 = const = Y02. Пусть X (t, X0,Y0), Y (t, Xq, Yq) — решение задачи Коши X = Xq,

Y = Уо при Ь = 0 системы (8). Предположим по аналогии с линейными системами дифференциальных уравнений, что справедливо соотношение

У (Ъ, Xо,Yо) = 3 (t, Xо) Уо, (9)

где матрица 3о = Е определяется системой (8) и вектором начального положения. Матрица 3 (Ь, Xо) является аналогом фундаментальной матрицы линейной системы У = В (Ь) У.

Матрицу 3 будем называть базовой матрицей.

Составим систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет матрица 3. Для этого продифференцируем (9) с учетом (8):

3 (¿, Хо) Уо = В (X,£) 3 (¿, Хо) У,. В силу произвольности вектора Уо справедливо соотношение

3 = В3. (10)

Матрица 3 (Ь, Xо) является решением задачи Коши X = Хо, 3о = Е системы

(11)

X = в (х, t) з,

X = ЗУо.

Рассмотрим случай постоянного однородного магнитного поля B (X, t) = B = = const. В этом случае система (11) интегрируется в замкнутой форме:

З (t) = exp (Bt),

t

X = J exp (Bt) dtY0.

0

В случае однородного магнитного поля B (X,t) = B (t) система (10) линейна, и фундаментальная матрица этой системы может вычисляться консервативными методами, которые будут изложены ниже, т. е. с учетом своей ортогональности. Но здесь возможен и

36

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

другой подход: дело в том, что строить новый корректирующий метод можно не только изменяя правую часть соответствующей разностной схемы, но и оставляя сам метод без изменения, при этом на каждом шаге иначе вводя этап коррекции. Другими словами, по матрице Е^, полученной в результате применения стандартного алгоритма к значениям Еу, полученным ранее, строится «корректная» матрица, обладающая свойством ортогональности, при этом минимизируется норма разности между этими матрицами. Затем матрицу Ек+1 мы и примем за значение фундаментальной матрицы Е в узле Ь = (к + 1) А.

Однако основную важность на практике имеют неоднородные поля. Именно с помощью них производится так называемая жесткая фокусировка в современной ускорительной технике [5]. Вводя этап коррекции указанным выше способом, мы будем улучшать любой вычислительный алгоритм решения задачи Коши для системы (11).

Следует отметить, что коррекция особенно эффективна в методах высокого порядка. На основе вышеуказанных соображений могут быть построены эффективные алгоритмы решения задач интегрирования уравнений (11).

Отметим замечательную особенность уравнений (8) — свойство инвариантности

любого сгустка в пространстве. Действительно, пусть УХ,У2,У3 — линейно независимые

векторы. Тогда любой вектор Y0 представим в виде

Yo = i a0Yi.

i=1

Решение с начальными данными X0, Y0 в силу невырожденности системы (8) удовлетворяет соотношению Y (t, Xq,Yq ) = = i ajY (t, X0,Yi), но из (9) мы имеем

Y (t, Xo,Yo) = XYo = i a°S Y = = i a0Y (t, Xo,Yi).

Следовательно, a i = a0 = const, и любое первоначальное ограничение на параметры a будет выполнено во все время движения. Из этого следует, что для заданного начального положения частицы, чтобы следить за эллипсоидом скоростей, сгустком с базой 11,Y),Y

и качеством ф : ^ a2 < 1, достаточно следить

лишь за базовыми решениями, для вычисления которых в свою очередь нужно знать лишь матрицу х.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов Н. В. Безопасность функционирования технических систем / Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова. СПб. : ВВМ, 2009. 343 с.

2. Зубов А. В. Динамическая безопасность управляемых систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2009. 172 с.

3. Зубов С. В. Анализ равновесных движений и расчетная устойчивость / С. В. Зубов, М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 2010. 446 с.

4. Зубов А. В. Теория устойчивости и теория квазипериодических систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов, С. А. Стрекопытов. СПб. : Мобильность-плюс, 2010. 206 с.

5. Зубов А. В. Математические методы исследования устойчивости и надежности технических систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов, С. В. Зубов, А. Ф. Зубова. СПб. : ВВМ, 2011. 362 с.

6. Стрекопытова М. В. Принципы управления движением заряженных частиц / М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 2003. 86 с.

7. Стрекопытова М. В. Исследование равновесных движений / М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 2007. 95 с.

Поступила 01.11.2011.

Серия «Физико-математические науки»

37