CC BY
6
УДК 541 124+517.95
И.Д. Макарова, I.D. Makarov, e-mail: [email protected] *С.Е, Макаров, S.E. Makarov, e-mail: [email protected] Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия Omsk State Technical University, Omsk, Russia
^Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, г. Омск, Россия Omsk state university of F.M. Dostoyevsky, Omsk, Russia
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ РЕАКТОРА В СЛУЧАЕ РЕАКЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
DETERMINATION OF THE NUMBER OF STATIONARY DECISIONS OF THE CHEMICAL REACTOR AT THE REACTION FIRST ORDER
Рассмотрена начально-краевм задача, описывающая процесс в химическом реакторе с неподвижным слоем катализатора. Изучен вопрос о количестве стационараых решений данной задачи, приведена процедура построения таких решений.
The initial-boundary' problem for the hyperbolic system. describing process in a chemical reactor with a motionless layer of the catalyst is considered. The question of the number of stationary solutions of the given problems is studied and procedure of such decisions is offered.
Ключевые слова: гиперболическая система, стационарное решение, реактор, устойчивость.
Keywords: the hyperbolic system, stationary decision, reactor, liability
При математическом моделировании реакторов идеального вытеснения возникают краевые задачи для гиперболических систем [1-4]. В частности, процесс в реакторе с неподвижным слоем при реакции первого порядка (скорость реакции линейно зависит от концентрации реагирующего вещества) моделируется (см. [1]: [2]) смешанной задачей для нелинейной гиперболической системы на плоскости: заданы.
190
дС дС , _ в а сх
СТ ОС
5(9
МеЦ
(1)
с/1
Здесь П — полуполоса (ОД) х (О.ос), А' — концентрация реагирующего вещества, 6. 6Г - температура в реакторе и в холодильнике, а. р.у.5.- константы, из ник первые четыре положительны, начальные функции гладкие и удовлетворяют условиям согласования ну левого и первого порядков.
Задача (1) представляет собой подкласс смешанных задач для почти линейной гиперболической системы на плоскости. В работах [5]? [6] исследуются условия существования и экспоненциальная устойчивость стационарных решений начально-краевой задачи (1). С понятием устойчивости тесно сказан вопрос о числе возможных стационарных режимов при одних и тех же значениях всех параметров, причем некоторые из этих режимов могут быть неустойчивыми. В [7] рассматривается задача о числе стационарных решений в случае реакции нулевого порядка.
В данной работе проводится вычисление количества стационарных решений задачи (1).
Пусть вектор-функция у(х) = (р.г^.У,) - стационарное решение задачи (1), удовлетворяющее краевой задаче ¿р
с!х
а(\-р)е\
ах
(2)
с1х
^0) = 0.^(0) = у2(0), У2(1) = в0. тага;
аР
Полагая Г = 1 ^ — V, и вычитая из второго уравнения третье, получим
(¡X
= а(1-р)е1\
ах ах
р( 0) = 0,г(0) = 0. г2(1) = в0.
(3)
Из первого и второго уравнений (3) получаем соотношение на р :
а
р =—х. V
и
Второе уравнение системы (3) с учетом (4) преобразуем к виду
— - (/ - е
¿х
(5)
Фу шопы г является монотонно возрастающей, > О, логарифмируя (5) и диф-
ференцируя полученное уравнение, получим следующее уравнение для 2 :
{у¡а - 2)1"+ {1')2 = (у ¡а - - 51)1'.
При
№ имеем линейное уравнение относительно 11':
Г н Л
и' +
1
-1
\х=-3ж
у/а-г
Находя решение этого уравнения и интегрируя г' = Н' {I от 0 до гг = '(!)), получаем функциональное уравнение для нахождения г,, определяющего стационарное решение .задачи (1),
|
= 5.
(6)
(у / а - 1)е* (аев° /3 +
- л - у ¡а
ч/у
Ф(х,0.005,£) Ф(х ,0.008,0)
61(1}
Рис.1. Решение уравнения (С), определяющего количество стационарных режимов в реакторе при реакции первого порядка
Для нахождения числа стационарных решений уравнений (1) будем численно строить графики левой части уравнения (6) при фиксированных значениях у/а, С/е6'' / 3 и разных значениях с). Число параметров, характеризующих режим в реакторе в случае реакции первого порядка, равно трем: у ¡а, (Хе^ ! 3 и 3 . На (Рис. 1) приведенные расчеты при фиксированном значении параметра у!а = 10 и значениях выражения 0,6^13=0,005;
0.008; 0.01: 0.03; 0.1; 0.5 показывают, что данная задача может иметь один или два стационарных режима, а при некоторых значениях параметров даже ни одного. Каждое решение уравнения (6) = 1 \(1) —1^(1) = Vj (1) — 0q > 0 позволяет найти V|(1) н решить задачу Коши для исходной задачи (1) по начальным условиям при Х = 1. Таким образом, каждый положительный корень Г| уравнения (б) дает новое стационарное решение задачи (1); т е.
число различных положительных корней уравнения (6) определяет число стационарных решений уравнения (1).
Библиографический список
1. Зеленяк, Т. И. О стационарных решениях смешанных задач, возникающих при изучении некоторых химических процессов / Т. И. Зеленяк // Дифферени. уравнения. - 1966 -Т. 2, №2.-С. 205-213.
2. Шеплев. В. С. Математическое моделирование реакторов с кипящим слоем катализатора / В. С. Шеплев.. В. Д. Мещеряков// Математическое моделирование химических реакторов. - Новосибирск : Наука. Сиб. отд., 1984. - С. 44-65.
3. Иванов, Е. А. Управление процессом в реакторе с псевдоожиженным слоем Е. А. Иванов // Там же. С. 116-127.
4. Лаврентьев, М. М. (мл.) Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач / М. М. Лаврентьев (мл.)? Н. А. Люлько // Сиб. матам журнал. - 1997 - Т. 38? № 1,- С. 109-124.
5. Романовский, Р. К. О стационарных решениях некоторых краевых задач химической кинетики / Р. К. Романовский, И. Д. Макарова, С. Е. Макаров П Доклады СО АН ВШ. -2003. 1,- С. 37-42.
6. Романовский, Р. К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почли линейной гиперболической системы на плоскости /Р. К. Романовский, Е В. Воробьева, И. Д. Макарова // Сиб. журн индусгр математики. - 2003. - Т. 6. № 1 - С. 118-124
7. Макарова, И. Д. Определение числа стационарных решений реактора в случае реакции нулевого порядка / И. Д. Макарова, С. Е. Макаров // Динамика систем, механизмов н машин - Омск: ОмГТУ, 2009. - № 3. - С. 79-82.
193
