Управление в условиях запаздывания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИЯХ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

А.А. Пыркин

Научный руководитель - д.т.н., профессор А.А. Бобцов

Работа посвящена проблеме управления в условиях запаздывания и параметрической неопределенности. Ррассматривается линейный стационарный объект управления с запаздыванием в каналах управления и измерения. Представлен адаптивный идентификационный подход, позволяющий получать упреждающие оценки выходной переменной и вектора переменных состояния, а также оценки всех параметров объекта.

1. Введение

В последнее время наблюдается повышенный интерес к системам управления с запаздыванием. Это объясняется тем, что в большинстве производственных процессов имеются запаздывания, которыми нельзя пренебречь, ибо их влияние на динамику процесса весьма велико.

Стремительный рост требований к темпам развития производства и качеству продукции способствовал бурному развитию автоматизации производственных процессов. Повышение темпов привело к тому, что управляемые величины стали изменяться во времени, причем с большими скоростями. В этих условиях стало играть важную роль время от момента измерения значения регулируемой величины до момента принятия решения и выдачи сигнала управления. Запаздывание реакции управляющей системы на возникшее нарушение процесса приводит, как правило, к возникновению автоколебаний в замкнутой системе, а нередко и к потере устойчивости системы.

Синтез систем управления для объектов с запаздыванием требует учета влияния величины запаздывания на устойчивость и качество переходных процессов в замкнутой системе [1]. Поэтому возникает заманчивая идея компенсировать запаздывание, получив устройство упреждающей оценки. В случае, когда параметры объекта известны, эта задача решается с использованием регуляторов Смита [2] и Ресвика для непрерывных систем и регулятора Цыпкина для дискретных.

В данной работе рассматривается задача синтеза адаптивного предиктора для нахождения упреждающей оценки регулируемой переменной и вектора переменных состояния в условиях параметрической неопределенности.

2. Основная часть

2.1. Проблематика

Эффект запаздывания при наличии обратной связи особенно ярко проявляется при автоматическом управлении удаленными объектами (рис. 1).

Рис. 1. Управление удаленными объектами

Транспортное запаздывание может возникать в силу конструктивных особенностей системы управления. Например, при автоматическом управлении впрыском топлива в инжекторном двигателе анализатор выхлопного газа достаточно проблематично поместить непосредственно в камере сгорания. На рис. 2 схематично показано устройство системы впрыска.

Рис. 2. Наличие транспортного запаздывания в инжекторном двигателе

Запаздывание может быть вызвано сложными вычислительными устройствами (рис. 3), контроллерами, требующими время на расчет управляющего воздействия. Реализуя сложные алгоритмы управления, необходимо учитывать временные затраты процессора.

Контроллер

Объект управления

y(t)

Рис. 3. Запаздывание, вносимое при расчете

При синтезе законов управления сложными химическими реакторами запаздывание имеет место в силу особенностей протекания химических реакций. Также запаздывание можно встретить, работая с экологическими системами, транспортными системами и многими другими.

2.2. Классический подход

Рассмотрим простейший объект управления, описываемый апериодическим звеном первого порядка. Закон управления определяется ПИД-регулятором. Показатели качества определяются коэффициентами регулятора.

•о-

е>

Integrator —

d u/dt —

Object

y(t), [отн. ед.]

10

Рис. 4. Система управления с ПИД-регулятором

и

гФЧ±

Integrator

-Ю-*

du/dt

2

1ÜS+1

Object

y(t). [отн. ед.]

Transport Delay

t [с]

15

20

0 5 10 15 20

t [С]

Рис. 5. Потеря устойчивости системы управления из-за запаздывания в измерении

Если канал измерения характеризуется запаздыванием, то становится затруднительным обеспечение требуемых показателей качества с помощью того же регулятора (рис. 5). При некотором критическом значении запаздывания система управления потеряет устойчивость [3]. Это объясняется тем, что звено запаздывания вносит отрицательный сдвиг фа-

зы в систему. Таким образом, необходимо искать новые подходы, позволяющие работать в условиях запаздывания как в канале управления, так и в канале измерения.

2.3. Общая постановка задачи

Рассматривается объект управления вида [ х(г) = / (х(г), и (г - /О),

[ у(г) = г (х(г)),

где х е Яп - вектор состояния системы, у е Я1 - выходная переменная, и е Я1 - управляющее воздействие, /(•) - вектор-функция, г(•) - скалярная функция, / - запаздывание в канале управления. Измеряемым является сигнал у (г - /2), либо весь вектор переменных состояния х(г - /2) , где /2 - запаздывание в канале измерения. При предполагаемом законе управления и(г + Ъх) = У( у(г + /0, g (г + /), р), где у(-) - скалярная функция, у(г + - оценка выходной переменной у (г + ,

g(г + - задающее воздействие, р = Ж - оператор дифференцирования, требуется

Ж

обеспечивающий

равенство Нш (у(г

г ^да

торое маленькое число. Может рассматриваться дополнительная цель, описываемая равенством Нш(х(г + /) - х(г + //)) = 0 или неравенством Нш(х(г + - х(г + /^)) < впх1, где г г

в пх1 - некоторый вектор маленьких чисел.

На рис. 6 показана структурная схема замкнутой системы управления с предиктором.

построить предиктор, оЬеспечивающий предельное равенство

lim(y(t + h) - y(t + h-J) = 0 или неравенство lim (y(t + hj) -y(t + hj)) <s, где s - некогда t ^да

Рис. 6. Замкнутая система с предиктором

2.4. Адаптивный идентификационный подход

Рассматривается линейный стационарный объект управления, модель вход-состояние-выход которого представлена в каноническом наблюдаемом базисе:

x(t) = A • x(t) + b • u(t - h1), y(t) = cTx(t),

(1)

"0 0 0 • 0 - aj

1 0 0 • 0 - a2

где Anxn = 0 1 0 • 0 - a3

0 0 0 • 1 - an _

l

'ixn (n-1)x(n-1)

- a

nx1

bnx1 =

bi b2 b3

b

n

х е Яп - вектор переменных состояния, у е Я1 - выходная переменная,

и е Я1 - управляющее воздействие, \ - постоянное запаздывание в канале управления. Измеряемым является сигнал у^-Ъ2) и вектор переменных состояния х(V-Ъ^) , где Ъ^ - запаздывание в канале измерения. Значения Ъу и Ъ2 полагаются известными. Параметры апху и ¿пх1 определены неточно или неизвестны. Закон управления имеет вид

и(г + Ну) = Ж (р) ■ у(г + Ъ) + g (V + Ъу), где Ж (р) - некоторая интегрально-дифференциальная передаточная функция, g (V + Ъу) - задающее воздействие.

Требуется построить предиктор, обеспечивающий цель Ит(у^ + Ъу) - у^ + Ъу)) = 0, Иш(х(Г + Ъу) - х^ + Ъ^) = 0, (2)

где у^ + Ъу) - оценка выходной переменной у(^ + Ъу), х(^ + Ъу) - вектор оценок переменных состояния х(V + Ъу) . Предиктор описывается системой уравнений:

X (V + Ъ1) = Л(г - Ъ2) ■ Х(г + Ъу) + Ъ(г - Ъ2) ■ и(г + Ъу), у(г + Ъ1) = сТх(1 + Ъ1), а(г - Ъ2) = -ка ■ (х(* - Ъ2) - Х(г - Ъ^) ■ у(г - ЪД ЪЦ - Ъ2) = -кь ■ (х^ - Ъ2) - х^ - Ъ2)) ■ и^ - Ъ2), X (V - Ъ2) = А($ - Ъ2) ■ х($ - Ъ2) + Ъ(г - Ъ2) ■ и(г - Ъ2), у(г - Ъу) = сТ х(г - Ъу).

(3)

"0 0 0 • 0 - ах

1 0 0 • 0 - а2

где Апхп = 0 1 0 • 0 - аз

0 0 0 • • 1 - ап _

0хх

I

(п—1)х(п—1)

"0"

к 0

- апх1 , Ъпх1 = Ъз , Спх1 = 0

1) _ к _ 1

где

у^ + Ъ1) - оценка выходной переменной у(^ + Ъу), х(V + Ъ1) - вектор оценок переменных состояния х(V + Ъ^), у(^ - Ъ2) - оценка выходной переменной у (V - Ъ2 ), х(V - Ъ2) - вектор оценок переменных состояния х(^ - Ъ2), а(1 - Ъ2) - вектор оценок параметров а, Ъ^ - Ъ2) - вектор оценок параметров Ъ , ка > 0 и кь > 0 - некоторые положительные числа. Алгоритм настройки параметров аналогичен базовому [4]. Предиктор (3) обеспечивает цель (2). Если сигнал и(^) - «частотно богатый», то предиктор обеспечит дополнительную цель

Нш(а - а($ - Ъ2)) = 0, Нш(Ъ - Ъ($ - Ъ2)) = 0 .

Пример

Пусть параметры объекта управления (у) имеют вид

Г0 - б] Г1] Г0]

А2х2 = , „ , Ъ = , с = , Ъ1 = 3, Ъ2 = 2.

Рис. 7. Временные диаграммы сигналов у(г), у(г), у(г + /1)

Рис. 8. Временные диаграммы сигналов х\(г), хХ1(г)

Рис. 9. Временные диаграммы сигналов х2(г), х2(г)

ане-К),^-^,7

[отн. ед.] 6

1,М

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 10. Временные диаграммы оценок параметров а1(г - И2), а2(г - И2)

ь^-у.ь^-кр,5

[отн. ед.]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 11. Временные диаграммы оценок параметров Ь1(г - /2), Ь2(г - /2)

На рис. 7-11 представлены результаты моделирования предиктора (3), из которых видно, что цель (2) достигнута.

2.5. Другие методы

Если вектор переменных состояния не измеряется, то схема предиктора, а именно алгоритм адаптации, усложняется. Тем не менее, существует адаптивный подход, основанный на параметризации объекта управления и ряда линейных фильтров, обеспечивающих адекватную настройку параметров и получение упреждающей оценки выходной переменной.

Если сигнал является периодическим, то упреждающую оценку можно легко получить, пропустив сигнал через звено запаздывания, величина которого вычисляется в соответствии с периодом сигнала. Этот подход можно использовать при работе с квазигармоническими сигналами. Внося в каждую гармонику соответствующее запаздывание, нетрудно получить требуемую упреждающую оценку.

Предиктор можно построить по неадаптивной схеме. Легко показать, что звено

чистого запаздывания имеет передаточную функцию вида W(p) = e~hp, где h -

величина запаздывания. Следовательно, звено с передаточной функцией W ( p) = ehp, по сути, является звеном «чистого предсказывания». Реализовать такое звено весьма затруднительно, но, разложив экспоненту в ряд Маклорена, можно получить с некоторой точностью линейный фильтр. Нетрудно видеть, что появится новая проблема с реализацией звена дифференцирования.

Существует метод замены координат [5]. В этом подходе в новой системе координат формально пропадает звено запаздывания.

3. Заключение

В работе исследовалась проблема управления в условиях запаздывания. Были продемонстрированы примеры технических систем с запаздыванием. Были показаны недостатки классических методов. Решалась задача получения упреждающей оценки измеряемых сигналов.

Нассматривается линейный стационарный объект управления, имеющий запаздывание в каналах управления и измерения, решается задача синтеза адаптивного предиктора для нахождения упреждающей оценки регулируемой переменной и вектора переменных состояния в условиях параметрической неопределенности. Показан пример использования данного подхода, проиллюстрированы результаты моделирования, подтверждающие работоспособность алгоритма.

Литература

1. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1973. 328 с.

2. http://www.erudition.ru/referat/ref/id.35532 1.html

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 768 с.

4. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. 549 с.

5. Arstein Z. Linear systems with delayed controls. // IEEE Transactions on Automatic control. 1982. V. AC-27. №3. P. 869-879.