Синтез адаптивного предиктора для нахождения упреждающей оценки Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО ПРЕДИКТОРА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ

УПРЕЖДАЮЩЕЙ ОЦЕНКИ

А.А. Бобцов, В.И. Цвикевич

Статья посвящена проблеме синтеза адаптивного предиктора для нестационарной системы второго порядка с частично известными коэффициентами и известным, в общем случае, переменным запаздыванием. Решаемая в рамках данной работы задача, является актуальной при управлении впрыском топлива в инжекторных двигателях внутреннего сгорания.

Введение

В данной статье рассматривается задача синтеза адаптивного предиктора для нахождения упреждающей оценки. Задача эта не является новой, но для данной работы является специфичной, поскольку наряду с типовой постановкой, заключающейся в синтезе предиктора или упредителя для линейной стационарной системы с неизвестными коэффициентами при запаздывании в управлении, данная проблема усложнена нестационарностью модели и наличием дополнительной сенсорной динамики. Подобная задача является достаточно актуальной для поддержания заданного стехиометрического соотношения в системах управления впрыском топлива для инжекторных двигателей внутреннего сгорания. Решение задачи поддержания заданного стехиометрического соотношения является экологически и экономически выгодным, поскольку, с одной стороны, в атмосферу не выбрасываются вредные вещества, вызванные частичным сгоранием топлива, а с другой стороны, производится оптимальный по объему впрыск топлива необходимый для функционирования двигателя.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления следующего вида

x = -ax + bu , (1)

У = v(t) yv=v(t )(x + du ), (2)

где сигнал yv(t) и функция x(t) не измеряются; функция v(t) = Av(t) + v0 > 0 предполагается известной, число Vo > 0; постоянные параметры a, b и d не известны.

Наряду с объектом управления (1), (2) рассмотрим сенсор первого порядка

у = -ay + ßy(t-т), (3)

где постоянные параметры а и ß полагаются известными; сигнал y(t) измеряется; запаздывание т > 0 известно.

Следует отметить, что модель вида (1) - (3) является достаточно известной и популярной в литературе по двигателям внутреннего сгорания [1 - 5]. В частности, уравнения (1) и (2) представляют собой модель впрыска с выходной переменной y(t) и входной переменной u(t) представляющими, соответственно, стехиометрическое соотношение и объем впрыскиваемого топлива во времени. Уравнение (3) описывает динамику датчика, а запаздывание т > 0 вызвано прохождением выхлопного газа в коллекторной трубе.

Сформируем цель управление как:

lim | y(t) - y(t )| = 0, (4)

t —ю'

где y(t) оценка сигнала y(t).

Рассмотрим также дополнительную цель управления:

lim | yv(t) - yv(t )| = 0, (5)

t —ю'

где yv(t) оценка функции yv(t).

Легко показать, что из выполнения lim |yv (t) - yv (t)| = 0 следует lim | y(t) - y(t )| = 0.

t —^ ю t —^ ю

Синтез адаптивного предиктора

Дифференцируя функцию уу(г), получаем

уу(г) = х(г) + ёй(г) = -ах(г) + Ъй(г) + ёй(г) = -а(уу(г) - ёй(г)) + Ъй(г) + ёй(г) =

т

= -ауу(г) + (аё + Ъ)й(г) + ёй(г) = -ауу(г) + о1(г)01 + о2(г)02 = -ауу(г) + с (г)0, (6)

т

где 01 = (аё + Ъ), 02 = ё, ю1(г) = й(г), со2(г) = й(г), о (г) = [01(1) с>2(г)] и

от = 00 02].

Из уравнения (6) для уу((г - т) получаем

уу(г-т) = -ауу(г-т) + с (г -т)0 . (1)

Сначала построим наблюдатель для системы (1). Пусть сигнал у (г - т) = у(г - т) у у (г - т) измеряется, адаптивный наблюдатель примет вид:

уу(г -т) = -а(г - т)уу(г -т) + от (г - т)0(г - т), (8)

где уу(г - т) оценка сигнала уу(г -т), функция а(г -т) оценка неизвестного

параметра а и вектор-функция 0(г - т) оценка вектора неизвестных параметров 0. Для синтеза адаптивного наблюдателя рассмотрим модель ошибок

Уу(г -т) = уу(*-т) - уу(г-т). (9)

Дифференцируя функцию уу(г - т), получаем

Уу(г-т) = уУ(г -т) -уу(г -т) = -ауу(г -т) + С(г - т)0 -

- (-а(г - т) уу (г -т) + фт (г - т)0(г - т)) =

- (а(г - т) + а(г - т))( уу(г -т) + уу(г - т)) +

Т у у * у у

+ а(г-т)уу(г-т) + с (г-т)0(г-т) = - а (г-т)уу(г-т) - а (г-т)уу(г-т) -

у Т У У У /у

- а(г -т) у у (г-т) +с (г-т)0(г-т) = - ауу(г-т) - а (г-т)уу(г-т) +

+ оТ (г-т)0(г-т). (10)

где а(г -т) = а - а(г -т) и 0 (г -т) = 0 - 0(г - т) . Рассмотрим функцию Ляпунова следующего вида

т, , ч а2(г-т) 0т(г-т)0(г-т)

V = у(г-т)уС(г-т) + —к->- + —1 , -, (11)

ка1 ка2

где постоянные параметры ка1 > 0 и ка2 > 0. Дифференцируя функцию V, получаем

V = у(г - т)у1 (г -т) - 2у(г - т)ау1 (г -т) - 2у(г - т)уу (г - т)у(г - т) уу (г -т) +

ч^ ч ^ чу, ч (г-т)а(г-т) „§т(г-т)0(г-т) + 2у(г - т)уу (г - т)от (г - т)0 (г -т) + 2—-—-+ 2—ь--1 (12)

ка1 ка2

Выберем адаптивный алгоритм для а(г -т) = а - а(г -т) и 0(г -т) = 0-д(г -т) в следующем виде

у(г -т) = ка1у(г - т)Уу (г - т)уу(г - т) , (13)

в (г -т) = -ка2с(г - т)у(г - т)уу (г -т). (14)

Тогда уравнение (12) примет вид

V = (У (г -т) - 2у(г - т)а)уV (г -т). (15)

Пусть функция (v(t - г) - 2v(t - т)а) < 0 и u(t - т), U(t - т) е Lw, тогда lim Iyv (t) - yv (t)| = 0, a(t - т) — const и в (t - т) — const при t — w . Из условия

t—w

lim Iyv (t) - yv (t)| = 0, ~(t - т) — const и в (t - т) — const при t — w получаем

t—w1

~(t) —~(t-т) и 0(t) —><в(t-т) при t — w . (16)

Поскольку ~(t - т) = а - aa(t - т) и в (t - т) = в - d(t - т), тогда

a(t - т) = a - a(t - т) = -kaiv(t - т)~ (t - т)уу(t - т), (17)

0(t - т) = в - 8(t - т) = ka20 (t - r)v(t - т)~у (t - т), (18)

где ¿¿(0) > 0 и <9(0) > 0.

Легко видеть, что наблюдатель (8), (17), (18) может быть использован для оценки сигнала yv (t) в случае, когда

УДО = -a(t)yv(t) + rnT (t)0(t), (19)

а (t) = -ka1V(t )av(t) V), (20)

§(t) = ka 2®(t)v(t)av(t). a a (21)

Поскольку a(t) — a(t -т) и <(t) — <(t -т) при t — w , то a(t) — ¿a(t -т), d(t) — d(t - т) и мы получаем

УV(t) = -a(t)yv(t) + mT(t)0(t) = -a(t-т)yv(t) + mT(t)<?(t- т). (22)

Из уравнения (22) мы можем синтезировать наблюдатель для сигнала yv (t). Рассмотрим функцию £(t) в следующем виде

£(t) = -a(t - т)^) + aT (t )§(t - т), (23) где параметр ¿a(t - т) > 0 и £(0) = yv(0) мы получаем £(t) — yv(t) при t — w .

Так как £(t) — yv(t) при t — w мы получаем liml yv(t) -£(t )| = 0.

t—w

Однако наблюдатель (8), (17), (18), (23) не может быть использован, т.к. в силу постановки задачи сигнал v(t - т)yv(t - т) не измеряется. Из уравнения (3) находим

1 • а

v(t -^yv(t -т) = - y (t) + в У (t). (24)

Подставляя уравнение (24) в (17), (18) мы получаем

a(t - т) = -в (У(t) + ay(t)))(t - т) + ka1v(t - т)yl (t - т), (25)

0(t - т) = в®(t - т)(У(t) + ау(t)) - ka2&(t - - т)yv(t - т). (26)

Введем в рассмотрение новую переменную

an (t - т) = в У (t)Уу (t - т) + a(t - т), (27)

вп (t - т) = - в ® (t - т)у(t) + <(t - т) . (28)

Дифференцируя уравнения (27) и (28), получаем

¿п (t - т) = в У (t) yv(t - т) + в У (t)&v(t - т) + a (t - т) =

= в У (tV (t - T) - У (t)У V (t -T) + kaV - T)y 2 (t -T) = = в У (-a(t - t) У V (t -T) + œT (t - T)ê(t - T)) - ^ва У (t ) У V (t -T) + + kal V (t -т)У l(t -t), (29)

& k r, k r, &

ên (t -T) = -в *(t - T) У (t ) —j d> (t - T) У (t ) +°(t -T) =

= - в œ (t - t) У (t ) + ^ea^t - t) У (t ) - ka 2®(t - T) v (t - т)У V (t - T). (30)

Таким образом, наблюдатель сигнала УV (t) имеет следующий вид

i(t ) = -aa(t - T)Ç(t ) + œT (t )ê(t -t), (31)

У V (t -t) = -a(t - т)У V (t -t) + œT (t - T)ê(t - t) , (32)

a n (t -T) = в У (-à1(t - т)У V (t -T) + œT (t - T)ê(t - T)) -

- У (t )У V (t -T) + kal V (t - т) У1 (t -T), (33) a(t -t) = a n (t -t) - в У (t ) У v (t -т), (34) ên (t -T) = - в œ (t - т) У (t ) + keaœ(t - т) У (t ) -

- ka2œ(t -t)v (t -т)У V (t -т), (35)

k

ê(t -T) = ên (t -t) + -в œ(t - T) У (t ). (36)

Заключение

В статье предложено решение задачи синтеза адаптивного предиктора для нестационарной системы с запаздыванием (1), (2) и динамическим сенсором первого порядка (3). В условиях параметрической неопределенности модели (1), (2), построен регулятор (31) - (36), обеспечивающий нахождение упреждающей оценки выходной переменной системы (1), (2).

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Администрации Санкт-Петербурга, конкурс грантов 2003 года для молодых кандидатов наук Санкт-Петербурга (шифр гранта: PD03-2.0-6).

Литература

1. Kim Y.-W., Rizzoni G., V. Utkin Automotive engine diagnostics and control via nonlinear estimation. IEEE Control Systems, 1998.

2. Ault B.A., Jones V.K., Powell J.D., Franklin G.F. Adaptive air-fuel ration control of a spark ignition engine. SAE paper no. 940373, 1993.

3. Jones V.K., Ault B.A., Franklin G.F., Powell J.D. Identification and air-fuel ratio control of a spark ignition engine. IEEE Trans. on Control Systems Technology, vol. 3, no. 1, 1995.

4. Powell J.D., Fekete N.P., Chang C. -F. Observer-based air-fuel ratio control. IEEE Control Systems, 1998.

5. Turin R.C., Geering H.P. Model-based adaptive fuel control in an SI engine. SAE paper no. 940374, 1993.