CC BY
20
1
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ОТ РЕДАКЦИИ
В марте 2013 года исполняется 50 лет проректору НИУ ИТМО, главному редактору журнала «Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики», доктору технических наук, профессору Владимиру Олеговичу Никифорову. Коллеги Владимира Олеговича и редакция журнала поздравляют его с юбилеем и желают дальнейших творческих успехов! В данной рубрике журнала собраны научные работы, любезно предоставленные редакции коллегами и учениками Владимира Олеговича.
УДК 681.5.015
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ С ВХОДНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1
А. А. Бобцов, А.А. Пыркин
Рассматривается задача стабилизации неустойчивого нелинейного параметрически не определенного объекта с входным запаздыванием. Предложен подход, позволяющий провести идентификацию параметров объекта и построить алгоритм стабилизации с предиктором переменных состояния.
Ключевые слова: управление в условиях запаздывания, нелинейные системы, идентификация, предиктор.
Введение. Постановка задачи
Работа посвящена анализу и синтезу методов управления нелинейными параметрически не определенными системами, содержащими запаздывание в управляющем сигнале. Данную проблему можно отнести к фундаментальным задачам теории систем, которые до сих пор не нашли универсальных методов решения. Большое количество результатов получено на сегодняшний день для различного типа систем [1-12]. В частности, для линейных устойчивых систем с неизвестными параметрами решена задача слежения за эталонным сигналом [11]. Найдены изящные решения стабилизации неустойчивых линейных объектов [1], а также получено расширение этой задачи на случай неопределенного синусоидального возмущающего воздействия [12]. Однако, насколько известно авторам, разработка методов управления для параметрически не определенных нелинейных систем представляет существенные трудности. В этой работе будем рассматривать нелинейный стационарный объект управления вида
X(t) = Ax(t) + Bu (t — D) + Y(y), y(t) = Cx(t), (1)
где x e Rn - измеряемый вектор переменных состояния; u(t) - скалярная входная переменная; y(t) -скалярная выходная переменная; D > 0 - известное постоянное запаздывание; A , B , C - матрицы соответствующих размерностей, содержащие неизвестные параметры; ¥(y) = col{\^l(y(t-Xj)), y2(y(t — т2)),...,\уп(y(t— хп))} - известная нелинейная функция; xi - положительные константы, причем xi > D для всех i = 1, п . Здесь и далее будем полагать, что u(t — D) = 0 при t < D . Допуская, что нелинейность ¥(y) дифференцируема по аргументу y(-) с соответствующим смещением по времени хотя бы (п - 1) раз, зададимся вопросом поиска такой функции u(t), чтобы было выполнено условие lim y(t) = 0 .
t ^да
В качестве инструментария для решения указанной задачи будем использовать так называемый предиктор Смита [4] и его расширение на неустойчивые системы, предложенное, в том числе, в [1, 13-15]. В [1] была доказана экспоненциальная устойчивость замкнутой системы с предиктором с помощью аппарата функций Ляпунова, что является крайне полезным при решении поставленной в этой работе задачи.
Предварительные результаты
Из классической теории управления известно, что для системы вида (1) в случае выполнения условий управляемости и при известных параметрах, а также для ¥(y) = 0 и D = 0 , можно синтезировать закон управления вида
1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы» (государственный контракт № 11.519.11.4007).
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ
u (t) = Kx(t), (2)
где вектор K таков, что матрица состояния замкнутой системы A + BK является гурвицевой, т.е. все ее собственные числа имеют отрицательную вещественную часть.
Для случая D > 0 закон управления (2) можно переписать в виде
u (t) = Kx(t + D), (3)
где x(t + D) - значение вектора x(t) через временной интервал D .
Закон управления вида (3) нереализуем в явном виде, так как вектор x(t + D) недоступен для прямого измерения. Однако, следуя [1], вектор x(t + D) можно рассчитать следующим образом:
t+D
x(t + D) = eA(t+D)x(0) + J eA(t+D-x)Bu(x-D)dx =
0
t t+D t
= eADeAtx(0) + eADJeA(t-x)Bu(x-D)dx+ J eA(t+D-x)Bu(x-D)dx = eADx(t) + J eA(t-x)Bu(x)dx .
0 t t-D
Тогда алгоритм управления, обеспечивающий стабилизацию неустойчивых систем с запаздыванием в канале управления, примет вид
t
u(t) = KeADx(t) + K J eA(t-x)Bu(x)dx . (4)
t - D
Теперь, базируясь на результатах данного раздела, рассмотрим решение задачи стабилизации объекта (1).
Основной результат
Будем полагать, что объект управления (1) записан в виде системы дифференциальных уравнений
x (t) = Х2 (t) + у 1 (y(t - Xi)) + 01 y(t),
x (t) = u (t - D) + у я (y(t -x„)) + 0„y (t), (5)
У (t) = x1(t),
где 0,- - неизвестные постоянные параметры.
Введем в рассмотрение n линейных фильтров первого порядка для каждой переменной состояния и один фильтр для запаздывающего сигнала управления:
(t) = -X| (t) + X x, (t), i = 1n, (6)
Ф,(y(t-x,)) = -Хф,(y(t-x,)) + (y(t -x,)), i = ~n , (7)
|„ (t - D) = -X|„ (t - D) + X u(t - D), (8)
где X > 0 - положительный параметр фильтров.
После прямого и обратного преобразования Лапласа в (5) с учетом (6)-(8) получим следующую систему уравнений:
| (t) = ^2 (t) + Ф1 (y(t - xj) + (t) + 61 (t),
... (9)
In (t) = | (t - D) + Фп (y(t -xn )) +0n| (t) + 6n (t), где 6, (t) - экспоненциально затухающие функции времени.
На основе (9) несложно построить алгоритм идентификации неизвестных параметров:
0,.(t) = ki.it)(((t)-|+1(t)-ф(t-x)-0,.(t) I(t)), /■ = 1n-1, k >0, (10)
0n (t) = kn I1 (t) (In (t)-Iu (t - D)-Фп (t-xn)-0n (t) I1(t)), kn > 0. (11)
Утверждение. Алгоритм адаптации (10), (11) обеспечивает сходимость оценок параметров 0, к истинным значениям 0,.
Доказательство. Рассмотрим ошибки оценивания параметров
0 , =0,-0,.
Дифференцируя 0, и подставляя уравнения (9)—(11), получим
0 , =-k,IA + k,|16,, , = Гп , kt > 0. (12)
Из (12) нетрудно показать, что все ошибки оценивания 0, стремятся к нулю, что гарантирует сходимость оценок 0, к истинным значениям параметров объекта управления 0,, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Следует отметить, что за счет увеличения коэффициентов X > 0 и к, > 0 можно увеличивать скорость параметрической сходимости.
Теперь продифференцируем переменную у(/) = х1 (/) п раз, последовательно проводя замены переменных:
у (Г) = ) = д2(/),
?2 (^) = <5зС),
(13)
, п « = и(Г - Я) +5 р)) у^-х.) +
5у(/ Х1)
...+^п (у С -хп))+01 у(п-1)«)+...+0„у«).
Выберем управление следующим образом:
и О = ^ + Я "Х')) У(+ Я-х,) +... + Уп (у(/ + Я-X"))
^ 5у(/ + Я-Х1) Подставляя (14) в уравнение (13), получаем ¿1(0 = ?2('), ?2 (^) = <5зС),
(14)
(15)
виде:
дп(/) = «1(/ - Я) + 01 у(п-1) (/) +... + 0"у(/).
Таким образом, получаем линейную стационарную систему. Теперь перепишем (15) в матричном
д (Г) = ) + я«1(/ - Я), у(/) = Ът ),
"?1(t)" " 0 1 .. 0" "0" "1"
где ф) = ?2(t) , G = 0 0 .. 0 , q = 0 , hT = 0
(t)_ _0n 0n—1 .. 0, _ _1_ _0_
Закон управления ux ( t) построим на основе алгоритма (4)
t
Uj(t) = K(t)eG(t)Dq(t) + K(t) J eG(t)(t—x)qu(x)dx ,
(16)
где вектор-строка K(t) определяется из условия гурвицевости матрицы F = G(t) + qK(t) в каждый момент времени.
Поскольку оценки 0( сходятся к истинным значениям, то для матрицы G(t) справедливо lim(G — G(t)) = 0; следовательно, закон управления (16) обеспечивает стабилизацию системы (13) и дос-
t -^да
тижение цели limy(t) = 0 . Таким образом, получен алгоритм стабилизирующего управления (6)-(8),
t ^да
(14), (16) для параметрически не определенного нелинейного объекта управления (1) с постоянным входным запаздыванием.
Замечание 2. Для понимания процедуры настройки вектора K, обеспечивающего гурвицевость матрицы F = G + qK, рассмотрим следующий частный случай. Пусть динамический порядок объекта управления равен трем, тогда вектор-строка K = [Kl K2 K3 JJ . Рассмотрим характеристический полином Q(p) матрицы F = G + qK
Q (p) = det [ pI — (G + qK ) J' = det
f p 0 0" " 0 1 0 " Л
0 p 0 — 0 0 1
V 0 0 p J 03 + K 02 + K 2 01 + K3 J /
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛЕННЫМ ...
= p3 - (9, + K3)p2 - (02 + K2)p - (0з + KJ, где p - комплексная переменная.
Назначим желаемый характеристический полином вида Q *(p) = p3 + 3ю p2 + 3CD2 p + Ю3, где ю> 0 - положительный параметр, который определяет быстродействие системы.
Тогда параметры закона управления K = [K, K2 K3 J найдем, приравняв коэффициенты полиномов Q(p) и Q *(p) :
K3 =-(3ro+0j), K2 = -(3ю2 +02), K = -(ю3 +03).
Очевидно, что подобную процедуру без труда можно проделать для любого динамического порядка объекта управления.
Заключение
В работе рассмотрено решение задачи управления в условиях постоянного запаздывания в управляющем сигнале для класса параметрически не определенных нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями вида (1), (5). Получен алгоритм управления вида (6)-(8), (14), (16), позволяющий достигать целевого условия lim y(t) = 0 . Развитие данного подхода видится как расширение для
t ^да
случая управления исключительно по выходной переменной y(t), а также для парирования возмущающих воздействий.
Литература
1. Krstic M. Delay compensation for nonlinear, adaptive, and PDE systems. - Birkhauser, 2009. - 466 p.
2. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. - М.: Наука, 1997. -216 с.
3. Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с последействием. - М.: Наука, 1984. - 245 с.
4. Smith O.J.M. A controller to overcome dead time // ISA. - 1959. - V. 6. - P. 28-33.
5. Niculescu S.I., Annaswamy A.M. An adaptive Smith-controller for time-delay systems with relative degree n < 2 // Systems & Control Letters. - 2003. - V. 49. - P. 347-358.
6. Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. - 1947. - Т. 7. - № 2, 3. - С. 107-129.
7. Цыкунов А.М. Управление объектами с последействием. - Фрунзе: Илим, 1985. - 108 с.
8. Цыкунов А.М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 268 с.
9. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Конструирование регуляторов для объектов с запаздыванием // Техническая кибернетика. - 1979. - № 1. - С. 168-177.
10. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Упреждающее управление линейными стационарными объектами с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. - 1982. - № 11. - С. 57-60.
11. Паршева Е.А., Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектом с запаздывающим управлением со скалярным входом-выходом // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 1. - С. 142-149.
12. Anton Pyrkin, Andrey Smyshlyaev, Nikolaos Bekiaris-Liberis, Miroslav Krstic, Rejection of Sinusoidal Disturbance of Unknown Frequency for Linear System with Input Delay // American Control Conference. - Baltimore, 2010. - P. 5688-5693.
13. Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment for systems with delays // IEEE Trans. Autom. Control. - 1979. - V. 24. - P. 541-553.
14. Kwon W.H., Pearson A.E. Feedback stabilization of linear systems with delayed control // IEEE Trans. Autom. Control. - 1980. - V. 25. - P. 266-269.
15. Arstein Z. Linear systems with delayed controls: A reduction // IEEE Trans. Autom. Control. - 1982. - V. 27. - P. 869-879.
Бобцов Алексей Алексеевич - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет ин-
формационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, [email protected] Пыркин Антон Александрович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кандидат технических наук, доцент, [email protected]
