Ультрапараболические уравнения с неизвестной правой частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Ю, А, Кошелева

Пусть Л — ограниченная область пространства М" с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр П х (О, Т) х (О, А), 0 < Т < + то, 0 < А < + то, переменных (ж, 4, а), Е— цилиндр П х (0,Т). Пусть с(ж, 4, а), К(ж,4, а), /(ж, 4, а), Мк(ж, 4, а), к = 1,... , т, — заданные функции, определенные при ж е о, г е [о,т], а Е [0, А], Мк = (жк, 4к), к = 1,... , т, — заданные (различные) точки из Е, А — оператор Лапласа по переменным ж,... ,ж„.

Обратная задача I. Найти функции Щж, 4, а), ^(а),... , дт( а), связанные в цилиндре ф уравнением

т

+ — Ам + с(ж, а)м = /(ж, а) + а)Мк(ж, а, (1)

к=1

при выполнении для функции Щж, а) условий

м(ж,0,а)=0, ж еП, а Е [0,А], (2)

Щж,4,0) = 0, ж еП, 4 е [0,Т, (3)

Щж,4,а)иеап,ее[о,т],ае[о,А] = (4)

а также условий переопределения

ЩМк,а) = 0, а е [0 ,А], к = 1,...,т. (5)

Обратная задача II. найти функции Щж, 4, а), ?(а), связанные в цилиндре ф уравнением

Щ + — Ам + с(ж, а)м = /(ж, а) + д(а)М(ж, 4, а, (!')

© 2012 Кошелева Ю. А.

при выполнении для функции и{х,Ь, а) условий (2)—(4), а также условия переопределения

Обратные задачи I и II относятся к классу линейных обратных задач для нестационарных уравнений с неизвестными коэффициентами (неизвестным коэффициентом) временного типа. Подобные задачи ранее активно изучались для параболических уравнений (см., например, монографии [1-5] и имеющуюся в них библиографию), для ультрапараболических же уравнений разрешимость обратных задач I и II ранее не исследовалась. Отметим, что техника, применяемая в настоящей работе, близка к технике работы автора [6], в которой изучались линейные обратные задачи типа I и II для ультрапараболических уравнений, но с неизвестными коэффициентами (неизвестным коэффициентом) пространственного типа.

В обратных задачах I и II условия (2)-(4) являются условиями обычной первой начально-краевой задачи для ультрапараболических уравнений, условия (5), (6) — соответственно условия точечного переопределения или же условие интегрального переопределения; наличие этих условий обуславливается наличием дополнительных неизвестных функций ®.(а),... , дт(а) или же д(а).

Проведем некоторые формальные (пока) построения, касающиеся вначале обратной задачи I.

В уравнении (1) положим последовательно {х,Ь,а) = (М±,а),

а) = (М2,а),... , а) = (Мт,а). Получим следующую алгеб-

Е

раическую систему:

gi(a)hi(Mb а) + . . . + qm(а)Л,т(M, а)

мьа) - д -

qi(a)hi(M2, а) + . .. + qm(а)^-т(M2, а)

=ut( м, а) - д - /(м, а,

а) + . .. + qm(а)МMm, а)

=ut(мт, а) - дцмт, а - /м, а.

Обозначим через ¿(а) определитель этой системы. Считая выполненным условие

Ду (а), 7у(а), к, 7 = 1,... , ш, — некоторые функции, вычисляемые через Му, а), /(Мк,а), к, 7 = 1,... ,ш. Подставим найденные представления в уравнение (1):

+ иа — Д и + с(Ж, а)м

¿(а) = det{hk(Mj, а}fcj=i # о нрИ а е [О, A], (7)

выразим функции qj(а):

m

qj(а) = ^ßkj(а)[щ(Mk, а) - Дм(М^а)] + 7j(а,

m

/(x,t, а) + ^2ßkj(а)[щ(Mk, а) - Дм(М^а)] + 7j(а).

Введем обозначения:

m

/i(x,t, а) = /(x,t, а + hj( x,t, ^7^ а), j

m

Акд (ж, 4, а) = Ак(ж, 4, а)с(Мк, а). С учетом этих обозначений уравнение (1) преобразуется к виду иг + иа — А и + с(ж, 4, а)«

т

= Л(ж,4, а) + ^ Ак(ж, 4, а)[и4(Мк, а) — АЩМк, а) + с(Мк, а)]

к

— Щ Акд (ж, 4, а)и(Мк,а). (!'

,а к

Уравнение (1") является так называемым «нагруженным» [7,8] уравнением. Определим пространство V:

V = {«(ж, 4, а) : «(ж, 4, а) Е ж, 4, а) €

г>а(ж, 4, а) € ж, 4, а) € ^(ф),

(ж, 4, а € г,.? = 1, .. . ,п};

норму в этом пространстве определим естественным образом

1Мк = + ^ + + + ¿ г1хгМг1а^ .

Пусть ^ — пространство VПЬТО(ф); норму в V) определим равенством

1Мк = |Мк + |мите(.

Положим «(ж, 4, а) = иг(ж, 4, а) — Аи(ж, 4, а) + с(ж, 4, а)и(ж, 4, а) = Ьои. Введем еще обозначения:

/2(ж,г,а) = ^Л(ж,4, а,

Вк(ж, 4, а) = ^А^ж, 4, а, Вкд (ж, 4, а) = ЬоАкд (ж, 4, а, к = 1, . .. , т. Для функции «(ж, 4, а) будет выполняться уравнение

V + «а — А« + с(ж, 4, а)«

= /(ж, 4, а) + Вк(ж, 4, а^Мк, а) + са(ж, 4, а)и

т

— Вкд (ж,4,а)и(Мк ,а). (8)

к

к

Пусть выполняются условия

fi (х, 0, а) = 0 при х G О, а G [О, А], (9)

Ак(х, 0, а) = О при ж G О, а G [0,4], к = 1,... ,ш, (10)

h{x,t, а),т],ае[оД] = (11)

^(хЛа)Ueöfi,te[o,т],ае[о,А] = 0. (12) Тогда для функции v(x, t, а) выполняется

^Да^О, (x,^ еПх(0,A), (13)

v(x, t, 0) = 0, (x, t) G О х (0, T), (14)

vUean,te[o,T],ae[o,A] = 0. (15)

Именно с помощью решения краевой задачи (8), (13)-(15) будет построено решение исходной обратной задачи I.

Краевая задача (8), (13)-(15) является по-прежнему задачей для «нагруженного» уравнения. Ранее подобные задачи для «нагруженных» ультрапараболических уравнений не рассматривались.

Положим

bk = vraimax\Bk(x, t, а)|, bk i = vraimax \Bk i(x,t, а)|, k=l,...,m,

Q Q

Ro = vraimax |/2(ж, t, a)|, Q

cq = min c(x, t, a), c\ = max \ca(x, t, a)|, Q Q

1 m 1 m

7 = — УХ + 4 + — У] Ьк, i • c k c c k

Теорема 1. Пусть выполняются условия (7), (9)—(12), условия c(x,t,a) G C2(Q), c0 > 0; 7 < 1, н пусть исходные функции /(x, t, а), hk(x, t, а), k = 1,... , m, таковы, что Bk(x, t, а) G LTO(Q), Bk,i(x, t, а G LTO(Q, Bkt{x, t, а G L2(Q), BMt(x,t,^ G L2(Q), ßjа) G LTO([0,A]), 7j(а) G LTO([0,A]), kj = 1,... , m, /i(x, t, а G L2(Q), /(x,t, а) G LTO (Q), /t(x, t, а) G L2(Q). Тогда обратная задача I имеет решение u(x, t, а), qi(а),... , qm(а) такое, что u(x, t, а G qk(а G LTO((0, A)), k = 1, .. . , m.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть е — положительное число. Рассмотрим краевую задачу: найти функции и(ж, а) н щ(ж, а), связанные в цилиндре Q уравнениями

^ + - е«и - АV + с(ж, а)щ

т

= /2(ж, а) + ^^ Бк(ж, а)щ(Мк, а) + са(ж, а)и

а

к=1

-УЗ Бкд (ж,г,а)и(Мк , а), (8е

к

V = и — А и + с(ж, а)и, (8^)

н такие, что для них выполняются условия (13)—(15), (2), (4), а также условие

ж,Т,а)=0, ж €0, а € [О,А]. (16)

Определим пространства V и V ,о:

V = {^(ж, а) : щ(ж, а) ^ ж, а) €

Щ^Х (ж,£, а) € ¿2^), г,.? = 1,...,п}, V ,0 = V п Ьж (Q); нормы в этих пространствах определим естественным образом:

= ( / у + ^ + + + ¿3 + ^ ,

1Мк,0 = 1Мк + 1М1ь<»№)•

Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функции и(ж, а), ^(ж, а), связанные в цилиндре Q уравнением (8^), уравнением

Щ + — е«и — АV + с(ж, аV = /2 (ж, а)

тт

У^ Бк(ж, а)щ(Мк, а) + са(ж, а)и — УЗ Бкд (ж, а)и(Мк, с

кк

(8е,л)

н такие, что для них выполняются условия (13)—(16), (2), (4).

При Л = 0 данная краевая задача распадается на две независимые задачи — задачу нахождения решения а) первой начально-краевой задачи для параболического уравнения (8е,о) и задачу нахождения функции и(ж, а) (по функции «(ж, а)) как решения первой начально-краевой задачи для параболического уравнения (8^). Первая краевая задача нахождения функции а) разрешима в пространстве V,о (см. [9]). Далее, первая краевая задача нахождения по «(ж, а) функции и(ж, а) вновь разрешима в пространстве V,о (также см. [9]).

Согласно теореме о методе продолжения по параметру [10], для существования функции «(ж, а) из пространства V,о и и(ж, а) из того же пространства при всех Л, являющихся решением задач (8е,л), (8^), (13)-(16), (2), (4) при фиксированном е и при всех Л го [0,1] достаточно, чтобы при принадлежности функции / (ж,£, а) пространству Ф) имела место равномерная по Л априорная оценка

IMk,0 + lluHv!,0 < N.

(17)

Установим наличие необходимой оценки. Обозначим

F(x, t, а = f (x, t, a)

m

m

+ Bk(x, t, a)v(Mfc, a) + ca(x, t, a)u - ^ Bk l (x, t, a)u(Mk, a)

_k=i

k=l

В [9] показано, что выполняется оценка

угаупах|г>| ^ —угаупах

Ч со Ч

Это неравенство нетрудно преобразовать к виду

1

m

I I ^ I

vraimax |г>| ^--1--vraimax

q со со q

Далее, имеет место неравенство

vraimax |м| < — vraimax |г>|.

q с0 q

Отсюда получаем

I I R ■ I I

vraynax \v \ <--h 7 vraynax \v \.

q c0 q

Поскольку y < 1, последнее неравенство дает априорную оценку

R

vraimax|v| < —--- = (18)

Q co(l - 7)

Оценка

R

vraimax |w| <— (19)

Q co

очевидна.

Покажем, что для функций v(x, t, a) и и(ж, t, a) имеют место нужные интегральные оценки.

Интегральные оценки нормы v(x,t, a) в пространстве V при фиксированном £ и при принадлежности функции f (x,t, а) пространству Lœ (Q) выводятся стандартным образом из анализа равенств

/к + - £vtt — Av + cv)v dxdtda = / Fv dxdtda,

QQ

j(vt + va — £vtt — Av + cv)(—Av) dxdtda = j F(—Av) dxdtda,

QQ

/(v^ va — £vtt — Av + cv)(—v«) dxdtda = J F( —vtt) <ЫШ,

QQ

¡Ы + va — £vtt — Av + cvH dxdtda = J Fva dxdtda

QQ

с использованием неравенства Юнга и оценок (18) и (19). Аналогичным образом выводятся интегральные оценки нормы функции t, a) в пространстве V с использованием теперь неравенства Юнга и полученных оценок для функции v(x, t, a) (детали доказательства фактически будут приведены ниже).

Проведенные выше рассуждения и означают справедливость требуемой оценки (17). Как говорилось выше, этой оценки достаточно для нахождения функций а) и м(ж, а) — решений задач (8е,л), (8^),

(13)-(16), (2), (4) при всех А из [0,1].

Итак, задача (8ед), (8^, (13)-(16), (2), (4) имеет решение vе(ж,£, а), ме(ж, а такое, что vе(ж,£, а) € V,о> ме(ж,£, а) € V,о> и ПРИ этом для функций vе(ж, а), ме(ж, а) выполняются равномерные по е априорные оценки (18) и (19). Покажем, что при выполнении дополнительного условия /¿(ж,£, а) € для функций vе(ж,£, а), ме(ж,£, а) имеют е

Рассмотрим равенство

J+ vе — еvеí — АVе + суе)Vе ¿ж^Ыа = J Еуе ¿ж^Ыа.

От этого равенства с помощью неравенства Юнга и условий теоремы нетрудно перейти к неравенству а т

1

J J(v£)'2(x, Т, а) dxda + — J J(v£)'2(x, Ь, А) с1хА о п о п

е ^К)2 ¿ж^Ыа + J¿ж^Ыа

Н—- [(уЕ)2 dxdtda ^ —¡г [ Е2(ж,£, а) dxdtda. 2 У 2с5 }

ьо

Заметим, что вследствие исходных условий и оценок (18) и (19) функция Е(ж, а) ограниченная. Тогда

J !^^ (ж, Т, а ^ж^а + J !^^ (ж,£,

о п

е I ^"е)2 ^жЛ^а + ^^ J ^е.)2 ¿ж^Ыа < К, (20)

о п о п

в которой число К± определяется исходными данными задачи. Анализируя равенство

У К + < - - А Vе + СУ£) (-Д Vе) ¿ЫЫа = У -А Vе) ¿ЫЫа,

нетрудно получить априорную оценку п А . п Т .

/ / («Х»)2 (ж, Г, а ^ж^а + ^^ / / (ж, 4=1 о п 4=1 о п

п А

+

^ /У^^)2 ¿ж<Аз + У(Дуе)2 ¿ЫЫа < К, (21)

о п Ч

в которой число К определяется лишь исходными данными задачи.

Для доказательства теоремы нам понадобится вспомогательная оценка для функции ж,£, а)

J(«е)2 ^ж^Ыа < К У ¿ж^Ыа, (22)

в которой число Кз определяется лишь исходными данными задачи (эта оценка очевидна).

Получим четвертую априорную оценку, используя равенство

У («е + «а — — АVе + суе)(-у^) ¿ж^Ыа = J — У^) ¿ж^Ыа.

Интегрируя по частям, нетрудно от этого равенства перейти к следующему:

А т

1 ¡' Г' ,,е\2

У J(у^)2(х,0,а) dxda+^ ^ J(у^)2 (х,1, А) ¿хсИ о п о п

+ £ У (у^)2 ¿ж^Ыа + J¿ж^Ыа + J с(«е)2 ¿ж^Ыа

4=1 Ч Ч

[ А

^ я о п

Я

Используя условия теоремы, неравенство Юнга, оценки (18), (19), (22), нетрудно от данного равенства перейти к неравенству А Т

J !(«¿)2(х, 0, а) (х(а + J !(«¿)2(х,Ь, Л) (х(М + е ^(г^)2 3,хЛда

о

У ¿хЗКа + J(«¿)2 ¿хЗКа ^ К4, (23)

о п о п

+ Е

Я я

К

Последняя оценка

У «)2 ЗхЗЫа < К (24)

Я

теперь очевидна.

Оценок (18)-(24) вполне достаточно для выбора последовательностей {ер}, {и£р(х,Ь,а)} и {у£р(х,Ь,а)} таких, что при р ^ ж имеют место сходимости ер ^0, и£р(х,Ь,а) ^ и(х,Ь,а), у£р(х,Ь,а) ^ у(х,Ь,а) почти всюду в ^ иЕр(х,Ь,а) ^ и(х,Ь,а), у£р(х,Ь,а) ^ у(х,Ь,а) слабо в пространстве У0, £ру\1{х,Ь,а) ^ 0 слабо в пространстве и при этом предельные функции и{х, Ь, а) и у(х, Ь, а) будут принадлежать пространству Для предельных функций и(х,Ь,а) и у(х,Ь,а) будут выполняться уравнения (8о) и (8'), и условия (13)-(16), (2) и (4).

Из уравнения (8') и условий (14), (2) и (4) следует, что выполняется равенство

и(х, Ь, а) = 0 при х € О, Ь е [0,Т].

Другими словами, для функции и(х,Ь, а) выполняется условие (3).

Подставляя в уравнение (8о) и в условия (13)-(15) представление функции у(х, Ь, а) через функцию и(х, Ь, а) (из уравнения (8^)), получим, что функция и(х,Ь,а) является решением уравнения составного

типа и что для нее выполняются условия (13)—(15) (с заменой функции -у (ж, а) ее представлением) и условия (2)—(4). Из этого очевидным образом следует, что для функции и(ж,£, а) выполняется уравнение (1").

Определим функции а) равенствами

т

Уа = Х^ву (а)К(а) - Ди(Мй,а)] + 7у(а), 3 = 1,... , т.

Из оценок (18) и (19) следует, что функции а) принадлежат пространству Ьто([0, А]). Очевидно, что функции и (ж, а) и 41 (а),. .. , чт( а) связаны в цилиндре д уравнением (1). Из проведенных выше рассуждений вытекает, что найденные функции и(ж,£, а), Ч]_(а),... , чт(а) дают требуемое решение обратной задачи I.

Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что функция и(ж,£, а) имеет большую гладкость, чем требуется.

Перейдем к обратной задаче II. Вновь проведем вспомогательные построения. Умножим уравнение (1) на функцию К(ж, а) и проинтегрируем по цилиндру Е. Введем обозначения

/о(а) = J К(ж, а)/(ж, а ^жЛ, Мо(а) = J К(ж, а)М(ж, а) ¿жЛ,

Е Е

Ма)

а) = е(у,£, а)К(у,г,а) - К4(у,^а) - Ка(у,г, а) - ДК(у,4,а),

Мж, а) , М(ж,£, а)

7У1(ж,у,Ь,а) = К{у,г,а), 7У2(ж,у,Ь,т,а) = Кг(у,т,а)

Ма) М0(а)

да = {(ж, ¿, а) : ж е 0, 4 е (О, Т), а е (0, а), а < А}, Л^ю = тах / Ж2 (ж,у,Ь,а)йу, Л^о = тах / Ж|(ж,у,Ь,т,а) йуйт,

я 3 я 3

Е

N11 = тах / Л^4(ж, у, а) (¿у, = тах / Л^Дж,у,Ь,т,а) йуйт,

« ] я .) "

Е

N12 = _ тах / Ж2 (х, у, 0, о.) ¿у, N22 = _ тах / Ы2 (х, у, О, т, а) сй/йт. П Е

Предполагая, что выполняются условия

йо(а)#0 при а € [О, А, (25)

К(х,1,а) = 0 при х € дИ, вычислим функцию д(а): 1 "

ч{а) =

к0(а)

К(у, Т, а)и(у, Т, а) <у

+ / К1(у,г,а)и(у,т,а)ЛуЛг — /0(а)

Е

Подставляя выражения для д(а) в (1'), получим «нагруженное» ультрапараболическое уравнение

иг + иа — А и + с(х, Ь, а)и = Д (х, Ь, а) /г(х, Ь, а

^о(а)

J К(у,Т,а)и(у,Т,а) Лу + j К1(у,т,а)и(у,т,а)<1у<1т

Е

(26)

С помощью решения задачи (26), (2)-(4) и будет построено решение

обратной задачи II. Уравнение (26) снова является «нагруженным», но

''

« нагруженным».

Теорема 2. Пусть выполняются условие (25), а также условия с(х^,а) £ С2 (С5), со > 0, си(ж,£, а) ^ 0 при а) (Е <5, с4(ж, Т, а) ^ О при х € Л, а € [О, А]. Тогда обратная задача IIимеет решение и(х,Ь,а), д(а) такое, что и(х,Ь,а) € V, д(а) € ^([О, А]).

Доказательство. Вновь воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть £ — положительное число, Л — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функцию и (ж, а), являющуюся в цилиндре д решением уравнения

Щ + — £и« — А и + е(ж, а)и = / (ж, а) М(ж, а

А-

J Ky,T, a)w(y,T, a)dy + J K (y, т, a)u(y, т, а) dydT 'fi E

(26е,л)

и такое, что для него выполняются условия (2)—(4).

Согласно теореме о методе продолжения по параметру [10] для разрешимости задачи (26е,л), (2)-(4) при фиксированном £ достаточно, чтобы при принадлежности функции f (x,t, а) пространству L(Q) имела место равномерная априорная оценка ||u||V < Д.

Установим наличие необходимой априорной оценки. Обозначим для краткости

F = j y, t, a)u(y, T, а dy + j y, t, т, a)u(y, т, а dydT.

fi E

Рассмотрим равенство

j (ut + u — а — £utt — A u + cu)u dxdtda

Qa

= j fudxdtd^ + ^У .Fu dxdtda.

Qa Qa

Очевидным следствием этого равенства является оценка a T

j j u2(x, T, a dxda + j j u2(x, t, ^ dxdt + £ j u2 dxdtda

Qa

+ ^^ J u2Xi dxdtda + cq J u2 dxdtda ^ + J u2 dxdtda

y s2 ' ■ u

^Qa Qa " Qa

^ J /2 <х<Ыа + 6% J -Р2 ¿хсИЛа.

1 Я Яа

Имеет место неравенство

а

Яа О П

+ 2Ж2оТтевП / и <х<Ь<а.

Яа

Зафиксируем числа ¿1 и ¿2: ¿1 = 1, = 4дг10уте5д • Получим

— УУ и2{х, Т, а)ЛхЛа + J J и2(х,1,а) <х<И о п о п

+ £ J и^ ЛхЛЬЛа + J и2х. ЛхЛЬЛа

Яа 4=1 Яа

^ + 4ЖЮ тев П +J и2с1х<Ис1а+ ! /2 ¿хсИс1а. (27)

Яа Я

Рассмотрим равенство

+ иа — £и..— д (—^

Яа = =

= J /1 (—ии) ЛхЛЬЛа + X J —иИ) Лх&Ла.

Яа Яа

Используя условия теоремы, неравенство Юнга и либо не интегрируя по частям по переменной Ь в первом слагаемом правой части, либо соответственно интегрируя, получим неравенства

а Т

— J ! и2 (ж, 0, а) д,хд,а. + — J J и2 (ж, £, а) с1х<М о п о п

+ £ 1<ы,ы« + ±1 <ы,ыа + „ Iи «И»

Я Я Я

^ — [ иЬ (1х<Мс1а Н--/ А2 (1х<Мс1а Н—^ [ м? с1х<Мс1а

2] " 2е У ^ 2 У 4

Я Я Я

= = а = = а =

—/ Ё2с1хсИс1а+ — / / и2(х,0, а) <1хс1а-\--/ / Ё2(х,0,а)(1х(1а,

263 У 2 у у 26| У У

Я

=а = =Т =

^ ^ и2(х,0, а) dxda + — J J и2 (ж, а) с1х<М о п о п

+ ^ У и^ ЛхЛЬЛа + J и2х.г ¿хсИЛа + сд J и2 ЛхЛЬЛа

Я 4=1 Я Я

= = = а =

66

^ — / м? д,хсИд,а. Н--» / -Р? <1хсИд,а. Н—- / / О, а) д,хд,а.

2 У 26д У 2 У У

ЯЯ = а = = =

Н--/ / г(х, О, а) ё,хл1а. Н—- / м? ¿х<Мйа Н--/ №+<1хсИс1а

Щ .1.1 2 У 2^^ У

ЯЯ

Н—2. [ [ и2(х, О, а) <И,хс1,а Н--^ [ [ /2(ж,0,а)с1хс1а, (29)

6

о п о п

66

Заметим, что справедливы оценки

= = а =

Яа

+ 2^21ТтевП J и2 ЛхЛЬЛа,

Яа

а

р (ж, 0, а ^жйа ^ 2Ж12 тев П У У и2 (ж, Т, а ^жйа о п о п

+ +2^2 шее О У Щ ¿ж^Ыа.

Яа

С помощью этих оценок и оценки (27) продолжим (28) и (29):

9 а Т

—--У У и2(х,0, а) dxda + — J У и2(х,Ь,а) ¿х<М

о п о п

+ — У (1хЛ(1а + У (кс&йа

Яа ^Яа

Со--У (1х&с1а ^ — У йхАйо.

Яа Я

ЖпГтезП , Ж12тезП^ , ОАГ ^

-^--1--^- 2 + вЛ^юТтевП + —— / и ахаЬаа

Ч 4 ) \ ^ю у)

Яа

/ЖцТтевП ^гтевПЛ [ + 2 ---1--^- / /£ dxdtda

V ¿з

Я

Ж21ТтевП ^22тевП\ I 9111 -5--1--5- | / и" dxdtda,

¿з

,2 2 2

о п

Т

1

У У (ж,0, о п

У У (ж, а ^жЛ + £ У ^ж^Ыа + У ^ж^Ыа

о П Яа ^Яа

сп--^--- ] /и? (1хЛ(1а

2 2 У ./ 4

а

A

^ —рт / f?t dxdtda H--pr / / f?(x, 0, a) dxda

Щ J Щ J J

Q 0 fi

NnT mesO , N12 тезП\ fn , ОАГ m 0,2AT20W2 -^--1--^- 2 + 8N10T mesQ + —— / w dxdtda

¿3 ¿4 У V Nio У J

Qa

NnTmesO N^mesOA f 9 -^--1--^- / j{ dxdtda

¿1 4)3

Q

NJmQ N22 mes О \ -5--1--5- / m" dxdtda.

¿3 4 J J

Qa

Подбирая теперь числа ^-¿e малыми и фиксируя их, получим, что выполняются неравенства

a T

/ -,

u+ i X,

j j ut (ж, 0, a dxda + j j ut (ж, t, a) dxdt 0 fi 0 fi

+ £Z Utt dXdtd^ Vj ^ dXdtda

Qa ^ Q a

+ j ut dxdtda ^ C + C j U dxdtda, (30)

Qa

T

j j ut (ж, 0, a dxda + j j ut (x, t, a dxdt 0 fi 0 fi

+ e j utt dxdtda + j dxdtda

Qa fclQa

+ j ut dxdtda ^ C + C j u2 dxdtda, (31)

t

Qa Qa

в которых число С определяется исходными данными задачи и числом £ числа же С2—С4 определяются лишь исходными данными задачи.

a

Сложив (27) и (30), (27) и (31) и применяя далее лемму Гронуолла, получим, что выполняются априорные оценки

Е/

О О О О Яа

а

Л*ма)£!4(х,ьа)*(32)

о п

1 1 п

J ! ч2(х,Ь,а) dxdt + J J Ц. (х, Ь, а) + J ч2х^ dxdtda о п о п 1=1Яа

а

+ Ц и м а) + е\ чЦх, г, а) ^Ыа * Мъ (33)

О П Яа

причем оценка (32) выполняется при условии € ^{О) и при

М

лом е, оценка же (33) выполняется при условии ^(х,Ь,а) € ^(0), ¡и{х,Ь,а) € Ь2(О), и при этом число М1 определяется лишь исходными данными задачи.

Из оценок (32) и (33) очевидным образом следует, что выполняются оценки

J (Дч)2 dxdtdа + ^ Ча dxdtdа * Мз, (34)

Яа Яа

J (Дч)2 dxdtdа + J ча dxdtdа * М3, (35)

Яа Яа

причем вновь первая из этих оценок выполняется при условии а) € ¿2(0), число М2 определяется исходными данными и числом е, вторая же — при условии ^(х,Ь,а) € ^(О), ¡и{х,Ь,а) € ^(0), М

Оценок (32) и (34) вполне достаточно для осуществления всей схемы метода продолжения по параметру, оценок (33) и (35) — для осуществления процедуры выбора подпоследовательности и предельного перехода.

Предельная функция и(х, а) и функция д(а), определенная равенством

1 "

д(а) =

Ма)

K(y, T, a)u{x, T, a) dy

Ki(y, т, a)u(x, т, a) dydr — f(a)

дадут решение обратной задачи II из требуемого класса. Теорема доказана.

Замечание 2. Используя [9], нетрудно установить, что при выполнении дополнительных условий

/i(x,t,a) е Ьж(Q),

max

Q

\N(x,y,t,a)\ dy

■ max

Q

\N(x, y, t, т, a) \ dydr

< c0

П Е

обратная задача II имеет решение и(х,£, а), д(а) такое, что и(х,£, а) € д(а) € Ьто([0, А]) (см. доказательство теоремы 1). Замечание 3. Процедура доказательства выполнимости условий переопределения (5) в обратной задаче I и (6) в обратной задаче II для решений и(х, а) вспомогательной задачи для «нагруженного» уравнения (8) или (26) подробно обоснована, например, в работах [11,12].

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko А. I, Orlovsky D. С., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.

2. Kozbanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

3. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002,

4. Ivanchov М. Inverse problems for equations of parabolic type. Math. Stud. Monogr. Ser. 2003. V. 10.

5. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer Sei., 2006.

6. Кошелева Ю. А. О разрешимости некоторых линейных обратных задач для ультрапараболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ, 2011. Т. 18, вып. 2. С. 79-99.

7. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.

8. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.

9. Кожанов А. И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных ультрапараболических уравнений некоторых математических моделей динамики биологических систем // Сиб. журн. индустр. математики. 2009, Т. 12, № 4. С. 64-78.

10. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

11. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи. Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

12. Кожанов А. И. Об одном нелинейном параболическом уравнении и связанной с ним обратной задаче. Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 2. С. 840-853.

г. Южно-Сахалинск

10 августа 2012 г.