Обратная коэффициентная задача для многомерного гиперболического уравнения в случае интегрального переопределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ О, А. Колтуновекий

Пусть ж = (ж1,..., x„) — точка ограниченной области D пространства Rn с гладкой границей Г, t — число из ограниченного интервала (О, Т), Q — цилиндр D х (О, Т).

В цилиндре Q рассмотрим уравнение

иц — А u + q(x)a(x,t)u = fo(x,t), (1)

где А — оператор Лапласа по переменным (xi,..., xn), функции a(x, t) и fo(x,t) известны и заданы при (x,t) £ Q. В работе изучается

Обратная задача. Найти функции u(x,t) и q(x), связанные в Q

уравнением (1) и такие, что выполняются условия:

u(x,t) |г х(о,т) = v(x,t), (2)

u(x,0) = uo(x), x £ D, (3)

ut(x, 0) = ui(x), x £ D, (4)

T

/ом^ч^адх), x £ D (ä)

о

Функции fj,(x,t), щ(х), u\{x), a(t), ho(x) известны и заданы при х £ D, t £ [0,Т].

©2013 Колтуновекий О. А.

Условия (2)-(4) являются условиями первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения (1). Условие (5) — условие интегрального переопределения, позволяющее найти вместе с решением и{х, г) и неизвестный коэффициент ц{х).

Сделаем следующее

Предположение 1. Существует функция и = и(х,г) из класса С\Я), удовлетворяющая граиичиым условиям (2)-(4).

Произведем замену и(х,Ь) = у(х,г) + Щх,г) и переформулируем обратную задачу: требуется найти функции у(х, г) и ^х), связанные в цилиндре Q уравнением

Уп - Ду + д(х)а(х,г)(у + и) = ¡(х,Ь) (1')

при выполнении условий

у(х,г) |г Х(0 ,т) = 0, (2')

у(х,о) = о, х е в, (з')

Уг{х, 0) = 0, х е в, (4')

т

I= х е в ОТ

о

Функции /(х,г) и Н{х) равны соответственно

т

¡(х,г) = и{х,г) - (и„ - Ди), Н{х) = на{х) а{г)и{х,г)<и.

о

Умножим обе части уравнения (1') та функцию проинтегрируем почленно получившееся равенство по переменной г в пределах от ¿ = 0 до г = Т и выразим коэффициент

ч(х) =

т

/ а(г)/(х,г) ¿г + АН(х) ю

т

— § а(г)уи( х, г) ¿г -2-• (6)

т т

§ а(г)а(х,г)и (х,г) ¿г + § а(г)а(х,г)у(х,г) ¿г о о

Далее будем предполагать выполнение следующих неравенств при х е

~В:

(7)

О < Н ^ У а(г)/(х,г) ¿г + АЬ\х) < н2, о

т

О < А а(г)а(х,г)и(х,г)&< А2. о

Также будем предполагать, что а(Т) = 0, тогда т т

J а(г)уи(х,г) ¿г = —J а' (г)у^х,г) ¿г. о о

Введем семейство срезающих функций ар(£) при р > 0:

(С, если |£| < р, -р, если £ < -р, р, если £ ^ р.

Для функции р(х, заданной в цилиндре С}, и чисел [3, 7 из интервала

,

/ а(г)$(х,г)& + Дй(х) Ю

• (£1

§ а(г)а(х, г) и (х, г) ¿г + ст7а (£2)

= н(х) + арнЛ^] А(х) + а1А1(Ь)

(8)

где

£1 = J а'( г)рг{ х,г)&, £2 = J а{г)а{х,г)р{х,г) ¿г. о о

Тогда коэффициент чр(х) оценивается в следующим образом:

0<Ч* < Чр < Ч**,

где

Ч =

+ 7^1 '

Ч =

Я2 + /ЗНг (1-7 )АГ

(9)

Определим пространства функций, используемые далее:

у = {«ом) | у(х,ь) е Щ(д) п ьто(о,т;Щ(Я)), уДх,г) е п ьж(о,т;Щ(Я)),

Ауг(х,г) е ь2(д) п ьж(о,т-д2(Щ},

у = {у(х,ь) | у(х,ь) е у, уа{х,г) е Щд(3)}, у0 = {у(х,г) | у(х,г) е у, у(х,г)|гх(0,т) = о}.

Нормы в этих пространствах определяются равенствами 1Мк = \M\wKQ) + \\у\\ьте(0 + \\vtWw2iQ)

\\у\\у = \\у\к + д (ед.

Исследуем вспомогательную задачу: найти функцию у(х, которая удовлетворяет в цилиндре ф уравнению

-еД«« + уш -Ду^ Яу(ау)t = х,г), е > О, (10)

условиям (2'), (3'), (4') н условию

у«( х,0) = /„( х,0), (11)

где

¥у(х,г) = Мх,г)-ду(х)(аи) /„(х, ¿) = /(х,£)-^(х)а(х, ¿)м0(х).

Заметим, что (10) — нелинейное нагруженное уравнение составного типа [1,2], для которого поставлена нелинейная нагруженная — ввиду условия (11) — краевая задача. Сделаем важное

Предположение 2. Размерность области равна 2 или 3, и Г класса С2.

Тогда [3] для функции т е Щ|,о справедливо второе основное неравенство для эллиптического оператора А:

\N\wKd) < \\ДН\ь2(я),

и согласно теоремам вложения верно неравенство

1И1ссо) ^ М1аН1Ь2(£>)-

Получим оценки, предваряющие вводимые далее обозначения. В силу определения функции (х, 0) и элементарного неравенства + • • • + Ът)2 ^ ш(Ъ\ + • • • + Ъ2т) справедливы оценки

У /|(ж,0)с£г <2 У [/2(ж,0) + (д**)2а2(ж,0)и2(ж)] ¿с = Д (12) в в

У /рхА< в0о J ¿х{ J 1р(х,г) | ¿г

1=1 в в \ о У

+ ^01 / ¿х\ / 1рхЛх,г) | ¿г I + Вю J ¿х{ J |р4(х,г) | ¿г г=1 в V о / в V о

+ Вп£У У ) + ^

®=1 в V о /

+ С1,00^ [ ¿х[ [ 1р*х^х,г) I ¿г I I у |р(х,^ |. ив V о / V о

+ С[ ¿х[ [ 1р^х,г) I ¿г I ( У кдх,г) |< ив V о / V о

^т \ 2 / т

У |рДх,г) | ¿г I I у |р(х,^ | ¿г I , (13)

т

х

в

где

5 = / [/ХДх,0) + (ч**)2[а(х,0)ио(х)]XJ ¿х

' xi

г=1

в

2

Дптев-О тах та-х.(НХ€А — НАХ€)

Воо = А\п \ max щахН2, тах(аа)2 + тахН2 тах max(aaXi)2], D " Q D Q

Вт = a4i max H тах(аа)2, Вт = Ai n max max A2 max(a')2. D Q D [О ДГ

Bn = a4i max A max(a')2, Ci то = À max(a¥ maxia^2,

ô [0,T] ' [0,T] Q

Co 01 = a4i max(a¥ max(aa)2, [0.П Q

Co от = a^inmax(a')2 max max(aa2.)2,

[0,T] l^i^n Q

~ 27

= (1 _7)4^4 п^х[а2(ж, О)г^(ж)].

В силу определения функции Fp (ж, t) справедливы оценки

(14)

где

^ = 2{ll/«llL(Q) + ('/")2ll(^)«llL(Q)}-

Обозначим F** = F-f* + F2**, где

Ff* =те8£»|0Т3 + 4Т^Р+уТ3^|, F2** =T(Â+B).

Введем функции

ао(ж, t) = а(ж, t)(2T — t), ai (ж, t) = at(ж, t)(2T — t), F** (r) = F** (T) |T=T.

Достаточные условия разрешимости обратной задачи (1')-(5'), которая эквивалентна исходной задаче (1)-(5), дает

Теорема 1. Пусть выполняются предположения 1 п 2, функции /о(ж^), a(t), ho (ж) и а(ж, t) таковы, что

/о(ж,t) g C2(Q), a(t) g ^([O.T]), а(Т) = 0, fto(x) g C3(D),

a{x, t) g C2(Q), a{x, t) > 0, at(x, t) < 0 при (ж, t) g Q.

Предположим, что на границе Г выполнены условия согласования: ^(х,0)|г = О, х,0) — Ащ(х) — /о(х,0)|г = О,

= О.

г

^о(х) — J а(1)р(х,1)<И о

Предположим также, что в области Б выполняются неравенства (7), а в цилиндре неравенства

1

дб > (?**)2аоОМ)>

\а0г(х, ¿)| > 4д** [б(а04 + ах)2(х, + Т2 (2 таха| + Зтаха|4)],

Я Я

1 ¡к* / т~| \ i / .41 л / э|еэ|(: \ 2лт12

(15)

>Ч**а{х,Т), \ам{х,г)\ > 16(4**УТ2 щах аЦх,Т), (16)

О В

для некоторого положительного числа V

V (Г2 кд тев П[Бю + 4Со поТ3кд(1 + ^Б**] - > тах<---!-£

3(1 + ^ 1 1/16

Т2кв тез Р[В00 + 8С10,00тад(1 + г/)Е**] 1/(8 Т2)

Т2^ + (Т2/2)В01 + 8Т3кд(1 + ^Е ** [Сп ,оо + сю ,01])

1/2

Т

I < /ЗНг

о

т

+ ¡у) / |а(т)| тах |а(ж,

У в

(17)

(18)

Тогда существует решение д(х)} обратной задачи (1')-(5') та-

кое, что у(х,ь) е V, е Б).

Доказательство. Пусть р{х,Ь) е То- Рассмотрим семейство задач (А е [0, 1]): найти функцию ул(х, ¿), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

Ь£р\ = —еАуи + — ААуг + Адр( ау) г = АБр (Юрл)

и такую, что для нее выполняются граничные условия (2'), (3'), (4') и условие

v«( x,0) = fp( x,0). (lip)

Докажем разрешимость задач в пространстве Vo методом продолжения по параметру. Обозначим через Л множество тех Л € [0,1], для которых задача (10ра), (2'), (3'), (4'), (llp) разрешима в прострапстве Vo- Если это множество окажется непустым и открытым в индуцированной

,

мость задачи (10po), (2'), (3'), (4'), (llp) в пространстве Vo вытекает из разрешимости первой смешанной задачи для параболического (относительно vtt(x, t)) уравнения (10po), так как по условиям теоремы 1

о

Fp(x,t) € L(Q)j fp(x,0) € W\(D) (см., например, [4]). Решение находится по формуле

t ti

v(x,t) = j dt\ j vtt{x,t^dt2-о о

Л

непустоту.

Для доказательства открытости множества Л получим необходимые априорные оценки. Умножим обе части уравнения (10ра) на выражение (2T — t)(—Дvtt + vtt) и проинтегрируем получившееся равенство по цилиндру Q.

В правой части проинтегрируем по частям и сделаем оценку с использованием неравенства Коши:

У ЛРр(2T — t)(—Дvtt + vtt) dxdt Q

J ЛРр(2T — t)vtt dxdt

<

T

Л[Гр(2T — t)}tAvt dxdt

Л^рД vt(x, T) dx

<4/ ««

dxdt + —Л J(Avt)2 dxdt

\ЛТ j {Avtf (x, T) dx + Л2 J Fp{ 2T — t)2 dxdt

D

+ А у 2Т - ¿)]4 ¿жЛ + 2АТ у Е2(ж, Т) ¿ж. (19)

Я в

Нетрудно проверить, что сумма трех последних выписанных слагаемых не больше числа

Далее в доказательстве теоремы 1 положительные постоянные М\ (г = 1,...) зависят только от входных данных задачи (10), (2'), (3'), (4'), (11) — известных функций и их норм в соответствующих пространствах, определяемых условиями теоремы 1, но не зависят от чисел £ и А и функции р(ж,£) € Ц.

Теперь в получившемся неравенстве

/ь,М2Т - ц(-Д», + „„> ** « / АЧ,(2Т - ,)(-А+

¿жсИ

проинтегрируем левую часть по частям, учтем неравенства (15) и (16) из условия теоремы 1, оценку (19) и неравенства для функции -у(ж,£) такой, что = 0:

У V2 (¿жЛ ^ — У -у2 с1х<М, У г;2 (ж, Т) ¿х ^Т J V2 <1х<М, Я Я в Ч

получим оценку

£(2Т - ¿)(Д««)2 +^(2Т - ф

¿=1

1 1 . 1 + о«« + + Хл2** +

2

¿¿

dжdt

¿=1 в в

А—Т У (Дг14(ж, Т))2 3,х + А—Т J Т) в,ж

в в

А^Т [ gpа(x1TK2(IIT)<lIа¿ [ /2жДж,0) + (Е** -ТВ) = Б». 4 J „•_-, J

в

(20)

4

Рассмотрим цилиндр QT = {(x,t) : x € D, 0 < t < т}, где т — произ-,T

уравнения (10ра) та выражение (2т — t)(—Дvtt + vtt), используем (19) и получим

£ Nil < mf;*. (21)

Заметим следующее: если при оценке интеграла

У Fp{2T — t){—Avu + vtt) dxdt Q

не проводить интегрирования по частям, то аналогично получается оценка

и| + (f;* -fd)- (2io

v x, t

p vtt x,

N2v< ^r(^\\FP\\l2{Q))- (22)

Л

(10ра), (2'), (3'), (4'), (llp) разрешима в пространстве Vo. Тогда для любой функции w(x,t) € 1 существует функция v(x,t) € Vq, которая является решением уравнения

—eAvtt + vttt — ЛДvt + Лд;(av)t = ЛFp + Л(^; + Awt — q;(aw)t)

' ' ' p

(10рл), (2'), (3')j (4')j (Hp) порождает оператор P, переводящий пространство Vq в себя: P(w) = v. Возьмем функции wi,w2 £ Vq и их образы vi,v2 £ Vq. Рассмотрим разности w = wi — w2, v = v\ — v2.

v

LEpXv = \(Awt - qp(aw)t) ' ' ' p

неравенству

Тем самым для всех Л таких, что А—# < 1, оператор Р сжимающий.

следовательно, имеет неподвижную точку ш € У, которая, очевидно, является решением задачи (10рЛ+л), (20, (30, (40, (11р).

Открытость множества Л доказана, вместе со своим элементом Л оно содержит и его окрестность (Л — -^щ, А+ -^щ) п [0,1]. Поскольку

Л

О принадлежит Л, то Л совпадает с отрезком [0,1].

Тем самым для любой функции р(х, € Уо доказана разрешимость задачи (10р), (2% (30, (40, (11Р) в пространстве У, т. е. данная задача порождает оператор Р, переводящий пространство у в тебя: Р(р) = у.

Покажем, что оператор Р имеет в У неподвижную точку. Рассмотрим ограниченное, замкнутое и выпуклое множество функций из пространства у:

Я

Я

Фиксированное число Е будет определено позднее. Л

^ А— 1 А — 1

п

п

Я

(200

учтем оценку (13) и применим неравенства

J |гу(ж, ¿)| <М I ^Т J тито2 (ж, £) <М

\о

т

^ Т J J(Д^(ж, 4))2 ¿ж^ = Ткр J(Д"ш(ж,4))2 о в в

Цж,4) |Гх(о,т) = О, для оценки следующих интегралов, зависящих от функции р(ж, 4) € Ко'-

1Т \2/т

¿ж I / ж, | 1 I / |р(ж,4) | в \0 / \0 У

ЪХг

Я Я

¿ж ^ У |р(ж, 4) | I |У |рхЛж, 4) |

в \о

^ Т2кц У ¿хсМ У (А р4)2 ¿хсМ ^ У Лх(И 16(1 +

Я Я Я

= 8Т4кв(1 + р*х.

¿ж I / |р(ж, 4) | I / |р(ж,4) | в \о / \о у

< тевДТкд)2 У (Др4)2 dжdt J(Др)2 ¿ж<й.

ЯЯ

Неравенство (17) тогда дает, что оператор Р функции множества Ко переводит в функции «(ж, 4), удовлетворяющие всем ограничениям, определяющим К^ за исключением поеледнего: |Н|ц ^ Д. Введем

в пространстве у норм у ||v||i, равную квадратному корню от левой части неравенства (20) и эквивалентную исходной норме ||v||y. Тогда из (20) следует, что

Mi < rMl + F**, r e(ОД),

значит, все функции p(x,t) £ Kg, лежащие в шаре ||p||i ^ R радиуса R такого, что R2(l — r) > F**, переводятся оператором P в шар радиуса R (по порме ||v||i). Число R определено.

Покажем, что оператор P вполне непрерывный. Пусть {pn(x, t)} — ограниченная последовательность из пространства {vn(x,t)} — последовательность образов функций pn(x,t) при действии оператора P. В силу оценки (21) последовательность {vn(x,t)} ограничена в пространстве у. Последовательности {pnxi{x,t)}, {pntxi{x,t)} (i = 1, n) равномерно ограничены по г в W^iQr), а последовательности {pn(x,r)}, {pnt(x,t)} равномерно ограничены по т в W^iD). Из ограниченности вышеуказанных последовательностей, а также из компактности вложений W^iQr) в L2(D) и W|(_D) в C{D) следует [3], что существуют подпоследовательности {pnfc(x,t)} и {vnfc(x,t)} соответствующих последовательностей и функции p(x,t) и v{x,t) такие, что при k ^ ж имеют место сходимости:

pnk(x,t) —> p(x,t) слабо в V и почти всюду в Q,

vUk(x,t) —> v(x,t) слабо в V и почти всюду в Q,

pn(x,t) ^ p(x,t) сильно в

pnt{ x,t) ^ p(x, t) сильно в LTO(0 ,T;Wl(D)),

pn(x, t) —> p(x, t) сильно в Loo(0, T; C(D)),

Pnt(x,t) pt(x,t) сильное Loo(0, T; C(D)).

Из этих сходимостей следует, что функции p(x, t) и v(x, t) связаны уравнением (10p), а функция v(x, t) удовлетворяет условиям (2'), (3'), (4'), (Up)-

Обозначим wk(x,t) = vnk (x,t) — v(x, t). Для функции wk имеет место равенство

-eAwfctt + wkttt — Awkt + qp (awt)t = (qP - U))t = F(x,t),

выполняются условия (2'), (3'), (4') и условие

Wk11 (x,0) = {qp - qpnJa(x,0)uo(x) = /(x). '

+ WfWwKD)

которое вместе с сильной сходимостью дРпк (ж) ^ Чр(ж) в ^^(Б) (о сходимости срезок см. [3]) влечет сходимость ^ 0 при к ^ то,

Р

вполне непрерывность.

Р

дить множество Ко в себя и теоремы Шаудера [5] оператор Р имеет па множестве Ко неподвижную точку. Эта неподвижная точка, т. е. функция «(ж, 4) го пространства Т^, будет решением задачи (10), (2'), (3'), (4'), (11). Поскольку решение получено для фиксированного е, обозначим его через г>е(ж, 4).

Из оценки, аналогичной (20), следуют неравенства (т € [0,Т])

D 1

8Т

D

и в силу предположения 2

F **( т)

К(ж,т)< - kD( 1 + v)

3 ^ 7 т ' \у(х,т)\2 ^8к0(1 + 1у)тР**(т), х£В. Ввиду неравенств (18) получаем

^вн (Ы = £ъ (Ы =

Тогда коэффициент ж) определяется формулой (6).

е

можно доказать разрешимость в пространстве V задачи (1'), (2'), (3'), ''

v

Из оценки, аналогичной (20), следует, что

IMV + £||Дvett\\l2{Q) < MF**,

значит, существуют числовая последовательность {ek}, подпоследовательность функций {v£fc(x,t)} и функция v(x,t) такие, что при k ^ ж имеют место сходимости:

vek(x,t) —> v(x,t) слабо в V и почти всюду в Q, ekAvektt ^ 0 слабо в L2(Q), vEk (х, t) —> v(x, t) сильно в Loo(0, Т; C(D)), vEkt(x,t) vt(x,t) сильное Loo(0, T; C(D)). Стало быть, функция v{x,t) удовлетворяет в цилиндре Q уравнению (vtt - Дv + qva(v + U))t = ft(x, t), (23)

а также условиям (2'), (3'), (4') и (11).

Докажем, что функция v(x, ^удовлетворяет уравн ению (1'), а так-'t пределах от t = 0 до t = т, где т € [0, Т]:

[vtt-Av + qv a(v + U)](x,T) - [vtt - Av + qva(v + U)](x,Q) = f(x,T)-f(x, 0).

v x, t ' v x, t

'

[vtt - Дv + qva(v + U)](x, т) = f{x, т).

Умножим почленно последнее уравнение на функцию а{т) и проинте-

тт

до т = Т:

T T

j[vtt - Дv + qva(v + U)~\(x, т)а(т) dr = J f(x, т) dт. о о

qv x

чим

T

д/^М^^Д^), x G D,

из условии согласования

т

Н{х) |г= J а(т)у(х, т) ¿т|г = О, о

поэтому выполняется и условие (5') т

J а(т)у(х, т) ¿т = к(х), х € Б. о

По определению ду(х) € (Б). Теорема 1 доказана.

Единственность решения обратной задачи (1)-(5) докажем среди функций следующего множества:

У(М, д*, д**, А*,А**)= € V : тах(|МЦ2(д), |ЫЦ2(ОД,

Нм«|Ц2№), уи(х,т)УЬ^щ, уи^х,т)УЬ^щ) < М;

т

О < д* < ди(х) < д** 0 < А* ^ а(г)а(х,г)и(х,г) ¿х < А*

о

По теореме 1 такие решения и числа N д* и д*% А* и А** существуют.

Коэффициент ди(х) Для решения и(х, го множества У(М,д* ,д** ,А*, А**

g«( x) =

T т

J a(t)f0(x,t)dxdt + bb)(x) + J a'(t)ut{x,t)dt

о_о_

т '

J a(t)a(x,t)u(x,t) dt о

Обозначим

S(T) = 20T2 max a2t + (88T2 + 4T + 5) max a2 + (28T2 + 4T + 5) max a2.

Q Q Q

Достаточные условия единственности решения, согласованные с условиями существования решения, приведены в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1, и пусть в области Б начальная функция и$ (х) равна нулю.

Предположим также, что справедливы неравенства

1 ШБ(Т), , 32 °?оаП(а

(24)

1 ^ атггЗ с/т\ ( <1

2

1б > ЛГТ^(Т)^^ тах[а^)а(М)]2.

Тогда существует единственное решение {и(х, Ь), ди(х)} обратной задачи (1)-(5) такое, что и{х,Ь) е ¥{N,9*, д**,Л*,Л**), д„(х) е (Б). Доказательство. Разность двух решений

У(х, Ь) = и (х, Ь) — и (х, Ь)

удовлетворяет уравнению

Уц — АV + ^ау = — Ц2)а(х, (х, Ь)

х, Ь) А

-^х,Ь)щ(х,Ь), (25)

т т

Ц\{х) § а(Ь)а(х,Ь)У(х,Ь) ¿Ь — f а'(Ь)У((х,Ь)сИ о о

т

§ а(Ь)а(х,Ь)и2(х,Ь) АЬ о

однородным условиям (2'), (3'), (4'), (5') и условию

У«(х, 0) = (^ — д2)а(х,0)ио(х) = 0. (11')

Оценка разности коэффициентов в области Б делается, как в доказательстве теоремы 1:

(</1 — й)2 ^ 1 (ч**)2 тах[а(^)а(ж, ¿)]2 [(Ау)2 ¿хсИ

(^*Г I Ч 3

• тах(а'(Ь))2 У(Ау4)2 АжА (26)

Я

Почленно продифференцировав по Ь уравнение (25), получим ТУ = — А+ 92 (аУ)4 = (^ — д2)[а(х,Ь)и1(х,Ь)]

Обозначим

Ф(х,г) = {ц\{х) — д2(х))[а(х,г)м!(х,г)] 4 и рассмотрим равенство

IЩ2Т - г)(-Ауи + г;и) сЬ& = J Ф(х,г)(2Т - г)(-Ауи + Юи) с1х&.

я я

Как и при доказательстве теоремы 1, получаем оценку, аналогичную оценкам (20) и (20'):

¿хсИ

< J Ф2 (2Т — г)2 (1хА + J[Ф(2T — г)]? (хЛ + 2Т J Ф2{х,Т)3,х. (27)

я я

Добавим оценку (и подобные ей)

J[Ф(2Т - г)}2 д,хЖ < тах(</1 - <й)2 J[(аи1)^2Т - г)}2 д,хЖ

я я

< тах(й - )2Ж [20Т2 тах а2л + (80Т2 + 5) тах а2 + (20Т2 + 5) тах а2].

с Я Я Я

Тогда с учетом (26) получим

¿хсИ

< ^^М8(Т)^(д**)2щах(аа)2 I(Ау)2 ¿ХА

я я

+ тах(а')2 У(Ащ)2 (х(Ь|. (28)

я

Из оценки (28) и неравенства (24) следует равенство х,г) = 0 почти

всюду в <3• Значит, г?(ж, ¿) = 0 почти всюду в <5, так как функция г>(ж, ¿)

''

Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.

2. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теорет. и прикл. математики, 1995.

3. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

4. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

5. Функциональный анализ (под ред. С. Г. Крейна). Сер. Справочная мат. б-ка. М.: Наука, 1972.

г. Южно-Сахалинск

30 сентября 2013 г.