Об одной задаче динамики популяций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ*)

А. И, Кожанов

Динамика возрастной структуры популяции, состоящей из нескольких видов, с учетом внутренних взаимодействий при некоторых естественных предположениях описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных

г = 1,... ,п, в которой щ(х,Ь, а), г = 1,... ,п, — плотность г-го вида сообщества, х ^С Мп, £ е ( О, Т), а е (О, А), П есть область, занимаемая всей популяцией, £ — время, а — возраст, Т — период наблюдения, А — предельно возможный возраст особей, а^(х,1,а), [Зги{х,1,а), Х^, г, к = 1,... ,п, — функции и соответственно коэффициенты, характеризующие процессы роста и убыли, взаимодействие между видами и перемещение (см. [1-4]). Далее, система (1) дополняется начальными условиями:

щ( х,0, а) = щ ¿( х, а), (х, а) е О х (О, А), г = 1,... ,п, (2)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-06-00390).

А

(1)

© 2008 Кожанов А. И.

условиями, характеризующими рождаемость [1,2,4]: А

щ(х,£, 0) = J 1г(х,1,0иг({х,Ь) бПх(0,Т), г = 1,...

(3)

г

популяции на границе ареала обитания:

щ( х,г,а) х(о ,т) х(о ,А) = г=1,...,п. (4)

Математическая задача исследования разрешимости системы (1) при выполненных условиях (2)—(4) и является основной целью настоящей работы.

Всюду ниже будем считать, что область П ограничена и имеет гладкую (или, для простоты, бесконечно дифференцируемую) границу Г, 0 < Т < + го, 0 < А < + ж, Аг, г = 1,... ,п, — положительные числа. Введем обозначения:

< = о х (0,Т) х (0,А),

п а

а.г(х,г,а) = аг(х,г,а) / вгк(х,г,£)и0¿(

к=1 {

вгк {х,ь,а, £) = вгк (х,г,£)и0¿(х,а); /¿ОМ, а) = «¿(ж, а)иК{х, а)--' ^ + АгДи0г(х, а);

п а

7„_1

к

А

Фг(ж, а, и>(х, а)) = / ¡Зцг(х, Ь, а, £)и>к(х, Ь, £)

к

(здесь т(х,1,а) = (т\(х,1,а),... ,тп(х,1,а)), {х,Ь,а) — заданные при а) £ (5 функции);

{П, если |п| ^ ш-, ш-, если п > ш-, —ш-, если п < —ш-,

ш-

делены ниже, ] = 1,2;

А

Щг{х,Ь) = j Чг(х,г,£)и0г — Щг(х, 0);

о

сч = тах{уга1таха)|, уггцтах а0 = сч + ... + ап;

(х,г,а)ес} жеп, ¿е[о,т]

Ьо = тах тах _тах

г=1,... ,п к=1,... ,п жеп1 ге[о,т]

Ьо = тах тах тах_

г=1,... ,п к=1,... ,п (х^,а)£<3

с0 = тах _тах

г=1,... ,п хеа 4ег0 Т]

J 1ГМ х,г,01 % .0 1

1вгк{х,г, а,£)I

Ых,г,01 %

¿о = тах тах _тах

¿=1,... ,п к=1,... ,п жеп1 ге[о,т]

¿о = тах тах тах_

г=1,... ,п к= 1,... ,п (х^,а)£<3

с11 = тах _тах

ю

А

^ = —52—) дг2 = со + пбо, N0 =

а — ш\

1 — N2 ' и «0 ~~ Ьо-^о — <¿1

До —

А

А

(число «о, как и числа т и т2, будет определено ниже).

Определим необходимые ниже функциональные пространства:

\о = {и{х, а) : у(х, а) £ Ь^О), х,Ь, а) € ¿20), ма{х,Ь, а) £ £20), уХ4(х,Ь,а) £ Ь20, уХ4Хз.(х,Ь,а) £ Ь20), 1,] = 1,...,п},

У = {м(х, Ь, а) : м(х, Ь, а) £ У), х, Ь, а) £ Ь2(0};

нормы в этих пространствах определим естественным образом:

Мк = \Пьх(«)+(/ ^^ ¿ Мх,х^ ¿х&йа^

1Мк =

П П \ \ 2

м7 + М^ + + > М^. + > I йхйЬйа

\ ¿=1 1,3 = 1 / )

Теорема 1. Пусть выполняются условия

сц(х,г,а) £ сг(д), ъ(х,г,а) £ сг(д),

и0.1(х,а)£Ьоо(Пх[0,А})П\¥ЦП х (О,А)), (5)

щ¿(х,1) £ х(0,Т));

оч{х,Ь,а) ^ —«о < 0 при (х,Ь,а) £ <3; (6)

N < 1; (7)

3 Ш1 : Ш1 £(0,«), ^^ < (8)

а0 - Ь0Щ - ¿!>0, 2К0<а0 - ЪоЩ - 4, 2Д0 < « - Ь0М0)2. (9)

Тогда краевая задача (1)-(4) имеет решение (щ(х,Ь, а),... ,ип(х,Ь,а)) такое, что щ( х, Ь, а) £ У, %=!,... ,п.

Доказательство. Рассмотрим краевую задачу: найти функции (х,Ь,а), г = 1,... ,п, такие, что выполняются уравнения

ЭЮг дЮг г_ чт-1/ _

—--1—---\iAwi = [«¿(ж, Ь, а) — Гг(х, ги(х, а))\Шг

дь да

— Ф¿(ж,£, а,«7(ж,£, а)) +/¿(ж,£, а), г = 1,. .. , гг, (ж, а)б<5, (10) условия (4), а также условия

шДх, 0,а) = 0, г = 1,... ,п, (х,а) £ П х (0, А), (11)

а

шДх,Ь,0) = J х,Ь,£)^

о

+ у0г(х,ь), г=1,... ,п, (х,Ь) £Пх(0,Т). (12)

Докажем, что данная задача имеет решение (т (х, Ь,а),... , шп(х, Ь, а)) такое, что шДх, Ь, а) £ У, г = 1,... ,п.

Воспользуемся методом регуляризации, методом срезок и методом неподвижной точки.

Пусть £ — поожительное число. Рассмотрим регуляризованную задачу: найти функции шДх,Ь,а), г = 1,... ,п, такие, что выполняются уравнения

ЭЮг дЮг чт-1/ _

+ "да" ~~ £г"П ~ * = ~~ а))]«;»

— Фг(ж,£, а,«7(ж,£, а)) +/¿(ж,£, а), г = 1,. .. , гг, {х,1,а)£Сд, (13)

условия (4), (11), (12), а также условия

ши (х,Т,а) = 0, г=1,...,п, (х,а) £ (I х ( 0,А). (14)

Определим срезающие функции ^ (п) и ^ (п) с помощью числа ш1 из условия (8) и произвольного числа ш2 такого, что ш ^ ЬдМо. Пусть ю\(х,Ь,а),... ,уп(х,Ь,а) суть произвольные функции из пространства У. Рассмотрим следующую задачу: найти функции шДх,Ь,а), г = !,... ,п, такие, что выполняются уравнения

дш1 дш1 дЬ да

— ФД х,Ь, а,у(х,Ь,а))) + х,Ь,а), г = \,...,п, (х,Ь,а) £ Q, (15)

~дг + ~да ~ £и,а ~ = а) ~~ а)))]«;»

а также условия (4), (11), (12), (14).

Краевая задача (15), (4), (11), (12), (14) является краевой задачей для линейного параболического уравнения (15) (роль времени в этом уравнении играет переменная а) с нелокальным условием (12) и граничными условиями (4), (11) и (14). Используя результаты [5,6] (см. также [7]), нетрудно установить, что данная задача при выполнении условий (5) и (6) имеет решение (wi(x,t, a),... ,wn( x,t,a)) такое, что Wi(x,t,a) G V, i = 1,... ,n. Следовательно, данная краевая задача порождает оператор J?, переводящий пространство V xVi х.. .xVi(= Vn) в себя и ставящий в соответствие функциям v\{x,t,a),... ,vn{x,t,a) функции w (x,t,a),... , wn{x, t, a), являющиеся решением краевой задачи (15), (4), (11), (12), (14). Покажем, что этот оператор имеет в

Vn

Для решений краевой задачи (15), (4), (11), (12), (14) имеет место априорная оценка в пространстве (Q) (см. [5-8]):

vrai max Iwj(x, t, a)I ^ max <-[vrai max \fi(x,t,a)\

Q [a0 - ni! Q

+ vraijiiax |С2(Фг(а;, t, a, v(x, t, a)))| ], vraimax \wi(x,t, 0)| > . Q (œ,i)efix[0,T] J

С помощью элементарных выкладок от этой оценки нетрудно перейти к неравенству

n

vraimax\wi (x, t, a) | s' ----h c0 vraimax\wi \ + b0 / vraimax\wi~ \ ■

Q ao-тг Q ^ q

Суммируя, получим

nn

vraimax (x, t,a) | ^ N\ + N9 vraimax (x, t,a) |.

h « ti q

Из этого неравенства вследствие условия (7) вытекает первая априорная оценка

n

vraimax (ж, t, а)| < N0- (16)

feÎ «

Используя оценку (16), с помощью теоремы Шаудера нетрудно показать, что оператор при фиксированном значении числа е имеет в пространстве ^неподвижную точку (^ (х, Ь,а),... , тп( х, Ь, а)); эта неподвижная точка будет решением системы (15), и для нее будут выполняться условия (4), (11), (12) и (14) (подробности доказательства см. в [7]). Покажем, что с помощью найденных неподвижных точек можно получить решение задачи (10), (4), (11), (12).

Прежде всего заметим, что из оценки (16) следуют оценки

о^о, |Фг(ж,£, а,гу(ж,£, а))| о-^о-

Из этих оценок вытекает, что решение (^ (х, Ь,а),... , тп(х, Ь, а)) задачи (15), (4), (11), (12), (14) является на самом деле решением задачи

Умножим г-е уравнение системы (13) на функцию и проинтегрируем по цилиндру Q. Выполняя интегрирование по частям как в левой части полученного равенства, так и в правой и используя краевые условия (4), (11), (12) и (14), придем к равенству

(13), (4), (11), (12), (14).

А

Т

О П

О П

Я

j вгы{х,Ь,а,£)шь{х,Ь,£)^ \ шц dxdtda

Я \к=1 о )

А

¡гШц dxdtda + j j /Дх,$,а)шц(x,0,a)dxda

о П

о п

ц{ х,Ь,£)ши( x,t,£)d£

Ю

1и{х,Ь,£)шг(х, t,£)d4 + щ«(х, Ь)

с1хсМ.

Используя неравенство Юнга и оценку (16), нетрудно от данного равенства перейти к неравенству

1 5?

2 2

х, 0, а dxda

о п

1

+ — J ! х, Ь, А) dxdt + £ J dxdtda о п я

+ А^ j dxdtda + («о — Ьо^о — j dxdtda

^ Я Я

5% 5? - \ [ 9 . . Ап {[ 9 , ,, , ^ + — + 04 I и>и dxdtda+ —— I —^--Ь 72 I / ахатаа+С1,

к

в котором 51—54 суть произвольные положительные числа, число С*1 определяется числом ^ и ^, а также функциями /Дх, Ь, а), [Зк(х, Ь,а,£), х, Ь, £) и мог(х, а). Зафиксируем в этом неравенстве числа ^ и 5з, положив = ^, ¿2 = = ^(ао — ЬоЩ — dl). В результате получим

А

А

неравенство

А Т

11 <4 (х, 0, а) ¿Ыа (х, А) <ЬЛ + е ] ¿ЫЫа

о п о п я

+ У^ j и^^ влвЫа + ^(^о — ^о-^о ~~ 4) j ЛхдЛ,Ла

£ *

Я * Я

4 '

а0 — Ъ0М0 — 4

У^ / ¿хвЬва + С. (17)

к=1'Я

Следствием неравенства (17) является неравенство

1 2

/ (- Л / (- Л

(«о — ^^ — 4) У^ / т« ¿хАва ^ (п^ + Др) / ¿хвЬва + С.

¿=1Я ¿=1 Я

Используя условие (9) и подбирая число ¿4 малым, получаем для решений краевой задачи (15), (4), (11), (12), (14) вторую априорную оценку

п ,,

У^ / ¿хвЬва ^ М1. (18)

Далее, применяя оценку (18), нетрудно из (17) вывести оценку А Т

х, Ь, а

J ! х,0, а) вхва + х, Ь, а) ¿хвЬ Я

+ ¿хвЬва + J ¿хвЬва ^ М2. (19)

Я Я

Из оценок (16) и (18) вытекает, что правая часть в уравнениях (13) будет равномерно ограничена в пространстве ¿2 0)- Используя этот факт, умножая г-е уравнение (13) на функцию — Динтегрируя по цилиндру 0 и учитывая краевые условия, нетрудно получить четвертую априорную оценку решений краевой задачи (15), (4), (11), (12),

(14):

П

(20)

Последняя априорная оценка

/

<х <Ь<а ^ М4

(21)

Я

является очевидным следствием оценок (16), (19) и (20).

Полученных оценок уже достаточно для доказательства разрешимости краевой задачи (10), (4), (11), (12) в пространстве У) — делается это на основе выбора сходящейся при т ^ ж последовательности

Очевидно, что функции и\(х,1,а),... ,ип(х,1,а) дадут решение краевой задачи (1)-(4) из требуемого класса.

Теорема доказана.

Замечание. Несложный анализ условий (8) и (9) теоремы показывает, что эти условия будут выполняться, если число ао велико, функции же (х,г,£), характеризующие взаимодействие различных видов особей, малы по модулю.

1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. школа, 1995.

2. Нахушев А. М., Кенетова Р. О. Моделирование социально исторических и этнических процессов. Нальчик: Эль-Фа, 1998.

3. Аниконов Ю. Е. О математическом моделировании этнических процессов // Докл. РАН. 1995. Т. 345, № 1. С. 7-9.

4. Ильин О. А. Об однозначной разрешимости системы уравнений динамики возрастного состава сообщества биологических популяций // V Междунар. конф. по математическому моделированию, посвященная 75-летию со дня рождения академика В. Н. Монахова. Якутск, 24-28 июня 2007 г.: Тез. докл. С. 87.

5. Либерман Г. Н. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений. Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. I. В

{ш£т(х,Ь)} такой, что ет ^ 0, и последующего предельного перехода. Найдя функции , шп(х, Ь,а), положим

щ(х, 1,а) = и>г(х,Ь, а) + щх,а).

т

ЛИТЕРАТУРА

честь академика О. А. Ладыженской. Новосибирск: Тамара Рожковская. 2002. С. 233-254. (Международная математическая серия).

6. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индуст. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

7. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 41. № 4. С. 722-744.

8. Ладыженская О. А., Солонников В. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

г. Новосибирск

15 декабря 2007 г.