О разрешимости нелинейной вырождающейся обратной задачи для параболического уравнения с правой частью специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

удк 518.9

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Ю, В, Борисов

В работе исследуется нелинейная коэффициентная обратная задача для вырождающегося параболического уравнения. Указанная задача сводится к прямой краевой задаче, существование решения которой обеспечивает существование решения исходной обратной задачи.

Пусть В — ограниченная область прострапства МП Я = В х (О,Т), О < Т < + ж, — цилиндр, Г — гладкая (для простоты бесконечно дифференцируемая) граница области В, Б = Г х (О,Т) — боковая граница цилиндра Я. Функции Н(х,Ь), /(хи ^(х, заданы в Я, функции и2(х) заданы при х € В и К(Ь) задана при £ € [О,Т].

Обратная задача. Найтифункциии(х,Ь), ^х^ п%(х), связанные в цилиндре Я уравнением

К(Ь)щ — Д и + ц{х)и = ц$(х)Н(х, £) + /(х, Ь),

(1)

причем для функции и(х, £) должны выполняться условия

(2)

и(х,^) = и\{х), х € В, 0 < ¿1 < Т,

(3)

и(х,г2) = и2{х), х € в, о < ¿1 < ¿2 ^ Т,

(4)

© 2008 Борисов Ю. В.

Разрешимость обратных задач с вырождением, подобных обратной задаче (1)—(4), но с известной правой частью и неизвестным лишь коэффициентом д(х) ранее изучалась в работах [1,2]. Задачи с неизвестным коэффициентом д(х) и неизвестной правой частью уравнения указанного выше вида, но без вырождения в уравнении, изучались в работах [3,4]. В настоящей работе уравнение наряду с неизвестными решением и(х, Ь) и коэффициентом д(х) содержит в правой части также неизвестную функцию #о(х). Отметим также, что в работах [2-4] функция К(Ь) была тождественно равна единице. В рамках этой работы функция К(Ь) определяется следующим образом:

К(Ь)>0, Ь е(0,Т], К(0) = 0. (5)

Метод исследования данных обратных задач близок к подходу [5], он основан на регуляризации, далее на переходе к прямой задаче путем исключения функций д(х),до(х), исследовании полученной прямой задачи и построении решения исходной обратной задачи путем предельного перехода.

Произведем регуляризацию функции К(Ь). Введем в рассмотрение функцию Ке(Ь): Ке(Ь) = К(Ь) + е, е — число из полуинтервала (0,ео], £о — фиксированное положительное число.

е

е

этого индекса в обозначении функции признаком равенства параметра

е

Пусть

У = |ъ(х,Ь) : ъ(х,Ь) € Я)ПЬто(0,Т; уГЩуг(х,Ь) € Ь2(Я),

ъх^хЛх,г) е ь2(Я), 1 = 1,...,п},

норму в этом пространстве определим равенством

n

||^(ж, i)||V = vraimax |v| + vraimax^^ /

Q O^t^T — I

0 D

E<

Определим пространство

H = {м(ж, t) : м(ж,£) G V, ut(ж,£) G V}

с нормой

ИмП^ = + ||ut||v.

Пусть выполняется условие:

3 и(ж,£) G H |s =

Введем обозначения:

Wx, i) = м(ж, t) — U(x, t), = — U(x,ii), = м2(ж) —

ho (ж) = Мж, — Î2)ui(x),

/е(ж,*) = /(ж,*) — —е(t)Ut(ж,*) + AUfot),

ж,t2) + — Мж, ¿2)/е(ж,^) + Д^(ж)]

(6)

а Л ж) =

е( ti) ^(ж,^)—е( t2 а Д ^-т-т--, аДж) = —■

во Л ж) =

Мж) Мж)

и(ж[/Лж,£2) + AwW] — м2(ж)[/е(ж, ti) + Д^(ж)] Мж) :

в (ж) = Мж)—в(в (ж = — i2)

Мж)

Мж)

ао = inf vraimin(a^ ж + — '(¿)),

0<е^Е0 Q

А = шах {угатмх |ае(х)\}, А = шах {угагтах\а2е(х)\},

О^е^ео д О^е^ео д

В = шах {угштахве(х)\}, В = шах {уга1тах\ве(х)\},

О^е^ео д О^е^ео д

(а0 — т0) тах угаипах \вое(х)Ы(х,г) + /ег(х,г) — ае(х)Щ(х,г)\

К _ _<Ке^ео <_

1 а0 — т — (В1 + В2) угаупах х, г) \ — (А + А) угаупах \и4(х, г) \ I

т! = К(В1 + В2)

т

скажем позже).

Считая функцию у(х,г) известной, введем в рассмотрение функции

Суе(х) = «ое(х) + а е{х)ю{х,1\) + а2е{х)у(х,12),

Гуе( х,г) = вЛ х) + л х)у(х,^) + в е( х)у(х,г2)]Ь,г( х,г)

+ /еь( х,Ь) — СУе( х)11г{ х,Ь).

Согласно нашему замечанию, под обозначениями су (х) и ^ (х, г) будем подразумевать функции сУо (х) и ^Уо (х,г).

Рассмотрим вспомогательную прямую краевую задачу, с помощью которой мы в дальнейшем построим решение исходной обратной задачи: найти функцию у(х, г), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения

Ке(¿)уг — Ду + сУЕ{+ К'(^^ ^х,г), (7)

и такую, что для нее выполняются условия

у(х,г)\5 = о, (8)

«(х,0) = 0. (9)

Теорема 1. Пусть выполняются включения К (г) € С2([0,Т]), /(х,г) € ьж(Я), /г(х,г) € ьж(Я), н(х,г) € ьж(Я), ь,^х,г) € ьж(Я), € (В П В), и2(х) € П Ьто(В). Далее, пусть выпол-

няются условия

Н0(х) > ^о>0, х € В, (10)

а0 > 0, ао > угштах х,Ь) К В + В) + угштах |и4( х,Ь) |( А + А),

(п)

а(х) + ^К'(ь) > о», (х,г) е Я, (12)

ц(х) = Мх,^), ц(х) = м(хА), х е г. (13)

Пусть также для некоторого положительного числа т-о такого, что

т0 < а0 — уга1тах{|й4( х, г) К В + В) + |и4( х,Ь) К А + А)}, (14)

выполняется неравенство

(А + АЖ < т. (15)

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {Цх,^, д(х), 9о(х) } такое, что м(х,Ь) е я, д(х) е Д), ®(х) е

Доказательство. Вначале рассмотрим вспомогательную прямую1 задачу, с помощью которой в дальнейшем построим решение исходной обратной задачи.

Определим срезающие функции СД^), С2(£) :

—то, если £ < -то, С(£) = { £, если — т ^ £ ^ т, т, если £ > то,

—т, если £ < —т, С2(£) = ^ £, если — т ^ £ ^ т, т, если £ > т. Для функции ъ(х, Ь) го пространства V определим функции с\х) и ^х,Ь):

С1 х) = «0е( х) + С (а Л х)ъ(х,Ь1) + а л х)ъ(х,Ь2)),

В «Л х, Ь) = Д)е( х)М х,Ь) + С (А Л х)ъ(х,Ь1) + в Д х^х^^М х,Ь)

+ х, Ь) — 01 (х) В (х, Ь).

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию у(х,г), являющуюся в цилиндре Я решением уравнения

Ке( гь — Д ь + С1 уе{ х)ь + К'(г)ь = л х,г, (16)

и такую, что для нее выполняются условия (8) и (9).

Уравнение (16) является «нагруженным» параболическим уравнением, именно такие уравнения исследованы в работах [3—5]. Точнее, в этих работах доказано существование решений у(х,г) краевой задачи (16), (8), (9), принадлежащих пространству V, и доказано, что для этих решений будет выполняться оценка

угаипах \ Л Уе (х,г) \ угаупах\у(х,г) \ < <

q 1 ^ vraimin(cive{x) + K'(t))'

Q

Учитывая указанные в условии теоремы включения и условия, а также условие (10), получаем неравенство

vraimax |v(x, t)|(Bi + В2) vraimах |ht(x, t)|

■ I / Л1 . Q Q

vraimax \v{x,t)| ^ -

q «о - mo

vraimax |v(x, t)|(A + A) vraimax |Ut(x, t)| Q_Q_

во - m0

max vraimax |Д>е(x)ht{x,t) + ft{x,t) — «oe(x)U^x,t)|

Q

во — m0

Учитывая условие (11), выбор числа mo, вновь включения функций в соответствующие классы и введенные обозначения, получаем оценку

vraimax |v(x,t)| < K. (17)

Q

Ее следствием является следующая оценка:

|а Л x)v(x,ti) + а Л x)v(x,t2) | < + A).

Условие (15) дает неравенство

|ае(x)v{x,t\) + аЛx)v{x,t2)| ^ mo.

Согласно определению срезающей функции СД£), справедливо равенство

СДа Д ж)-Дж,.1) + а Д ¿2)) = а Д ж)«(ж,£1) + аД ж)«(ж, £2)-Аналогично имеем

вДж^ж,^) + ДЛж^ж^)| < + В),

и, учитывая обозначения, получаем

вДж)«(ж,.1) + АДж)«(ж,.2)I ^ т-

Согласно определению срезающей функции 02 (£), справедливо равенство

С^Дж)«^,^) + АДж)«^,-^)) = в Дж)«(ж, £1) + Ае(ж)«(ж, £2)-

Таким образом, функция «(ж, принадлежит пространству Следует также отметить, что в силу доказанного будут выполняться равенства

С1«Дж) = е.Дж), В.Дж, = ВДж, ■£). (18)

Рассмотрим равенство т т

Цт о,, — д «+ *.( ^ + к <

од од

Принимая во внимание условия (8), (9), получим верные равенства т т т

КД.)«,« ¿жй. = — У J (КД.)«2), ¿жй. J К ^жА

од од од

КДТ) т

■ J «2(ж, Т)йж J К'(¿жй.,

2

в о в

п т п т

— ^^ / / ^« ¿жй. = ^^ / / ^ ¿жА.

г=1 О Ь г=1 О Ь

С помощью этих равенств и неравенства Юнга получаем Ке(Т) " Т

у J ! ¿хА

д г=1 О в

-К '( г)+сУе( х)

V" с!хА

о в

Т т

< ^УУ Л?е(х,г)dxdг + J !V2¿хА,

вв

Где — произвольное положительное число. Далее учитывая (12), получим

п т

^Г [ [ vXi dxdг < М, (19)

г=1

в

где постоянная М\ зависит от входных данных обратной задачи. Величина М\ в силу условий теоремы конечна. Рассмотрим равенство

т т

J ![Ке(— АV + суе(х^ + К'(г^^ dxdг = J J Луеví dxdг. вв

Интегрируя по частям во втором слагаемом левой части, получаем

п т п т

— ^ [ ! Vж¿ж¿ Vt = ^ ! I Vxi Vж¿í dxdг

г=1 о в

п т п

= / / «) dxdг=^J2J х,Т)<ЬА.

в

в

Преобразуем третье и четвертое слагаемые левой части: т

//[с( ж) + К '<.)]«, <**

д

т

= У [с.Л ж) + К '( — ^у УК

дд

Учитывая (14), нетрудно убедиться в справедливости следующего равенства:

угаушп |с.е(ж) + К'(£) | = а0 — ш0 > 0. (20)

Я

Принимая во внимание оценки (17), (20), получаем неравенство

т п

У У К.«, ¿жЛ + у «ЖДж, Т)йж < М2, (21)

од г=1д

где постоянная М2 зависит от входных данных обратной задачи. Величина М2 в силу условий теоремы конечна. Рассмотрим равенство

т т

//[*.<^ ^«+ с<ж)« + К'(^о ** = / /«.(—д«)

дд

Интегрируя по частям, используя условия теоремы, оценку (19) и применяя неравенство Юнга, получаем априорную оценку

п п т

]Г У «ЖЛж, Т)йж + ]Т У У «Ж^ ^ < М3, (22)

где постоянная М3 зависит от входных данных обратной задачи. Величина М3 в силу условий теоремы конечна.

Учитывая оценки (19)—(22), получим априорную оценку для функции v(x, t):

n т n T

KXvt dxdt + ^^ j j v2Xi dxdt + ^^ j j vXiXi dxdt о D i=1 о D i=1 о D

n ,,

+ vXjxx,T)dx < M,

где постоянная M зависит от входных данных обратной задачи. Вели-M

Таким образом, для любого положительного числа е существует функция x,t) £ V, являющаяся решением задачи (7)-(9), удовлетворяющая неравенству

||vX(x,t)||v < M0. (23)

Равномерная ограниченность в пространстве V последовательности |vX(x,t)}, вложение ^^(Q) С ^^(Q), вполне непрерывность вложений ^з(ф) ^ L(Q), ^г(Ф) ^ L(D) и теорема о возможности выбора из сильно сходящейся последовательности подпоследовательности, сходящейся почти всюду [6], дают существование подпоследовательности |vXm(x,t)} последовательности функций |vX(x,t)}, а также функции v(x, t) таких, что при m ^ ж функции

vXm( x,t), VK^t)vtXm( x,t), v^m (x,t), vX-хД x,t) сходятся слабо в L(Q) к функциям

ОМ)

соответственно. Вместе с оценкой (17) эти сходимости дают выполнение для предельной функции .(х,£) равенства

/[ВД* - Д. + Ых) + к'(<)М,(х,<) ** = /д<м«*.« *«

3 3

для произвольной функции n(x, t), принадлежащей пространству L(Q)-| Но тогда функция v(x,t) будет решением уравнения

K(t)vt — Дv + cv(x)v + K'(t)v = Fv(x,t).

Таким образом, осуществляя предельный переход в задаче (7)-(9) при е ^ 0 и учитывая (18), получим, что функция v(x,t) £ V является решении краевой задачи: найти в Q решение уравнения

K(t)vt — Дv + cv(x)v + K'(t)v = Fv(x,t), (24)

удовлетворяющее условию

v{x,t) |s = 0. (25)

Определим функции u(x,t), q(x) и qo(x) следующим образом: t

^(^¡ф^ + ^ + и^Ц, fcM) £ Q, (M)

t

q(x) = ao(x) + «i(x)v(x, ti) + a2{x)v{x,t2), q0(x) = fo(x) + [3i(x)v(x ,ti) + ^(x)v(x ,t2). Уравнение (24) приобретет теперь вид K(t)wtt — Awt + q(x)(wt + Ut) + K'(t)wt = q0{x)ht{x,t) + ft(x,(. (27)

t t t

равенство

A[w(x,t2) — — — w2(x)] = 0.

w x, t

области D. Из оценки (23) и условий (10), (11) вытекает, что функция q(x) положительна в области D. Вместе с обращением функции w2{x) в нуль на границе Г (согласно условия согласования (13)) получаем, что функции w(x,t2) и w2(x) совпадают при x £ D. Следствием этого является совпадение функции u{x,t2) и U2(x) при x £ D. Таким образом, выполнение условия (4) доказано.

t

точки ti, получаем, что функции u(x, t), g(x) и 9o(x) будут связаны в цилиндре Q уравнением (1).

Таким образом, мы получили решение {u(x, t), g(x), go(x)} обратной задачи (1)-(4) такое, что u(x,t) £ H, g(x), 9o(x) £ LTO(D), и для функции u(x, t) выполняются условия (2)—(4) (уточним, что выполнение условия (2) следует из равенств (25), (26), выполнение условия (3) — из определения (26) функции u(x, t), а выполнение условия (4) — из рассуждений, приведенных выше).

Теорема доказана полностью.

Далее будет доказана теорема единственности решения обратной задачи (1)-(4).

Для функций x,t) £ H, i = 1,2 определим функции z(x, t), <^i(x, t), <^2(x,t) и F(x,t):

z(x, t) = ui(x,t) — U2(x,t),

Введем вспомогательные обозначения:

К = угацпах г = 1, 2.

Я

Теорема 2. Пусть (мДх, ¿), 91(ж), доДх)} и £), 92 (х), дог(х)} —|

два решения обратной задачи (1)-(4) такие, что х, ¿) € Н, х), ^о¿(х) € Д), « = 1, 2, и выполнены условия теоремы 1. Пусть выполнены следующие условия:

Тогда ui(x,t) = u(x, t) в Q п gi(x) = 92 (x), 9oi(x) = ?02(x) в D.

(x, t) = ht( x, t)^i (x) — U t( x, t)a (x), ^2(x, t) = ht( x, t)e(x) — U t( x,t)a(x), F(x, t) = <£l(x,t)z(x,ti) + <^2(x, t)z(x,t2)

(28) (29)

vraimax | < K0, i = 1, 2,

Q

(30)

Доказательство. Так как

{и1(х,г),^(х),^(х)} и {и2{х,Ь),ц2{х),цт{х)} — два решения обратной задачи (1)-(4), справедливы равенства К^щ I — А и + = до1(х)^(х,£) + Цх,~Ь),

К{1)и2 г — А^2 + 42{х)и^ = Цо2{х)Н(х,~Ь) + ^х,~Ь).

Вычтем из первого равенства второе. Продифференцировав полученное, имеем уравнение

Рассмотрим вспомогательную задачу, с помощью которой мы в дальнейшем докажем утверждение теоремы 2.

Найти функцию г(х,Ь), удовлетворяющую уравнению (31) и следующим условиям:

Примем во внимание, что функции х), цо¿(х), г = 1,2, определяются следующим образом:

ц\(х) = ао(х) + а\{х)и\+ а2{х)и1 гХх,Ь2)

— а\{х)иг( х,Ь\) — х,Ь2),

ц2{х) = ао(х) + а(х)и2 г{х,^) + а2{х)и2 гХх,Ь2)

— а\{х)иг( х,Ь\) — х,Ь2),

Цо1(х) = во(х) + А(х)и1 г( + Д(х)и1 г( х,г2)

— ¡Зх(х)иг( х,гг) — в2(х)иг( х,г2),

Цог(х) = во(х) + в1(х)и2г(хА) + в2(х)п2г(х,£2)

— ¡Зх(х)иг( х,гг) — в2(х)иг( х,г2),

К(1)ги — А ^ + [щ(х) + К '(

(х) — Цо2(х)]^(х,£) + и2г(х,£)[ц2(х) — Ц1(х)]. (31)

г(х,г)\s = О г(х, ¿1) = 0.

(32)

(33)

Тогда уравнение (31) принимает вид

- Дг4 + [й(х) + = В(х^). (34)

Рассмотрим равенство

У У [К(фи - А^ + [91 (х) + К'(^ ¿хЛ = У У ¿хЛ. о в о в

Интегрируя по частям в левой части последнего равенства, учтем однородность граничного условия и особенность функции В правой части равенства применим неравенство Юнга. В результате получим оценку

н

K(t

У zt (x,ti)dx + ^ У У zXit dxdt

D

ti

0 D

ttK '( t) + <ft(x)

z? dxdt

ti ti

ft f f 9 Iff.,

^ — zt dxdt H--F, dxdt,

2 7 7 Щ J J "

DD

Где ¿2 — произвольное положительное число. Приводя подобные и учитывая (28), получаем

ti

K(ti

■/* + £//zX„ dxdt

D ® 0 D

b ti ti ^ У У zt dxdt ^ —— f I ^ dxdt. (35)

DD

Рассмотрим равенство t2 t2 У У [K(t)ztt — Azt + |q(x) + K'(t)]zt]zt dxdt = J J Fzt dxdt.

DD

Поступая подобно тому, как мы это делали с предыдущим равенством и учитывая (28), получаем

К (¿2

./„ г//

В О В

г

г

— [[ г? АхАЬ < —— I I Р2 АхАЬ. 2 .1.1 г 2Ь0

В

В

Сложив полученные неравенства и отбросив в левой части неотрицательные слагаемые, получим неравенство

—У г?(х,^)Ах- К{Ь2 2

В В В

< 1

2Ьо

Jг?(х, ¿2) Ах

Р| АхАЬ + J ! Р2 АхАЬ

ВВ

.

Из представления функции Р2(х,Ь), используя (29), нетрудно получить следующее неравенство:

1

В

<

Ч <-2

J J Р2 АхАЬ + J ! (х, Ь) АхАЬ

В

2J г?(х, ¿1) АхАЬ + 2^К| J г?(х,Ь2) АхАЬ

ВВ

2Ь2К2 J г? (х,Ь1)АхЖ + 2Ь2К% J г? (х,Ь2)АхАЬ

1

2Ь^

(¿1 +

г? (х, АхАЬ ■

г?(х, Ь2) АхА.

В

В

Следовательно, из (36), приняв во внимание оценку правой части пера-

венства, имеем

I 1/11 . II ЛИ ' .и

1

/

в

+

к(ь) (ь+ьЖ] [ ■>

2 Ъ0

/

(х, 3,х ^ 0.

в

Учитывая (30), из последнего неравенства получаем

г^х,^) = г^х,£2) = 0, х € В. А значит, из неравенства (35) следует, что

х,£) = х,£) = 0, г=1 ,...,п, х € Q. Из (34) благодаря (37) имеем

К(£)г„ - Дгг + [91 (х) + К'(Щгг = 0.

(37)

Интегрируя теперь последнее уравнение по переменной £ от точки до текущей точки, получаем

У У [K(t)zt - Аг + 91 (х)г]г <1х<И = 0. ^ в

Применяя ту же последовательность действий, что и в рассмотренных выше равенствах, нетрудно убедиться что

Отсюда, учитывая (5), получаем

гХД х, £) = 0, г=1,...,п, х € Q.

Значит, функция г (х, £) постоянна в цилиндре Q. Учитывая ее равенство нулю на боковой поверхности цилиндра Q согласно (33), получаем

г(х, £) = 0, х € Q,

что и означает справедливость заключения теоремы.

- Дг + дх(х)г = 0.

Рассмотрим равенство

Замечание. Если функцию U(x, t) выбрать более квалифицированным образом, например, как решение краевой задачи

Ut - ДU = О, U(x,t)|s = Mx,i), U(x, 0) = 0,

то из условий (11), (14) и (15) ее можно исключить, заменив функцией

Mt( x,t).

ЛИТЕРАТУРА

1. Борисов Ю. В. О разрешимости нелинейной вырождающейся обратной задачи для параболического уравнения // Современные проблемы физики и математики: труды всеросийской научной конференции. Уфа: Гилем, 2004. Т. 1. С. 18-23.

2. Борисов Ю. В. О разрешимости одной обратной задачи с вырождением // Вестник Новосиб. гос. ун-та. 2004. Т. 4, вып. 3/4. С. 17-22.

3. Kozbanov А. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2002. V. 10, N 6. P. 611-630.

4. Kozbanov A. I. An inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 5. P. 505-522.

5. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн.| вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 722-744.

6. Функциональный анализ. Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1964.

г. Стерлитамак

12 августа 2005 г.