Центральный ряд группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2017. №3(43). С. 12-15

УДК 512.57 001: 10.25513/2222-8772.2017.3.12-15

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ РЯД ГРУППЫ УНИТРЕУГОЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Аннотация. Получено описание центрального ряда группы унитреуголь-ных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница над произвольным полем.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, унитреугольный автоморфизм, гиперцентр.

В статье автора [1] описывалось строение гиперцентральной серии подгруппы унитреугольных автоморфизмов, выделяемой в группе всех автоморфизмов свободной метабелевой алгебры Ли. В работах автора [2, 3] описывалось строение гиперцентральной серии аналогичной подгруппы свободной алгебры Ли.

Ж.Л. Лоде ввёл понятие алгебры Лейбница [4] как обобщение понятия алгебры Ли. Теория алгебр Лейбница активно развивается, и многие результаты из теории алгебр Ли переносятся на алгебры Лейбница.

В данной работе представлено частичное описание центральной серии группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница.

Напомним, что неассоциативная алгебра Ь над полем ^ с билинейным произведением [■, ■] называется (правой) алгеброй Лейбница, если для любых элементов ж, у, г € Ь выполняется (правое) тождество Лейбница:

Отсюда видно, что [ж, [у, у]] = 0.

Кроме того, видно, что введение свойства антикоммутативности превращает тождество Лейбница в тождество Якоби, а алгебру Лейбница — в алгебру Ли. Поэтому алгебру Лейбница часто называют «некоммутативным» обобщением алгебры Ли.

Из тождества Лейбница также следует, что любой элемент алгебры Ь можно представить как линейную комбинацию элементов вида [[[[а, Ь],с], ...], поэтому для краткой записи будем опускать скобки, положив

А.Н. Кабанов

к.ф.-м.н., е-шаП: [email protected]

[[ж,У],г] = [Ж [У,г]] + [[ж,г],у].

Или, что то же самое,

[Ж ]] = [[ж,У],г] - [[ж,г],у].

[[а, Ь], с] = аЬс.

Математические структуры и моделирование. 2017. №3(43)

13

Более того, примем записи

[[а, Ь], Ь] = аЬ2, [[[а, Ь], Ь], Ь] = аЬ3 и т. п.

Пусть £п — свободная алгебра Лейбница над полем ^ с множеством свободных порождающих Хп = ...,Хп.

Выделим в группе всех автоморфизмов алгебры £п подгруппу Цп,

порождённую автоморфизмами вида:

/ ч I Хг ^ Хг +

ТгЫ : \ . . .

{ Х ^ Х, 3 = ^

где у принадлежит подалгебре, порождённой Хг+1, ...,Хп. Такая подгруппа называется группой унитреугольных автоморфизмов алгебры Ьп.

Для краткости будем записывать произвольный автоморфизм V свободной алгебры £п с множеством свободных порождающих Хп как V = (/ь/2,...,/п), где ^(Хг) = /, г = 1, ...,п.

Тогда произвольное отображение вида:

V = (Х1 + /1 (Х2, ...,Хп), ...,Хг + /г(Хг+1, ...,Хп), ...,Хп), (1)

где для любого г многочлен /¿(хг+1,..., Хп) € £п определяет автоморфизм из Цп, и группа Цп состоит из всех таких автоморфизмов.

Выделим в группе Цп следующие подгруппы (1 ^ а ^ ш), состоящие из автоморфизмов вида (ж1 + /1(жга-1 ,Хп),Х2, ...,Хп), причём в одночленах многочлена /1(хп-1,хп) элемент Хп-1 встречается не более чем а — 1 раз. Очевидно, что С

Теорема 1. Подгруппа Z1 является центром группы ип.

Доказательство. Возьмём произвольные автоморфизмы V € Z1 и ф € Цп. Согласно описанию группы Z1, автоморфизм V имеет вид

V = (Х1 + #1(Хп),Х2, ...,Хп),

где (Хп) = А1^п + Л2жП + ... + Ай^П + ...

Пусть ф имеет вид (1). Вычислим V ◦ ф и ф о V. Имеем

Vф = (Х1 + /1(Ж2,...,Жп) + ^1(Жп),Ж2 + /2 (Жз ,...,Жп),...,Жп).

Далее

фV = (Ж1 + 01 (Хп) + /1(^2, ...,Жп),Ж2 + /2(Хз,...,Жп), ...,Хп).

Убеждаемся, что эти композиции равны. Это по определению означает, что

V € Z(ип).

Теперь предположим, что V = (Ж1 + /1,Ж2, ...,Хг-1,Хг + /¿,Хг+1, ...,Жп) € Z(Цп). Возьмём автоморфизм ф = (ж1 + ж2,..., жп). Тогда

Vф = (Ж1 + Хг + /1,Х2, ...,Хг-1,Хг + /¿,Хт, ...,Хп),

14

А.Н. Кабанов. Центр группы унитреугольных автоморфизмов.

0^ = (Ж1 + /1 + ж + /¿,Ж2, + /¿,»¿+1, ...,жга).

Таким образом, поскольку ^0 = 0^, следовательно, /¿ = 0.

Пусть теперь ^ = (ж1 + /^¿, жп), ж2,..., жп) € Возьмём автоморфизм

0 = (ж1,..., ж¿ + ж™, ...,ж„). Тогда

^0 = (Ж1 + /1^ + Ж„,Ж„),Ж2, ...,ж + Хп, ...,жп),

0^ = (Х1 + /1 (»¿, Хп), ж 2, ..., Ж¿ + Жп, ...,Жп).

Таким образом, /1^ + ж„,ж„) = /^¿,жп) или /1^ + ж„,ж„) - /1^,ж„) = 0. Но в общем случае эта разность содержит несократимые одночлены. Следовательно, /^¿,жга) = /1 (жга). ■

Теорема 2. Подгруппы (1 ^ а ^ ш) составляют центральный ряд группы ип.

Доказательство. Напомним, что в центральном ряде (ип)/£к-1(ип) = = £ (Цп/ад.

Допустим, что для некоторого 1 ^ а < ш множества С ... С являются частью центрального ряда. Пусть ^ = (ж1 + ^1(жп-1, жп), ж2,..., жп) € а 0 — произвольный унитреугольный автоморфизм вида (1).

Составляя их композиции, видим, что

^0 = (ж1 + /1 + ^1(жп-1 + /п,жп),ж2 + /2, ...,жп),

0^ = (ж1 + ^1(жп-1,жп) + /1,ж2 + /2, ...,жп).

Многочлен /п = /п(жп) состоит из одночленов вида жп. Значит, в многочлене ^1(жп-1 + /п,жп) по сравнению с ^1(жп-1,жп) появляются одночлены, в которых переменная жп-1 встречается меньшее число раз. Из вида ^ следует, что одночлены в ^1(жп-1 + /п,жп) либо совпадают с одночленами в ^1(жп-1,жп), либо содержат переменную жп-1 не более чем а — 2 раз. Следовательно, в Цп/£а-1 композиции ^0 и 0^ совпадают.

Теперь докажем, что других автоморфизмов в нет. Проведём рассуждения, аналогичные доказательству предыдущей теоремы.

С помощью автоморфизма 0 = (ж1 + ж¿,ж2, ...,жп) можно доказать, что в автоморфизме ^ многочлены / = 0 для любого г ^ 2.

С помощью автоморфизма 0 = (ж1 ,...,ж¿ + жп,...,жп) можно доказать, что в автоморфизме ^ многочлен /1 не содержит переменных ж¿ для г ^ п — 2.

А рассуждения, приведённые в данном доказательстве выше, показывают, что при наличии в /1 несократимого одночлена с а или более включениями переменной жп-1 многочлен ^1(жп-1+/п,жп) по сравнению с ^1(жп-1,жп) в общем случае будет содержать одночлены, не зануляющиеся в Цп/£а-1.

Таким образом, множество также входит в центральный ряд при условии, что туда входит С

Так как для утверждение уже доказано, по индукции получаем то, что и требовалось доказать. ■

Математические структуры и моделирование. 2017. №3(43)

15

Литература

1. Кабанов А.Н. Гиперцентральная структура группы унитреугольных автоморфизмов свободной метабелевой алгебры Ли // Сиб. мат. ж. 2009. Т. 50, № 2. С. 329-333.

2. Кабанов А.Н. Центр группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Ли // Математические структуры и моделирование. 2014. № 3 (31). С. 57-61.

3. Кабанов А.Н. Верхний центральный ряд группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Ли // Математическое и компьютерное моделирование: материалы III Международной научной конференции (Омск, 12 ноября 2015 г.). 2015. С. 100-102.

4. Loday J.-L. Une version non commutative des algebres de Lie: Les algebres de Leibniz // Enseigh. Math. 1993. V. 39. N. 3-4. P. 269-293.

CENTER SERIES OF THE GROUP OF UNITRIANGULAR AUTOMORPHISMS

OF A FREE LEIBNIZ ALGEBRA

A.N. Kabanov

Ph.D. (Phys.-Math.), e-mail: [email protected]

Dostoevsky Omsk State University

Abstract. The center series of the group of unitriangular automorphisms of a free Leibniz algebra over an arbitrary field is described.

Keywords: Leibniz algebra, unitriangular automorphism, hypercenter.

Дата поступления в редакцию: 30.08.2017