Центр группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

структуры и моделирование 2014. №3(31). С. 57-61

УДК 512.57

ЦЕНТР ГРУППЫ УНИТРЕУГОЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ

А.Н. Кабанов

к.ф.-м.н., е-шаП: [email protected]

Факультет компьютерных наук, Омский государственный университет

Аннотация. Получено описание центра группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Ли над произвольным полем.

Ключевые слова: алгебра Ли, унитреугольный автоморфизм, гиперцентр.

В работе В.А. Романькова, И.В. Чиркова и М.А. Шевелина [3] была установлена матричная непредставимость групп автоморфизмов свободных алгебр Ли, свободных ассоциативных алгебр, абсолютно свободных алгебр и алгебр многочленов при условии, что ранг алгебры не меньше четырёх, а основное поле имеет характеристику 0. Во всех указанных случаях в группе автоморфизмов выделялась подгруппа унитреугольных автоморфизмов, которая оказывалась разрешимой, но не представимой матрицами. В статье Ю.В. Сосновского [4] описывалось гиперцентральное строение этой подгруппы, но только для алгебры многочленов, зато без ограничения на характеристику поля и с понижением минимального числа порождающих с 4 до 3. В статье автора [2] описывалось строение гиперцентральной серии этой подгруппы для свободной метабелевой алгебры Ли. Как следствие из этого описания получалась матричная непредставимость группы унитреугольных автоморфизмов ни над каким полем. В настоящей работе дано описание центра этой подгруппы для свободной алгебры Ли. В дальнейших работах будет представлено описание всей гиперцентральной серии.

Пусть Ьп - свободная алгебра Ли с множеством свободных порождающих Хп = [х\, ...,хп}. Определим левонормированный коммутатор [х^, х^, ...,х^], полагая при к > 1

[х^ , х%2 , xik] [[... [хгх , xi2], ...], хгк].

При к =1 имеем [х^] = х^. Более того, полагаем

[х^,,..., xi2] [xil, хт2 ].

т

В дальнейшем будем рассматривать только элементы с левонормированной расстановкой скобок.

Выделим в группе Aut Ln всех автоморфизмов алгебры Ln подгруппу Un, порождённую автоморфизмами вида:

/ s I Xj ^ Xj +

) : S . . .

[ X ^ , J = г,

где принадлежит подалгебре, порождённой xi+1,...,xn. Такая подгруппа называется группой унитреугольных автоморфизмов алгебры Ln.

Для краткости будем записывать произвольный автоморфизм ^ алгебры Ln с множеством свободных порождающих Xn как ^ = (f1, /2,..., /n), где ^(xj) = /, г = 1,..., n.

Лемма 1. Произвольное отображение вида:

= (Xi + /i(x2, ...,Xn), ...,Xj + /i(Xi+i, ...,Xn), ...,Xn), (1)

где для любого г многочлен /i(Xi+1, ...,xn) е Ln определяет автоморфизм из Un. Группа Un состоит из всех таких автоморфизмов.

Доказательство. Покажем, что отображение имеющее вид (1), обратимо. Подействуем на него отображением = (x1, ...,Xn-2,Xn-1 — /n-1(Xn),Xn), получим

О = (X1 + /1 (X2, ..., Xn-2, Xn-1 — /n-1(Xn),Xn),..., Xn— 2 + /n— 2 (xn— 1 /"n-1 (xn) , Xn) , Xn-1, Xn).

Введём обозначение

/j (xi+1, Xn—2, Xn— 1 /n— 1 (xn) , Xn ) ^ (xi+1, Xn— 2, Xn— 1, Xn) /j ,

где г < n — 2. Тогда

О = (X1 + /11, ...,Xn—2 + /n—2, Xn—1, Xn).

Теперь подействуем отображением = (x1, ...,xn—3,xn—2 — /n—2, xn—1, xn), получим:

О О ^2 = (X1 + /i(X2, ...,Xn—3,Xn—2 — /n—2(Xn—1,Xn),Xn—1,Xn), ...,Xn—3 + + /n—3(xn—2 /n—2(xn—1, Xn) , Xn—1, Xn) , Xn—2, Xn—1, Xn).

Обозначим

^ (xi+1, Xn—3, Xn—2 /n—2 (xn—1, Xn) , Xn—1, Xn) ^ (xi+1, Xn) ^ ,

где г < n — 3. Тогда

О О ^2 = (X1 + /12, ...,Xn—3 + /n2—3, Xn—2, Xn—1, Xn).

Будем повторять эти действия, тогда на k-м шаге имеем автоморфизм =

(x1 , Xn— k— 1 , Xn— k /n—fc , Xn —k+1 , Xn) и

у О ^ О ... О ^ = (х + /*, ...,Жга-к-1 + /П-к-1, Хга-к, ..., Жга).

На шаге п — 1 получим

у О О ... О -0П-1 = (х1, ...,Хп) = г<1

Таким образом, о ... о -0п-1 - обратное отображение для у, принадлежащее группе, порождённой автоморфизмами вида тг(у). Следовательно, у - автоморфизм.

Лемма доказана. ■

Лемма 2. Пусть автоморфизм у, принадлежащий группе ип, имеет вид 1. Тогда

У-1 = (х1 — /1(#2,...,£п),...,хг — /¿^г+Ь ...^п^ ...^п^

где хг = ^ (2 < г < п). В частности, 0п = хп, а при г < п значения 0г определяются рекуррентно по формулам

0г = 0г(хг+1, ..., хп) = хг — УД^г+Ъ ..., ^п).

Доказательство. Достаточно проверить, что у о у-1 = г^, где у-1 определено, как в условиях леммы. Вычисляем:

У ◦ у-1 = (х1 — /"1 (02, ...,^п) + У*1(х2 — — ^п^ ...,xn), ..., хг — УДй'г+Ъ ...,^п) +

+ /г(хг+1 — Уг+1 (0г+2, ..., ^п) , ...,xn), ...,хп) = (х1 — Л (02 ,...,^п) + Л (02, ..., ^п) , ...,хг — — Уг^г+Ъ ...^ + /г(0г+1,...,0п),...,хп) = (х1, ..., хг ,...,хп) =

Лемма доказана. ■

Будем считать, что на Хп определена линейная упорядоченность: х1 < х2 < < ... < хп. Пусть одночлен Н € ¿п имеет вид

Н [хп-8 , хп-í, хп— 8 , хп—8-+1 , ..., хп (2)

где хп-8 < хп-4, хп-8 < хп-8+1 < ... < Хn, рп-8,...,рп € Рп-8 , ..., Рп ^ 0.

Введём на алгебре ¿п функцию ц : ¿п ^ Z, полагая ц(Н) = в. Известно (например, [1]), что любой многочлен / € ¿п можно представить в виде суммы или произведения одночленов из ¿п в форме 2. В этом случае будем говорить, что многочлен / записан через порождающие одночлены. Если / = 0^2 € ¿п, где ^(01) = цъц(#2) = Ц2, то ц(/) = тах(ц1,ц2). В случае / = 01 + 02 € ¿п также ц(/) = тах(ц1,ц2).

Кроме того, введём функцию А : Мп ^ Z, положив для одночлена указанного вида А(Н) = в + Ь + в(рп-8) + ... + рп-1. Аналогично А-показателем многочлена, записанного через порождающие одночлены, будем называть максимум А-показателей его порождающих одночленов.

Выделим в группе подгруппу:

= = (ж + /ЬЖ2, ...,ж„М/1) < 1, Л(/1) < 1, ^(1(/1>) = 0},

где / - произвольные многочлены алгебры Ьга от указанных переменных, /(/) - линейная часть многочлена /.

Теорема 1. Центр группы совпадает с подгруппой Z1.

Доказательство. Возьмём произвольные автоморфизмы ^ е Z1 и ф е . Согласно описанию группы Z1, автоморфизм ^ имеет вид

= (х1 + + ^(ж„-1,ж„),ж2, ...,ж„),

где ^(жга-1,жга) можно представить в форме суммы и произведений одночленов вида [хп-1,хп],р > 0.

Пусть ф имеет вид (1). Вычислим ^ о ф и ф о Имеем

^ф = (Х1 + /1(^2, ...

Х2 + /2(^3, ...

Но /п-1(хп) = вхп, отсюда Л,(/„-1(ж„),жга) = 0. Следовательно,

^ф = (Х1 + /1(^2,..., жга) + вХп + ^(Жга-1,Ж„),Ж2 + /2(Жз,.",Жга),...,Жга). Далее

ф^ = (Х1 + вх„ + ^(жга-1,жга) + /1(Ж2,...,Ж„),Ж2 + /2(Жз,...,Ж„),...,Ж„).

Убеждаемся, что эти композиции равны. Это по определению означает, что ^ е С1 (ига), т. е. Zl с (1(и„).

Теперь предположим, что ^ = (х1 + /1,х2 + /2,...,жп) лежит в С1(Цга), и покажем, что ^ е Z1. Возьмём автоморфизм ф = (х1 + жг, ж2,..., жп), где г > 2, и вычислим ж^1, используя обозначения леммы 2:

^^ = (Ж1 - ^ = (Ж1 - /1 (^2, ...,0п) - Ж + /Д&+1, ...,0„))^ =

= (ж1 + Ж - /"1 (^2, ...,^п) - жг + Уг^г+Ъ -.^Г = = (ж1 - /"1 (^2, ...,^п) + Л^г+Ъ ...,^п))^ По лемме 2 для любого ]

Значит,

/П^+Ъ ...,^п) = Л...,^п) = Л"(х+ъ ...,жп).

Ж^1 = (ж1 - /1(^2,...,^п) + /г(^г+1,...,^„))^ =

Ж1 + /1(^2, ...,ХП) - /1(^2, ... , жга) + /г(жг+1, ..., жга) — ж1 + /г(жг+1, ..., жга)

Поскольку у € С1(ип), то

[—, у] = —-1у-1—у = —-1у-1у— = —-1— = г^.

Таким образом, х1?'^] = х1. С другой стороны, х1?'^] = х1+/г(хг+1, ...,хп). Отсюда /г(хг+1, ...,хп) = 0 при г > 1.

Заметим, что если — = (х1,...,хг + д(хг+1,..., хп),..., хп), то

х?-^ -^ = хГ -^ = (х1 — /1(02, ...,0п))^ =

= (х1 — /1(02,...,0г + 0(хг+1 ,...,хп),...,0п))^.

Таким образом,

х1?,^1 = х1 + у! (х2, ..., хп) — У1 (х2, ..., хг + 0(хг+1, ..., xn), ..., хп). (3)

Вычислим линейную часть и ограничения на А- и ц-показатели у многочлена /1. Если ц(/1) = ^ > 1, это значит, что среди базисных одночленов /1 есть элементы вида [хп-8,х4,хП—Т/,...,хПп], где Ь > п — в, - целые неотрицательные числа. Следовательно, для автоморфизма — = (х1,...,хп-8 + 0п-8,...,хп) в разности (3) возникает несократимый одночлен при подходящем выборе 0п-8. Значит, ц(/1) < 1.

Если А1(/1) > 1, то среди порождающих одночленов вида [хп-1 ,хп,хП—1 ,хПп] многочлена /1 выберем тот, что имеет максимальный А-показатель. При — = = (х1,...,хп-1 + хп,хп) в разности (3) получим несократимый порождающий одночлен [хп-1, хПп+1]. Следовательно, А1(/1) < 1.

Если линейная часть /(/1) многочлена /1 содержит одночлен хп-1, то в разности (3) при — = (х1,...,хп-1 + хп,хп) возникает несократимый одночлен хп, поэтому ц(1(/1)) = 0.

Этими рассуждениями показано включение (ип) С и тем самым равенство о(ип) = ^1.

Что и требовалось доказать. ■

Литература

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 447 с.

2. Кабанов А.Н. Гиперцентральная структура группы унитреугольных автоморфизмов свободной метабелевой алгебры Ли // Сиб. мат. ж. 2009. Т. 50, № 2. С. 329-333.

3. Романьков В.А., Чирков И.В., Шевелин М.А. Матричная непредставимость групп автоморфизмов некоторых свободных алгебр // Сиб. мат. ж. 2004. Т. 45, № 5. С. 1184-1188.

4. Сосновский Ю.В. Описание гиперцентрального строения группы унитреугольных автоморфизмов алгебры многочленов // Сиб. мат. ж. 2007. Т. 48, № 3. С. 689-693.

CENTER OF THE UNITRIANGULAR AUTOMORPHISM GROUP OF A FREE

LIE ALGEBRA

A.N. Kabanov

Ph.D. (Math.), e-mail: [email protected]

Omsk State University n.a. F.M. Dostoevskiy

Abstract. The center of the group of unitriangular automorphisms of a free Lie algebra over an arbitrary field is described.

Keywords: Lie algebra, unitriangular automorphism, hypercenter.