Центральный ряд группы унитреугольных автоморфизмов нильпотентной алгебры Лейбница индекса 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2018. №3(47). С. 27-30

УДК 512.57 001: 10.25513/2222-8772.2018.3.27-30

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ РЯД ГРУППЫ УНИТРЕУГОЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ НИЛЬПОТЕНТНОЙ АЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА ИНДЕКСА 2

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия

Аннотация. Получено описание центрального ряда группы унитреуголь-ных автоморфизмов свободной нильпотентной алгебры Лейбница индекса 2 над произвольным полем.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, нильпотентная алгебра, унитре-угольный автоморфизм, центральный ряд.

В статьях автора [1-3] было представлено описание гиперцентральной серии группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница.

В данной работе представлено описание центральной серии указанной группы для свободной нильпотентной алгебры Лейбница с индексом нильпотентности 2.

Напомним, что неассоциативная алгебра Ь над полем Р с билинейным произведением [,] называется (правой) алгеброй Лейбница, если для любых элементов х,у,г Е Ь выполняется (правое) тождество Лейбница:

Отсюда видно, что [х, [у, у]] = 0.

Из тождества Лейбница также следует, что любой элемент алгебры Ь можно представить как линейную комбинацию элементов вида [[[[а, Ь], с\, ё\,...], поэтому для краткой записи будем опускать скобки, положив

Более того, примем записи

[[а,Ъ],Ъ] = аЪ2, [[[а,Ь],Ь],Ь] = аЪ3 и т. п.

Обозначим Ь1 = Ь, Ьк = [Ьк-1,Ь]. Если Ьр = 0 для некоторого натурального р, то алгебра Ь называется нильпотентной.

А.Н. Кабанов

к.ф.-м.н., е-шаП: [email protected]

[[х,у],г] = [ж, [у,г]] + [[х,г],у].

Или, что то же самое,

[x, ]] = [[х,у],г] - [[х,г],у].

[[а, Ь],с] = аЬс.

Минимальное р, для которого выполняется равенство Ьр = 0, называется индексом нильпотентности алгебры Ь.

Пусть Ьп — свободная алгебра Лейбница над полем Р с множеством свободных порождающих Хп = х1, ...,хп.

Выделим в группе АиЪЬп всех автоморфизмов алгебры Ьп подгруппу ип, порождённую автоморфизмами вида:

{

/ ч ! ^ + Уг) ГгЫ : \ . = .

хз ^ хз, 3 = г,

где принадлежит подалгебре, порождённой х+\,...,хп. Такая подгруппа называется группой унитреугольных автоморфизмов алгебры Ьп.

Для краткости будем записывать произвольный автоморфизм у свободной алгебры Ьп с множеством свободных порождающих Хп как у = (Р1, Р2,..., Рп), где р(Хг) = г = 1, ...,п.

Тогда произвольное отображение вида

у = (Х1 + ¡1(Х2, ..., Хп) , ...,Х1 + ¡1(х1+1, ..., Хп), ...,хп), (1)

где для любого г многочлен /г(хг+1, ...,хп) е Ьп, определяет автоморфизм из ип, и группа ип состоит из всех таких автоморфизмов.

Пусть алгебра Лейбница Ьп является нильпотентной с индексом нильпотентности р.

В этой статье рассмотрим случай р = 2, т. е. Ьп — алгебра с нулевым умножением.

Выделим в группе ип подгруппы ^, состоящие из автоморфизмов вида

хп). (2)

Очевидно, что Zk С Zk+1.

Теорема 1. Подгруппы Zk составляют центральный ряд группы ип.

Доказательство. Возьмём произвольные автоморфизмы у е и гф е ип. Согласно описанию группы автоморфизм у имеет вид

<р = (Х1 + \ХП,Х2, ...,хп),

где А е Р

Пусть гф имеет вид (1). Вычислим ^ф и ф^. Имеем

<рф = (Х1 + ¡1(Х2, ...,Хп) + \ХП,Х2 + /2(Х3, ...,Хп), ...,Хп).

Далее

ф$ = (Х1 + Ххп + ¡\(Х2, ...,Хп),Х2 + ¡2(^3, ... Убеждаемся, что эти композиции равны. Это по определению означает, что

V е г(ип).

Математические структуры и моделирование. 2018. №3(47)

29

Теперь предположим, что р = (X1 + }1,Х2, ...,Хг-1,Хг + /г,Хг+1, ...,Хп) Е Z(ип). Возьмём автоморфизм ф = (х1 + хг,х2, ...,хп). Тогда

рф = (Х1 +Хг + ¡1,Х2, ...,Хг-1,Хг + ¡г,Х+1, ...,Хп), фр = (Х1 + ¡1 +Хг + ¡г,Х2, ...,Х—1,Хг + ¡г,Х+1, ...,Хп).

Таким образом, поскольку рф = фр, следовательно, ^ = 0.

Пусть теперь р = (х1 + ¡1(хг,хп),х2, ...,хп) Е 2(ип). Возьмём автоморфизм

ф = (Х1, ...,Хг + хп,..., хп). Тогда

^ф + /1 + , ^2 ^г + %п Хп) ,

фр = (Х1 + /1(Хг,Хп),Х2, ...,Хг + Хп, ...,Хп).

Таким образом, ¡\(Хг +Хп,Хп) = ¡1&,Хп). Но т. к. ¡\(Хг ,Хп) = \гХг + \пхп, где \,\п Е ^, следовательно, ¡1(х1,хп) = Ь(хп).

Таким образом, мы доказали, что Z1 — центр группы ип. Напомним, что в центральном ряде Zk(ип)/2к-1(ип) = 2(ип/2к-1). Допустим, что для некоторого к ^ 1 множества Z1 С ... С Zk-1 являются частью центрального ряда. Пусть р Е Zk имеет вид (2), а ф — произвольный унитреугольный автоморфизм вида (1). Составляя их композиции, видим, что

рф = (Х1 + /1 + д1(хп-к+1 + ¡п-к+1, ...,Хп),Х2 + ¡2 + 92(хп-к+2 + ¡п-к+2, ..., Хп) , ..., Хп) ,

фр = (Х1 + д1(хп-к+1, ...,Хп) + /1(хп-к+1 + 9п-к+1, ...,Хп),Х2 + С/2 (Хп-к+2, ...,Хп) +

+!2(Хп-к+2 + Оп-к+2, ...,Xn), ...

Так как Ьп — алгебра с нулевым умножением, то многочлены д^ и линейные. Из вида Zk-1 следует, что в ип/Zk-1 композиции рф и фр совпадают. Теперь докажем, что других автоморфизмов

в Za нет.

Используя автоморфизм ф = (х1 +хг,х2, ...,хп) и рассуждения, аналогичные случаю Z1, получим, что в автоморфизме р многочлены д^ = 0 для любого

г^ к + 1.

Используя автоморфизм ф = (х^_,...,хг + хп, ...,хп), получим, что в автоморфизме р многочлен д1 не содержит переменных х^ для г ^ п — к.

Таким образом, множество Zk также входит в центральный ряд при условии, что туда входит Zk-1 С Zk.

Так как для Z1 утверждение уже доказано, по индукции получаем то, что и требовалось доказать. ■

Из вида (2) следует, что подгруппа Zk совпадает с группой ип при п — к + 1 = 2. Отсюда видим следующее свойство этой группы.

Следствие 1. Группа унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница с нулевым умножением гиперцентральна длины п — 1.

Литература

1. Кабанов А.Н. Центр группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница // Математическое и компьютерное моделирование: сборник материалов IV Междунар. науч. конф. (Омск, 11 ноября 2016 г.). 2016. С. 78-80.

2. Кабанов А.Н. Центральный ряд группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница // Математические структуры и моделирование. 2017. № 3(43). С. 12-15.

3. Кабанов А.Н. Верхний гиперцентральный ряд группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница // Математические структуры и моделирование. 2017. № 4(44). С. 49-52.

CENTRAL SERIES OF THE GROUP OF UNITRIANGULAR AUTOMORPHISMS OF A FREE NILPONENT LEIBNIZ ALGEBRA WITH INDEX 2

A.N. Kabanov

Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. The central series of the group of unitriangular automorphisms of a free nilpotent Leibniz algebra with index 2 over an arbitrary field is described.

Keywords: Leibniz algebra, nilpotent algebra, unitriangular automorphism, central series.

Дата поступления в редакцию: 10.09.2018