О лагранжевых системах с релейными управлениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМАХ С РЕЛЕЙНЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ © И.А. Финогенко (Иркутск)

Исследуются уравнения Лагранжа второго рода, которые в развернутой векторной форме для независимых обобщенных координат д = (д1,...,дк) имеют вид

МЬ я)я = 9(Ъ я, я) + <ЭА{и Я, Я) + £(*, Я» Я)и- (1)

Здесь А(Ь, д) - непрерывно-дифференцируемая, симметричная, положительно определенная матрица коэффициентов инерции; д{Ь, <?,<?), (£,?,<?) - непрерывные векторные функции, представляющие

обобщенные силы; В(Ь,д,д) - некоторая непрерывная матрица; векторная функция и = (и\,... ,щ) характеризует управляющие силы, удовлетворяющие ограничениям | щ Н^Ь,д,д). Такие задачи возникают при исследовании механических и электромеханических систем на основе принципа декомпозиции, основные соотношения которого были разработаны в [1] и применялись затем при изучении движений многозвенными манипуляторами. Цель управления системой (1) (целевое множество) задается в виде З* = {(Ь.д^д) : = 0}, г — 1 где Хг ~ непрерывно-

дифференцируемые функции. Управления выбираются оптимальными по отношению к демпфированию некоторой положительно-определенной квадратичной формы, которая служит мерой отклонения движений системы от целевого множества. Согласованный выбор меры отклонения, целевого множества и матрицы В приводит к релейным управлениям вида щ = — #;signx'^ при условии XI ^ 0, г = 1 Отметим также, что при условии Xi — Я1 уравнениями (1) с единичной матри-

цей В могут описываться некоторые механические системы с одностепенными кинематическими парами при наличии кулонова трения [2]. Так как на многообразиях ^ функции М; разрывны и неопределены. то в задаче (1) возникает ряд вопросов:

- в каком смысле понимать решение уравнений (1), в особенности, при возникновении переходных процессов вблизи целевого множества, когда движения системы могут попадать на многообразия 5г, НО движения ПО Пересечению всех поверхностей Si (полного скользящего режима) не существует? Как правило, этот вопрос решается многозначным доопределением правой части (1) в точках разрыва или при помощи предельных переходов.

- возможно ли однозначно определить функции иг в точках разрыва таким способом, который сохранял бы ограниченность ресурсов управления, не противоречил бы условиям возникновения частичных или полных скользящих режимов по множествам 5^ и обеспечивал бы существование, единственность, продолжимость решений систем вида (1) и ряд других свойств этих решений, необходимых для обоснования применения к ним методов теории управления и устойчивости?

Эти вопросы решаются нами применительно к правосторонним решениям. При этом устанавливается эквивалентность доопределенных уравнений (1) и дифференциального включения, полученного из (1) выпуклым многозначным доопределением в смысле А.Ф. Филиппова [3].

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных ИсследованийЛ» 99-01-00216.

Адрес электронной почты: [email protected]

ЛИТЕРАТУРА

1. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпози-

ции // АиТ. 1989. № 1. С. 87-89; № 2. С. 71-86.

2. Матросов В.М., Финогенко И.А. О свойствах правосторонних решений уранений динамики механических си-

стем с трением скольжения // Докл. РАН. 1995. Т. 343. № 1. С. 53-56.

3. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

ТОЧНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ С ГРАНИЦЫ И СТАБИЛИЗАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА

(с) А.В. Фурсиков (Москва)

Пусть С Rn - ограничная область с границей dQ класса С°°, Т > 0. Рассмотрим следующую задачу для абстрактного эволюционного уравнения

dv(t,x)/dt + A(v(t, •)) = /(я), v|t=o = vo, v(t, ж)|1€еп = u(t, x), (1)

где A - абстрактный оператор, f,vо - заданные функции, а фазовая функция v(t,x) и управление u(t,x) неизвестны. Мы рассмотрим случаи, когда (1) - это краевая задача для квазилинейного параболического уравнения или для системы Навье-Стокса.

Задача точной управляемости состоит в следующем: Для заданного решения v(t,x) дифференциального уравнения в (1), *)(0, •) ф v0, найти такое управление u(t,x), что для решения v(t,x) краевой задачи (1) справедливо равенство

v(T,x) = v(T,x). (2)

Теорема 1. Пусть (1) - это двух или трехмерная система Навье-Стокса. Тогда для любых Т > 0,v,f,vo существует решение (v(t,x),u(t,x)) задачи точной управляемости (1),(2).

Замечание 1. В теореме 1 мы нашли решение v(t,x) задачи (1) в пространстве достаточно гладких функций (в котором доказана теорема единственности решения краевой задачи для трехмерной системы Навье-Стокса,) хотя мы не накладываем никаких ограничений малости на исходные данные v,Vo,}■ (Недостаток места не позволяет привести точное определение функциональных пространств.)

Замечание 2. Когда (1) - это квазилинейное параболическое уравнение, теорема 1 доказана при дополнительном условии ||г>(0, •) — г;о||я‘(П) < £ где £ достаточно мало.

Опишем проблему стабилизации с помощью управления с обратной связью. Пусть заданы f,vо из (1), стационарное решение v(x) уравнения (1), к > 0 и

||v - 1>0||х < е, (3)

где е > 0 достаточно мало. Требуется найти такое управление u(t,x), заданное на dil. что решение v(t,x) задачи (1) удовлетворяет оценке:

||г>(£, •) — г)||а" ^ сехр (—kt) при t —> оо. (4)

509