Теория расчета хроматических аберраций рентгеновского объемного голограммного осевого элемента Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.417 Ю.Ц. Батомункуев

СГГА, Новосибирск, e-mail: [email protected]

ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ХРОМАТИЧЕСКИХ АБЕРРАЦИЙ РЕНТГЕНОВСКОГО ОБЪЕМНОГО ГОЛОГРАММНОГО ОСЕВОГО ЭЛЕМЕНТА

Представлена теория расчета хроматических аберраций рентгеновского объемного голограммного осевого элемента (ГОЭ). В теории расчета учтены изменения показателя преломления и толщины рентгеновского ГОЭ.

Ju.Ts. Batomunkuev

SSGA, Novosibirsk, e-mail: [email protected]

THEORY FOR CALCULATION OF CHROMATIC ABERRATIONS OF X-RAY VOLUME HOLOGRAPHIC AXIAL ELEMENT

The chromatic aberration theory of x-ray volume holographic axial element (HOE) is presented. The changes of refraction index and thickness of x-ray HOE are taking into consideration in the theory.

Известно, что в рентгеновском нанометровом диапазоне электромагнитного спектра для получения изображений можно использовать изготовленную голографическим способом зонную пластину Френеля, представляющую собой голограммный осевой элемент (ГОЭ) [1,2]. Но качество изображения, формируемого зонной пластиной Френеля, ограничено ее хроматическими и монохроматическими аберрациями. Расчеты аберраций рентгеновских голограммных элементов и их исправление, например в [1-3], проводятся подобно расчетам аберраций тонкого ГОЭ видимого диапазона спектра [4,5], то есть без учета его толщины и изменения показателя преломления. Хотя известно, что толщина ГОЭ приводит не только к угловой и пространственной селективности, но и вносит дополнительные объемные аберрации в изображение [6,7].

Целью работы является разработка теории расчета хроматических аберраций рентгеновского объемного ГОЭ с учетом изменений его показателя преломления и толщины.

При расчете аберраций рентгеновского ГОЭ предполагается, что его средний показатель преломления совпадает со средним показателем преломления окружающей диэлектрической среды. Также считается, что длина волны восстановления Ас отличается от длины волны записи А0, а средний показатель преломления nc и средняя толщина объемного осевого ГОЭ на стадии восстановления могут отличаться от среднего показателя no и толщины на стадии записи. Толщина образца голографической среды, в объеме которой

формируется ГОЭ, предполагается модулированной и много меньшей длины и ширины образца. Голографическая среда образца предполагается средой с неизотропной усадкой.

На рис. 1, а и 2, а представлены схемы восстановления (рабочие схемы) пропускающего и отражающего объемного ГОЭ, где Ас(0,0,7с) и Вс(хс,ус,7с) - две близкие точки предмета и соответствующие им А^^^) и В^х^у^) - точки изображения, М(х,у,т) - произвольная точка объемного ГОЭ. На рис. 1 и 2 ось Оz декартовой системы координат является оптической осью и направлена перпендикулярно поверхностям ГОЭ. Плоскость координат хОу проходит через центр ГОЭ. На рис. 1, б и 2, б представлены схемы записи объемного ГОЭ опорной и объектной сферическими волнами, где РГ(0,0,7Г) - точечный источник опорной (референтной) волны, Ро(0,0,7о) - точечный источник объектной волны, М'(х,,у,,7') - точка объема ГОЭ при записи, соответствующая точке М(х,у,т) при восстановлении. Расстояния, указанные в рабочей схеме, обозначим: ВСМ = 1с, МБ! = 11, ВсМ = ёс, МБ! = ^, АсО = zc, ОА! = 7±. А расстояния, указанные в схеме записи: РГМ' = 1г, М'Ро = 1о, РГО = тг, ОРо = 7о, где координаты х'=х/тх, у'=у/ту, 7'=7/т7, а тх, ту, т7 - коэффициенты усадки или набухания объемного ГОЭ вдоль соответствующих осей декартовой системы координат.

Рис. 1. Схема восстановления (а) Рис. 2. Схема восстановления (а)

и записи (б) пропускающего и записи (б) отражающего

объемного ГОЭ объемного ГОЭ

Характеристическую функцию У(х,у,т) рентгеновского ГОЭ можно записать в виде [8-12]

У(х,у,7) = 1с - 7с ± (1! - 71) - к^(х,у,7)Хс/Пс,

где т(х,у,7) = по(1г - 7Г ± (1о - 7о))/Хо - пространственное распределение количества периодов модуляции показателя преломления, коэффициента поглощения или толщины объемного ГОЭ, по и пс - начальное и среднее конечное значения показателя преломления, Хо - длина волны лазера, используемого при записи, Хс - рабочая длина волны, к - порядок дифракции.

Верхний знак «плюс» в выражениях для У(х,у,т), т(х,у,т) и в последующих выражениях соответствует отражающим объемным ГОЭ, а нижний знак «минус» - пропускающим объемным ГОЭ.

В силу пространственной и угловой селективности объемных ГОЭ практический интерес представляет случай, когда поперечные размеры (диаметр) объемного ГОЭ намного меньше расстояний тс, 7! до плоскостей предмета и изображения, но больше размеров предмета и изображения. Кроме

г

этого считаем, что при записи отклонение от оптической оси источников опорной и объектной волн меньше поперечных размеров объемного ГОЭ, а размеры ГОЭ много меньше расстояний тг, 7о от нее до источников опорной и объектной волн. Также считаем, что толщина ГОЭ много меньше расстояний тс, 7!, 7Г, 7о. Выражение для расстояния 1с может быть разложено в ряд по величинам малости хс/7с, ус/7с, х/7с, у/7с, 7/7с, а выражение для расстояния 1г - по величинам малости хг/7г, уг/7г, х/7г, у/7г, 7/7г. Аналогичным образом, разлагая выражение для расстояния 1!, по величинам малости х!/7!, у!/7!, х/7!, у/7!, 7/7!, а расстояние 10 по величинам малости Х0/70, у0/70, х/70, у/70, 7/70, и подставляя в характеристическую функцию У(х,у,т) объемного ГОЭ, можно представить ее в первых порядках разложения в виде суммы частных характеристических функций Уог(х,у,7), Уо¥(х,у,7), УДх,у,7), У/(х,у,7), У3*(х,у,7), У3У(х,у,т) ... , где Уо*(х,у,7) = - хБ100 - уВ010 - частная характеристическая функция

монохроматической аберрации увеличения на рабочей длине волны тонкого ГОЭ; УоУ(х,у,7) = - хгВш - хт2Бю2 - утВ011 - ут2Б012 - частная

характеристическая функция объемной монохроматической аберрации увеличения на рабочей длине волны; У11(х,у,7) = х2Б200/2 + ^Б020/2 - частная характеристическая функция монохроматической дефокусировки (аберрации положения на рабочей длине волны) тонкого ГОЭ; У1у(х,у,7) = (х2/2)(7Б201 + 72Р202) + (у2/2)(7Б021 + 72Б022) - частная характеристическая функция объемной монохроматической дефокусировки (объемной аберрации положения на рабочей длине волны);

Уз\х,у,7) = - (х4/8)Б400 - (х2у2/4)Б220 - (у4/8)Б040 + (х3/2)Сз00 + (х2у/2)С210 +

+ (у2х/2)С120 + (у3/2)С030 - (х2/2)А200 - хуА110 - (^/2)А020 -

- (х2/4)(Е200 - (у2/4)Е020- (х/2)Оюо - (у/2)О0ю

- Частная характеристическая функция монохроматических аберраций третьего порядка на рабочей длине волны тонкого ГОЭ,

Уз'(х,у,7) = - (х4/8)(378401 + 67^402) - (х2у2/4)(37$221 + 67^222) -

- (у4/8)(37$041 + б728(,42) + (х3/2)(37Сз,,1 + 67^302) + (х2у/2)(37С211 + 67^212) +

+ (ху2/2)(37С121 + 672С122) + (у3/2)(37С031 + 672Сс32) -

- (х2/2)(37А201 + 6^2а202) - ху(3гА111 + 672А112) - (у2/2)(37А>21 + 6г21А022) -

- (х2/4)(37Е201 + 6^2Е202) - (у2/4)(37Е1)21 + 6г2Е1)22) +

+ (\У2)(370|М + 6г2Ою2) + <У- )■ ЗЛ,,, + б720.,| ^)

- Частная характеристическая функция объемных монохроматических аберраций третьего порядка на рабочей длине волны.

По аналогии с известными аберрационными коэффициентами тонкого ГОЭ аберрационные коэффициенты в частных характеристических функциях соответствуют следующим типам монохроматических аберраций [8]: Бр -аберрации увеличения, Fijk - дефокусировке, Sijk - сферической аберрации, Ср -коме, Аук - астигматизму, Ер - кривизне поверхности, Dijk - дисторсии, где индексы j, к совпадают с соответствующими индексами аберрационных коэффициентов в частных характеристических функциях. Для каждого аберрационного коэффициента индексы ^ j, к изменяются независимо. Индексы j, к также совпадают соответственно с показателями степени переменных х, у,

z в частных характеристических функциях. Выражения для коэффициентов при индексе k, равном нулю, совпадают с известными выражениями коэффициентов аберрации тонкого ГОЭ [7]. Выражения аберрационных коэффициентов для первого порядка дифракции равны

В ljk=xc/zc1+J+k±x1/z11+J+k,

Fljk= l/zci+^+k_1 ± l/zi^"1 - (1 + МЛ0)(У1г+)+к~1 ± \/z;+)+k-ly((\ +

+ Anc/noXl + ЛтхУ(1 + AniyXl + Amz) ),

Sljk= l/zc^+k_1 ± l/z^“1 - (1 + AV^o)(l/zr1+J+k_1 ± +

+ Anc/n„)(l + АтхУ(1 + Amv)'( 1 + Amz)k),

Cljk = xc/zc1+J+k ± x1/z11+J+k, (1)

Aijk = Xc1ycJ/Zc1+J+k+1 ± Xi1yiJ/Zi1+J+k+1,

Ep = Xc1/Zc1+J+k+1 ± X11/z11+J+k+1,

Dÿk= xc1+2/zc1+J+k+2 ± Xl1+2/Zl1+J+k+2,

где Akc - рабочий спектральный диапазон объемного ГОЭ, Лпс - среднее изменение показателя преломления объемного ГОЭ, Amx, Amy, Amz - изменение коэффициентов усадок соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz.

Представленные в (1) выражения аберрационных коэффициентов F1Jk, Sj позволяют в явном виде выделить в них составляющие AF1Jk, ASÿk, возникающие из-за изменения среднего показателя преломления и размеров ГОЭ

AF1|k= (l/zr1+i+k_1 ± l/z01+j+k_1)(Anc/n0 + iAmx + jAmy + kAmz - Алс//Ч)),

ASÿk= (l/zr1+i+k_1 ± l/z„1+'+k_l )(Anc/n„ + iAmx + jAniy + kAmz- AÀ,C/À,0).

При этом, изменение среднего показателя преломления Anc объемного ГОЭ может быть представлено в виде Anc = Anf + An1 + And, где Anf и An1 -фотоиндуцированное и термоиндуцированное изменения показателя преломления, And - изменение показателя преломления из-за деформации объемного ГОЭ. Изменение размеров ГОЭ вдоль каждой из осей системы координат может быть представлено в виде коэффициента m, равного m = 1 + Amf + Am1 + Amd, где Amf, Am1 - фотоиндуцированное и термоиндуцированное изменения размеров, Amd - изменение размеров из-за деформации объемного ГОЭ. Следует особо отметить, что в отличие от видимой области в рентгеновской области спектра изменение среднего показателя преломления и размеров ГОЭ имеют одинаковый знак. Поэтому, если в видимой области спектра при увеличении температуры из-за объемного теплового расширения размеры ГОЭ увеличиваются, а его показатель преломления уменьшается, то при увеличении температуры рентгеновского ГОЭ увеличиваются и его показатель преломления, и размеры.

Известно, что в отличие от рентгеновского тонкого ГОЭ при расчете аберраций рентгеновского объемного ГОЭ необходимо учитывать его селективность [12]. Для объемного ГОЭ условие его локальной селективности можно представить соответственно в меридиональной и сагиттальной плоскостях в виде Vv(x,y,z) < ^(x,y,z) и Vv(x,y,z) < Çy(x,y,z), где параметры расстройки £x(x,y,z) и ^(x,y,z) характеризуют локальные величины отклонения от условий дифракции Брэгга. Их величина зависит не только от угла падения

волн на поверхность ГОЭ и рабочей длины волны, но и от изменений показателя преломления и толщины ГОЭ.

Из характеристической функции V(x,y,z) объемного ГОЭ могут быть определены геометрические аберрации Ах, Ау точек изображения по известным формулам: Ах ~ Zi(dV(x,y,z)/dx), Ау ~ Zi(dV(x,y,z)/dy). Отклонения Ах, Ау лучей от безаберрационного изображения представляются в виде суммы двух компонентов - аберраций тонкого ГОЭ и объемных аберраций и представлены в [9,10]. С практической точки зрения важной особенностью является повышение глубины резкости изображения вследствие уменьшения аберраций [12].

Хроматические аберрации рентгеновского объемного ГОЭ. Выражения, описывающие геометрические хроматические аберрации, то есть отклонение координат лучей в плоскости изображения на величины Ах^, Ау^, Аzx, от параксиальной точки изображения могут быть получены вычислением частных производных по длине волны Хс из выражений координат Ах, Ау, Аz

Ах^ = (Э(Ах)/ЭХс)АХс, Аух = (Э(Ау)/ЭХс)АХс, Аzx, = (0^)/0Хс)АХс, (2)

где АХс - рабочий диапазон длин волн объемного ГОЭ.

Из (2) получаем следующие выражения для определения геометрических хроматических аберраций объемного ГОЭ, приводящих к изменению на Ах^, Аух, Аzx координат лучей в плоскости изображения

1. При хроматизме положения

Аzx = (дг^ЭХс)АХс = (k^cA^Xl/Zr ± 1/7о)(АХс/Хо - Anc/n - 2Ат^2,

Аzx = ^^0Хс)АХс = (k^A^Xl/z ± 1^о)(аА,<До - Anc/n - 2Аmу)zi2,

2. При хроматизме увеличения АхХ, = (B100 + zB101 + ^В102)А^

АУх = (B010 + zB011 + ^В012)АгЪ

3. При хроматической дефокусировке

Ах^ = (0F 200/д^с + z0F2ol/0^c + z20F2O2/öXc)xZiАXc + (F200 + zF201 + z^Mz^, Аух = (öF020/d^c + z0F02l/5Xc + z2ЭF022/дXc)yZiАXc + (F200 + zF 021 + z2F022)yАzx,

4. При сферохроматической аберрации третьего порядка

Ахх =

(ЭS400/ЭXc+3zЭS401/ЭXc+6z2ЭS402/ЭXc)x3ziАXc/2+(S400+3zS401+6z2S402)x3Аzx/2+ +(дS22o/дXc+3z0S22l/дXc+6z20S222/дXc)xу2ZiАXc/2+(S22O+3zS221+6z2S222) ху^х/2,

Аух =

(0S040/dXc+3z0S04l/dXc+6z 0So42/0^c)y ZiАXc/2+(S4oo+3zSo4l+6z S042)y Аz^/2+

+(0S22o/ÖXc+3z0S22l/дXc+6z20S222/ÖXc)yX2ZiАXc/2+(S22O+3zS221+6z2S222)yX2Аz,/2,

5. При хроматической коме третьего порядка

Ах^ = 3(C3oo + 3zC30l + 6z2C302) x^z^/2 + (C210 + 3zC2ll + 6z2C2l2)xyАzx +

+ (C120 + 3zCl2l + 6z2Cl22)y2Аz,/2,

Ау^ = (C210 + 3zC211 + + (C120 + 3zC121 + +

+ 3(C030 + 3zC03l + 6z2C032)y2 А^/2;

6. При хроматическом астигматизме третьего порядка

Л Л

АхХ, = (A200 + 3zA201 + 6z A202)xАzX + (A110 + 3zA111 + 6z

Л Л

Ау^ = (A110 + 3zA111 + 6z ^^112)x^^ZX + (A020 + 3zA021 + 6z А_022)УА^;

7. При хроматической кривизне поверхности изображения третьего порядка

Aхx = (E200 + 3zE201 + 6z2E202)xAzx/2,

Ayx = (E200 + 3zE201 + 6z2E202tyAzx/2,

8. При хроматической дисторсии третьего порядка

Aхx = (D100 + 3zD101 + 6z2D102)Az^/2,

Ayx = (D100 + 3zD101 + 6z2D102)Azx/2.

Таким образом, хроматические аберрации объемного ГОЭ складываются из хроматических аберраций тонкого ГОЭ и объемной хроматической аберрации, зависящей от толщины ГОЭ. Объемная хроматическая аберрация зависит от толщины ГОЭ в первом приближении линейно. Для выполнения численных расчетов хроматических аберраций требуется явный вид зависимости дисперсии показателя преломления и коэффициента усадки среды. Имея возможность создания голографических сред с аномальной дисперсией показателя преломления An ~ С1Хс или с дисперсией коэффициента усадки Am ~ С2Хс, где С1 и С2 - постоянные, можно разрабатывать ахроматические объемные ГОЭ с корректируемой хроматической аберрацией.

Температурная компенсация аберраций рентгеновского объемного ГОЭ. Полученные в явном виде выражения для аберрационных коэффициентов позволяют выявить новые возможности компенсации аберраций и установить более оптимальные условия восстановления объемных ГОЭ. Так, например, хроматическая аберрация положения компенсируется при выполнении условия

Fljk= l/zci+^+k_1 - l/z^“1 ± k(l + AV^o)(l/zr1+J+k_1 - l/z0^+k_1)(l -

- Anc/По - iAmX - JAmy - kAmz) = 0.

Учитывая, что изменение показателя преломления можно представить в виде Лпс = (Эп/0Т)ЛТ + Ап/ + Ancd, а изменения коэффициентов усадок - в виде Дтх = ахЛТ + Ат/ + Amxd, Ату = ауАТ + Amyf + Amyd, Amz = azAT + Ат/ + Amzd, получаем выражение для изменения температуры, при которой имеет место взаимная компенсация фотоиндуцированной, термоиндуцированной и деформационной аберраций положения

АТ = [±(l/zc1+J+k“1-l/z11+J+k“1)/(l+AV^o)(l/zr1+J+k"1-l/z01+J+k"1)+l- i(Amxf+Amxd) -

- j(Amyf+Amyd) - k(Amzf+Amzd) - (Ancf/no+Ancd)/no]/(iax+jay+kaz+0nct/no0T),

где ax, ay, az - коэффициенты температурного расширения вдоль осей

координат Ox, Oy, Oz, Эпс1/поЭТ - термооптический коэффициент среды.

Заключение. Методом характеристической функции получены аналитические выражения монохроматических и хроматических аберраций первого и третьего порядков рентгеновского объемного ГОЭ, учитывающие дисперсию его показателя преломления и толщины. В явном виде выделены коэффициенты хроматических аберраций первого и третьего порядков. Показано, каким образом может быть учтено фотоиндуцированное, термоиндуцированное и деформационное изменение показателя преломления и толщины. Представленные выражения справедливы и для локальных частей рентгеновского объемного ГОЭ. Получены выражения, позволяющие определить температуру, при которой возможна компенсация хроматической

аберрации положения и взаимная компенсация фотоиндуцированной, термоиндуцированной и деформационной аберраций положения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рентгеновская оптика и микроскопия / под ред. Г. Шмаля, Д. Рудольфа; пер. с англ. Н.Н. Зорева и И.В. Кожевникова; под ред. А.В. Виноградова. - М.: Мир. 1987. - 464 с.

2. Мишетт, А. Оптика мягкого рентгеновского излучения / А. Мишетт // Пер. с англ. Н.Н. Зорева и И.В. Кожевникова; под ред. А.В. Виноградова. - М.: Мир. - 1989. - 352 с.

3. Грейсух Г.И., Ежов Е.Г., Казин С.В., Степанов С.А. Фокусирующие объективы апохроматы на основе синтезированных голограмм // Сб. трудов 7 междун. конфер. «ГОЛОЭКСПО-2010».- Москва, 2010. - С. 16-23.

4. Meier R.W. Magnification and third-order aberration in holography // JOSA. -1965. -V. 55. - P. 987.

5. Champagne E. B. Nonparaxial imaging, magnification and aberration properties in holography // JOSA. -1967. -V. 57. - P. 51.

6. Forshaw M.R.B. The imaging properties and aberrations of thick transmission holograms // Opt. Acta. -1973. -V. 20, № 9. - P. 669-686.

7. Ган М.А. Теория и методы расчета голограммных и киноформных оптических элементов. -Л., ГОИ. - 1984. - 140 с.

8. Батомункуев Ю.Ц., Мещеряков Н.А. Расчет объемных голограммных линз для ультрафиолетового и мягкого рентгеновского диапазонов спектра // Сб. матер. III междун. научн. конгр. «ГЕ0-Сибирь-2007». - Новосибирск, 2007. - Т. 4., Ч. 1. - С. 180-184.

9. Батомункуев Ю. Ц., Мещеряков Н. А. Рентгеновские объемные голограммные элементы // Сб. матер. IV междун. научн. конгр. «ГЕО-Сибирь-2008». - Новосибирск, 2008. - Т. 4., Ч. 1. - С. 25-35.

10. Батомункуев Ю.Ц. Особенности расчета рентгеновских объемных голограммных элементов // Сб. трудов V междун. конфер. «ГОЛОГРАФИЯ ЭКСПО-2008».- Санкт-Петербург, 2008. - С. 101-105.

11. Батомункуев Ю.Ц., Мещеряков Н.А. Расчет рентгеновской голограммной линзы для нанометрового диапазона спектра / Вестник НГУ -2009.- Т. 4, № 2.- С. 3-7.

12. Батомункуев Ю.Ц. Теория аберраций объемного рентгеновского голограммного оптического элемента // Сб. матер. V междун. научн. конгр. «ГЕО-Сибирь-2009». - Новосибирск, 2009. - Т. 5., Ч. 2. - С. 57-63

© Ю.Ц. Батомункуев, 2011