Особенности формирования изображений объемным внеосевым ГОЭ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.417

ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ОБЪЕМНЫМ ВНЕОСЕВЫМ ГОЭ

Юрий Цыдыпович Батомункуев

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физики, тел. (383)343-29-33, e-mail: [email protected]

Александра Алексеевна Дианова

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, студентка, тел. (383)343-29-33, e-mail: [email protected]

Рассматриваются особенности формирования изображений объемным внеосевым ГОЭ с анизотропной усадкой. Представлены условия стабилизации изображений объемных внеосевых ГОЭ.

Ключевые слова: голограммный оптический элемент, стабилизация изображения.

FEATURES OF IMAGING FORMED BY VOLUME NONAXIAL HOEs

Yury S. Batomunkuev

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., associate professor, tel. (383)343-29-33, е-mail: [email protected]

Alexandra A. Dianova

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., student, tel. (383)343-29-33, е-mail: [email protected]

The features of an off-axis imaging volume nonaxial HOE with anisotropic shrinkage. Presented conditions for the stabilization of images of volume nonaxial HOE.

Key words: holographic optical elements, image stabilization.

Введение. Развитие оптики и оптических технологий на современном этапе характеризуется разработкой приборов и устройств на основе лазеров с длинами волн от инфракрасной до мягкой рентгеновской области спектра. Ограниченность, а зачастую, и невозможность применения стеклянных рефракционных оптических элементов для длин волн излучения инфракрасной, вакуумно-ультрафиолетовой и мягкой рентгеновской областей спектра диктуют необходимость совершенствования известных оптических элементов, например объемных голограммных оптических элементов (ГОЭ) [1,2]. Объемные ГОЭ из-за значительно меньшей толщины по сравнению со стеклянными линзами могут быть использованы для фокусировки излучения и формирования изображения в тех областях электромагнитного спектра, где из-за поглощения или слабого преломления затруднено применение стеклянных линз [3,4]. При практическом применении объемных ГОЭ требуется учет его нагрева, изменения размеров

(деформации) и изменения оптических характеристик объема ГОЭ. Целью работы является рассмотрение особенностей формирования изображений объемным внеосевым ГОЭ с анизотропной усадкой.

Условия формирования изображения объемным ГОЭ. Рассмотрим объемный внеосевой ГОЭ с анизотропной усадкой находящийся в диэлектрической среде с показателем преломления равным среднему показателю преломления ГОЭ. Это позволяет не учитывать преломление на поверхностях объема ГОЭ. Известно, например, что в мягкой рентгеновской области спектра, показатели преломления многих сред очень близки к показателю преломления воздуха [3,4]. Также считается, что рабочая длина волны Хс может не совпадать с длиной волны записи а средний показатель преломления пс объема ГОЭ при его использовании может отличаться от его среднего показателя п0 на стадии записи. В дальнейшем объемный внеосевой ГОЭ будем называть просто объемным ГОЭ.

На рис. 1а и 2а представлены сагиттальные плоскости рабочих схем использования пропускающего и отражающего объемного ГОЭ, где Ас и Вс -две близкие точки предмета и соответствующие им Ai и Bi - точки изображения, М(х,у^) - произвольная точка объема ГОЭ. На рис. 1 и 2 ось Оz декартовой системы координат является оптической осью и направлена перпендикулярно поверхностям ГОЭ. Плоскость координат хОу проходит через центр ГОЭ.

Ас .

а)

М

\

Рг

ГОЭ

б)

М

\

ГОЭ

АсУ/

вС

а)

М Ч.

**-^

= = = :«

\

В,

ГОЭ

Рг

б)

'Рс

\

ГОЭ

Рис. 1. Рабочая схема (а) и схема записи (б) пропускающего объемного ГОЭ

Рис. 2. Рабочая схема (а) и схема записи (б) отражающего объемного ГОЭ

х

г

г

в

с

На рис. 1б и 2б представлены сагиттальные плоскости схемы записи объемного ГОЭ опорной и объектной сферическими (цилиндрическими) волнами, где РГ(хГ,уГ^Г) - точечный источник опорной (референтной) волны, Ро(хо,уо^о) - точечный источник объектной волны, М'(х',у'^') - точка объема ГОЭ при записи, соответствующая точке М(х,у^) при восстановлении. Координаты х'=х/тх, у'=у/ту, z'=z/mz, где тх, ту, т2 - коэффициенты усадки или набухания объемного ГОЭ вдоль соответствующих осей декартовой системы координат. Расстояния в рабочей схеме обозначим: ВСМ=1С, МВ = АСО = 4, ОА^, а в схеме записи: РГМ' = 1Г, М'Ро = 1о, РГО = dr, ОPо=dо.

Для объемного ГОЭ характеристическая функция У(х,у^) записывается в виде

У(х,у^) = 1с - dc ± (1 - di) - кт(х,у^)Ас/пс, (1)

где т(х,у^) = по(1г - dr ± (1о - do))A,o - распределение количества периодов модуляции показателя преломления, коэффициента поглощения или толщины, по и пс - начальное и среднее конечное значения показателя преломления, Хо - длина волны лазера, используемого при записи, Хс -рабочая длина волны, к - порядок дифракции. Верхний знак "плюс" в выражениях для У(х,у^), т(х,у^) и последующих выражениях соответствует отражающим объемным ГОЭ, а нижний знак "минус" - пропускающим объемным ГОЭ.

В силу пространственной и угловой селективности объемных ГОЭ практический интерес представляет случай, когда поперечные размеры (диаметр) объемного ГОЭ намного меньше расстояний dc, di до плоскостей предмета и изображения, но больше размеров предмета и изображения. Кроме этого, считаем, что при записи отклонение от оптической оси источников опорной и объектной волн меньше поперечных размеров объемного ГОЭ, а размеры ГОЭ много меньше расстояний dr, do от нее до источников опорной и объектной волн. Также считаем, что толщина ГОЭ много меньше расстояний dc, di, dr, do. Выражения для расстояний 1с, 1 могут быть разложены в ряд по величинам малости (отношения координат хс, ус, х^ у^ х, у, z точек Вс, В^ М соответственно к расстояниям dс и di). Аналогичным образом, разлагая выражения для расстояний 1г, 10, и подставляя в характеристическую функцию (1) У(х,у^) объемного ГОЭ, можно представить ее в виде суммы [2,5]

2 2 2 2 У(х,у^) = х F2oo/2 + у Fo2o/2 - хВш - уВою + (х /2)^201 + z F202) +

+ (у2/2)^021 + z2Fо22) - zBооl - z2Bоо2 - хzBl0l - хz2Bl02 - уzBоll - у22Во12 . (2)

Для объемного ГОЭ, регистрируемого двумя цилиндрическими волнами, в характеристической функции отсутствуют члены разложения, зависящие от координаты у (при совпадении сагиттальной плоскости этого ГОЭ с плоскостью координат хОz) [6,7].

Явный вид аберрационных коэффициентов Вр и Fijk приведен в [2,5,8], индексы у,к, принимающие числа 0;1;2, совпадают соответственно с значениями показателей степени переменных х,у^ в разложении (2) характеристической функции У(х,у^). Выражения для коэффициентов В100, В010, F200, F020 совпадают с известными выражениями коэффициентов аберраций тонкого ГОЭ [5]. В сагиттальной плоскости рабочая схема объемного ГОЭ может быть рассчитана при выполнении:

а) условия отсутствия дефокусировки,

F200 = 1/4 ± 1/а1 - кц(1/4 ± 1/do)/mx2 = 0,

(3)

б) условия отсутствия дефокусировки, обусловленной учетом толщины ГОЭ,

F201 = 1/42 ± 1/di2 - кц(1/42 ± 1/do2)/mx2mz = 0, (4)

где ц = пДс/пД0, к - порядок дифракции (к = ±1). Для объемного отражающего ГОЭ следует учитывать еще известное условие, указывающее на его высокую спектральную селективность [2,5]: кц = т^

Для объемного пропускающего ГОЭ в сагиттальной плоскости из выражения (3) получаем известную формулу тонкой голограммы

1/4 - 1/41 = Щ, (5)

где Fl = тх пДо/кпДс(ШГ - Ш0) - фокусное расстояние объемного пропускающего ГОЭ. С учетом (5) из (4) получаем формулу сферического зеркала

1/4 + 1/41 = Ш'т, (6)

где F'm = тДШГ + 1/4) - фокусное расстояние сферического зеркала. Для объемного отражающего ГОЭ из выражений (3), (4) получаем

1/4 + 1/41 = Шт, 1/4 - 1/41 = Ш'ь (7)

2

где Fm = тх /т^ШГ + Ш0) - фокусное расстояние объемного отражающего ГОЭ,

2 2 2 2 1/2 F'l = [2(ЩГ + Ш0 )/тх - 1/Fm ]" - фокусное расстояние тонкой линзы.

Для отражающего объемного ГОЭ должно выполняться еще дополнительное

условие: подкоренное выражение в формуле для F'l должно быть больше

нуля. При замене коэффициента усадки тх на ту формулы (5)-(7)

справедливы для меридиональной плоскости объемного ГОЭ. Формулы (5)-

(7) при замене расстояний 4С, 41, 4Г, 40 на zc, z1, zr, zo справедливы и для осевого

объемного ГОЭ [9].

Обсуждение. При выводе формул (5)-(7) приравнивался к нулю первый

порядок разложения по координате z характеристической функции У(х,у^),

поэтому из этих формул следует (в первом приближении) независимость

формирования изображения точек предмета от толщины ГОЭ. Формулы (5)-

(7) лежат в основе зеркально-линзовых моделей объемных ГОЭ,

предложенных и развитых в работах автора [10].

Средний показатель преломления пс объема ГОЭ может быть

представлен в виде

пс = п0 + Дп + (Эпс/ЭТ)АТ + (Эпс/Эо)Ао,

(8)

где п0 - начальное значение показателя преломления при записи; Дп -фотоиндуцированное изменение показателя преломления; АТ и Ао -изменения температуры и механического напряжения; Эп/Эо, Эп/ЭТ -коэффициент фотоупругости и термооптический коэффициент.

Коэффициенты усадки тх, ту, т2 объемного ГОЭ вдоль осей декартовой системы координат могут быть представлены в виде

тх = 1+ух+ахАТ+ЕхАо, ту = 1+уу+ауАТ+ЕуАо, т2 = 1+у2+а2АТ+Е2Ао, (9)

где ух, уу, у2, ах, ау, а2, Ех, Еу, Е2 - соответственно коэффициенты усадки (набухания), линейного температурного расширения и модули упругости объема ГОЭ вдоль осей Ох, Оу и 02.

Рассмотрим следствия из (5)-(7), которые не зависят в первом приближении от толщины объемного ГОЭ, в частности:

1. Известные особенности объемных ГОЭ, а именно, существование одной оптимальной пары сопряженных плоскостей предмета и изображения, отличия пространственной и угловой дисперсии по сравнению с тонкими ГОЭ, являются простыми следствиями формул (5)-(7). Так, выражения, позволяющие рассчитать положения сопряженных плоскостей предмета и изображения для объемного пропускающего ГОЭ, получаются при сложении и вычитании формул (5) и (6)

Шс = 1/2^ + ЮТт, = ЮТт - 1/2^.

Для объемного отражающего ГОЭ аналогичные формулы получаются из системы (7). Оптимальным положениям сопряженных плоскостей соответствует одно значение линейного коэффициента увеличения Р = di/dc. Продольная дисперсия объемного внеосевого пропускающего ГОЭ в меридиональной плоскости равна

д^/д^ = - й2/2^с,

где Fl - фокусное расстояние ГОЭ. Видно, что дисперсия объемного пропускающего ГОЭ в два раза меньше дисперсии тонкого ГОЭ, записанного в той же схеме, что и объемный ГОЭ. Важность этого факта заключается в том, что становится возможной разработка голограммных трехкомпонентных объективов с исправленной хроматической аберрацией. Главным компонентом такого объектива является объемный ГОЭ, расположенный между двумя тонкими ГОЭ.

Обратная угловая дисперсия объемного пропускающего ГОЭ в сагиттальной плоскости равна

¿^сМ©! = - ^с^(0е/2 - 01/2),

и больше обратной угловой дисперсии тонкого ГОЭ. В видимом диапазоне спектра угловая дисперсия объемного ГОЭ проявляется в цветном окрашивании изображения.

2. Подставляя (8) и (9) в выражения для фокусных расстояний, получаем формулу пропускающего объемного ГОЭ в виде

Щ = 1/4 - 1/41 = к^/Мг - 1/Мо)(1 - Дп - 2ух -- (дПс/ПодТ + 2ах)АТ - (дп/подо + 2/Ех)Ао), 1/F'm = (Шг + 1/do)/mz = (1/4 + 1/4)(1 - ъ - аzАT -Ао/Ez), (10)

и отражающего объемного ГОЭ в виде

1/Fm = 1/4 + 1/4 = (1/4 + 1/4)(1 - (2ух - Yz + (2ах - аz)АT + (2/Ех - 1/Ez)Ао),

Ш'12 = 2(1/42 + 1/ёо2)/тх2 - Шт2 = = 2(1/42 + 1/42)( 1 - 2ух - 2ахАТ - 2Ао/Ех) - Шщ2. (11)

Для меридиональной плоскости аналогичные формулы получаются при замене коэффициентов среды вдоль оси Ох на коэффициенты вдоль оси Оу. Из формул (10)-(11) могут быть получены условия стабилизации рабочей схемы пропускающего объемного ГОЭ в виде [11]

Дп/по + 2ух + (дпс/подт + 2ах)АТ + (Эп^до + 2/Ех)Ао = 0,

Yz + аzАT + Ао/Е2 = 0, (12)

а для отражающего объемного ГОЭ (с учетом селективности кц = т2) в виде

2ух - Yz + (2ах - аz)АT + (2/Ех - 1/Е2)Ао = 0, Ъх + ахАТ + Ао/Ех = 0, Дп/по + Yz + (дпс/подт + аz)АT + (Эпс/подо + 1/Ez)Ао = 0. (13)

Из условий (12)-(13) могут быть получены значения изменений температуры АТ и напряжения Ао пропускающего объемного ГОЭ при которых ее рабочая схема остается стабильной. Для отражающего объемного ГОЭ величины изменений температуры АТ, напряжения Ао и показателя преломления Дп следуют из решения системы (13).

2. Учет селективности объемного ГОЭ позволяет увеличить глубину резкости изображения. Так при перемещении осевой точки предмета вдоль оптической оси меняется угол падения лучей на локальные участки поверхности ГОЭ. При этом для узких пучков волны, падающих вблизи края

6

ГОЭ, из-за угловой селективности локально не выполняется условие дифракции Брэгга. Это приводит к уменьшению диаметра поверхности и соответствующему уменьшению объема ГОЭ, в котором может иметь место эффективная дифракция. В свою очередь, уменьшение диаметра ГОЭ приводит к уменьшению дефокусировки и соответственно к увеличению глубины резкости изображения. Повышенная глубина резкости облегчает процесс юстировки и настройки на плоскость изображения, что особенно важно в таких областях спектра как вакуумный ультрафиолетовый и мягкий рентгеновский. Как известно, в этих диапазонах спектра из-за поглощения молекулами воздуха излучения рабочие схемы устройств размещаются в вакууме. Поэтому возможности юстировки плоскости изображения очень ограничены и представляют собой технически сложную задачу.

3. Увеличение среднего коэффициента поглощения объема ГОЭ приводит как к уменьшению интенсивности формирующей изображение волны, так и к уменьшению интенсивностей волн нулевого порядка и других волн, образующих шум в изображении. При дифракционном качестве изображения точки предмета учет поглощения приводит к уменьшению ширины пространственного распределения интенсивности изображения. Что в свою очередь приводит к уменьшению аберраций и увеличению разрешения объемного ГОЭ. При этом отношение сигнал/шум объемного ГОЭ в первом приближении не изменяется.

Заключение. Из характеристической функции объемного ГОЭ, записываемого в среде с анизотропной усадкой двумя сферическими (или цилиндрическими) волнами, получены аналитические выражения, позволяющие рассчитать его рабочие схемы с учетом изменений температуры, показателя преломления и размеров голографической среды. Получено, что для объемного пропускающего ГОЭ обратные расстояния до источников волн в схеме восстановления прямо пропорциональны порядку дифракции, отношению рабочей длины волны к длине волны записи в среде и обратно пропорциональны коэффициенту усадки по толщине среды ГОЭ. Для объемного отражающего ГОЭ зависимость расстояния до источников волн в схеме восстановления от коэффициента усадки по толщине и отношения рабочей длины волны к длине волны записи в среде одинакова. Показано, что характер зависимости коэффициента увеличения объемного пропускающего ГОЭ от отношения длин волн в среде, коэффициента усадки по толщине и квадрата обратной величины коэффициента усадки в плоскости ГОЭ однотипный. Показано, что пространственная дисперсия объемного внеосевого ГОЭ в два раза меньше пространственной дисперсии тонкого ГОЭ, записанного в той же схеме, что и объемный ГОЭ. Угловая дисперсия объемного внеосевого пропускающего ГОЭ меньше угловой дисперсии тонкого внеосевого ГОЭ за исключением случая с симметричными углами. Угловая дисперсия объемного отражающего ГОЭ обратно пропорциональна угловой дисперсии объемного пропускающего ГОЭ, имеющего такой же угол распространения падающей волны и противоположное направление

дифрагировавшей волны. Получены выражения условий стабилизации рабочей схемы пропускающего и отражающего объемных ГОЭ. Указывается, что увеличение среднего коэффициента поглощения приводит к уменьшению аберраций и увеличению разрешения объемного ГОЭ, а учет селективности позволяет увеличить глубину резкости изображения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Денисюк Ю.Н. Об отображении оптических свойств объекта в волновом поле рассеянного им излучения // Опт. и спектр.- 1963. - T. 15, № 4.- C. 522-532.

2. Forshaw M.R.B. The imaging properties and aberrations of thick transmission holograms // Opt. Acta. - 1973. - V. 20, N. 9. - P. 669-686.

3. Рентгеновская оптика и микроскопия / под ред. Г. Шмаля, Д. Рудольфа; пер. с англ. Н.Н. Зорева и И.В. Кожевникова; под ред. А.В. Виноградова. - М.: Мир, 1987. - 464 с.

4. Аристов В.В., Шабельников Л.Г. Современные достижения рентгеновской оптики преломления / УФН. - 2008. Т. 178, вып. 1. - С. 61-83.

5. Ган М.А. Теория и методы расчета голограммных и киноформных оптических элементов. -Л., ГОИ. - 1984. - 140 с.

6. Батомункуев Ю. Ц., Мещеряков Н. А. Расчет схемы записи цилиндрическими волнами объемного внеосевого голографического оптического элемента // Автометрия -1999. -№ 4. - С. 33-38.

7. Батомункуев Ю. Ц., Мещеряков Н. А. Формирование сопряженных плоскостей внеосевого объемного цилиндрического голографического оптического элемента // Автометрия. - 2003. - Т. 39, № 2. - С. 23-29.

8. Батомункуев Ю. Ц. Теория аберраций объемного рентгеновского голограммного оптического элемента // ГЕО-Сибирь-2009. V Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 20-24 апреля 2009 г.). - Новосибирск: СГГА, 2009. Т. 5, ч. 2. - С. 57-63.

9. Батомункуев Ю. Ц. Особенности расчета схем записи объемных осевых голографических оптических элементов с неизотропной усадкой // Автометрия. - 2002. -№ 2. -С. 108-114.

10. Батомункуев Ю. Ц. Зеркально-линзовая модель внеосевого объемного голограммного элемента с изотропной усадкой // Изв. вузов. Физика. - 2010.- № 10. - С. 91-96.

11. Батомункуев Ю. Ц., Мещеряков Н. А. Стабилизация положений интерференционных полос при записи объемной голограммы в реальном времени // Автометрия. - 2000. -№ 1. - С. 50-56.

© Ю. Ц. Батомункуев, А. А. Дианова, 2014