Теория аберраций объемного рентгеновского голограммного оптического элемента Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.417 Ю.Ц. Батомункуев СГГА, Новосибирск

ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ОБЪЕМНОГО РЕНТГЕНОВСКОГО ГОЛОГРАММНОГО ОПТИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА

Yu. Ts. Batomunkuev

SSGA, Novosibirsk, e-mail: [email protected]

THEORY OF ABERRATIONS OF VOLUME X-RAY HOLOGRAPHIC OPTICAL ELEMENT

The aberration theory of volume x-ray holographic optical element (HOE) is developed in article. It is shown that nonisotropic change of the refraction index and of the shrinkage brings to reduction of an aberration of volume x-ray HOE. It is noted that focal depth of an image of the volume x-ray HOE increases in contrast with thin HOE.

Введение. Известно, что из-за сильного поглощения излучения и слабого преломления крайне затруднено использование традиционных стеклянных оптических элементов в мягком рентгеновском диапазоне спектра. Разработанные в последние годы многокомпонентные преломляющие рентгеновские элементы имеют большие аберрации, низкое разрешение и предназначены для фокусировки рентгеновского излучения [12]. Широко используемые рентгеновские зеркальные и многослойные элементы обладают также большими аберрациями и относительно низким разрешением [3]. Известно, что в мягкой рентгеновской области спектра для получения изображений применяются зонные пластины Френеля, на основе которых созданы рентгеновские микроскопы [4]. Но разрешение зонных пластин Френеля, а также рентгеновских голограммных оптических элементов (ГОЭ), ограничено хроматическими и монохроматическими аберрациями [5]. Достигнутые в последние годы успехи в создании компактных рентгеновских лазеров [6] расширяют возможности создания рентгеновских ГОЭ с исправленными аберрациями. Расчеты аберраций рентгеновских ГОЭ, например в [5, 7], проводятся подобно расчетам аберраций ГОЭ видимого и ближнего инфракрасного диапазонов спектра [8-11]. Известно, что толщина ГОЭ вносит дополнительные объемные аберрации в изображение [9-11]. Однако при изготовлении объемных рентгеновских ГОЭ могут иметь место неизотропность показателя преломления и коэффициента усадки голографической среды. Эти изменения приводят к отклонению в рабочей схеме от условий дифракции Брэгга и возникновению дополнительных аберраций в изображении.

Целью работы является разработка теории аберраций объемных рентгеновских ГОЭ с учетом неизотропности показателя преломления и коэффициента усадки голографической среды.

Характеристическая функция объемного рентгеновского ГОЭ. В

общем случае для объемного рентгеновского ГОЭ длина волны записи А,,

с

рабочая длина волны показатели преломления пс, п0 и объем

голографической среды на стадии восстановления и записи различаются. Известно, что для неизотропных сред показатель преломления и коэффициент усадки представляются в тензорном виде. В дальнейшем объемный рентгеновский ГОЭ будем называть просто объемным ГОЭ.

На рис. 1, а и 2, а представлены схемы восстановления (рабочие схемы) пропускающего и отражающего объемного ГОЭ, где Рс(хс, ус, 7с) - точка предмета и соответствующая ей Р^, у;, 7^ - точка изображения, М(х, у, z) -произвольная точка объемного ГОЭ. На рис. 1 и 2 ось Оz декартовой системы координат является оптической осью и направлена перпендикулярно поверхностям ГОЭ. Плоскость координат хОу проходит через центр ГОЭ (ось Ох не указана). На рис. 1, б и 2, б представлены схемы записи объемного ГОЭ опорной и объектной сферическими волнами, где Рг(хг, уг, 7Г) - точечный источник опорной (референтной) волны, Ро(хо, уо, 7о) - точечный источник объектной волны, М'(х', у', z') - точка объема ГОЭ при записи, соответствующая точке М(х, у, z) при восстановлении, причем х' = х/тх, у' = у/ту, 7' = 7/т7, а тх, ту, т7 - коэффициенты усадки (набухания) объемного ГОЭ вдоль соответствующих осей координат. Расстояния, указанные в рабочей схеме, равны: РсМ = 1с, МР! = \ъ РсО = dc, ОР; = Расстояния в схеме записи равны: РГМ' = 1г, М'Ро = 1о, РГО = dr, ОРо = ёо.

Рс

а)

Р. ОЭ

N1 У у к*

-ц

б)

ГОЭ

а)

\ 7

>

Р.

<7

я<Гро

ГОЭ

б)

ГОЭ

Рис. 1. Схема восстановления (а) и записи (б) пропускающего объемного ГОЭ

Рис. 2. Схема восстановления (а) и записи (б) отражающего объемного ГОЭ

Известно, что в рентгеновской области спектра показатели преломления сред близки к единице, поэтому в первом порядке можно не учитывать преломление на поверхностях ГОЭ. Для расчетов изображающих и аберрационных свойств объемного ГОЭ обычно применяется характеристическая функция У(х,у^), равная разности эйконалов и записываемая в виде [7, 10, 11]

7

= nc[lc - dc ± (li - di)] - кт(х,у^)Хс/Пс, где т(х, у, z) = п0(1г - dr ± (10 - йо))/Хо - величина, характеризующая пространственное распределение модуляции показателя преломления, модуляции коэффициента поглощения или модуляции толщины, по и пс -начальное и конечное значения показателя преломления, Хо - длина волны лазера, используемого при записи, - рабочая длина волны, к - порядок дифракции. Верхний знак «плюс» в выражениях для У(х,у^), т(х,у^) и в последующих выражениях соответствует отражающим объемным ГОЭ, а нижний знак «минус» - пропускающим объемным ГОЭ.

Характеристическая функция У(х,у^) может быть представлена в виде суммы характеристических функций аберраций [7,10]. В характеристической функции У(х,у^) расстояния 1 могут быть разложены по величинам малости х^, у^, (индексы j = с, ^ г, о) и в явном виде выделены члены разложения, описывающие аберрации как зависящие, так и независящие от толщины ГОЭ (координаты z) [7]

^х, у, z) = Vоt(x, у, z) + VоV(x, у, z) + ^(х, у, z) + Vlv(x, у, z) + + Vзt(x, у, z) + Vзv(x, у, z) + ... ,

где УДх, у, z) = - хБюо - уВ0ю - характеристическая функция для вычисления аберрации увеличения тонкого ГОЭ;

VоV(x, у, z) = - хzBl0l - хz2Бl02 - угВ0ц - уz2Б0l2 - характеристическая функция для вычисления объемной аберрации увеличения;

V1t(x, у, z) = х2Б200/2 + у2Б020/2 - характеристическая функция для вычисления дефокусировки тонкого ГОЭ;

^(х, у, z) = (х2/2)№01 + Z2F202) + (y2/2)(zFо21 + Z2Fо22) -характеристическая функция для вычисления объемной дефокусировки;

Vзt(x,y,z) = - (х4/8)Б400 - (х2у2/4)Б220 - (у4/8)Б040 + (х3/2) С300 + (х2у/2)С21о + + (у2х/2)С120 + (у3/2)С030 - (х2/2)А200 - хуЛП0 - (у2/2)А020 --характеристическая функция для вычисления аберраций третьего порядка тонкого ГОЭ;

VзV(x,y,z) = - (х4/8)^Б401 + 6z2S402) - (х2у2/4)^Б221 + 6z2S222) -(y4/8)(3zSо4l +6z2Sо42) + (x3/2)(3zCзоl + 6z2Cзо2) + (х2у/2)^С211 + 6z2C212) + + (ху2/2)^Сш + 6z2Cl22) + (у3/2)^Со31 + 6z2Cо32) -

- (х2/2)^ А201 + 6z2A202) - Ху^Ащ + 6z2All2) - (y2/2)(3zAо21 + 6z2Aо22) -

- характеристическая функция для вычисления объемных аберраций третьего порядка.

По аналогии с аберрациями тонкого ГОЭ члены разложения в характеристических функциях Уо\х,у^), ^Дх,у^), V1t(x,y,z), V1v(x,y,z), V3t(x,y,z), V3v(x,y,z) соответствуют известным элементарным типам аберраций первого и третьего порядков [3-6]. Так члены разложения с коэффициентами В100, В010, Б101, В011, Б102, Б012 описывают аберрации увеличения, F2оо, Fо2о, F20l, Fо2l, F202, Fо22, - дефокусировку, S400, S220, Sо40, S401, S402, S221, S222, Sо41, Sо42 -сферическую аберрацию, С300, С210, С120, С030, С301, С302, С211, С212, С121, С122, С031, С032- кому, А200, xyAllо, Aо2о, A20l, A202, Alll, All2, Ло2l, Aо22 - астигматизм. Явный вид этих аберрационных коэффициентов приведен в Приложении. Аберрационные коэффициенты для осевого объемного ГОЭ значительно

упрощаются. Выражения для коэффициентов Вюо, Вою, Р2оо, Ро2о, 84оо, Зо4о, Сзоо, Созо, А2оо, Лцо, Ао2о совпадают с известными коэффициентами тонкого ГОЭ [7-11].

Для объемного ГОЭ условие его локальной селективности можно представить в виде

Уо¥(х,у^) < £ = £х + £у,

где параметры расстройки £, £х и £у зависят от рабочей длины волны и определяются экспериментально. Параметры £, £х и £у характеризуют величину отклонения от условий дифракции Брэгга. Их величина зависит не только от отклонений угла падения луча на поверхность ГОЭ и рабочей длины волны от заданных, но и от неизотропности изменений показателя преломления и усадки голографической среды. Координаты крайних от оптической оси Оz точек падения луча равны

х = - УтВюь у = - ^у/тВоп. (1)

При оценочных расчетах величину £ можно принять равной приблизительно рабочей длине волны Ас. Критерием выполнения условия дифракции Брэгга может служить критерий Релея £ < Ас/4.

Геометрические аберрации объемного рентгеновского ГОЭ. Из характеристической функции У(х, у, z) могут быть определены геометрические аберрации точек изображения. Отклонения Ах, Ду координат пересечения лучей, образующих изображение выбранной точки предмета, от параксиального точечного изображения определяются из формул

Ах ~ ^(ЭУ(х,у^)/Эх);

Ау - ^(ЭУ(х,у^)/Эу) (2)

и могут быть представлены в виде суммы двух компонентов - аберраций тонкого ГОЭ и объемных аберраций. Известно, что объемные аберрации зависят от толщины ГОЭ как линейно, так и нелинейно [2]. Также объемные аберрации могут быть разложены по известным элементарным аберрациям. Так подставляя характеристическую функцию У(х, у, z) = Уо*(х, у, 7) + Уоу(х, у, z) в формулы (2) получаем аберрацию увеличения точки изображения от заданного положения [7]

Ах = B100di + (2Б101 + z2B102)di;

Ау = В0т + (2Б011 + z2B012)di. (3)

Подставляя характеристическую функцию У(х,у^) = У11(х,у,7) + У1у(х,у,7) в формулы (2) получаем аберрацию осевого астигматизма первого порядка в виде

Ах = - Б2оо^£х/7Вю1 - (Р2о1 + 7Е2о2)ё1£х/Вю1; Ау = - Ро2оЙ1£у/7Во11 - (Бо21 + 7Ео22)Й1£у/Во11. (4)

Подставляя характеристическую функцию V(x,y,z) = V3t(x,y,z) + V3Y(x,y,z) в формулы (2) получаем осевую астигматическую аберрацию третьего порядка (по другому ее можно назвать эллипсной аберрацией) в виде

Ах = (S400+3zS401+6z2S402)d1^3/2z3B3i0i+(S220+3zS221+

011,

Ау 2 = (S040+3zS041+6z2S042)di^y3/2z3B3011+(S220 +3zS221+

6z S222)di^K ^Y/2z B 101B011,

астигматическую кому в виде

Ах = 3(C300 + 3zC301 + 6z2C302)di^2/2z2B2

101 + (C210 + 3zC211 +

+ 6z2C212)di^y/2z2Bl0lB0ll + (C120 + 3zC121 + 6z2C122)^y2/2z2B2011,

Ау = (C210 + 3zC211 + 6z2C2l2)d^2/2z2B2

101 + (C120 + 3zC121 +

+ 6z2Cl22)di^4/2z2Bl0lB0n + 3(C030 + 3zC03l + 6z2C032)d42/2z2B20n,

и астигматизм третьего порядка в виде

Л Л

Ах = (A200 + 3zA20l + 6z2A202)diyzBl0l + (A110 + 3zAm + 6z2An2)d4/zB0lb

9 9 J

Ау = (A110 + 3zAnl + 6z An2)di^x/zBl0l + (A020 + 3zA02l + 6z A022)d4/zB0n.

Обсуждение результатов. Учет селективности объемного ГОЭ, в частности из-за неизотропности показателя преломления и коэффициента усадки голографической среды, позволил выделить некоторые отличительные особенности аберраций и других характеристик объемного ГОЭ. Так, из выражений (3) аберраций увеличения изображения следует, что в параксиальной области эта аберрация зависит от толщины, но не зависит от параметров расстройки и объемного ГОЭ. Осевой астигматизм

первого порядка (4) обратно пропорционален толщине объемного ГОЭ. Следовательно, у объемного ГОЭ эта аберрация меньше чем у тонкого ГОЭ. Кроме этого у осевого астигматизма первого порядка возникает постоянная составляющая, независящая от толщины. Как и все остальные аберрации (более высоких порядков), осевой астигматизм первого порядка зависит от параметров расстройки и Еще одной особенностью является тот факт, что все аберрации третьего порядка объемного ГОЭ меньше аберраций тонкого ГОЭ, что является следствием уменьшения объема ГОЭ, в котором выполняется условие дифракции Брэгга. Участок поверхности ГОЭ, ограничивающий этот объем будем называть эффективной поверхностью. Меньший размер эффективной поверхности по сравнению со всей поверхностью объемного ГОЭ приводит не только к снижению его дифракционной эффективности, но и уменьшению аберраций.

С практической точки зрения важной особенностью является повышение глубины резкости изображения объемного ГОЭ. Глубина резкости увеличивается вследствие уменьшения аберраций. Повышенная

глубина резкости облегчает процесс юстировки и настройки на плоскость изображения, что особенно важно в таких областях спектра как вакуумный ультрафиолет и мягкий рентген. В этих диапазонах спектра из-за поглощения молекулами воздуха излучения объемные ГОЭ и вся рабочая схема размещается в вакууме. Поэтому возможности юстировки плоскости изображения объемного ГОЭ очень ограничены и представляют собой технически сложную задачу.

Следующей особенностью является уменьшение отношения сигнал/шум объемного ГОЭ. Действительно, при снижении дифракционной эффективности, происходит одновременный рост интенсивности прошедшего (для пропускающего объемного ГОЭ) и отраженного (для отражающего объемного ГОЭ) излучений, приводящие к увеличению уровня шума в формируемом изображении.

Заключение. Таким образом, учет изменения и неизотропности показателя преломления и коэффициента усадки объемного рентгеновского ГОЭ приводит:

- К трансформации известных аберраций объемного рентгеновского ГОЭ, а именно превращению дефокусировки в осевой астигматизм первого порядка, сферической аберрации - в осевой астигматизм третьего порядка (эллипсную аберрацию), а комы - в астигматическую кому;

К снижению аберраций по сравнению с аберрациями тонкого рентгеновского ГОЭ и к снижению дифракционной эффективности из-за уменьшения объема ГОЭ, в котором выполняется условие дифракции Брэгга;

- К уменьшению отношения сигнал/шум объемного ГОЭ из-за снижения дифракционной эффективности и роста шума изображения;

- К повышению глубины резкости изображения по сравнению с тонким рентгеновским ГОЭ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аристов, В.В. Современные достижения рентгеновской оптики преломления / В.В. Аристов, Л.Г. Шабельников // УФН. -2008. - Т. 178, № 1. - С. 61-83.

2. Snigirev A., Kohn V., Snigireva I., Lengeler B.// Nature. -1996. - V. 384. - P. 49.

3. Виноградов, А.В. Зеркальная рентгеновская оптика / А.В. Виноградов, И.А. Брытов, А.Я. Грудский, И.В. Кожевников, М.Т. Коган, В.А. Слемзин // Под общ. ред. А.В. Виноградова. - Л: Машиностроение, 1989. - 467 с.

4. Рентгеновская оптика и микроскопия / под ред. Г. Шмаля, Д. Рудольфа; пер. с англ. Н.Н. Зорева и И.В. Кожевникова; под ред. А.В. Виноградова. - М.: Мир, 1987. - 464 с.

5. Мишетт, А. Оптика мягкого рентгеновского излучения / А. Мишетт // Пер. с англ. Н.Н. Зорева и И.В. Кожевникова; под ред. А.В. Виноградова. - М.: Мир. - 1989. -352 с.

6. Рагозин Е.Н. Лазерные источники в мягкой рентгеновской области спектра / Е.Н. Рагозин, И.И. Собельман // УФН. - 2005. - Т. 175, № 12. - С. 1339-1341.

7. Батомункуев, Ю.Ц. Рентгеновские объемные голограммные элементы / Ю.Ц. Батомункуев // Мат. IV Междун. науч. конгр. «ГЕО-Сибирь-2008». - Новосиб., 2008. - Т. 4., Ч.1. - С. 25-35.

8. Meier R.W. Magnification and third-order aberration in holography // JOSA. -1965. -V. 55, N. 8. - P. 987-992.

9. Forshaw M.R.B. The imaging properties and aberrations of thick transmission holograms // Opt. Acta. -1973. -V. 20, N. 9. - P. 669-686.

10. Ган, М.А. Теория и методы расчета голограммных и киноформных оптических элементов / М.А. Ган. - Л.: ГОИ, 1984.-140 с.

11. Батомункуев, Ю.Ц. Аберрации объемных голограмм / Ю.Ц. Батомункуев, Е. А. Сандер, С. А. Шойдин // Тез. Всесоюз. семинара "Автоматизация проектирования оптических систем".- М., 1989.- C.101-112.

ПРИЛОЖЕНИЕ. Аберрационные коэффициенты объемного ГОЭ

B100 = xc/dc- xi/di ± (k^/mx)(xr/dr-xc/dc); B010 = yc/dc- yi/di ± (к^/туХу^-уо^);

2 2 2 2 2 2 2 B101 = xc/dc - xi/di ± (k^/mxmz)(xr/dr - Xо/dо ); B011 = yc/dc - yi/di ± (k^/mymz)(yr/dr -

УоМО2);

33 233 33 23

B102 = xc/dc - xi/di ± (k^/mxmz )(xr/dr - XG/dG ); B012 = yc/dc - yi/di ± (кц/mz my)(yr/dr -

УG/dG3);

F200 = 1/dc-l/di ± (к^^О/й-Шо); F020 = 1/dc-l/di ± (ки/ту^/й-Шо); F201 = 1/dc2- Ш2±(кц/mx2mz)( 1/dr2- Шо2; F021 ^МДШ^кц/ту^ХШДШо2); F202 = 1/dc3 - 1/di3 ± (k^/mx2mz2)(1/dr3 - Шо3); F022 = 1/dc3 - 1/di3 ± (k^/my2mz2)(1/dr3 -Шо3);

5400 = 1/dc3- 1/di3 ± (k^/mx4)(1/dr3 - 1/dG3); S040 = 1/dc3 - 1/di3 ± (k^/my4)(1/dr3 - 1/dG3);

5401 = 1/dc4 -1/di4 ± (k^McVXl/dr4 -1/dG4); S041 = 1/dc4-1/di4 ± (кц/туЧХШДШо4);

5402 = 1/dc5 - 1/di5 ± (k^/mx4mz2)(1/dr5 - 1/dG5); S042 = 1/dc5 - 1/di5 ± (k^/my4mz2)(1/dr5 -

1/dG5);

5220 = 1/dc3 - 1/di3 ± (k^/mx2my2)(1/dr3 - Шо3);

5221 = 1/dc4 - 1/di4 ± (k^/mx2my2mz)(1/dr4 - Шо4);

5222 = 1/dc5 - 1/di5 ± (k^mx2my2mz2)(1/dr5 - 1/dG5);

33 333 33 333

C300 = xc/di - xi/dc ± (кц/mx )(xr/dr - XG/dG ); C030 = yc/dc - yi/di ± (кц/ту )(xr/dr - XG/dG ); C301 = xc/dc4 - xi/di4 ± (k^/mx3mz)(xr/dr4 - XG/dG4); C031 = yc/dc4 - yi/di4 ± (k^/my3mz)(yr/dr4 -

УG/dG4);

55 3255 55 325

C302 = Xc/dc - Xi/di ± (кц/mx mz )(xr/dr - XG/dG ); C032 = yc/dc - yi/di ± (кц/ту mz )(xr/dr -

Xо/dо5);

33 233 33 23

C120 = Xc/dc - xi/di ± (kц/mхmy )(xr/dr - XG/dG ); C210 = yc/dc - yi/di ± (кц/тх my)(yr/dr -УоМо3);

C121 = Xc/dc4-Xi/di4±(kц/mxmy2mz)(xr/dr4-XG/dG4); C211 = yc/dc4-yi/di4±(k^/mx2mymz)(yr/dr4 -

УG/dG4);

55 2255 55 225

C122 =Xc/dc -xi/di ±(k^/mxmy mz )(xr/dr -XG/dG ); C202 = yc/dc -yi/di ±(k^/mx mymz )(yr/dr -

УG/dG5);

A200 = Xc2/dc3 - Xi2/di3 ± (k^/mx2)(xr2/dr3 - XG2/dG3); A020 = yc2/dc3 - yi2/di3 ± (кц/т/ХуМ3 -

УG2/dG3);

A20l= Xc2/dc4-Xi2/di4±(kц/mx2mz)(xr2/dr4-XG2/dG4); A02l= yc2/dc4-yi2/di4±(k^/my2mz)(xr2/dr4-24 XG /dG);

A202 =xc2/dc5-xi2/di5±(k^/mx2mz2)(xr2/dr5 -XG2/dG5); A022 = yc2/dc5-y2/di5 ± (k^/my2mz2)(xr2/dr5-

XG2/dG5);

3 3 3 3

A110 = Xcyc/dc - Xiyi/di ±(k^/mxmy)(xryr/dr - XоУо/dо );

A111 = Xcyc/dc4- xiyi/di4±(k^/mxmymz)(xryr/dr4 - XGУG/dG4);

A112 = Xcyc/dc5 - xiyi/di5 ± (k^/mxmymz2)(xryr/dr5 - XGУG/dG5).

© Ю.Ц. Батомункуев, 2009