CC BY
18
(О = {6 - - 6veMs2 )+
4 *5F(\2VMs2 + 2t1(i-w)Ma)+^E1l2^l +m'2)J-- + 6veMosl)+ ~f(\2vMos2 - 2e2(l - w]MMl)+
+ X->4\2v(Ms1MosX -MsiMosl)j-j-~F(2E2weMos] -6v^oî2)+ + £f(l2vWol3 4 2c2(l - w)M05l)+ + Wi2M0î2)j +
+ sm(<pz0 - v(m;s1 + M¿21 -
mw2 . / /l 52 det8 2 , S2 1
VJ/2E со'' vj/ ш ,
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Андрейченко К.П, Могилевич ЛИ. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом Саратов Изд-во Сарат. ун-та, 1987
2. Чернов A M Гидродинамические реакции в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом на вибрирующем основании // Математика Механика Сб. науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып. 3. С. 188 - 190.
3 Кондратов Д.В. Гидродинамические реакции в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом при торцевых истечениях жидкости // Математика. Механика Сб науч. тр Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып 3. С 160 - 163
4 Андрейченко К П., Могилевич Л И Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка при торцевом истечении жидкости // Изв вузов Сер Машиноведение, 1987. № 1 С 33 -41
УДК 539.3
Л. Ю. Коссович, Н. А. Пушкина, Ю. В. Шевцова
ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИНАХ
Рассмотрим нестационарный волновой процесс в двухслойной пластине, каждый слой которой выполнен из изотропного упругого материала В /-м слое введём декартову систему координат совмещая
плоскость Ох^х^ со срединной плоскостью слоя и направляя ось по
нормали к срединной плоскости. Введём обозначения: о,у / - напряжения, V, перемещения в 1-м слое пластины.
Будем предполагать, что наружные поверхности пластины свободны от нагрузки. Тогда граничные условия на них имеют вид (к = 1,3)
при 7(1) = -А, стЗА | =0,
при = -И2 а3ь 2 =0. (1)
Граничные условия на стыке двух слоев пластины сформулируем следующим образом:
при г(1) = Л,, ¿(2) = -А2 аи [=аП 2, ук1 = ук2. (2)
Рассмотрим случай, когда к торцу пластины приложена ударная продольная нагрузка тангенциального типа, граничные условия для которого имеют вид
при х,(/) = 0 о1М = фД4), )#(/), а,7>/ = 0 0 = 2,3), (3)
где ф, - четная функция по - функция Хевисайда.
Начальные условия - нулевые:
^ I / \
= ° (/ = 1,3). (4)
от
Произведём в уравнениях движения и уравнениях закона Гука, записанных для 1-го слоя пластины, растяжение масштабов независимых переменных по формулам
= ЯЧ?г(1) = ЛЛ/С(/), и = Лс2' ,,, (5)
где г|, = / Л - основной малый параметр, с2 / - скорость волны сдвига в /-м слое пластины, <// - показатель изменяемости.
Введём следующие асимптотики для компонент напряжённо-деформированного состояния (НДС), опуская далее в записи индекс, обозначающий номер слоя (/ = 1,2):
а„=£т|,'*4. о33=£л2"2Чз- (6)
В отличие от случая изотропной пластины, состоящей из одного слоя [1, 2], интенсивность напряжения ст3( выбирается равной не З-Зд, а I -ц Это объясняется рассматриваемой в нашем случае неоднородностью граничных условий на лицевых поверхностях. В силу выбора асимптотик (6), в уравнения, записанные с учётом (5) в рамках погрешности о[т|2~2|Ч, входят слагаемые, содержащие производные по С, от ст(3/ (/ = 1,3) Это позволяет удовлетворить всем граничным условиям на лицевых поверхностях при асимптотическом интегрировании
Введем следующую зависимость компонент НДС от пространственной координаты:
= ст" 4=4°),
где величины с индексами в скобках от С, не зависят. Представленные в (7) законы изменения у°,ст3; (< = 1,з) принципиально отличаются от [1]: здесь чётные и нечётные составляющие имеют один и тот же асимптотический
порядок.
Перейдём в фаничных условиях (1), (2) к представлениям (5) - (7). Получим связь между компонентами НДС для первого и второго слоев
А2) -1 ст(о) + ст0) -и я(0) +ст(|) + <т(2) -О
Ь 3/,2 31,2 — 1 33,2 33,2 33,2 — '
С(2) = -1, С(,) = !:
П А - + *&)- + о& +
¿•0) = 1 . ст(°) _ ст(0 _ О „(0) __(!) +ст(2) _0 ш
ц - I «3(1 о3,1 - V, о33 , о33 ] + о33, - и (о;
Приведём окончательный вид системы относительно асимптотически главных компонент , <у(0},
+ Л,Я,ай)+ + П.^8)"
2(1+ у2) дт22 2(1 + V,) Эт?
= 0,
________и 1) _¿2._
— + V,
ст(0) _ ' у,/
1 +V,
*>у
___'_____1_ »1 ____' '
+ V,
. (9)
Приведём к размерной двумерной форме записи системы для асимптотически главных компонент НДС. С этой целью обозначим
(Ю)
Введём усилия Тп Я и усреднённую плотность р по формулам
Ъ = 2(^,7,1 + Я = 2(Л1°!/,1 + Л20у>2),
р^ + РА л=л А 12
Получим окончательный вид разрешающей системы
(П)
2.. я,. Phi ( Qv ¿)v
--+
ydXj OX, ;
йх( дг йх,
сЛЦЧ. (12)
/=11 - V, /=1 1 -V/ /=11 + V,
Из (12) следует выражение для скорости волны расширения но двумерной теории
2 _ 1 ^ ЕА
'—г-1-!-!
р ,Л, +р2Л2/ = 11-у/
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Kaplunov Yu D, Kossovich L Yu., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London Academic Press, 1998. 226 p
2. Каплунов Ю.Д., Кириллова ИВ, Коссович Л Ю Асимптотическое интегриро-ваиие динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ 1993 Т. 57, вып 1 С 83-91
УДК 531 383
JI.И. Могилевич, B.C. Попов, A.M. Чернов
КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ, ОКРУЖЁННОГО СЛОЕМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Имеется абсолютно твёрдое тело - корпус, содержащий цилиндрическую камеру радиусом . Корпус подвергается воздействию гармонического виброускорения Внутри камеры находится упругий цилиндр - цилиндрическая оболочка длиной (, толщиной И0 и внешнего радиуса Я2 Радиус срединной поверхности оболочки R» h0. Внутренняя поверхность камеры и оболочка образуют цилиндр в цилиндре. Оболочка окружена слоем вязкой несжимаемой жидкости, полностью заполняющей цилиндрическую щель между оболочкой и стенками камеры и соединена с корпусом жесткой заделкой на торцах. Торцевые уплотнения не допускают истечения жидкости на торцах. Толщина слоя жидкости 8 <</?2, а амплитуда прогибов упругой оболочки значительно меньше 8.
Свяжем систему координат Oxxxy^zx с корпусом и положим, что перемещения вдоль оси Oiy] отсутствуют. Обозначим перемещения корпуса через jc0 = Ьх sin(coi + ф^), z0 = Ez sin(co? + фг0). Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат г, 0, у, полюс которой совпадает с на-
