Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при свободном торцевом истечении в условиях вибрации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:621.225:621.454

Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК СО СЛОЕМ ЖИДКОСТИ МЕЖДУ НИМИ ПРИ СВОБОДНОМ ТОРЦЕВОМ ИСТЕЧЕНИИ В УСЛОВИЯХ ВИБРАЦИИ

Проведено исследование амплитудных частотных характеристик (АЧХ) двух вложенных упругих замкнутых цилиндрических оболочек, содержащих между собой слой вязкой несжимаемой жидкости, при свободном ее истечении в условиях вибрации механической системы. Показано, что значения АЧХ для внутренней и внешней оболочек на резонансных частотах совпадают. Рассмотрены частные случаи указанной механической модели.

D.V. Kondratov, L.I. Mogilevich

MATHEMATICAL MODELLING OF PROCESSES OF INTERACTION OF TWO CYLINDRICAL ENVIRONMENTS WITH THE LAYER OF THE LIQUID BETWEEN THEM UNDER FREE LEAKAGE CONDITIONS OF FOUNDATION VIBRATION

The amplitude frequency characteristics (AFC) of two enclosed elastic closed cylindrical environments with a layer of a viscous incompressible liquid is carried out under free leakage of fluid conditions of foundation vibration of mechanical system is researched in this article. It is demonstrated that the meanings of AFC for internal and external environments at resonance frequencies coincide. Special cases of the specified mechanical model are considered here.

Современные конструкции, используемые в различных отраслях техники, могут быть описаны моделью, которая состоит из двух цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, между которыми расположена жидкость. Следует заметить, что оболочки могут быть как упругими, так и абсолютно жесткими. Примерами использования модели с двумя цилиндрическими оболочками можно считать двигатели внутреннего сгорания, поплавковые приборы навигации, жидкостные ракетные двигатели, телескопические шасси, силовые цилиндры с полым плунжером [1-4]. В последних примерах ни одну из оболочек нельзя считать абсолютно жесткой, т.к. по технологическим особенностям данные элементы должны быть достаточно тонкими. Следует отметить, что в такой модели жидкость между оболочками может служить как для демпфирования собственных колебаний оболочек, так и для охлаждения этих оболочек.

При вибрации упругая податливость внутренней и внешней оболочек приводит к динамическому воздействию на слой жидкости, в котором, вследствие этого, возникают зоны пониженного и повышенного давления. В рассматриваемой колебательной системе -«упругая оболочка - охлаждающая жидкость - упругая оболочка» возможен резонанс, при

котором прогибы внутренней и внешней оболочек будут максимальны, а в слое охлаждающей жидкости возникает кавитация на частотах, соответствующих резонансным.

Учитывая, что радиус срединной поверхности внешней и внутренней оболочек значительно превосходит толщину стенки, их можно считать упругими цилиндрическими оболочками. Будем предполагать, что на торцах оболочек обеспечивается жесткое защемление (т.е. не возможны поворот и перемещение), следовательно, обе оболочки могут рассматриваться как цилиндрические оболочки с жестким защемлением на торцах.

Таким образом, для определения критических частот вибрации, которые могут вызывать излишний прогиб оболочек и кавитационный износ, необходимы постановка и решение задачи упругогидродинамики внутренней и внешней оболочек силового цилиндра, содержащих слой вязкой несжимаемой жидкости в межрубашечном пространстве [3, 4].

Рис. 1. Физическая модель механической системы

Рассмотрим далее следующую физическую модель механической системы (рис. 1).

Механическая система представляет собой внешнюю оболочку 1, которая является упругой замкнутой цилиндрической оболочкой, жестко защемленной по торцам. Внутренняя оболочка 2 - также упругая замкнутая цилиндрическая оболочка, жестко защемленная по торцам. Зазор между стенками оболочек 2 и 1 Я2 и Я1 полностью заполнен вязкой несжимаемой жидкостью 4. Наружная поверхность внешней оболочки и поверхность внутренней оболочки образуют цилиндр в цилиндре длиной /2. Радиальный зазор цилиндрической щели 5 = Я1 - Я2 << Я2. Жидкость свободно вытекает из цилиндрической щели. Перемещения внутренней оболочки относительно внешней как твердого тела отсутствуют [1].

Таким образом, физическая модель механической системы представляет собой

Рис. 2. Выбор системы координат

две упругие замкнутые цилиндрические

оболочки, взаимодействующие между собой через слой жидкости под воздействием вибрации.

Систему координат 0\Х\У\2\ свяжем с основанием, к которому крепится силовой цилиндр. Положим, что перемещения вдоль оси 01у1 отсутствуют. Обозначим виброускорение основания, к которому крепится механическая система, через х0, ж0. Введем в рассмотрение необходимую далее цилиндрическую систему координат г, 9, у, полюс которой совпадает с началом координат 01х1у1ж1, направления осей Оу, 01у1 цилиндрической и декартовой систем координат совпадают (рис. 2).

Поступательное движение механической системы, как абсолютно жесткого тела, и его абсолютное ускорение представляются в виде (относительно инерциального пространства)

где штрих означает производную функции по ее аргументу, а Ех, Ег - амплитуды поступательных колебаний; ш=2п/ - частота поступательных колебаний, рад/с.

В реальных механических системах отношение 5 к Я2 очень мало, поэтому можно ввести малый параметр у = 5/Р2 << 1, характеризующий ширину цилиндрического слоя жидкости, окружающей внутреннюю цилиндрическую оболочку.

Малый параметр у позволяет упростить постановку задачи гидроупругости с цилиндрическими оболочками. Перейдем к безразмерным переменным, вводя редуцированное давление для цилиндрической щели [2, 3]

где р0, Р, V - уровень отсчета давления, плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости; к0, р0, Е, д0 - толщина, плотность, модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала внешней оболочки; И0, р0, Е, ~0 - толщина, плотность, модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала внутренней оболочки; Р - редуцированное безразмерное давление жидкости; и1 = и1 (у, 9, ^) - продольное упругое перемещение внешней оболочки, положительное в направлении п,, противоположном направлению ]; и2 = и2 (у, 9,1) - окружное упругое перемещение внешней оболочки в направлении п9; и3 = и3 (у, 9,1) - прогиб внешней оболочки, положительный в направлении п ,

совпадающем с пг и противоположном направлению к центру кривизны; р1, р2, р3 -аналогичные параметры внутренней оболочки; Уг ,У9 ,У - проекции скорости жидкости на г, 9, у .

Уравнения динамики поддерживающего и демпфирующего слоев жидкости в нулевом приближении по у примут вид:

X (0 = ЕХ/Х0 (и 0, Уо (0 = 0 ж0 (0 = Еж/ж 0 (и 0,

Щх1 = X = Ех и2ГХ0(ио, Щу! = 0,Щж1 = *0 = Е* ш2//0(и0,

(1)

^ = (г - К2 V5 , 9=9 , Т=и І , С = 2УІl2, ^ = ^/5 ; Кг = ™ти и , К9 ,

Уу = (wmиh) (12і2К2 ) ^ ; U1 = UmU 1 , ^ = VmU2 , и3 = WmU3 , ~1 = UmU1 , ~2 = ^2 , ~3 = WmU3 ,

С2 = Е/ [р0 (1 -^02 )] ~2 = Е/[р0 (1 -~2 )], «02 = (12^2 ) , ~02 = К/ (12^~2 ) У = 5/ ^2 << ^

д Р + д2 и9

59 д^2 ’

Яе

д и^ дт

- + Х

( д и

и

%

+ и9

д и? "дё

■ + и г

( 2Я2 У дР д2

и

+

с

д и% д

- + -

и

- + -

д и г

= 0; Яе =

к/2; дс д%2 ’

52ш

д% д9 д^ V

Граничные условия на непроницаемых поверхностях в нулевом приближении по у запишутся в виде:

и% = ■

ди

дт

и9 = 0; ис = 0 при % = %* = 1 + Хиз;

и =

Жт д^3 ; и9 = 0; и? = 0 при % = % * = риз, где ~ X .

(4)

%

жт д^ " ж

/и т

Рассмотрим случай, когда ширина торцевой щели а значительно больше ширины цилиндрической щели 5 (а>>5).

Условия для редуцированного давления Р при свободном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцевые:

Р = 0 при ^ = ±1. (5)

Уравнения динамики корпусов силового цилиндра и плунжера в безразмерных переменных (2) с учетом условия у<<1 запишутся в виде:

С2Р0^0

Я2

V 12 У

и ди+1 ~^0 и ди1 1+^0

т Ж 2

а;2

2

т д92 2

2

V 12 У

д2^2

д^дЭ

^0

V 12 У

ж..

ди

дС

А 2 д2^

-Р0^0Ю и 1

"т дт2 4 ^%=%*;

С2Р0^0 Г 1 + *> 2Яи д2и1 +

Я2

2 и

дСд9

+

2

2Я

V 12 ✓

д 2и.

ди3

2(1 -1^0)

( 2ЯV д2и, д2и,

V /2

дС2

+

д92

" (

- а02Жт (2 - ^0 )

V

дС2 т д92 т д9 ( 2Я ^2 д3из д3из

+

+

(Ж Ж д2и

-Р0А0ш2 [ —1^еов(9 + ф)----121 в1п(9 + ф) + V 2

С 2Р0А0

Я2

^0

ш

2Я ди1

ш

т2

/2 У дС2д9 д93

^9%=%*;

— /

-и„

ди

+ V

дС т д9

22 2 - ^т

(2 -^0 )

дт

(2ЯV д3и2 д3и2

2

/2 У дС 2д9 д93

+

+ Жти3 + «02 Жт

(2ЯV д4из /2ЯV д4из д4и

V /2

дС4

■ + 2

3_

V /2 У дС2д92 д9

д2и

+ -

-Р0А0Ш

4

(—1x1 • /А ч —1.1 /А ч д 2из ^ I -Л^81п(9 + ф) + -Лг1С08(9 + ф) + ж^—-3 I

V ю2 ю2 дт2 У

= Чп| %=%*,

(6)

где

Ч, =

РЯ2ЖтШ 2 ( /2 диС , л 2Я2 ди

Яе

РЯ2ЖтШ 2 ( ди9

ди3

V 2Я2

/2 дС

Яе

д9

Чп =

Р Я2ЖтШ 2 Яе у

б; б=

Яе ур0 Р Я2ЖтШ

+ Р - Яе

уЕх ■ /х0 (Т) ^Ч9 + ф) + уЕ^ /го (Т) С0в(9 + ф)

ж

ж

/2Р0^0

Я2

д2и, 1-/0~ д2и, 1 + /0

и„---г1 +-----------------— и -1 -—

д;2

2 т д92 - Р0р0ю2/

V ^2 У

д2и2

д^де

^0

V ^2 У

ж„

диз

дС

д2их = .

0^ мт дт2 = Ч, |%=%*’

V

т

2

0

V

т

т

2

/2Poho J_ 1 + ~o 2R~ d2UX + 1-^

R2

2 L

dCd0

( 2R V

2

V l2 у

d 2U

d 2U2

+«o2/

2(1 _~o)

V l2

dZ2

+

d02

_ «0 Wm

m dZ

(2 _~o )

dU3 d0

( 2R Y d3U3 dU

2 + / ------2 +w

2 m d02 m

+

V l2 у

+

(W W d2U V

_ pohora21 W1 cos(0 + ф)------------sin(0 + ф) + /, 2

ш

ш

5t2

dZ2d0 d03

= _~0

~2Poho

R2

l

-w

2

• + v

dZ m 50

(2 ~o)

2R

V l2 у

dZ2d0 d03

+

+ wmU3 + «o21/m

( 2R V 4 d4U3

V l2 у

dZ4

+ 2

( 2R V

V l2 у

d4U3 d4U3

3 -+- 3

dZ2d02 d04

_ PoV:

2 1^1

W1x

W

2/

ш

sin(0 + ф) + Ц1 cos(0 + ф) +1/,

ш

d U

' cT2

= qr.

к*’

где

q, =

PR2^~тШ2 ( l2 dU£+~2^dU.

Re

2R2

І2 dZ

б

, q0 =

2

Re

dU0

+~ dU3 б

d0

qn =

Re у

-б, б =

Re Wo PR2 V

+ P _ Re

y£^/xO(T)sin(0 + Ф) +yE^/zO(T)cOs(0 + Ф)

Условия жесткого защемления на торцах внешней и внутренней оболочек запишутся в виде

ди

и = и2 = и3 = ^ = 0 при С = ±1.

U1 = U2 = U3 =

dZ

dU3

dZ

= o при Z = ±1.

(8)

(9)

Таким образом, получена связанная задача упругогидродинамики. Для решения задачи упругогидродинамики (3)-(9) применяется метод возмущений. За малые параметры принимаются относительные прогибы внутренней и внешней оболочек X и X, которые считаются величиной, значительно меньше единицы, что применительно к реальным механическим системам действительно имеет место. Введенные в рассмотрение малые параметры X и X позволяют линеаризовать задачу. Решение задачи (3)-(9) будем искать в виде:

P = Po +Xp +..., (1o)

U0 = u0o + X^01 +..., u^ = Uo + Xu^ +..., Uz = u^ o + X^Z1 +...,

U1 = U1o + XU 11 + ... , U2 = U 2o + XU21 + ... , U3 = U3o + XU31 + ... ,

¿/1 = U1o + XU11 + ..., U2 = U2o + XU21 + ..., ¿/3 = U3o +/¿/31 + ....

Разложения (1o) подставляются в уравнения (3), (6), (7), в граничные условия (4) со снесением их на невозмущенную поверхность (т.е. разложением в ряд Тейлора искомых величин на этой поверхности), в граничные условия (8), (9). Результатом будет являться связанная система уравнений в нулевом приближении по X и X . Для решения получившейся линейной задачи определяется частное решение неоднородных линейных уравнений в виде гармонических функций по времени с коэффициентами, зависящими от координат. Общее решение соответствующих однородных уравнений не определяется и переходный процесс не исследуется, так как в колебательной системе присутствует

m

2

2

демпфирующий слой жидкости, взаимодействующий с цилиндрическими оболочками. Наличие демпфирования приводит к тому, что переходный процесс со временем быстро затухает, влияние начальных условий перестает сказываться на колебаниях и возникают установившиеся (периодические или гармонические) вынужденные колебания. Следовательно, при процессах, более длительных, чем переходный, общее решение однородных уравнений и начальные условия можно отбросить с самого начала.

Для решения задачи динамики цилиндрической оболочки применяется метод Бубнова - Галеркина по продольной координате при гармоническом законе по окружной координате, при этом упругие перемещения внутренней и внешней оболочек представляются в виде

Учтем, что в системе присутствует демпфирование, возникающее за счет жидкости, что приводит к быстрому затуханию собственных колебаний системы и возникновению установившихся вынужденных колебаний одной формы. Поэтому будем предполагать, что колебания механической системы носят гармонический характер

Подставляя формулы (11), (12) в уравнения динамики оболочки в нулевом приближении по X, приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях этих уравнений и применяя по £ процедуру метода Бубнова - Галеркина в первом приближении, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов, входящих в формулы (11), (12). Из полученной системы уравнений определяются необходимые в дальнейшем коэффициенты (данные коэффициенты из-за громоздкости не приводятся). Подставляя полученные коэффициенты в выражения (11), (12), получим следующие выражения для прогибов внутренней и внешней оболочек:

(11)

(12)

Ло СО = ^ + ф X о ) , Л о СО = ^п(т + ф г 0).

(13)

пит,.

(1 -£2)2 х[Егю2сов98т(ю + фг0 + п(ю)) + Ехю28т98т(ю + фх0 + пО)]

ёвп

+ питои* (1 2 )2 х [[ю2 Соз 9 зт(о( + фг0 +п(ю)) + Ехю2 Бт 9 8т(ю + фх0 + п(ю))],

ёвп

где

+

ёеп = £22~22 +(288у2В0В0 - 8^2в4В0В0)апапёех ^ g2g2 - (іб (е8 (2 (02 + 2304 ж2е 4у 2 В02 В02 )~г121а121^~12^е12 + 144у 2^е12 а121<~;2 В02

+

+ 144у ^е12а121 g22В02 - 1152у жеа^^^ йе\В02В0 - 1152у же а12а1^2^е1 ^Є12В02В0;

а" =- 5

8 Г2ЯV 8 ,, .16 К'е>-

-1 - 105(1 ^)+

V 12

а13 =

64 2Я 105Т ^ а22 =- 3

4 Г2Ял 2чл л 16 л 2ч 16 Я2ш2

— | (1 + 4а0 )(1 -^0 )-77(1 + а0 ) + ^ ~^

15 15 с

V 12

32 Г 2Я

а23 = -'

15

V 12

■| (2-^0)а02 -1(1 + а02),

а33 =

256 л 2ч 128 Г 2Я (1 + а02 ) + —

315

V 12

а02 +

512 Г 2Я

105

V 12

‘ 2 256 Я 2ш2 „ 2 „ ,

а0 -^--------~ + 2е жВ0’ Ь33 = -12В

315 с

<Іе1 апа22 а12 , ^е2 а12а13 а11а23 , ^Є3 а13а22 а12а23 ,

^е7 = а33йе1 - а23ёе2 + а13ёе3, ёе8 — ^7 + ¿323^е2,

Г 2Я ^2

а11 = -"

V 12 У

8 „ ~ ч 16 Я2ш2 ~ 4 2^ ~ ч ~ 64 2Я ~

— (1 -^0 ) + — а12 ^Т(1 +^0 ), а13 =^1-^0

105 105 с 15 ц 105 ц

а23 =

2Я

16

16 Я о

22

— I (1 + 4а02 )(1 -~0 )- 15 (1 + а02 )+ 15 ~2

V 12

32

15

Г 2Я V

V 12 У

32

(2-~0К -—(1 + ~02X

~ 256/, ~2ч 128

а33 —---------(1 + а02) +----

33 315 0 5

Г 2Я V

V 12 У

а02 +

512

105

V 12 У

256 Я2ш2

а02-——+ 2е2жВ0, Ь33 — -12уВ0

315 с

^~1 — апа22 — а12, — а^а^ — аца23, — а^а22 — а^а23, ^~7 — а33^~ — а23^~2 + а^^??.

— ^~72 + Ь323^~12, В00 — -

РЯ2

Яе у

256 1 256 1 128 1 1 128 _ „

тгг--тттт+-^т —6384© -—тт 00 - Р)

315 а2 105 а4 5 а6 а2 15

г> л 3 3 15^,, с Я 2ш2 ~ Я 2ш2

Є1 — 1--сік а + —, Р — 1---3йй а, В0 ——;—гВ00, В0 — _ ~ , В0,

gl —

а а

16 Я2 Г рЯ

^2 00 ’ 0

15 с2

Vрoкo

р0к0с

V ~0к0 У

р0к0с

16 я?2 Г рЯ2 1

---~----1

+ (а33а11 + а,23 )^е1, ? — ^~2 + (а33~ 1 + ^2

)^~1.

g2 <Іе2 +(а3^1^ 1*13/'л*'1> 52 ^2 ' \1'*3^1^ ‘•*13 у

Из формул (13) и (14) находим амплитудные частотные характеристики для внешней и внутренней оболочек

До) — ;

йеп

(16)

А(ш) — ^пп йеп

(17)

Расчеты произведены для модели с параметрами Я2=1,775-10"1 м, /2=7,82-10"1 м, 55 =2-10"2 м, р=103 кг/м3, Ях= 1,975-10-1 м, у=10‘6 м2/с, к0=1,85-10-2 м, £=1,6-1011 Па,

4

8

2

|Д0=0,25, р0=7,4-103 кг/м3 , к0= 9,25-10-2 м, Е = 6,96-1010 Па, ~0 = 3,4-10-1, р0 = 2,7-103 кг/м3.

Расчеты показывают (табл. 1), что значения резонансных частот и амплитудной частотной характеристики, рассчитанные по формулам (16), (17), практически совпадают на всем диапазоне частот.

В амплитудной частотной характеристике системы наблюдаются шесть резонансных частот, что может быть объяснено именно наличием двух упругих оболочек, у каждой из которых есть свои три резонансные частоты. Следует заметить, что совпадение резонансных частот и значений АЧХ для внутренней и внешней оболочек можно объяснить несжимаемостью жидкости, находящейся между оболочками. Таким образом, в случае, когда в системе вязкая несжимаемая жидкость находится между двумя замкнутыми упругими оболочками со свободным торцевым истечением жидкости, тогда вся система начинает колебаться как единое целое. Тогда подбором материалов и типоразмеров системы можно не только уменьшить величины АЧХ на резонансных частотах, но и сдвинуть резонансы в области более высоких или низких частот.

Таблица 1

Резонансные частоты и величины АЧХ на резонансных частотах для внутренней и внешней оболочек

Частота, Гц А(ш), м А(ш), м

535 4,66-10"6 1,72 • 10"5

1659 3,77-10-5 3,49-10"5

4351 2,04-10-8 3,01 10"8

6822 1,23-10-8 2,1610"9

7526 3,1510-8 2,92-10"8

9415 4,70-10"'' 4,2410"7

Следует отметить, что указанная математическая модель может применяться для описания жидкостных реактивных двигателей, силовых цилиндров с полым плунжером, телескопических шасси и других механических систем, состоящих из двух упругих цилиндрических оболочек и слоя жидкости между ними.

Если в физической модели механической системы, описанной ранее, внутреннюю оболочку считать абсолютно жестким цилиндром, а внешнюю оболочку считать упругой замкнутой цилиндрической оболочкой, то получившаяся механическая модель будет являться физической моделью двигателя внутреннего сгорания (ДВС) с водяным охлаждением, характерным для дизелей тепловозов с упругой рубашкой или плунжерных пар.

При рассмотрении ДВС дизельных тепловозов с водяным охлаждением необходим учет упругих свойств металлической рубашки, содержащей слой охлаждающей жидкости и абсолютно жесткую гильзу цилиндра. Аналогичный учет необходим также в плунжерных парах, телескопических шасси и многих других механических системах.

Математическая модель ДВС с водяным охлаждением получается из математической модели, описанной выше, путем предельного перехода от упругой внутренней оболочки к абсолютно жесткому внутреннему цилиндру. Математически это означает, что в уравнениях (3)-(9) и1, ~2, и3 равны нулю. Здесь и далее будем считать, что

внутренний цилиндр абсолютно жесткий с параметрами, описанными выше.

Для решения задачи гидроупругости применяется метод, описанный выше. В результате получаем амплитудную частотную характеристику (АЧХ) для прогиба

( 4 ( рЯ

А(и) =

4 Я2

ур0к0

— +1 \ёв1 — Се2

3 с2

■\fde8

(18)

или, разделив на аналогичное выражение при ш=0, получим выражение для коэффициента динамичности

( 4 (

К (и) =

_ V

5

РЯ2

Ур0^0

( 4 ( рЯ

5

ур0 А)

2 + 1 \СЄ10 — СЄ20

л/^е8 / л/^е80

где ёе 10 — $ех |и=0 , ^е20 — ^е2 |щ—0 , ^80 — ^8 |щ—0 '

Приведем результаты расчета резонансных частот для модели с параметрами описанными ранее (табл. 2).

(19)

Таблица 2

Значения амплитудной частотной характеристики рубашки на резонансных частотах колебаний

Г, Гц 592 4152 6827

-5

А(ю), м 2.6310 1.8310-6 -4.42 10-8

К(и) 8.02 • 102 5.57101

-1.34-10

0

5

Из проведенного анализа выражений (18) и (19) в колебательной системе «оболочка - жидкость» будут наблюдаться три резонансных частоты.

Величина АЧХ и коэффициента динамичности падает с ростом частоты. Таким образом, самыми опасными являются низкие и средние частоты, т. к. именно на них и происходят наибольшие прогибы оболочки и, следовательно, давление в сдавливаемом слое жидкости на этих частотах будет уменьшаться, а скорость жидкости - увеличиваться, что может приводить к кавитации и, следовательно, к разрушению как упругой рубашки, так и гильзы двигателя.

Если в исходной модели внешнюю оболочку считать жестким цилиндром, а внутреннюю - упругой, то получится модель ДВС упругой гильзы цилиндра [3]. Проделывая аналогичные действия, получим АЧХ для упругой гильзы цилиндра в следующем виде:

Р — Ср р, Л 4 Я 2и2 5 1

А(ю) = т ~-------------

3 с

РЯ2

Чр0к0

Л

—1

+

■Щ

(20)

или коэффициент динамичности

К (и) =

сСР

—

РЯ2

Ур0^0

—1

ґ

Ср„

РЯ2

чР0к0

(21)

—1

+ СР20

Приведем результаты расчета резонансных частот для модели с параметрами, описанными ранее (табл. 3).

2

5

2

Таблица 3

Значения амплитудной частотной характеристики рубашки на резонансных частотах колебаний

^ Гц А(и), м К (и)

1006 -1.07 10-5 1.50102

6886 -1.02 10-6 1.44101

8656 3.60 10-7 -5.07101

Таким образом, предложенная математическая модель применима для большого класса объектов, состоящих из упругих, жидких и абсолютно жестких тел, при свободном торцевом истечении жидкости. Объекты такого типа широко применяются на автомобильном, железнодорожном, речном, морском, авиационном транспорте, а также в ракетно-космических системах. Предложенные математические модели позволяют уже на стадии проектирования выявить резонансные частоты и путем изменения типоразмеров механической системы сдвинуть их в область более низких или высоких частот.

Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 06-08-00043а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика / Т.М. Башта. М.: Машгиз, 1963.

696 с.

2. Андрейченко К.П. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом / К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевич. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. 160 с.

3. Могилевич Л. И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во СГАУ, 2003. 156 с.

4. Симдянкин А.А. Контактно-силовое взаимодействие деталей

цилиндропоршневой группы / А.А. Симдянкин. Саратов: Изд-во СГАУ, 2003. 144 с.

Кондратов Дмитрий Вячеславович -

кандидат физико-математических наук, докторант кафедры «Теоретическая механика»

Саратовского государственного технического университета

Могилевич Лев Ильич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Теоретическая механика»

Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 02.04.07, принята к опубликованию 03.07.07