Гидродинамические реакции в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом при торцевых истечениях жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

а'хР^+^хРг+ПгхР!^®' аОхР\ + С02х?з ~ш3х92 = 0>

®0х/>2 + - «>1*?3 = 0 . <ЧхРг + ©1x92 - = 0.

где р, и д1 - компоненты векторов р = кх -п, ц -кх + п.

Из этой системы уравнений, учитывая (7), получаем следующие формулы нахождения неизвестной компоненты вектора абсолютной угловой скорости КА:

Щяят1±£3&.9и = 3,2, = .(11)

РгЧг + />з9з + Р\Ч\ + Р2Я2

При определении неизвестной компоненты вектора со по формулам (11) возникают методические погрешности, обусловленные тем, что направление вектора со меняется на шаге интегрирования, в то время как соотношение (5) является точным решением дифференциального уравнения (3) в случае, когда вектор со постоянен по направлению в связанной системе координат. Из этого следует, что изложенный метод дает хорошие результаты в случаях медленного изменения по направлению вектора абсолютной угловой скорости КА на шаге интегрирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973.

2. Челноков Ю. Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 3. С. 11 - 20.

УДК 531.383: 532.516

Д. В. Кондратов

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ

В ПОПЛАВКОВОМ МАЯТНИКОВОМ АКСЕЛЕРОМЕТРЕ С УПРУГИМ КОРПУСОМ ПРИ ТОРЦЕВЫХ ИСТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ

В системах инерциальной навигации используются поплавковые маятниковые акселерометры (ПМА), обладающие высокой точностью и вибростойкостью. Они находится в условиях вибрации основания, на котором крепятся [1].

В отличие от прибора, описанного в [2], будем рассматривать случай, когда ширина торцевых щелей а значительно больше ширины

цилиндрической щели 8. Если считать, что ( — ] = С>(ц/-1), а = Я2 ■ Ь3 = ~Ь}, ¿»з =0(1) и потребовать согласование расходов жидкости, то можно уста-

новить, что течение в торцевых щелях является безградиентным течением типа струйного. Из тонкой цилиндрической щели шириной 5 «а вытекает струя жидкости и течёт вдоль торцевых дисков поплавка в среде из той же жидкости, захватывая узкую зону шириной порядка 5. Здесь малый па-б ,

раметр \|/ = — «1 характеризует ширину цилиндрического слоя жидко-Я2

сти, окружающей поплавок.

Уравнение движения жидкости, окружающей поплавок в поплавковой камере, уравнение неразрывности, начальные и граничные условия описаны в [2]. Кроме того запишем условия согласования давления и расхода жидкости при переходе из цилиндрической щели в торцевые для левой торцевой щели

л2 +5+«з

к

—+а 2

I ЧЛ*— М-

й2 +есс«6

к 2

Л+ссовв

йу.

Для правой торцевой щели имеют место аналогичные соотношения. Вместо них можно поставить условия симметрии относительно плоскости

др Л2+6+и3

—— = 0, ¡Уче1г = 0 при >- = 0,

дУ Д2 9

индекс ц относится к цилиндрической, а Т - к торцевой щели.

Кроме того необходимы условия периодичности параметров течения по 9 с периодом 2я.

Скалярные уравнения динамики корпуса поплавкового маятникового акселерометра как упругой замкнутой цилиндрической оболочки, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява с учётом переносного движения относительно инерциального пространства, запишутся в виде [3] д2щ 1 -ц0 1 д\ 1 + ц0 1 д2и2 ц0 ди3 = 1 -^ ^^

Ф2

1 + ц0 1

2

ди

Я1 59

2 Я дудв Я ду ЕИ0

2 Ядудв 1 ди.

1 3 «2

+ -

я2 ев

-а,

! Эу2 (2-Ц0>

Я 592

1 д2и2 Я2 дв2

д\,

д\,

ду2д9 дв5

^о ди\ , ^ ди2 Я ду Я2 дв

' ао

(2-Но)

= 1-Ио ЕК

д\2 ду2д9

[Роло^7в ~Ч%\>

1 д3и2 Я2 З93

Я'

Я'

д4и,

+ 2

д\

1 д4и3

ду4 ду2дв2

Я* 161

59

■И?

где Е - модуль Юнга, р0 - коэффициент Пуассона, р0 - плотность материала, Я - радиус срединной поверхности, И^ - толщина оболочки,

2 Ап

а0 =-—, ]У~! - абсолютное ускорение единицы площади срединной по-

127?

верхности, п,, пв, п - продольное и окружное направление срединной поверхности оболочки и нормаль к ней.

Граничные условия для перемещений оболочки в условиях жёсткой

Эи2 I

заделки на торцах имеют вид щ = и2 = и2 = —- при у = ±—.

ду 2

Полученная связанная задача упругогидродинамики решается методом возмущений, используя малый параметр X,«1, называемый относительным эксцентриситетом. Решение ищем в виде разложения по степеням малых параметров, рассматривая только первые члены. Для решения уравнений динамики оболочки применяется метод Бубнова-Галёркина в первом приближении.

В табл. 1 приведены значения перемещений поплавка при отсутствии избытка массы (нулевой плавучести) в приборах с упругим и твёрдым корпусом при амплитуде виброускорения в 25g-

Таблица 1

Частота, рад/с 2.40Е+03 3.42Е+04 5.22Е+04

Упругий, м 1.01Е-08 3,92Е-08 1.05Е-08

Твердый, м 0,00Е+00 О.ООЕ+ОО 0,00Е+00

В табл. 2 приведены значения перемещений поплавка при избытке массы 5% в приборах с упругим и твёрдым корпусом и при той же амплитуде виброускорения.

Таблица 2

Частота, рад/с 2,40Е+03 3.42Е+04 5,22Е+04

Упругий, м 4,60Е-08 3,81Е-08 1,05Е-08

Твердый, м 5,07Е-08 5.86Е-10 2,59Е-10

Расчёты показали, что в случае твёрдого корпуса прибора, при условии отсутствия избытка массы, перемещений не происходит, а если рассматривать упругий корпус прибора при том же условии, то появляются перемещения. Заметим также, что при ненулевом избытке массы влияние упругости на перемещение поплавка значительно возрастает, причём при небольших частотах упругость влияет незначительно, но при средних и высоких частотах упругость влияет значительно сильнее, чем другие факторы. Следовательно, упругость корпуса прибора играет значительную роль при перемещении поплавка и как следствие влияет на погрешность прибора при гармоническом законе вибрации основания с амплитудой виброускорения в единицах g.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коновалов С. Ф., Медведева И. И., Трунов А. А. Экспериментальное исследование движения поплавка внутри поплавковой камеры, заполненной вязкой жидкостью // Прикладная гидродинамика поплавковых приборов: Тр. МВТУ им. Н. Э. Баумана. М., 1982. № 375. С. 60-65.

2. Чернов А. М. Гидродинамические реакции в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом на вибрирующем основании // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 188 - 190.

3. Андрейченко К. П., Могилевич Л. И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. 160с.

УДК 518:517.944

А. Д. Луньков

ПЛОСКИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ДВУМЕРНЫХ СОСТАВНЫХ ОБЛАСТЯХ

Рассмотрим задачу расчёта нестационарных температурных полей в двумерных составных областях, возникающую в случае, когда тепловой поток проходит через разнородное тело (то есть тело, состоящее из нескольких частей, различающихся коэффициентами теплопроводности).

В многосвязной области Д состоящей из m подобластей, в прямоугольной системе координат (х, у) задано нестационарное уравнение теплопроводности

р,с,9,.( +gi(i.x,y,t) г—1,2,—, т. (1)

Даны начальные условия 0, (х,_у,0) = 90,, на границах между подобластями заданы условия 4-го рода.

Пусть Г - граница области, tm> 0 интерпретируется как финальный момент времени, а (л:0, >"0 ) — некоторая фиксированная точка в области D.

Ддя решения краевой задачи в области, заданной указанным выше образом, используем метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) в соответствии с [1], где изложено решение задачи для однородного тела. Метод ГИУ, применённый к неизвестной 0 = 0,-, приводит к следующему представлению решений уравнения в однородной области:

P(x0,y0)Q(x0,y0,tm)= ¡E(s)ds + j£ml(0(fm,i),0,,(s,rm),5)<fe + г г

(2)

г

Здесь и далее нижний индекс п обозначает производную по нормали. tm > tm_l >... >t{ >t0= О.Вид подынтегральных функций приведен в [1].