CC BY
37
УДК 539.374
В.Л. Баранов, д-р техн. наук, [email protected] (4872) 35-18-69 (Россия, Тула, ТулГУ),
В.Л. Руденко, д-р техн. наук, [email protected] (3435) 47-51-10 (Россия, Нижний Тагил, ФКП «НТИИМ»), А.В. Сорокатый, [email protected] (3435) 47-51-10 (Россия, Нижний Тагил, ФКП «НТИИМ»)
СВЯЗАННАЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЖАТИЯ ТРУБЧАТОГО КРЕШЕРНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРИ ВЫСТРЕЛЕ
Решается связанная осесимметричная задача радиального обжатия трубчатого крешерного элемента из упруго-вязкопластического материала давлением пороховых газов в каморе артиллерийского орудия при выстреле. Оценивается влияние диссипации энергии неупругого деформирования в тепловую энергию, а также влияние «подстилающего» эффекта противодействия обжатию со стороны сжимаемого во внутренней полости воздуха.
Ключевые слова: крешерный элемент, выстрел, обжатие, термодинамические процессы.
Для случаев измерения давления пороховых газов в каморе артиллерийского орудия при выстреле характерно отсутствие разрывов первого рода в графиках функций, описывающих изменение давления во времени, и, как следствие, отсутствие волновых процессов в материалах крешерных элементов. Нагружение последних носит динамический характер, причем материал крешерного элемента в процессе обжатия выводится за рамки упругого состояния и значительное влияние на его кинематику в процессе обжатия оказывают внутренние инерционные силы, которые формализуются в соответствующих моделях материалов [1]. Наиболее общей моделью материалов в условиях их динамического деформирования являются определяющие уравнения Малверна-Соколовского [2], отрицающие факт существования единой динамической кривой нагружения материалов, как это постулируется в работах Д. Тейлора [3] и Х.А. Рахматулина [4], и учитывающие влияние скорости деформирования материала как переменного параметра, определяемого и используемого на каждом шаге численного интегрирования уравнений движения материала с использованием итерационных процедур [5].
Изучается радиальное обжатие полого цилиндрического крешерно-го элемента наружным давлением пороховых газов, возникающим в каморе артиллерийского орудия при выстреле. Внутренняя полость элемента изолирована герметично, поэтому ее обжатию противодействует внутреннее давление сжимаемого воздуха. Задача решается в плоской осесиммет-ричной постановке с учетом диссипации энергии неупругого деформиро-
вания материалов в тепловую энергию, но без учета нагрева материала оболочки пороховым газом в процессе ее обжатия.
При выводе рабочей системы дифференциальных уравнений, описывающих радиальное движение оболочки, учитывается неоднородность напряженного состояния по толщине оболочки, то есть задача решается для общего случая толстостенного крешерного элемента. При этом основными причинами неоднородности напряженного состояния будет считаться неоднородность деформации и скорости ее изменения по толщине оболочки - два основные параметра, входящие в конституционные уравнения для материала крешерного элемента. Заметим, что снятие гипотезы об однородности напряженного состояния по толщине оболочки превращает возможное разрушение материала оболочки в процессе ее радиального обжатия давлением пороховых газов из мгновенного явления в процесс, длящийся во времени и распространяющийся по толщине оболочки - и это обстоятельство является важным на этапе проектирования и отработки конструкции крешерного элемента.
Определим равнодействующую силу от действия тангенциального напряжения на меридиональной поверхности элемента корпуса в произвольный момент времени 1
Выделим перед началом деформирования элемент оболочки радиусом
г (0)е[я1 (о); Я2 (о)],
где ^¡(о) и (о) - внутренний и наружный радиусы оболочки в начальный момент времени.
Толщину выделенного элемента обозначим ёг, длину в осевом направлении - ё7.
В некоторый момент времени элемент переместится в радиальном направлении на некоторую величину и его текущий радиус примет значение г(1:), причем по-прежнему
г Ь И^ Ь); R2 (<)].
Определим линейную тангенциальную деформацию волокна элемента:
( ,)= гг^ = г)-г(0). а)
' г(о)Зф г (0)
Чтобы определить скорость тангенциальной деформации, продифференцируем (1) по времени:
(2)
где (г, г) - радиальная скорость выделенного элемента оболочки.
Свойства материала оболочки моделируются конституционными уравнениями для термоупруговязкопластической модели Малверна-Кристеску - Соколовского, рассматривается вариант их записи в форме [6]
сгв(г, г) = / в, г), Т (г, г)] + р[ев(т, г )]х ев(т, г )а[Вв(г ,г)], (3) где /, а, Р - аппроксимирующие экспериментальные диаграммы динамического нагружения материала функции, отражающие комплекс его термоупруговязкопластических свойств; Т(г, t), Т(г,г) - текущая температура материала в точке с координатой г в момент времени г.
Сжимающее тангенциальное усилие, действующее на выделенный элемент оболочки, определяется так:
Г 1
Г Ыг, г )т (г, г )]+р
dF6{r, t):
Sq(t,t)X^r(r,t)a(ee(r,t))
drdz.
Теперь равнодействующая этих усилий по всей толщине оболочки
R2 (t) R2 (t)
Fq (t) = | dFe (r, t) = dz | daß (r, t )dr = Ri(t) Ri(t)
/ Q, t )T (r, t )]+p[sß(r, t )>(r, t)
AsQ(r ,t)]
(4)
dr
dM-
+
P1 (R (t)) X dSi (t) - p2 (t) X dS2 (t)
1 +
• dp sin — dr 2
(5)
Я2 (г) = dz |
Я (г)
Уравнение движения выделенного элемента в проекции на ради альное направление теперь можно записать так: dVc (г) _ dг
2dz /[ев(г,г)т(г,г)]+р[ев(г,г)]хёв(г,г)аЫг')}
Я (г)
где р\ (t) - давление сжимаемого газа, действующее на внутреннюю поверхность крешерного элемента и противодействующее его обжатию; Р2 ^) - давление пороховых газов в каморе артиллерийского орудия при выстреле;
dM = 1 р Я|(г)-Я2(г) ^dz;
dS1(г) = Я1(г )dфdz; dS2 (г) = Я2 (г) = Я2 (г )dфdz, где (t) - радиальная скорость центра масс выделенного элемента оболочки.
Полагая процесс сжатия газа во внутренней полости крешерного элемента адиабатическим, имеем
Я2 (г)-А2"1 к
Pi(t )= Po
R22 (t М
(6)
где ро - начальное давление газа; А - радиус жесткого цилиндрического штифта во внутренней полости крешерного элемента; к - показатель адиабаты воздуха.
После соответствующих подстановок и преобразований уравнение движения (5) принимает рабочий вид
*12 (г)-А2
х Я (г )-
(7)
я2 (г)- Я2 (г) аус (г)
р-1— х—— = р 0
2 ж я 2 (г )-А
Я (г)
- Р2 (г )Я2 (г)+ \ Ф(г (г ),т (г, г \уя (г, г ))Жг
Я (г)
где Р2 (г) - известная по условиям задачи функция; Ф - также известная по своей структуре функция, вид которой определяют уравнения (1), (2) и
(5).
Уравнение (7) содержит 11 неизвестных функций: ^(г ),Я2 (г )Яс (г ),У (г), ^(г), ^ (г), У* (г, г), сДг, г), ",(г, г), , г) и т (г, г), где Яс (г) - текущий радиус центра масс выделенного элемента оболочки; У Я (г, г) - радиальная скорость обжатия слоя оболочки с лагранжевой координатой г в момент времени 1
Полная система уравнений, описывающая связанную термомеханическую задачу импульсного обжатия крешерного элемента, имеет следующий вид:
(г)- я2 (г) аус (г) Р 0 х—^ = р 0 2 аг
Я2 (г)-А
х
Я (г)
Я2 (г)-А2 Я (г)
- Р2 (г (г)+ \ Ф(г (г), т (г, г), Уя (г, г ))аг; А (г)
аЯс (г ) = V (гя (г )= 2Я| (г)-Я (г).
^Т - Ус(г); Я(г)= 3Я2(г)-Я1 (г)'
Я2 (г)-Я2 (г )=Я2 (0)-Я2 (0); (8)
св(г,г)= /[ев(г,г),т(г,г)]+р[вв(г,г)]хё0(г,г) ,г)];
"(г-г)=^; ^ г) = ^ Уя ^ ^;
УЯ (г, г) = у2 (г)+(г) - У2 (г));
^ = У1 (г); ^ = У2 (г);
аг аг
1
F s0(r ,t2 )
T(r, t2) = T(r, ti) + — J [r(t), ^(r, t), ¿¿(r, t), T(r, t,
где F - коэффициент перехода пластической работы в тепло (принимается равным единице); J - тепловой эквивалент работы (в системе СИ он также равен единице); р - плотность материала крешерного элемента; c -удельная теплоемкость материала.
Заметим, что семь уравнений в системе (8) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. Для них имеются дополнительные условия, вытекающие из логики поставленной задачи: Ri (0)= R2 (0)= RiVC (0)= 0;Vi (0)= 0; V2 (û)= 0
* 2RH3; T(r,0) = T0 (9)
3R2 - R1
Таким образом, для системы уравнений (8) корректно формулируется задача Коши, численное решение которой не вызывает принципиальных затруднений, кроме, пожалуй, двух присущих ей технических недостатков:
1) на каждом шаге численного интегрирования необходимо численно решать систему двух нелинейных алгебраических уравнений вида
2 r2 (t )-Ri3 (t )
Яс (0)= 0 0 ,
3Я2 (г)-Я2 (г) Я22 (г)-Я2 (г ) = Я22 (0)-Я2 (0)
с целью определения текущих численных значений радиусов наружной и внутренней поверхностей крешерного элемента Я2 (t) и Я^ (t) соответственно;
2) на каждом шаге ее численного интегрирования необходимо организовывать итерационную процедуру для определения текущих значений температур материала Т [г (г), г ],г (г )е[Я1(г); Я2 (г)] в соответствии с последним уравнением системы (8).
Заметим, что при выводе последнего уравнения (8) использовались гипотезы несжимаемости материала крешерного элемента и отсутствия его осевого деформирования в процессе обжатия. При записи последнего уравнения (8) постулировалась гипотеза о линейном характере распределения радиальных скоростей материала по текущей толщине крешерного элемента.
Особенный интерес при анализе задачи в таком варианте моделирования представляет проблема постепенного нестационарного и неоднородного разрушения материала крешерного элемента в процессе его динамического обжатия. Наиболее удобным критерием разрушения в какой-либо точке материала является предельная деформация материала, величину которой для стали 3 в условиях динамического нагружения можно принять
равной [в0\ = 0.35 [7]. Анализ соотношения (2) показывает, что при обжатии крешерного элемента наибольшая тангенциальная деформация развивается на его внутренней поверхности, и она монотонно убывает по направлению к наружной поверхности. В соответствии с принятым критерием разрушения таким же образом по крешерному элементу будет развиваться и собственно разрушение. Поэтому в процессе интегрирования уравнения движения элемента крешерной оболочки (5) на каждом шаге проводилась отслеживание момента начала разрушения по очевидному условию
г (г) < г (0)(Ы+1). (10)
Причем так как при обжатии крешерного элемента в радиальном направлении тангенциальная деформация его материала является сжимающей, факт текущего частичного разрушения материала не изменяет количественно правую часть уравнения (5), как это было бы в случае перемены знака ", то есть в случае радиального расширения цилиндрической оболочки внутренним давлением газа.
В заключительной части статьи представлены некоторые результаты численных расчетов процесса динамического обжатия крешерного элемента для исходных данных, приведенных в работе [6] при = 0.
На рис. 1 и 2 показано изменение радиальных скоростей и радиальных перемещений соответственно наружной и внутренней поверхностей крешерного элемента во времени. Кривые с точками соответствуют результатам решения связанной термомеханической задачи, без точек - результатам решения задачи в изотермической постановке. Видно, что в обоих случаях обжатие формируется на начальном активном этапе выстрела и что трубчатый цилиндрический крешерный элемент также обладает свойством инерционности его радиального деформирования. Учет внутреннего нагрева материала как следствия его пластического деформирования оказывает существенное (до 20.. .25 %) влияние на геометрические и кинематические параметры обжатия в сторону их возрастания. Незначительное уменьшение радиальных перемещений на заключительном этапе обжатия отражает упругую разгрузку материала крешерного элемента.
В такой постановке особый интерес представляет уточнение момента возможного разрушения материала крешерного элемента в каждой его точке при обжатии, так как очевидно, что использование деформационного критерия разрушения, приведенного выше, некорректно. При его использовании принималась гипотеза о постоянстве предельно допустимого деформирования материала, тогда как имеются экспериментальные свидетельства о том, что эта величина зависит как от скорости деформации (так называемое скоростное охрупчивание материала ), так и от температуры (терморазупрочнение). Причем влияние перечисленных факторов разнона-правлено. Очевидно, здесь наиболее перспективны два пути уточнения критерия:
1) использовать в качестве теории разрушения феноменологический подход;
2) обобщить вышеприведенный деформационный критерий, например, так:
И= {(к ]" Л) ехр (- ВТ ) + Л} ехр (- Сё), где А, В, С - физические константы материалов.
4 \\
// ч \ч 4
" 1/ р— и л
—
!5 30 И 40 с: 4,0
Рис. 1. Изменение скорости радиального обжатия крешерного элемента (внутренняя поверхность -сплошная линия, наружная поверхность - пунктирная линия)
-7 / - / / ^ />"
// / !> V /
/
•5 « ¡о 13 яд мГ3г
Рис. 2. Изменение радиального перемещения внутренней поверхности (сплошная линия) и наружной поверхности (пунктирная линия) крешерного элемента при обжатии
Распределение остаточной тангенциальной деформации по толщине элемента после его обжатия, представленное на рис. 3, позволяет оценить разрушение материала по принятому деформационному критерию только для случая изотермического деформирования, так как правая точка пересечения на рис.3 в такой постановке не имеет физического смысла. Анализ рис. 3 показывает, что зона разрушения материала крешерного элемента находится в окрестностях его внутренней поверхности, что подтверждают проведенные эксперименты.
,,,,,, 'VI 1 \
1 1 ----—
1 1
1 1 1
0.5 0.75 10 125 Кем
Рис.3. Распределение остаточной тангенциальной деформации по толщине крешерного элемента при его обжатии
И тот, и другой подходы требуют достоверного определения численных значений входящих в критерий констант материалов, что связано с проведением соответствующих экспериментов. Проведенный анализ литературных источников показал, что их, к сожалению, нет в необходимом объеме. Поэтому отмеченное направление развития исследований следует считать перспективным.
Список литературы
1. Баранов В.Л., Руденко В.Л. Импульсное обжатие крешеров из уп-руго-вязкопластических материалов // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. 2003. Вып.6 (Ч.1). С.233-236.
2. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир. 1968. 176 с.
3.Навацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир. 1978. 309 с.
4. Рахматулин Х.Д., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: Физматгиз. 1961. 368 с.
5. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир. 1985. 263 с.
6. Третьяков А.В., Зюзин В.И. Механические свойства металлов при обработке давлением. М.: Машиностроение. 1973. 317 с.
V.L. Baranov, V.L. Rudenko, А. V. Sorokaty
THERMODYNAMIC MODEL OF TUBE CRASHER UNIT DEFORMING DURING SHOOTING PROCESS
The task of radial tube deforming of a crasher element with axial symmetry made from elastic and viscose-plastic material undergoing powder gas pressure in the artillery camera has solved. Energy dissipation is estimated and effect of counteraction on the part of air, compressed in an internal cavity.
Key words: crasher element, shot, deforming, thermodynamic processes.
Получено 17.10.12
