Динамическое и ударное нагружение цилиндрических и сферических крешерных элементов при выстреле Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МЕХАНИКА ПРОЧНОСТИ, ТЕРМОПРОЧНОСТИ И УДАРА

УДК 539.374

ДИНАМИЧЕСКОЕ И УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КРЕШЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ВЫСТРЕЛЕ

В. Л. Баранов, В. Л. Руденко, А.Е. Чванов

Проведен сравнительный анализ результатов физического и математического моделирования динамического и ударного обжатия вкладных и ввинтных цилиндрических и сферических крешерных элементов в зарядной каморе и в канале ствола артиллерийского орудия при выстреле.

Ключевые слова: давление пороховых газов, крешерный элемент, упруго-вязкопластичность, динамическое обжатие, волновое обжатие.

Одним из надежных, апробированных и распространенных способов замера максимальных давлений пороховых газов в артиллерийских орудиях и стрелковых системах в полигонных условиях является использование различных видов крешерных устройств и приборов. Несмотря на разнообразие как самих приборов, так и геометрии обжимаемых элементов, суть метода сводится к замеру изменения высоты крешерного элемента вследствие силового воздействия на него давления пороховых газов с последующей оценкой амплитудного значения давления с помощью заранее подготовленных тарировочных таблиц и графиков [1].

Кратковременность силового воздействия пороховых газов, с одной стороны, и инерционность процесса деформирования крешерного элемента в силу вязкости его материала, с другой - вынуждают использовать на практике предварительное статическое обжатие крешерного элемента. Причем амплитудные значения статического давления и давления в канале ствола при выстреле, обеспечивающие одинаковое остаточное обжатие одного и того же крешерного элемента, значительно отличаются друг от друга, что явилось одной из причин введения в практику полигонных испытаний понятий «крешерное давление» и «истинное давление». Также поэто-

37

му в последние годы стремятся изменить геометрию крешерного элемента, переходя от наиболее простой, но в то же время наиболее инерционной цилиндрической формы к цилиндро-конической или сферической, что, как показала практика полигонных испытаний, позволяет расширять диапазон измеряемых давлений, доводя его до 800...1200 МПа [2].

Если крешерное устройство при выстреле расположено в области зарядной каморы артиллерийской системы, то изменение давления пороховых газов во времени описывается гладкой непрерывной функцией, не содержащей разрывов. В этом случае в материале крешерного элемента не будут возникать волны напряжений, характер нагружения элемента при выстреле будет динамическим, и для его описания может быть использован квазистатический подход.

Однако, если крешерный прибор является не вкладным, а ввинчиваемым в ствол в некотором фиксированном сечении последнего, удалённом от зарядной каморы, картина внешнего нагружения крешерного элемента меняется принципиально. Так, на рис. 1 изображены экспериментальные качественные кривые изменения давления пороховых газов, полученные с помощью пьезокварцевых датчиков в различных сечениях канала ствола при выстреле [3, 4]. Хорошо видно, что непрерывная и гладкая кривая, описывающая изменение давления во времени, по мере удаления от зарядной каморы орудия становится разрывной - и этот разрыв сохраняется вплоть до дульного среза, хотя амплитуда разрыва монотонно уменьшается. В этом случае характер нагружения крешерных элементов будет носить ярко выраженный волновой характер, и моделировать его последствия следует по-другому. В данной работе проводятся сопоставление сформулированных подходов и сравнительный анализ результатов расчетов.

Рис. 1. Кривые давления, полученные в различных сечениях канала ствола при выстреле с помощью пьезокварцевых датчиков

38

В первом варианте использовалось аппроксимация кривых изменения давления пороховых газов в стволе как функций времени перемещения боеприпаса показательно-степенной функцией вида [3]

P{t) = atbexp(ct) (1)

при а = 3,25019 х 1045 МПа, Ь = 21.406, с = - 829,91 (штриховая линия).

Крешерный элемент первоначальной длины L, изготовленный, как правило, из электролитической меди, представляет собой в общем случае тело вращения, уравнение образующей которого

у = y(z), z£ [0; L]. Элемент расположен между двумя жесткими пластинами, одна из которых подвижна и передает элементу давление порохового газа (1). Свойства материала элемента описываются конституционным уравнением

[4]

сг(£, ¿) = /(£) + 0,008б£ МПА, (2)

где/О) = 1,83 X 104Я(0,02 - е) + [275 + 341 (е - 0,02)] МПа.

В рамках гипотезы плоских сечений деформированное состояние материала крешерного элемента в произвольном сечении z £ [0; L] в момент времени t £ [0; tM] описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка вида

a^expf—ct^Sr) л , ч

-Vt—= 1-83 X 104Я(0,02 - £(z)) +

тсу (z, t) v J

+ [275 + 3410(z) - 0,02)]H(£(z) - 0,02) + О^б^г)]1-05, (3)

где SQ - площадь подвижной жесткой пластины в крешерном приборе, через которую на крешерный элемент передается давление порохового газа.

В уравнении (3) у = y(z, t) - текущее уравнение образующей деформированного крешерного элемента в момент времени t. Значения функции у = y{z,t) при различных фиксированных z £ [0, L(t)] , где L = L(t) - текущая полная высота крешерного элемента, z - лагранжева координата, определяются на каждом шаге численного интегрирования дифференциального уравнения (3) из условия несжимаемости материала крешерного элемента

y(z, t) =

где у = y(z) - начальное уравнение образующей недеформированного крешерного элемента.

В случае цилиндрического крешерного элемента

y(z) = R,

в случае цилиндро-конического элемента

y(z) = (г + Я (Л - z) + RH(z - Л),

где r,R - узловые радиальные параметры образующей, H(z)~ единичная функция Хевисайда.

В случае сферического крешерного элемента

Для уравнения (3) с помощью начального условия e(z, 0) = 0 формируется задача Коши, численное решение которой в сопряжении с численным построением текущего уравнения образующей на каждом шаге интегрирования позволяет определять деформацию £ = e(z, t) в сечении элемента z G [0;L(t)] для любого момента времени t £ [0; tM], где tM -временной интервал активного нагружения крешерного элемента (время достижения давлением пороховых газов максимального значения). Чтобы определить последнее, необходимо продифференцировать (1) по времени и приравнять производную нулю:

Ртах = a бХр(-Ь).

Заметим, что если решение строится при условии отсутствия трения между материалами опорных поверхностей и крешерного элемента, как это постулируется в данной работе, то в случае наличия начальной плоскости симметрии z = ^ (например, для цилиндрического или сферического крешерных элементов) решение задачи Коши для уравнения (3) в любой

L(t)

момент времени будет симметричным относительно плоскости z = —.

Это обстоятельство существенно уменьшает трудоёмкость интегрирования. В случае цилиндро-конического крешерного элемента плоскости симметрии нет, и интегрирование следует проводить на всём интервале

ze [0;ВД].

После окончания периода активного нагружения из суммарной итоговой деформации в каждом сечении крешерного элемента исключается ее упругая составляющая, и итоговое изменение длины (обжатие) крешерного элемента на активном участке нагружения определяется так:

AL = /0lM[e(z.tI,)-J^L_]dz. (4)

Решение задачи Коши для уравнения (3) и вычисление интеграла (4) для различных форм образующих крешерных элементов и для различных форм кривых изменения давления пороховых газов на активном участке проводилось численно, в первом случае - методом Рунге - Кутта 4-го порядка, во втором - методом Симпсона.

40

Теоретическое моделирование процессов импульсного обжатия кре-шерных элементов в канале ствола при выстреле в волновой постановке проводилось по следующей схеме. Материал крешерного элемента - электролитическая медь М2. Его свойства моделировались конституционным соотношением Малверна - Кристеску - Соколовского, отражающим в своей структуре деформационное упрочнение, динамическое упрочнение и упругий характер разгрузки [5]:

где о - напряжение; £ - полная деформация; V - скорость частиц материала в волне; £ - время; Е0 - модуль упругости 1 рода; Ф(сг, £) - экспериментально определяемая функция, отражающая комплекс вязкопластиче-ских свойств материала; Н(^) - единичная функция Хевисайда, отражающая упругий характер разгрузки; /(г) - функция, аппроксимирующая диаграмму статического нагружения.

В рамках гипотезы плоских сечений уравнение движения элемента массы крешерного элемента длиной с1г с координатой г в момент времени £ записывается так:

- для цилиндрического крешерного элемента

к дг дъ к }

- для сферического крешерного элемента

„ дУ(?Х) даЩ 2(К-г) ^ .

---= (7)

где р - плотность материала крешерного элемента; Я - радиус сферического крешерного элемента; V - скорость частиц крешерного элемента.

Если материал крешерного элемента остаётся сплошным в процессе нагружения, то для любой его точки в любой момент времени справедливо условие неразрывности материала или условие деформационной и кинематической совместности, которое инвариантно относительно уравнения образующей крешерного элемента и имеет вид

деЩ дУЩ _ п

---дГ~°- (8)

В результате для случая нагружения цилиндрического крешерного элемента получена замкнутая система трёх дифференциальных уравнений в частных производных с тремя неизвестными функциями а = <т(г, 1:), £ = фд) и V = У(гД):

дУ(г,г) да{г,г) п

Р---— о ,

И дг дг

де(г,г) дУ(г,г) _ 0 \ ^

дг дг

дг{г,£) 1 да (г,г)

дг Е0 дг

= Ф(?,е)Н[Ф, 0 - /СЮ]

41

Соответствующая система уравнений для сферического крешерного элемента имеет вид

дЧ{т.Х) да (т., О 2 (И-г)

де(2Х)

91 де(т.Л)

1 да(т.Х)

дг дУ(т.Х) дг

7.(2^-7.) = 0 ,

= Ф(а, Е)Н[(т(г, О -/(е)] .

(10)

91 Е0 91

Покажем, что системы (9) и (10) относятся к системам дифференциальных уравнений гиперболического типа. Для этого дополним, например, систему (10), как более общую, выражениями для полных дифференциалов неизвестных функций:

дУ(т.Х) да(т.Х) 2(Я-х)

91 дг т.(2Ъ-т)

де(т.Х) дУ(т.Х)

де(2.Х) 91

91

1 да(т.Х)

дъ

= 0,

Е0 91 да(т.Х)

= Ф(ст,е)Н[ст(7,0-Г(Е)]|

дг де(т.Х)

де(т.Х)

я я,

дг 91

дУ^) , , дЧ(т.Х) +

dt = 1:), ^ = ау(гд).

(П)

92 91

Так как вдоль искомых характеристических направлений решение системы (11) как линейной алгебраической относительно первых производных искомых функций не определено, то её главный определитель, как и определители по всем неизвестным, должен быть тождественно равен нулю.

Раскрывая определитель и проводя алгебраические преобразования, получаем три различных дифференциальных уравнения характеристик системы (11) в действительной форме:

dz+ Рск=0

(12)

где \— - скорость распространения упругого возмущения в материале

крешерного элемента.

Заметим, что уравнения (12) инвариантны по отношению к форме образующей крешерного элемента, то есть они справедливы и для рабочей системы дифференциальных уравнений (10).

Таким образом, системы (10) и (11) гиперболического типа. А вот соотношения между искомыми функциями а = о(т., 1:) , £ = е^Д) и V = ^ вдоль характеристических направлений (13) для систем (10) и (11) различны, так как в структуру любого неглавного опре-

делителя для них входят свободные члены, а свободные члены уравнений движения (6) или (7) зависят от форм образующих крешерного элемента. В рассматриваемом случае эти соотношения в дифференциальной форме записываются так:

- вдоль характеристики с1г = 0 соотношение между искомыми функциями инвариантного по отношению к геометрии крешера, так как является, по сути, конституционным уравнениям для материала:

с!фд) -— с1а(гД) = Ф(а,£)Н[а(гД) - Г(е)№ (13)

Ео

- вдоль характеристических направлений

д2± Рск= 0. \ р

Соотношения между искомыми функциями существенно зависят от геометрии крешера и имеют следующий вид:

- для цилиндрического крешерного элемента

с1У(2д) с1с7(с7,£)НК2Д) - ад] (к,

- для сферического крешерного элемента

Р 1

— (XV{2,1) ±тг =

¿0 ¿0

2Я р^-^ Р Р

где уменьшаемое в первой части последнего уравнения учитывает диссипацию энергии и упругого деформирования крешерного элемента из-за изменения геометрии его поперечного сечения вдоль лагранжевой координаты и, как следствие, перераспределение параметров напряжённо-деформированного состояния в сферическом крешерном элементе по отношению к цилиндрическому.

Таким образом, показано, что интегрирование основных систем дифференциальных уравнений в частных производных (9) и (10), описывающих напряжённо-деформированное и кинематическое состояния материала крешерного элемента при его ударном нагружении импульсом давления порохового газа может быть заменено интегрированием систем обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных вдоль характеристических направлений (12). Для последних систем уравнений в рассматриваемом случае формулируется задача Гурса [6]:

- на характеристике г = 0 имеются два независимых соотношения между искомыми функциями: одно из них - соотношение (13), второе -

а(0,1) = р(1)х^ , (14)

где Б о - площадь поверхности поршня крешерного прибора, через которую на крешерный элемент передается давление порохового газа; 5кр(0д) -текущее значение площади опорной контактной поверхности крешерного элемента;

, [Ёо

- на характеристике г = + —, которая в данном случае является

передним фронтом волны напряжений в материале крешерного элемента, имеются три независимых известных соотношения между скачками напряжения, деформации и скорости частиц крешерного элемента, позволяющими в совокупности с дифференциальными уравнениями, записанными вдоль характеристических направлений, определять значения искомых функций на переднем фронте волны автономно.

Часть фазовой плоскости, расположенная между характеристиками

2 = 0 и 2 = в которой ищется решение, покрывается сеткой харак-

теристик (12), и значения искомых функций в ней определяются комбинацией методов конечных разностей и последовательных приближений.

Численное решение задач импульсного нагружения крешерных элементов в квазистатической и волновой постановках проводилось для граничных условий трех видов: удар падающей жесткой массой, нагруже-ние безразрывной функцией, описывающей изменение давления пороховых газов в стволе в зоне зарядной каморы при выстреле, и разрывной функцией применительно к изменению давления в нарезной части ствола. В первом и третьем случаях использовалось волновое, во втором - квазистатическое решения.

Решение задачи проводилось на примерах цилиндрического крешерного элемента высотой Н0 = 5 X Ю-3 м с площадью основания _ 2

5 = 2,5x10" м и сферического крешерного элемента диаметром /)0 = 6 х 10-3м. Рассматривалось нагружение элемента падающей массой ш = 0,05кг. Скорость удара варьировалась в пределах У0 = 50 ... 100 м/с. Некоторые результаты расчетов иллюстрируют рис. 2...5. Сплошные линии на рисунках соответствуют случаям нагружения цилиндрических, штриховые - сферических крешерных элементов. В случаях, когда на рисунках имеется двойная шкала по оси ординат, левая соответствует расчетам для сферических, правая - для цилиндрических крешерных элементов.

На рис. 2 представлены графики, описывающие изменение остаточной относительной деформации по длине крешерного элемента. Анализ показывает, что деформационный отклик материала крешерных элементов

44

на ударное нагружение существенно неоднороден по длине и при всех скоростях удара экстремален у нагружаемого торца крешерного элемента. Причем для цилиндрических элементов обнаруживается установленная многочисленными экспериментами [7] тенденция к образованию «плато» остаточных деформаций у нагружаемого торца цилиндрического элемента.

О^» * 2 3 АЗ 4

Рис. 2. Распределение остаточной деформации по длине крешерного элемента (1 - У0=50м/с; 2 - У0=ЮО м/с)

На рис. 3 приведены кривые, описывающие зависимость абсолютного суммарного остаточного обжатия крешерных элементов от начальной скорости удара. Связь между относительной остаточной деформацией £ост(2) и обжатием ЛН устанавливалась с помощью известного соотношения Коши:

АН =/0Н(До) £0СТ(2) (15)

где Н(Д0) - первоначальная высота (диаметр) крешерного элемента.

О. В

Рис. 3. Зависимость суммарного остаточного обжатия крешерного элемента от скорости удара

На рис. 4 изображены в фазовой плоскости независимых переменных ъ — t изолинии, соответствующие моментам начала упругой разгрузки материала крешерных элементов. Следует заметить, что максимальная ордината изолинии на рисунке соответствует продолжительности ударного нагружения крешерного элемента, причем момент начала упругой разгрузки нагружаемом торце, как правило, наступает значительно раньше соот-

45

ветствующего вышеупомянутого экстремального момента. Это обстоятельство имеет самостоятельную ценность, так как вносит ясность в дискуссию о том, по какому критерию оценивать продолжительность ударного нагружения стержня.

0,000002

Рис. 4. Изобары, соответствующие моменту перехода материала крешерного элемента в упругое состояние

Анализ рис. 5, описывающего зависимость продолжительности ударного нагружения от начальной скорости ударяющей массы, показывает, что в случаях использования сферических крешерных элементов инерционность деформирования существенно меньше по сравнению с цилиндрическими крешерными элементами (разница времен ударного нагружения, обеспечивающих формирование полных деформационных откликов, достигает 2 - 3 раз). Это обстоятельство дополнительно объясняет преимущества практического использования сферических элементов по сравнению с цилиндрическими в практике полигонных испытаний.

Рис. 5. Зависимость длительности удара от начальной скорости для сферического и цилиндрического крешерных элементов

Величина суммарного остаточного обжатия сферического крешер-ного элемента диаметром 6 мм, рассчитанная в волновой постановке для кривой давления, соответствующей рис. 5, составила 24,5 %, а экспериментально измеренное обжатие аналогичного элемента - 29,6 %. Занижение результатов расчетов по отношению к эксперименту, по мнению автора, объясняется изотермичностью решения и неучетом нагрева материала крешерного элемента вследствие диссипации энергии неупругого деформирования в тепловую энергию. В рассмотренном случае погрешность расчетов составила 15,8 %. Причем распределение остаточной деформации по высоте крешерного элемента носит явно выраженный несимметричный характер, экстремальные значения текущего обжатия концентрируются у нагруженных торцов крешерных элементов, что качественно соответствует результатам решения задач волнового обжатия. Параллельно со сферическими крешерными элементами теоретически и экспериментально определялось обжатие цилиндрических крешерных элементов высотой 7 мм и диаметром 4 мм. Их обжатие в эксперименте составило 20,6 %, а расчетное значение обжатия - 18,4 %. Таким образом, наблюдаются удовлетворительное согласование результатов расчетов и экспериментов и заниженное значение расчетного обжатия.

При решении аналогичных задач в квазистатической постановке обжатие элементов и в эксперименте, и в расчетах имело плоскость симметрии, суммарное обжатие сферического крешерного элемента составило 21,5 %, цилиндрического - 18,3 %. Соответствующие расчетные значения составили 20,8 и 17,6 %, что позволяет сделать вывод о меньшем влиянии неизотермичности характера обжатия крешерных элементов в случае квазистатических решений по сравнению с решениями в волновой постановке. Последнее обстоятельство имеет существенное практическое значение, так как замер максимальных давлений крешерными приборами производится в зарядной каморе орудия. Именно для этого случая возможно с достаточной для практики точностью проводить моделирование обжатия крешера в изотермической постановке, что существенно облегчает программирование и уменьшает трудоемкость решения задач.

Таким образом, сформулированы и реализованы численно задачи импульсного обжатия цилиндрических и сферических крешерных элементов для различных граничных условий в квазистатической и волновой постановках. Проведено сопоставление результатов численного моделирования с экспериментальными данными. Получено удовлетворительное согласование. Показано, что в случае моделирования обжатия крешерных элементов в волновой постановке целесообразно проводить решение с учетом нагрева материала элемента вследствие диссипации энергии неупругого деформирования в тепловую энергию. В случае квазистатического варианта решения возможна его реализация в изотермической постановке.

47

Список литературы

1. Методы измерений и измерительная аппаратура, применяемые при полигонных испытаниях боеприпасов: учебн. пособие / под ред. В.Л. Руденко. Н.Тагил: НТИИМ, 2016. 386 с.

2. Руденко В. Л. Крешерный метод измерения давления пороховых газов и применение сферических крешеров // Сб. докладов Международной НТК «Вторые Окуневские чтения». Санкт-Петербург: БГТУ, 2000. С. 70 - 73.

3. Руденко В.Л., Баранов В.Л., Сорокатый А.В. Связанная термодинамическая модель обжатия трубчатого крешерного элемента при выстреле // Известия РАРАН. 2012. Вып. 3(73). С. 25 - 30.

4. Руденко В.Л., Баранов В.Л., Сорокатый А.В. Связанная термомеханическая волновая модель обжатия трубчатого нескрепленного бескорпусного крешера при выстреле // Известия РАРАН. 2012. Вып. 3(73). С. 31 - 35.

5. Поведение стержневых и оболочечных конструкций из упруго-вязкопластических материалов в условиях высокоскоростного импульсного нагружения / В.Л. Баранов, И.В. Дунаева, И.Б. Литус, В.Л. Руденко, Д.А. Очнев, А.В. Сорокатый, А.Е. Чванов. Н. Тагил: НТИИМ; Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 323 с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: в 2 т . Т. 2. М.: Физматгиз, 1962. 620 с.

7. Баранов В.Л., Руденко В.Л., Тер-Данилов Р.А. Моделирование деформационного отклика металлов на импульсное нагружение // Изв. ОрелГТУ. Естественные науки. 2003. Вып. 3 - 4. С. 32 - 37.

Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, проф., Ter-danilovRoman 74@yandex. ru, Россия, Тула, ТулГУ,

Руденко Валерий Лукич, д-р техн. наук, доц., гл. науч. руководитель [email protected], Россия, Нижний Тагил, ФКП «Нижнетагильский институт испытаний металлов»,

Чванов Александр Евгеньевич, канд. техн. наук, нач. НОЦ, [email protected], Россия, Нижний Тагил, ФКП «Нижнетагильский институт испытаний металлов»

DYNAMIC AND SHOCK LOADING OF CYLINDRICAL AND SPHERICAL CYLINDER

ELEMENTS IN THE SHOT

V.L. Baranov, V.L. Rudenko, A.E. Chvanov

A comparative analysis of the results of physical and mathematical modeling of the dynamic and shock compression of embedded and screwed cylindrical kresher elements in the charging chamber and in the barrel of the artillery gun during the shot is carried out.

48

Key words: powder gas pressure, kresher element, elastic-viscoplasticity, dynamic reduction, wave reduction, wave reduction.

Baranov Viktor Leopoldovich, doctor of technical sciences, professor, Ter-danilovRoman 74@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Rudenko Valeriy Lukich, doctor of technical sciences, docent, chief scientifically advisor, [email protected], Russia, Nizhny Tagil, FSE «Nizhny Tagil Institute of Metal Testing (Ural ammunition testing field)»,

Chvanov Alexandr Evgenevich, cand. of technical sciences, chief of SEC, [email protected], Russia, Nizhny Tagil, FSE «Nizhny Tagil Institute of Metal Testing (Ural ammunition testing field»