Свойства газодинамических моментов функции распределения скоростей молекул Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м VI 1975 '

№ 1

УДК 533 6.011.8

СВОЙСТВА ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МОЛЕКУЛ

С. В. Мусанов

В работе указаны функциональные неравенства, связывающие различные комбинации моментов функции распределения скоростей молекул, а также приведены примеры их приложений для некоторых задач. Полученные соотношения позволяют контролировать правильность измерений и вычислений, оценивать одни газодинамические функции на основании знания других, получать гриницы запретных значений коэффициентов аккомодаций, определять верхнюю границу силового воздействия на тело произвольной формы в произвольном потоке по интегральным величинам потоков массы и кинетической энергии.

1. Для полного газодинамического описания поля течения любой степени разреженности достаточно знания в каждой его точке тринадцати моментов функции распределения/: плотности р = |/с(£, трех составляющих потока массы

^7* = |/£г трех составляющих потока кинетической энергии ^ к

шести компонентов симметричного тензора составляющих потока импульса рц = |/£(£¿¿5. Составляющая потока импульса в направлении связана с ее ком-

з

понентами следующим образом: р\ = 2 ./*?/• Каждому компоненту составляющей

/=1

потока импульса можно поставить в соответствие компонент составляющей

потока кинетической энергии ?*//= |/~2~

В работе [1] в предположении, что отраженные молекулы имеют максвелловскую функцию распределения, было показано, что импульс,_уносимый этими молекулами с элемента поверхности, определяемого нормально п, связан с соответствующими потоками массы и кинетической энергии неравенством:

р1<КЯп (1)

В сноске работы [1] сообщалось, что это соотношение справедливо для любой положительной функции распределения и является следствием неравенства Коши — Буняковского. Оказалось, что вынесенное в сноску замечание имеет ряд интересных следствий, обобщений и приложений.

Во-первых, отсюда следует, что модель взаимодействия газа с поверхностью Ночиллы [2] обладает универсальностью в том смысле, что любую функцию

распределения отраженных молекул можно аппроксимировать максвелловской таким образом, что пять газодинамических моментов — составляющие потока импульса, поток массы и поток кинетической энергии —для них будут тождественными.

Во-вторых, можно указать более строгие неравенства между моментами, которые справедливы для любой точки произвольного потока, если только область интегрирования по скоростям расположена по одну сторону от плоскости, ортогональной выбранному направлению г:

4<2«//- (2)

Неравенство (1) является следствием неравенства (2).

В-третьих, существуют и другие неравенства между моментами, справедливые в любой точке произвольного потока и без ограничений на область интегрирования, например:

(чУ<т1- (3)

В-четвертых, неравенство (2) имеет интегральный аналог для произвольной поверхности в произвольном потоке:

/=! < Щт <2?. (4)

где/7 = | | —/-я составляющая силы, действующая^ со стороны при-

55 (1п>0) ходящих (|я<!0)либо улетающих (£и>0) молекул;

либо (£ л <0)

<2т = I" | ДпйЫа — соответствующий поток массы;

* (£«>о) либо а7ко)

Ое1 = С ^ /-^-^пй\йа — составляющая потока кинетической энергии соответ-

а (£7,>0) ствующих молекул.

либо

(I л<0)

Неравенство (4) в качестве следствия имеет следующее утверждение:

— сила, действующая на произвольное тело в произвольном потоке, обусловленная прилетающими (улетающими) частицами, не может быть больше корня квадратного из удвоенного произведения потоков массы и кинетической энергии, приносимых (уносимых) этими частицами.

2. Приведем приложения выведенных неравенств. Очевидно, что неравенства (1)—(4) могут служить средством первичного контроля правильности теоретических, расчетных и экспериментальных данных. Кроме того, из неравенств (2) и (3) можно образовать цепочку:

Ю2

которая позволяет на основании знания только двух моментов делать заключения в смысле „больше—меньше" об остальных.

В работе [1] неравенство (1) было использовано для определения допустимых и запретных значений коэффициентов обмена касательными и нормальными составляющими импульса и энергией для специфической модели взаимодействия газа с поверхностью .схемы изолированного отраженияя*, предложенной Баранцевым [3]. В качестве отступления отметим, что существует ряд других моделей взаимодействия [4—6], так же, как и указанная, моделирующие физические процессы на больцмановском уровне. Существует, кроме того, газодинамическая модель взаимодействия (авторство которой установить затруднительно), которая используется абсолютно во всех монографиях, описывающих свободномолекулярную газовую динамику [7—11]. Сопоставление моделей разных уровней возможно в предположении о гипертермичности набегающего потока. К сожалению, за исключением Баранцева, авторы не сопоставляют введенные ими коэффициенты аккомодации с другими, что может привести к путанице, когда одни и те же обозначения относятся к разным величинам.

Классической газодинамической моделью взаимодействия будем называть следующий способ введения коэффициентов аккомодации потока энергии (ае), нормальной (а„) и касательной (а^) составляющих потока импульса:

Я і — Чг

РІ-РПг

РЇ-РІ

Pt-Pr

Pi

(5)

а

т/jL

9 г В„,

ОВТ величины энергии и

Zt\ * Л уд /

импульса для отраженных потоков, находящихся в равновесии с температурой поверхности Т'щ,; /?* — газовая постоянная; у — число внутренних степеней свобо-

5__зх

ды, однозначно определяемое отношением удельных теплоемкостей ■*.: / = .

Индексом г обозначаются падающие на элемент поверхности потоки, индексом г— отраженные.

В предположении о гипертермичности набегающего потока и непротекания полости выписанная модель (5) приобретает вид

„„„п/t \ і 2cos і

—-— cos 0(1 — ае) -(- ае —-—

оці

1

1 +

где р — плотность, и — скорость, 0 — угол набегающего потока с нор-

малью к поверхности (фиг. 1);

РІ \ і /it cos 0 . Рт

■------ = COS2 0 (1 — o„) -f Ct„ —--------------------; -----

P«2 2 Sw pu2

= sin 0 COS 0(1 — az)

Если пренебречь в выписанных соотношениях членами, связанными с параметром то получается модель Пярппуу [4].

Модель, введенная Баранцевым [3], отраженные потоки определяет следующим образом:

2дег

= cos і

РПг

ри3 е' ри2

Модель, введенная Ерофеевым [5]:

ра3 е ’ ри2

Модель, введенная Закировым [6];

2 ае о

__ = 2cos0(l -ае3); vn

—— = cos 0 (cos 0 + аЪ; р«2 П

ajrcos f

IL

pa2

= cos 0 (sin 0 — aq).

IL р «2

IL

рмг

Априори при любом способе определения коэффициентов обмена нельзя ничего сказать относительно диапазонов изменений их значений. Пожалуй, только для коэффициента аккомодации энергии ag, введенного способом (5), можно ожидать, что его значения лежат между нулем и единицей (по аналогии со вторым законом термодинамики). Хотя не исключена возможность создания такой модели взаимодействия, что энергия отраженных частиц qer окажется и вне интервала между энергиями qew и q\.

В работе [1] вопрос о запретных и возможных значениях коэффициентов аккомодации с точки зрения неравенства (1) был поставлен как условие, при котором возможна аппроксимация функции распределения отраженных молекул в максвелловской форме по заданным макроскопическим параметрам *. Знакомство с другими моделями взаимодействия позволяет сделать следующее общее утверждение:

— если коэффициенты аккомодации потоков энергии (ае) и составляющих импульса (ап, а,) вводятся независимо друг от друга и потоки массы при этом

сохраняются (ц™ = 9™), то область запретных значений в пространстве (ае, ап, а,) для любой модели взаимодействия расположена вне эллиптического параболоида с главными осями, параллельными осям координат. Ось параболичности параллельна оси ае (фиг. 2)> Параметры этого параболоида зависят от параметров набегающего потока и выбранной модели взаимодействия.

Остановимся подробее на исследовании запретных и допустимых областей для классической газодинамической модели взаимодействия газа с поверхностью (5).

Введем обозначения:

Рп1 Р\ I 2«? \1/2

' ‘ ^ = -4г • (б)

1 (2^9?)^ ’ (2<??Ч)1/2 ’ -* г» V Ч?

Диапазоны изменений этих величин в силу неравенства (1) определяются соотношениями

0<п* + т»<1, 0<5ш'<эо.

Если полагать непротекание (<7™ = <?”), то неравенство (1) для отраженных потоков, определяемых моделью (5), имеет вид:

(1 -«п)П+ая-~'1 + +^у (7)

Вершина параболоида (7), разделяющего допустимые и запретные значения, имеет в данном случае координаты

1 — с2 I 1 +

*^ті

і)'

Исследование перемещения параболоида при изменении физически возможных значений п, х и позволяет сформулировать следующее утверждение:

— для классической газодинамической модели взаимодействия области коэффициентов аккомодации, которые могут быть запретными, лежат вне замкнутой области, ограниченной пересекающимися поверхностями: круглым параболоидом (1—а„)2 -}- (1 — а^)2 = (1—а,) и параболическим цилиндром

, 8 / у \

“л = “«"V ( "*" Т I ■ Сам замкнутый объем между ними и части поверхностей

его образующих ограничений со стороны неравенства (1) не имеют ни при каких видах набегающих потоков и ни при каких значениях температуры обтекаемого тела.

3. Приведем примеры приложения интегрального неравенства (4) или его следствия, сформулированного в п. 1:

р2*С2(ЗтОе. (8)

Во-первых, оно может быть использовано в ракетной технике, так как расход рабочего тела и кинетическая энергия его рассчитываются существенно проще, чем силовое воздействие струи на сопло.

Во-вторых, имеет смысл использовать его для оценки аэродинамических сил, действующих на невыпуклые тела в свободномолекулярном потоке. Основная трудность последней задачи заключается в расчете силы, обусловленной отраженными молекулами от внутренней части полости /7. Для этого необходимо

* Аналогичная процедура была проделана в работе [6] без ссылки на прототип [1].

знать решение системы интегральных уравнений. Даже в случае диффузно-отра-жающих поверхностей эта система состоит из двух уравнений для локальных потоков массы и энергии [12]. В то же время суммарные потоки массы и энергии в ряде случаев определяются без необходимости решать интегральные уравнения.

Например, если полость произвольной конфигурации не протекает, то определение суммарного потока массы решается в квадратурах

ОГ = <?Г-

В общем случае эта величина представляет собой пятикратную квадратуру, однако для равновесного газа и плоского отверстия полости (фиг. 3) эти квадратуры известны:

Р°° ¡^(^созв)^ ,

Q?

,¿/2,

,1/2 * 00

где — плотность газа невозмущенного потока, — его температурный параметр, 5^= скоростное отношение, 0 — угол между массовой скоростью

потока и нормалью к входному отверстию, имеющего площадь Ат .

Фиг. 3

Функции Jk(x)= j* е р (t -f- x)k dx наиболее подробно исследованы в ра-—х

боте [13]. Для теплоизолированной полости потоки энергии ведут себя аналогично потокам масс:

Qr~Qei= g ^1/2 ^3/2 [/. <$* cos ®) + (^оо cos 0) fa sin2 ®

Так же в квадратурах решается задача теплопередачи для диффузно-отра-жающей полости, если она абсолютно теплопроводна. В этом случае все отраженные потоки имеют постоянную температуру Т„ которая определяется из алгебраического баланса интегральных потоков энергий:

Qr! J \

К этому же случаю примыкает случай обтекания изотермической поверхности с полной аккомодацией (яе = 1, $г = Рщ,). Для изотермических полостей с неполной аккомодацией О* может быть определено приближенно путем введения интегрального коэффициента аккомодации:

- <?? ар = ——

Qr

где Qew определяется по формуле (9) (рг =

7—Ученые записки ЦАГИ № 1

Qr

■ ое

' ?w)-

97

Основанием для такой рекомендации может служить получение этой величины на основании точного решения системы интегральных уравнений и использования свойства диффузно-отражающей сферической полости [14]:

-________«е4 и

е йоо + 20 + ае ’

где 2 с индексами сю, 0, г обозначает центральные суммарные телесные углы, под которыми видны входные и выходные отверстия и сама полость.

Эта зависимость получена для произвольной конфигурации и расположения входных и выходных отверстий, а также для произвольной функции распределения набегающего потока. В связи с этим необходимо отметить, что в работе [15], посвященной специально исследованию теплопередачи к вогнутой части полусферы в равновесном потоке газа, наряду с противоречивыми предположениями для вычисления потоков, прилегающих на поверхность без столкновения, получены качественно неверные результаты из-за попытки игнорировать решение интегральных уравнений, а дать эвристический, „иррациональный“ способ решения задачи. Так, в этой работе поток энергии, передаваемый газом к полости с учетом интерференции между ее элементами отнесенный к потоку

энергии без учета интерференции фц , получился зависимым от угла атаки, тогда как точное значение этой величины имеет чрезвычайно простой вид вне зависимости от вида функции распределения набегающего потока:

фиг. 4 де ае 2

<5£ ~ ае = 1 + ае '

На фиг. 4 приведены значения силы />, обусловленной молекулами, вылетающими из полости полусферы, движущейся с гиперзвуковой скоростью, рассчитанные методом Монте-Карло в работе [16]. Эта сила отнесена к силе /?"л за счет отраженных молекул, действующих на пластину, эквивалентную по форме входному отверстию и имеющую температуру, равную температуре поверхности полости. Отметим, что при лобовом набегающем потоке (в = 0) вогнутость увеличивает силу сопротивления при диффузном отражении и уменьшает ее при зеркальном. Однако для зеркального отражения возможно достижение ее верх-лей границы, определяемой неравенством (8) и равной 1 для полостей определенной конфигурации, например, для конических полостей с полууглом раствора ■90°

(п—0, 1, 2,... [17]). Для диффузного отражения вопрос о максимальном увеличении силы сопротивления за счет конфигурации вогнутой части и степени его приближения к верхнему пределу 1,595 остается открытым. К сожалению, приходится констатировать факт, что в табл. 3 работы [16] неравенство (8) не выполняется для полностью диффузного отражения, а в работе [18] для конической полости в гиперзвуковом потоке при упругих столкновениях молекул с поверхностью получен 0^ = 4,037, тогда как неравенство (8) требует с*<;4.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность О. Г. Фридлендеру за ценные замечания и консультации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баранцев Р. Г., Л а н д м а н В. Г. Максвелловское представление распределения отраженных атомов через потоки массы, импульса и энергии. .Вестник ЛГУ“, № 19, вып. 4, 1966.

2. Ночилла С. Закон отражения от поверхности в свободномолекулярном потоке. Сб. .Взаимодействие газов с поверхностями“,

М., „Мир”, 1965.

3. Баранцев Р. Г. Схема изолированного отражения атомом газа от твердой поверхности. Сб. „Аэродинамика разреженных газов“, вып. II, изд. ЛГУ, 1965.

4. П я р п п у у А. А. Модели взаимодействия разреженного газа с поверхностью. Сб. „Численные методы в теории разреженных газов“. М., изд. ВЦ АН СССР, 1969.

5. Ерофеев А. И. О влиянии шероховатости на взаимодействие потока газа с поверхностью твердого тела. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1967, № 6, 1968, № 6.

6. Закиров М. А. Исследование внутренних и внешних свободномолекулярных течений около произвольной группы сложных тел. Труды ЦАГИ, вып. 1411, 1972.

7. Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов. М., Физ-матгиз, 1960.

8. Хейз У. К., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений, гл. X, М., Изд. иностр. лит., 1962.

9. Ш а ф С. А., Шамбре П. А. Течение разреженных газов. Сб. „Основы газовой динамики*, М., Изд. иностр. лит., 1963.

10. Шидловский В. Д. Введение в динамику разреженного газа. М., „Наука“, 1965.

11. Коган М. Н. „Динамика разреженного газа“, М., „Наука“,

1967.

12. Му санов С. В. Внутренние свободномолекулярные течения. Труды ЦАГИ, вып. 1206, 1970.

13. Му санов С. В. Параметры неравновесных молекулярных пучков. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 6, 1973.

14. М у с а н о й С. Ф. Сферическая полость в свободномолекулярном потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 9, 1971.

15. Уимберли С. Р. Конвективная теплопередача к вогнутой части полусферы под углом атаки в свободномолекулярном потоке. „Ракетная техника и космонавтика“, т. 6, № 17, 1968.

16. Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. Е. Применение метода Монте-Карло к расчету аэродинамических характеристик тел сложной формы в свободномолекулярном потоке. Журн. вычисл. мат. и мат. физ., т. 8, № 6, 1963.

17. Закиров М. А. Свободномолекулярное обтекание полых клина и конуса с вогнутой стороны. „Ученые записки ЦАГИ", т. III, № 2, 1972.

18. Антонова Л. А., Баранцев Р. Г., Мирошин Р. Н., Мурзова Э. Н. Схема 8-отражения в задаче свободномолекулярного обтекания невыпуклых тел. Сб. „Аэродинамика разреженных газов“, вып. IV, изд. ЛГУ, 1969.

Рукопись поступила 2/VII 1973 г.