Сферическая полость в свободномолекулярном потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м II 197 1

№ 2

УДК 533.7

СФЕРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ В СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ ПОТОКЕ

С. В. Мусанов

Дается общее решение интегральных уравнений для сферической полости с отверстиями любой конфигурации без ограничений на параметры набегающего потока.

В частных случаях получены простые аналитические формулы для расхода газа через полость и термодинамические характеристики в центре ее. Результаты могут быть использованы для расчета молекулярных потоков в вакуумной технике, свободномолекулярных воздухозаборниках, датчиках характеристик внешнего потока и в оптической пирометрии.

1. В^аэродинамике разреженных газов наиболее доступной для приложения в ракетной и вакуумной технике является теория свободномолекулярных течений. Однако конкретное решение задач

для обтекания невыпуклых тел или для внутренних течений требует решения сложных интегральных уравнений, которые в ряде случаев совпадают по своему виду с уравнениями фотометрии.

Наиболее часто решались свободномолекулярные задачи со сферической полостью, для которой интегральные уравнения имеют вырожденные ядра. Так, в работах [1], [2] рассматривалась полусфера под нулевым углом атаки, но в обеих имеется принципиальная ошибка при определении плотностей потоков молекул, попадающих на поверхность без столкновений, отмеченная в работе [3]. рассматривался гипертермический набегающий поток с ограничением на угол атаки а и полуугол раствора

[а-(-со<;, исключающим зоны затенения. В работе [5]

В работе [4] (и\» 2/?* Тг)

<в полости

методом Монте-Карло рассчитывались силовые характеристики для полусферы без ограничений на угол атаки и скоростное отношение «2/2/?* набегающего потока.

В настоящей работе дается общее решение интегральных уравнений для сферической полости с отверстиями любой конфигурации без ограничений на параметры набегающего потока.

2. Интегральные уравнения для свободномолекулярных задач и задач радиационной интерференции представляют собой уравнения баланса потоков массы и энергии на поверхности, из которых определяются распределения плотностей отраженных потоков цг.

Общий вид этих уравнений:

qr=fлЦlr, (1)

где /—некоторая заданная функция; X — известная константа;

ncoscpcosWs

qr---1—-------------плотность потоков, пришедших в данную

S ТС/"

точку с самой отражающей поверхности, в случае изотропной максвелловской функции распределения отраженных частиц или закона Ламберта в фотометрии.

Еще в 1893 г. Сампером [6] было отмечено свойство равномерного распределения потока, излучаемого одним элементом сферической поверхности радиуса R, между остальными. Действительно, в случае сферической полости (фиг. 1)

г

с os = cos Ф = — ; ds = R2dQ‘,

2R

4ir = l\ = const, (2)

bi 4 тс

где й — телесный угол, под которым видна сферическая полость из центра.

Это позволяет сформулировать интегральное свойство сферической поверхности применительно к свободномолекулярным задачам: для изотропной функции распределения отраженных частиц в любую точку сферической полости попадают потоки одинаковой плотности при любом распределении плотностей источников. Теперь решение интегрального уравнения (1) с интегральным ядром (2) записывается в общем виде:

Я/““2

?,=/+—--------• (3)

Чг J 1 4TT-XQ

Если вводится коэффициент аккомодации, который аналогичен коэффициенту поглощения в оптике,

т_ 91-Яг 41 — ’

где — плотность падающих молекул; ^ — плотность отраженных молекул (причем т и — заданные постоянные величины), то / =

— хЯт + (1 — т)Яи'< Х=1— т и решение (3) можно переписать в следующей форме:

(1-х)*\\qndQ

Чг ~ 4ге_(1_т)й + ^ Цп + 4тГ---~(1 — х) 2~ ’ ^ ^

где яп — плотность потоков, пришедших из набегающего потока без столкновений с поверхностью.

Так как температурный параметр отраженных частиц есть отношение полученных решений для потоков массы и энергии (рг — ~Ятг1Яег)> то Функция распределения отраженных молекул определена в каждой точке поверхности, так как ее плотностный параметр тоже известен: рг = 2 У^гЯ,ы- Обозначим термодинамические величины газа в центре сферы следующим образом: р = р1 + рг — плотность газа; е = е1 + ьг — плотность кинетической энергии; плотность потока массы или кинетической энергии в направлении / Ц} = Ц\-, + + ЯГ]\ слагаемые этих величин, связанные с отраженными молекулами, имеют одинаковую структуру для любых типов набегающего потока:

- г с ¿2 - р (*

Р'— Л ^ ; — }) ег 4^- .

3 р, - гр соэо,. с1& , „ , Д.,

где ег = — ; Чг]=)\Чг-----------[здесь о,= (<//?)].

4 Рг 'а ж

Составляющие массовой скорости вычисляются через составляю-

_ ~ Я т]

щие потоков массы

р

Принципиально неверно введена массовая скорость в работе

[7]:

- Я\) Я г)

и -= -4- —'

Р ?г

Такое определение нарушает законы сохранения в интегральной форме. Абсолютная величина массовой скорости, давления и температуры газа получается в виде алгебраических выражений из выписанных функций:

~о —2 , —2 * ~2

и — И* -(- И; 11т\

е

Р = ------- ; 1/3/?Г1[—и2 , (4)

з V Р )

где А, I, т — три произвольно выбранных ортогональных направления; /?* — газовая постоянная.

Расход (массы или энергии) газа в вакуум также складывается из двух величин: = С}12 + С1г2. Если в качестве контрольной

поверхности выбрать часть сферической поверхности 52, „закрывающей“ выход, то поток отраженных частиц определяется очень просто: С1а = д¡г52, где определяется выражениями (2) и (3).

<3*2 = Я2 <7„й^

2,

где дп та же функция, что и в выражении (3).

Таким образом, решение сведено к вычислению выписанных квадратур.

Далее будут рассмотрены случаи, когда эти квадратуры удается получить в элементарных функциях. Задача существенно упрощается, если вместо т и задавать температурный параметр отраженных молекул сопэс. В этом случае после решения одного интегрального уравнения скалярные характеристики отраженных потоков газа в центре сферы сразу известны:

3. Рассмотрим задачу об эффузии газа через сферическую полость. Результаты этого рассмотрения применимы для расчета молекулярных потоков в вакуумной технике. Предположим, что полость имеет отверстия произвольной формы с суммарным центральным телесным углом 2Ь присоединенные к объему газа с параметрами р, и ¡3^ Через отверстия 92 полость сообщается с вакуумом. Таким образом, 2, + 2 -|- = 4тг. Так как потоки массы и

энергии, приходящие в каждую точку поверхности из входного

отверстия, везде одинаковы и равны #п — то и решения

интегральных уравнений (3) с заданными однородными условиями взаимодействия молекул на поверхности т и <7Ш будут также однородны:

При условии непротекания и более общих граничных условиях для потоков энергии температурный параметр отраженных молекул определяется по формуле

4пг <7,1

Скалярные характеристики в центре при этом имеют вид

Для теплоизолированного случая (х = 0) рг = ^:

Расход массы или энергий газа в вакуум

2, 2,

(?„=....1 —

9, + 22 4

Если отверстие 22 присоединено к объему газа с параметрами р2> Ра> то после проведения аналогичного рассмотрения все характеристики получатся суперпозицией найденных решений.

Например, полный расход газа через полость:

а = <?21=я2 (^1 - <72).

“1 + 2

Эта формула аналогична формуле расхода газа через диафрагму между двумя объемами [8]. Таким образом, результаты легко обобщить на любое число различных потоков, поступающих в сферическую полость. Так как в полость из отверстия поступает поток

— ^151, где 51 —■ площадь входа, и его часть (312 = про-

летает без столкновений, то вероятность прямого пролета частицы

?.. = |-! = £|.где5,=Я’е,

Параметр <р совпадает по определению с коэффициентом освещенности любой поверхности, опирающейся на контур 22 излучающей поверхности 5,. В 1924 г. Фок [9] показал, что освещенность от поверхности произвольной формы зависит лишь от контура, ограничивающего однородную излучающую поверхность, если справедлив закон Ламберта. При выполнении этих условий выведенное выражение справедливо для поверхности любой формы, опирающейся на контур, принадлежащий сферической поверхности

О 2 5

с телесным углом 2:. Коэффициент расхода ?12=г^г~ = о—

не зависит от взаимного расположения отверстий и совпадает по определению с вероятностью попадания из отверстия 21 в отверстие 22 при учете столкновений с заданной поверхностью. Эту величину, имеющую фундаментальное значение в вакуумной технике, называют вероятностью пролета или коэффициентом Клаузинга. Однако до сих пор не было получено ни одной формулы, определяющей этот коэффициент точно, с точки зрения удовлетворения интегральному уравнению (1), которое аналогично выведенному Клаузингом в 1932 г. [10].

Таким образом, сферическая полость является уникальным объектом, для которого этот коэффициент рассчитывается просто и может служить основой для приближенных расчетов каналов другой формы — круглых, конических и загнутых.

На фиг. 2 приведены расчеты вероятности прямого пролета <?!, коэффициента расхода через полость с равными соосными отверстиями <р и коэффициента Клаузинга для круглого канала <рк диаметром, равным диаметру отверстий. Значения «рк взяты из работы [И]. Интересно, что если для трубы вероятность пролета с увеличением ее длины стремится к нулю, то два точечных отверстия сферической полости имеют вероятность пролета, равную 1/2.

Для полного расчета всех исходных параметров задачи необходимо конкретизировать конфигурацию и расположение отверстий.

Предположим, что имеются два круглых отверстия, оси которых расположены под углом а*. Если — углы, отсчитываемые от оси

отверстий, то sin2 — , 4тг — Q -= 4к (sin2 — + sin2 —) , Sj =

2 <^2 2 I

— 7г/?2 sin3со, и все полученные ранее выражения принимают элементарный вид. Введенная конкретизация позволяет выписать в элементарных функциях векторные величины в центре полости. Так,

вектор плотности потока (массы или энергии) из входного отверстия расположен на его оси и имеет абсолютную величину, равную <7i — Я\sm2 toj. Аналогичный вектор отраженных молекул вычислим через проекции его на ось входного отверстия qrl = qr (sin2 <0j + + cos a* sin2 ш2) и на перпендикулярную ей ось в плоскости осей отверстий ^r = ^rsina* sin2 со2. Результирующий вектор потока определяется соотношением

Дг = (\ ——^ sin4 со, -4- sin4 <в» + 2 cos а* {1 ——^ sin2sin2 (В2.

я\ \ Яг) ‘ I Яг) 1

Для непроницаемой и теплоизолированной поверхности

Как частный случай при а* = и и со( 4- св2 = тг, т. е. когда сама полость отсутствует, полученные формулы определяют параметры на оси струи газа, эффундирующего в вакуум. При неограниченном удалении от источника -»0 получаются конечные значения массовой скорости и температуры:

- 2 . ^ Т Л 8 \

II оо — 7—тг- > со — i i i о I •

i/^i ч 3u/

4. Рассмотрим задачу о характеристиках сферической полости с двумя соосными отверстиями в гипертермическом потоке газа под углом атаки а. Такая задача возникает при использовании полости в качестве заборника или датчика параметров внешнего течения. Для гипертермического потока «^>2/?*. Г, и неоднородные части интегральных уравнений разрывны, так как потоки, приходящие из внешнего течения отличны от нуля только в „освещенной“ области, т. е. в тех точках поверхности, из которых луч, проведенный параллельно скорости набегающего потока, попадает ВО входное отверстие. Введем сферическую систему координат Y] 6,

обозначенную на фиг. 3. Границы между освещенной и затененной областью определяются следующим выражением:

с. coso),—cos7]cos'2íx

cos ft =---------—---------- .

sin yj sin 2a

Плотность потоков, приходящих на элемент поверхности без столкновений с ней, имеет вид:

q, _ í <7iCOsS — в освещенной области;

* 10 — в затененной области,

где cos 8 =. cos a cos r¡ 4~ sin a sinYj cos 6;

I Pi u¡ —для потока массы; и\

Piui~ñ---для потока кинетичес-

кой энергии.

Существует по крайней мере три случая, когда интеграл в решении (3) берется в элементарных функциях:

1) ----затенение отсутствует;

2) a = 0 — осесимметричное обтекание;

3) а = ----полусфера под углом 45°.

Для непроницаемой и теплоизолированной поверхности (¡3,.— 2 4

= —у) неизвестные постоянные части в решениях имеют вид: и, J

для первого и второго случаев

4ir=4i

cosa sin2 с«! — sin2 co2 _Г~ Sln^ + Sin’-J.'

Я ir = 91

У 2 те cos2 о)2 -)- те—2ш2 -f- sin 2cu2

^ 1/0 1 '2^2 1/2 + sin3^

Скалярные параметры газа в центре сферы теперь тоже известны:

3 Л те <7(>

„ - 1 т - V т-

-£-= 1 -f2 И,; — = 1 + — V і-Щ

Pi ' Яі ¿i «і I Р/ ?і

Рі»?

где = --у- .

Максимальных значений эти величины достигают при осесимметричном обтекании сферы (а = 0) без выходного отверстия (ш2 = 0) с точечным входом:

(о,->0; ^->1.

Я\

Коэффициент расхода в первом случае не зависит от угла атаки и идентичен коэффициенту расхода во втором случае:

sin

cos

a “і • 2 Ш1

2 — sin2 ~

sin'

В третьем случае вероятность прямого пролета составляет <р == -у те-1 (те sin2 ш2 2ш2 — sin 2ш2) и коэффициент расхода —

sin"

(И,

? = ?■

2 те COS2 со2+ те — 2шг+ sin2u)2

2те

1 /2 + sin2

Проекция вектора плотности отраженного потока (массы или энергии) на ось полости в первом случае

- 2

Яг i = Я\ cos а "з- (cos3 <в2 — cos3 ш) qir (sin2 cu — sin2 м2).

Проекция на перпендикулярное направление в плоскости оси и и скорости набегающего потока

Ягі- = <7iSÍna

(cos <о2 — COS О))-------g- (cos3 CU2 — COS3 u>)

Эти выражения справедливы для второго случая (а = 0), если ш заменить на ш,.

В третьем случае

_ 1/2 Г 2 1

Яг\=Я\-~ёГ соз3(и2+"^Г(1 “ 81п3<0г) + Яи соэ3 св2;

Яг± = Яі

V2

1 /2 cos3 со2 — 3/2 cos ш2 + — (1 — sin3 iu2)

Для вычисления результирующего вектора необходимо сложить полученные компоненты с соответствующими компонентами набегающего потока дп = д1соьл и а.

Величины массовой скорости и, давления р и температуры Т вычисляются алгебраически по имеющимся выражениям (4). Для сферы с единственным точечным отверстием и — 0, а значения р и Т достигают максимального значения:

' - _р1“' Л , 3 1

Ртх 3 (1+ а, V ь) •

7 »; 1 + 1;У¥

тах 3/?* 1 + 2и, V^2 '

5. На основании анализа полученных решений можно дать следующие рекомендации и выводы. Можно рекомендовать для вакуумных трубопроводов делать сферические сочленения, обеспечивающие сохранение расхода при любом развороте потока газа, движущегося только за счет теплового движения молекул. Выведенное в этом случае точное выражение для коэффициента расхода через сферу можно использовать для приближенного расчета расходов через короткие каналы других форм (круглые, конические, и загнутые).

Коэффициент уплотнения в центре сферы V = —— зависит ли-

Р1

нейно от коэффициента расхода, а производная этой зависимости однозначно определяется геометрией входа:

Плотность, давление и температура достигают своего максимального значения при отсутствии выходного отверстия в вакуум. Для теплоизолированной поверхности термодинамические параметры в полости стремятся при уменьшении выходного отверстия к значениям параметров газа в объеме, с которым эта полость соединена.

В случае гипертермического набегающего потока при отсутствии затенения или при осесимметричном обтекании коэффициент расхода и коэффициент уплотнения в центре тоже связаны линейно:

ч = 1 2 \гт§гсоэ а соз2-- (1 — <р).

Предельные значения в этом случае достигаются при стремлении к точечному не только выходного, но и входного отверстия.

Для теплоизолированной поверхности максимальное увеличение плотности газа равно

Наличие явной однозначной зависимости газодинамических параметров от геометрических характеристик полости позволяет на основании измерения одной и той же термодинамической величины в ее центре при различной геометрии полости получить необходимое число соотношений для определения параметров внешних относительно полости потоков.

В заключение автор приносит искреннюю благодарность О. Г. Фридлендеру за ценные консультации и В. Н. Гусеву за обсуждение результатов.

1. Лариш Э. „Изв, АН. СССР, Мех. и маш." 1960, № 3.

2. О т м а х о в а И. П. »Вестник МГУ', 1958, № 4.

3. М у с а н о в С. В. Труды ЦАГИ, вып. 1206, 1970.

4. Cha hl ne М. Т. Rarefied Gas Dynamics, Il Symp., 1961.

5. Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. Е. ЖВММФ АН СССР, т. 8, № 6, 1968.

6. Sumper W. Е. Pros. Phus. Soc., No 12, 1893.

7. T r e p a u d P., Brun E. Rarefied Qas Dynamics. V Symp., 1967.

8. Паттерсон Г. H. Молекулярное течение газов. М., Физмат-

гиз, 1960. •

9. Ф о к В. А. Труды ГОИ, т. 3, № 28, 1924.

10. С 1 a u s i n g P. Ann Phys., Bd. 12, S. 916, 1932.

11. Люб и то в Ю. Н. Расчет взаимодействия молекулярных потоков с ограждающими сосудами. М., .Наука*, 1964.

Pi

а плотности кинетической энергии

2

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 6/IV 1970 г.