Аэродинамические характеристики осесимметричных полостей в свободномолекулярном потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

____________У Ч Е Н Ы Е з А П И С К И Ц А Г И

ТО м III 197 2

№ 5

УДК 533.7

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛОСТЕЙ В СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ ПОТОКЕ

С. В. Мусанов '

В работе аналитически исследуется ряд аэродинамических характеристик сферической полости. Решена задача об оптимальных углах раствора, обеспечивающих для заданной длины полости и заданного выходного отверстия максимальный расход и сжатие потока в ее центре для случаев эффузии газа и гипертермического потока при незатененном или полностью затененном выходном отверстии.

1* / \

)е 1

/ —- I /

совая скорость газа, — газовая постоянная.

В работе [1] дано общее решение интегральных уравнений для сферической полости в свободномолекулярном потоке газа. В данной статье расширена область аналитического исследования аэродинамических характеристик, полученных при помощи этого решения. Используя материалы работы [2], удается получить некоторые результаты без ограничений на величину скоростного

отношения 5 = ит (2#* где и^ — мас-

Тж— температура, Эти данные можно использовать для приближенного расчета характеристик слабовогнутых полостей (коротких каналов) и полостей с малыми отверстиями, образующие которых отличны от окружностей.

В классе сферических полостей решена задача об оптимальных углах раствора, обеспечивающих для заданной длины полости и заданного выходного отверстия максимальный расход и сжатие потока в ее центре для трех случаев: эффузии газа (5 = 0) и гипертермического потока (5>1) при незатененном и полностью затененном выходном отверстии.

1. На сферическую полость, имеющую два соосных отверстия, набегает свободномолекулярный поток с массовой скоростью иж и углом атаки а (фиг. 1). Предполагается, что течение установившееся, а набегающие и отраженные молекулы имеют максвелловские функции распределения

Фиг. 1

/* = Н

е-9к (с-икУ

где р* =----------, & = оо для набегающего, к —г для отраженных потоков.

2К... Т ^

Параметры функции распределения набегающего потока известны. Функция распределения отраженных молекул изотропна (иг = 0). Параметры рг и нахо-

дятся из условий сохранения потоков массы и энергии, которые будут обозначаться символом q с верхними индексами т и е соответственно:

Pr = 2 VWrq?\ Vr = tfHr

Отсутствие индексов означает, что поведение этих характеристик идентично. Нижний индекс i соответствует потокам, проходящим в данную точку по-1верхности.

Ограничим рассмотрение предположениями о непроницаемости и теплоизо-лированности поверхности полости: qr = qi. Предположение о теплоизолирован-ности иногда заменяется заданием температурного параметра = const.

Напомним, что интегральные уравнения для произвольной полости имеют вид qr = <7; + qtr, где qi00— потоки, приходящие из набегающего течения,

a qir — потоки, приходящие после отражения. Замечательным свойством сферической полости является то, что на всей поверхности величины qir постоянны и вычисляются следующим образом:

a <Ш 00 —-----

qir= "О

я

(£2 — телесный угол, под которым видна эта полость из ее центра). В случае если рг = const, вычисление этой константы эквивалентно вычислению плотности массы и кинетической энергии отраженного газа в центре сферы:

В работе [1] эти константы были вычислены для случая 5 = 0 и произвольной геометрии отверстия, а также для гипертермического набегающего потока <5>1) при следующих ограничениях: либо затенение полости отсутствует <0 < а < Шоо — л/2), либо обтекание симметрично (а = 0), либо обтекается полусфера под углом атаки 45° (о>00 = те/2, а = л/4). Эти ограничения связаны с трудностями непосредственного вычисления квадратуры для в явном виде.

Однако использование интегральных законов сохранения массы или энергии дает новые соотношения для искомых квадратур:

Я2 Я Qir d& = Q /: — Qooo-

где R — радиус полости; Qco = flr00'4cx,— поток, входящий в полость; —площадь входа для потоков массы

q =---------------5!??— /, (5 cos а),

в1/2к112

ГОО

для потоков энергии

R3/2 1/2

/із (S COS о).

Функции 1/с(х) введены и изучены в работе [2]:

1 _ г Я^2 1

А = 2 е х!й, /о = 2 (1 “Ь ег^ •*)> А) = (2 -р х2) /) + 2 х^>'

В общем случае поток, проходящий полость без столкновений с поверхностью, <3000 = /?*^ qloodSl(1, выражается с помощью столь же сложного интеграла, что и искомый, и все же такой подход расширяет область аналитического исследования характеристик полости. Например, если выходное отверстие отсутствует (й0 = 0) или для гипертермического потока оно находится в тени, т. е. если С00о = 0> константа q^r вычисляется элементарно:

?оо ДМй»+ £<>)■

Здесь Qo—центральные телесные углы, под которыми видны вход и выход соответственно, 2^ + 20+ Q = 4я.

Таким образом, еще одним свойством течения в сферической полости является то, что отношение плотности потока, приходящего в любую точку сферической поверхности от полости, к плотности набегающего потока на входе, не зависит от параметров внешнего течения, если пролет молекул без столкновений отсутствует.

В случае гипертермического потока, если отсутствует затенение выходного отверстия, то (?оо о = А) 9оо > и опять это отношение не зависит от угла атаки набегающего потока:

qir Асо ~~ А<*

Чсо oc + Qo)'

2. Изложенный выше подход позволяет рассчитывать характеристики полости и без ограничений на величину скоростного отношения 5. Для случая симметричного обтекания полости в любой точке ее оси результаты работы [2] позволяют определить параметры газа, обусловленные молекулами, приходящими из набегающего потока.

Поперечные градиенты потоков через выходное отверстие будут малыми, если либо SJsin20co>l, где 0Q3—полуугол, под которым видно входное сечение из центра выходного, либо выходное отверстие мало (/-0 < R)- Обоим этим случаям соответствует следующая формула для расчета прямо пролетающих потоков:

<?оо о = Ао <?со (* “ cos2 е<х/*)-

Здесь

„ -S2 sin2 ем h cos бд,)

fk = e

{k = 1 для потоков массы, к — 13 для потоков энергии).

Таким образом, плотности массы, кинетической энергии в центре сферы для р, = const и коэффициент расхода через нее вычисляются без каких-либо дополнительных интегрирований по формулам:

- дт

J~- = l-coso>03f0(S,«>00) + 2 ,

Poo "со Poo

^ _1 -cos .ю/и№ »«,) + 2 У ^ q„— ;

QOTn + 8ro Ао r qir Q0/?21

^ [ °°/ft ( ’ 00) + Яао Ао I

где

5 Poo r /c,x Poo 0

Poo = TT72 (■5); eco — ~7Tr 11/2*<я(3)> ' 2 p it '

A00 — A0 (• — cos2 eoo/l)

lm = .*/, + -jj- I0; —zr = ---------------------.

2 /?*(Qco + Oo)

3. Кроме решения для эффузии газа, когда плотность отраженных потоков постоянна всюду на поверхности сферической полости, имеются два случая геометрического характера, дающие в пределе такое же решение:

1) случай маловогнутой полости или короткого канала -Д- « I;

4 я

2) случай полости с малыми отверстиями или замкнутой полости JL —

4 я

В обоих случаях значения qr определяются одинаково: qr=qir^L, где qir вычисляется способом, изложенным выше.

Если плотности отраженных потоков постоянны (qr = const), то расчет газодинамических функций в любой точке поля течения сводится к геометрическим квадратурам. Для оси полости эти квадратуры имеют элементарный вид:

Объединяя эти формулы с решением для молекулярного луча, можно выписать аэродинамические характеристики полости на выходе, по которым оценивается эффективность используемой геометрии для воздухозаборника или датчика параметров внешнего течения, если градиенты параметров поперек выходного отверстия не существенны.

Коэффициент уплотнения:

Если входное отверстие также мало, то столь же легко выписывается коэффициент внутреннего сопротивления полости:

где 60—полуугол, под которым видно выходное сечение из центра входного,

Так как при вычислении газодинамических функций интегрирование происходит по телесным углам, то в случае qT = const, если излучающая поверхность вписывается в заданный телесный угол, ее форма не имеет значения. При этом

Pw

= і- = COS -|- COS $0.

где

х отсчитывается по оси от входа.

Плотность потока импульса вдоль оси

Плотности потока массы или энергии

ЯіЛ = cos* — cos2 9(

Яг

Ч)>

где

ат = —-— ае =-----------

Ч' 2 У*р, ' г 2 $rV«$r'

Коэффициент

Коэффициент тяги

Рхх Рхх

Foo Г» О “Н Ff 00 F

pZ--^rh(S),h = iot-fo.

Фиг. 4

«существенными будут только опорные параметры полости: размеры отверстий г0 и расстояние между ними I. Соответствующие центральные углы вычисляются по формулам:

„2

c‘g “со = c*g ш0 =

L* + r\-

2 Lr, L2 + К

00 .2 00 “

2 Lr0

Чем точнее выполняются условия маловогнутости или замкнутости полости, тем большее отклонение от окружности допустимо в форме образующей, при котором условие qr = const остается справедливым. Таким образом, приведенные выражения годятся для приближенного описания аэродинамических характеристик полостей, отличных от сферической.

На фиг. 2—4 приведены результаты расчетов плотности потоков, приходящих в любую точку сферической поверхности после отражения от полости, Эти

данные одновременно характеризуют в случае постоянной температуры отраженных молекул увеличение плотности газа и плотности его кинетической энергии в центре сферы в зависимости от ее длины Ь/г0 и угла раствора 9 =

arctg .

,-г0

. Фиг. 2 соответствует эффузии газа в вакуум (S = 0), а фиг. 3 и 4 — гипертермическому набегающему потоку (S2 cos2a sin2 0^, > 1) для незатененного (0 < а < в) и полностью затененного > а 0 -)- выходного

отверстия. Одновременно на этих же фигурах нанесены соответствующие значения коэффициентов расхода <f = Q0jQx , где Q0—поток молекул, проходящих через выходное сечение. Для этих кривых ось абсцисс обращена влево. На фиг. 5 представлены для этих же случаев значения безразмерных расходов Q, отнесенных к расходу через отверстие, если бы полость перед ним отсутствовала:

— I Г \ 2

Q —<р( ~

Го

3 V

L/ra Юг

Фиг. 6

Эта величина для случая эффузии нанесена в правом углу нижней половины фигуры таким образом, что увеличение угла 0 происходит справа налево. Для сравнения приведены соответствующие значения расходов через конические каналы (пунктирные линии), взятые из работы [3] для гипертермического случая и Из работы [4] для эффузии. •

Из приведенных расчетов видно, что отличие в форме образующей дает разницу в расходе, не превышающую 1% для коротких каналов Z./r0 < 1. Она монотонно исчезает с его раскрытием в случае эффузии. Для гипертермического набегающего потока разница ведет себя так же не монотонно, как и сам расход. Ее максимум примерно совпадет с максимумом самого расхода. В отличие от течений с коническими каналами при использовании сферической полости расход нельзя увеличить более чем в два раза.

На фиг. 6 приведены оптимальные значения всех ранее представленных величин и соответствующие им оптимальные полууглы раствора сферических полостей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мусанов С. В. Сферическая полость в свободномолекулярном потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. И, № 2, 1971.

2. Мусанов С. В. Расчет газодинамических функций на оси осесимметричного молекулярного пучка. .Ученые записки ЦАГИ* т. 111, № 4, 1972.

3. Townsend S., Patterson G., Sinclair S. Free-molecule flow thvough conical tube. Rarefied Gas Dynamics. Ill Syrap., vol. 1, 1965.

4. IczkowskiR. P., MargvaveJ. L., RobinsonS. M. Effusion of gases through conical orifices. J. Phys. Chem., vol. b67, 1963.

Рукопись поступила 8/II 1972 г.