Параметры неравновесных молекулярных пучков Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т о м IV 197 3

№5

УДК 533.6.011.8

ПАРАМЕТРЫ НЕРАВНОВЕСНЫХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ

С. В. Му санов

Аналитически исследуется поведение газодинамических функций на оси осесимметричного свободномолекулярного пучка для широкого класса функций распределения скоростей молекул.

1. В работе [1] подробно исследовались параметры на оси свободномолекулярного пучка, имеющего равновесную (максвелловскую) функцию распределения скоростей молекул.

Неравновесные течения в ряде работ изучались путем введения различных функций распределения, включающих равновесную как частный случай. Так, в работе [2] применительно к течению разреженного газа от сферического источника была введена эллиптическая функция распределения, имеющего различный температурный разброс в разных направлениях.

Для исследования интенсивности молекулярных пучков эта функция была использована в работах [3] и [4] при трех ограничениях: поток гиперзвуковой, диаметр скиммера мал по сравнению с расстоянием до сопла и до исследуемой точки.

В работе[5] для абсолютно коллимированного пучка молекул (молекулы движутся только в направлении, параллельном массовой скорости) вводилась степенная функция распределения, отличающаяся от максвелловской множителем в виде абсолютной величины скорости молекулы в степени п (п — целое).

В данной работе исследуется поведение газодинамических параметров на оси свободномолекулярного пучка, причем течения от сферического источника, из круглого отверстия, от точечного источника и абсолютно коллимированный поток рассматриваются как частные случаи в предположении, что функция распределения имеет вид, обобщающий оба упомянутых выше типа.

В ряде случаев удавалось решить обратную задачу: по измеренным в данной точке газодинамическим величинам определить параметры функции распределения.

2. Предположим, что от сферы радиусом г0 начинается свободномолекулярное течение в вакуум (фиг. 1). На расстоянии дгск от центра сферы установлен скиммер с радиусом входа гск, который формирует молекулярный пучок (х^к + г\к— >/ц). Молекулами, отраженными от скиммера, в этом исследовании пренебрегаем.

Исследуемая точка находится на расстоянии х от входа скиммера. Если из нее вход скиммера виден под углом, большим, чем угол, под которым видна стартовая сфера, то сферичность течения в ней не нарушается. Предположим, что за скиммером устанавливается один (или больше) коллиматор. Коллиматор, вход которого виден под наименьшим углом, будет работать как скиммер, а возмущения от других устройств в эту точку проникнуть не могут.

7— Ученые записки ЦАГИ № о

97

Наиболее интересен случай, когда вход скиммера совпадает с поверхностью разлета (гс = г0). При этом в первом приближении моделируется метод создания молекулярных пучков при помощи вырезания центральной части газодинамической струи, предложенный в работе [6].

Частными случаями рассматриваемой задачи являются течения от сферического источника гск > г0, из круглого отверстия гск « г0 и от точечного источника гск С х. Одновременное выполнение двух последних условий соответствует задаче для абсолютно коллимированного пучка (молекулярного луча).

Предполагаем, что на поверхности разлета молекулы имеют следующую функцию распределения скоростей:

/=РоЛ« с"ехр(~ рх с2х)ехр [—р„ (С||-ц0)*].

Здесь

С|1 = ссоз*Р" — проекция скорости молекулы на направление массовой скорости, совпадающее с нормалью к поверхности; с, = с sin 'Г •— проекция скорости молекулы па плоскость, перпендикулярную массовой скорости;

81 —-----------------!——мера температурного разброса в соответствующем направлении;

T°t

— газовая постоянная;

Ап — размерный нормировочный множитель, который выбирается из условия, что интеграл от функции распределения по всем скоростям в однородном пространстве равен плотности газа;

р» = 1П^

—00 .

Газодинамические функции в поле свободномолекулярного течения представляют собой различные трехмерные, моменты от функции распределения. Если они отнесены к параметрам некоторой точки поля течения, то кроме геометрических параметров они будут зависеть от трех безразмерных параметров функции распределения: скоростного отношения 5 = р|1/2м0, параметра эллиптич-

ч т°.

кости S=1jL = —1L и показателя степени и. Параметр эллиптичности характери-

Р || < .

зует пространственную температурную анизотропию движущихся молекул и может изменяться в диапазоне от нуля до бесконечности. Параметр п характеризует отклонение распределения молекул от равновесного в сторону увеличения числа быстрых молекул, если О, ив сторону увеличения числа медленных молекул, если п <[ 0. Этот параметр не может быть меньше — 2, так как в этом случае функция распределения не может быть нормирована без дополнительных ограничений. Для я = 0 и Э = 1 функция распределения превращается в равновесную, максвелловскую. Независимо от вида образующей осесимметричной стартовой поверхности выпишем основные газодинамические функции на оси пучка. .

После интегрирования по абсолютным величинам скоростей молекул иг по координате, относительно которой течение однородно, получаем пять основных газодинамических функций в следующем виде:

плотность потока массы и энергии вдоль оси —

л о % S*(l—2>>)

Г~ J ---------^+>~ In+3(Sb) cos? sin у dr,

= Р°ЧЛ+6- J -■ S6 - 7«+5 (56) C0S * Sin ? dr’ 2Р„2 U

плотность и кинетическая энергия единицы объема —

9

?«Ап2~ С е... ,9а(1_й * . / 2(S6) sin <

П+З J Яя+3 ”+2'' '

й 2 и ® Pll

а«+5

2Р||2 “ .

плотность потока осевой составляющей импульса вдоль оси —

Рхх “ J —----------- f„+4 т cos* 9 sin <р rfcp,

р7 0 й

где в2 = COS2 41 + р Sin2 ф; Ь = —os ^ .

а

Определение и свойства функций /* изложены в п. 5.

Остальные газодинамические функции вычисляются через выписанные как

их алгебраические комбинации скорость « = статическое давление

Р

= 2е — ри)3, температура в направлении оси /?* TX—^L — м2, температура 3 р

в направлении, перпендикулярном оси /?*, Ту = — — .

Р 2р

Для стартовой поверхности в виде сферического сегмента существует

простая зависимость между углами f и f sin ^ sin <р. Для сферического те-

го

I г° ■ \

чения I— = sm<f0l плотности потоков массы и энергии изменяются по очень

простой зависимости q/qs — (r0/r)2 безотносительно от вида функции распределения. Индексом s обозначаем соответствующий газодинамический параметр на стартовой поверхности.

При определенных геометрических ограничениях и значениях параметров функции распределения выписанные квадратуры удается получить в явном виде.

3. Рассмотрим истечение газа в вакуум, когда массовой скоростью в функции распределения можно пренебречь (S =0, эффузия газа). В этом случае можно выписать выражения для любой газодинамической характеристики при произвольных п и р. Наиболее простой вид получается у выражения для плотностей потоков массы и энергии:

Я г0

—к

Яг \ Г 1 _ А

1 — р 2

где для потоков массы к = п + 2, для потоков энергии й = и + 4, Яо = со8*ф04-+ рв1п2ф0; Фо — максимальный угол между лучом, попадающим из исследуемой

8— Ученые записки ЦАГИ № 5 99

точки на поверхность свободномолекулярного разлета, и нормалью к ней. Для сферического течения ф0 = я/2; для точек оси, где сферическое течение возмущено скиммером, справедливо следующее геометрическое соотношение: sin фо = rclr0 sin (7 + <ро). где f = arc sin rCKlrc, <у0 = arctg rCKlx. Такой же вид имеет изменение ПЛОТНОСТИ И кинетической энергии ДЛЯ точечного источника (?оС1> рхх — 2®)» причем k = n+ 1 для плотности р и k =и + 3 для энергии Е.

Если р = 1, то при любых п изменение газодинамических величин при удалении от источника идентично изменению в равновесном случае.

Выпишем три последние газодинамические функции для п = 0, но без геометрических ограничений:

Го

Цр

Д

А (Р — 2)

где

Д = 1 — В —

1 -

Рхх_________г0

Pxxs V Г

COS Фо

1 -I

«о

ГЛL\2 2

COS<p0

«о

2 2_ д

COSfo

«о

[*-(*)

ьиж

Комбинируя полученные выражения, получим соотношения для скорости и температур: •

и

И.С

_Д_ — 1

1

а0 cos <р0 . А [ ]хх

'-1 [ L

70

1 I ].

з [ ,]р'

и

ЙТ

2

Зтс

На стартовой поверхности температуры равняются:

Ts - 1 /) _|_ 2 V 2 . Txs , _ 2 .

т° 3 \ ~ 8 I Згс ’ Т° Я ’

Последнее равенство справедливо при п — 0 для любых р и 5.

Значения скорости и температуры для точечного источника существенным образом зависят от кривизны поверхности в связи с пространственной температурной неравновесностью ([3 ф 1). Для сферического источника (г1 — г0)

_^о

и.

1 +

1

а 1/2

«3/2-

1

т°

* II

РФ

1/2-

1)

_ 2 7 «оо \2 - '.Щ V Ы, ) '■

В противоположном случае (г4 г0) значения скорости и.температуры от параметра р не зависят: >

= 2;

' = 3

II о

Интересной особенностью свободномолекулярного раЗлета является немонотонность изменения температуры Тх (фиг. 2). Для сферического источника положение минимума температуры определяется простой'формулой' • м

СО8<?0тт = Р1/2 2к-\ • ".: ■' ' . ' . ‘

При увеличении р при достаточно малых гск/г0 возмойяо немонотонное поведение и средней температуры Т. ■ ........

4. Для того, чтобы проинтегрировать основные квадратуры при произвольном скоростном отношении, использовав интегральные свойства, описанные в п. 5, достаточно следующих условий. Для плотностей потоков массы и энергии либо величины п должны быть четными, либо р = 1. Остальные три функции интегрируются при этих же условиях и дополнительном ограничении гск С г0, т. е. при истечении из отверстия. Для точечного источника интегрирование этих же функций возможно либо при нечетных и, либо при [3 =1.

Если отнести газодинамические функции на оси за скиммером к газодинамическим функциям, соответствующим сферическому течению, то все геометрические характеристики в перечисленных выше случаях сводятся к единственной

cos Фп

комбинации Sba, где Ь0 = —-—, Величины отклонений плотностей потоков

UQ

Cf |>ф 1" ■ Q

массы и кинетической энергии Д<7 =—------------- от соответствующих сферическому

9сф

течению для гиперзвукового молекулярного луча Sb0 > 1, имеют следующий вид: при (S = 1

Дqm — cos3+” фо е—5іі1па Дqe = cos5+n ф0 є-5281"1'*'0;

при п — О

,3 Г*11-*. - A

al

Отсюда видно, что увеличение 5, п и р приводит к уменьшению отклонения данных характеристик от соответствующих значений в сферическом течении

Таким образом, отклонение распределения молекул от равновесного в сторону увеличения числа быстрых молекул по сравнению с медленными или уменьшение теплового разброса в направлениии, перпендикулярном массовой скорости, по сравнению с тепловым разбросом вдоль нее приводит как бы к увеличению эффективного скоростного отношения.

Полученные формулы могут быть использованы для определения параметров функции распределения в результате экспериментального измерения газодинамических величин. Устанавливая скиммер, заведомо не нарушающий сферичности течения в точке, где помещен детектор, и затем заменяя его на более узкий, такой чтобы отклонения измеряемой величины были хорошо регистрируемыми, либо путем численной инверсии, либо графически подбирают искомые величины. Наиболее удобными для измерения являются потоки массы, энергии и импульса. Кроме того, для сферического течения плотности этих величин имеют наиболее простую закономерность убывания q/qs = (г01г)г (для рхх последнее справедливо при 5> I). На фиг. 3 показан характер изменения Дqm для л = 0 в зависимости от S и 60- Характер зависимостей Дqe и Ьрхх аналогичен.

Аналитически обратная задача легко решается для гиперзвукового течения 3b0 > 1. При р = 1

cos2 Ф0 = .

Д Ят

таким способом уточняется положение поверхности разлета относительно скиммера:

уг — (” + 3) 1п Ьо — 1п ^Ят 1-6* ‘

Отсюда можно определить S, если известно я, либо и, если известно S.

При п = 0 величина скоростного отношения находится по последней формуле, а величина параметра эллиптичности по формуле

\1/2

I COS фо — COS2 фо sin2 фо ■

В заключение отметим, что если поток состоит из газов, имеющих различные функции распределения, то полученные соотношения можно использовать-для расчета свободномолекулярной сепарации. Эффект сепарации увеличивается по мере изменения геометрических параметров пучка в сторону параметров молекулярного луча и увеличения отношения эффективных скоростных отношений.

Р-

ДЧт

Me

П=0

О 5 ГО в

Фиг. 3

ОО

5. На всей оси х (—оо, оо) функции 1к (*) = ^ е~**(Ь+х)к сИ (£=0, 1,^2, 3... )

—X

принимают только положительные значения:

/0 = 2~ (1 + еИ х)', /] = х10 + ~2~ е х ; /* = Нк /0 Н к 2 е * ’

где Нк и Я*—многочлены, которые обладают так же, как 1к, следующим рекур-

& -- 1

рентным свойством; —2— ^а-2 (£>2). Между собой эти функции

связаны соотношениями:

нк-1 - Ь-х Ни = (-1 )* ;

1кНк-\~ — ^ 2 *—1 ^°’ х — Н к_хН к — (—\)к—■

Дифференциальные свойства /й и //*:

/* + 2х/; - Шк = О (й>0);

/*)' = 2*** /А+1; [** (/„ /я+1 - /я+1 /„)]' = (и - и) /„ 1т е* ■

Здесь вместо любого /* может быть подставлено Нк.

120

Асимптотические свойства: при х С 1

/* =

2|*|ft+1 L2*

f— L 2*

+0

/■* (0)=

(2л — 1)!! ,— t n

—— у it для k = 2n,

2nV.

2<i+i

j- для k = 2л + 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. M у с а н о в С. В. Расчеты газодинамических функций на оси осесимметричного молекулярного пучка. .Ученые записки ЦАГИ*, т. III, № 4, 1972.

2. Hamel В. В., Willis D. R. Kinetic theory of source flow expansion with application to the free jet. The Physics of Fluids, vol. 9, No 5, 1966.

3. Le Roy R. L., Q о v e r s T. R. Ideal intensities of supersonic molecular beams. Canadian Journal of Chemistry, vol. 48, No 11, 1970.

4. T о r r e 11 о F. Studies of translational freezing of free expanding jets using moleculal beam techniqus. AIAA J., vol. 9, No 9, 1971.

5. A1 с a 1 a у J. A., К n u t h E. L. Molecular beam time—of—flight spectroscopy. Revwe of Scientific Instruments, vol. 40, No 3, 1969,

6. Kantrowitz A., Gray J. A high intensity source for the molecular beam. Part I. Theoretical Revwe of Scientific Instruments, vol. 22, No 5, 1951.

Рукопись поступила 5/Х 1972