CC BY
10УДК.517.925.51
S.A. Strekopytov, O.S. Strekopytova
NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE QUASI-PERIODICITY CONTINUOUS FUNCTIONS
The article offers the necessary and sufficient conditions for the quasi-periodicity continuous functions, derivatives and primitives.
Keywords: quasi-periodic function, derivative, antiderivative.
С.А. Стрекопытов1, О.С. Стрекопытова2
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ КВАЗИПЕРИОДИЧНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
В статье предлагаются необходимые и достаточные условия квазипериодичности непрерывных функций, их производных и первообразных.
Ключевые слова: квазипериодическая функция, производная, первообразная.
Для математического описания многочастотных колебаний в реальных системах используют аппарат квазипериодических функций, и поэтому естественно начать с краткого обзора их свойств.
Пусть [11] ю1,...,ют- положительные числа, такие, что при любых целых кь..., ^ ^ии + ... + ^ю^ 0 (1.1)
F(z1,..., zm) - вещественная непрерывная функция, определённая при любых вещественных значениях своих аргументов, и
F(Z1 + 2л|,., Zm + = F(Z1,., Zm) (1.2)
Тогда определённая для любых te (- да, + да) функция ОД = = F(ю1t, ... ю^) называется квазипериодической.
Таким образом, вещественная непрерывная, 2л-периодическая функция нескольких переменных определяет квазипериодическую функцию ОД при заданном наборе частот ю^...^, которые удовлетворяют условию (1.1), их называют несоизмеримыми.
В дальнейшем, говоря о наборе частот ю1,.,ют, всегда будем предполагать, что они несоизмеримы, если не возникнет необходимость рассмотреть случай, когда ю1,., ют не удовлетворяют этому условию, то на это будет указано.
Рассмотрим теперь две функции F(z1,..., zm) и С^,..., zm) еС^), С^) -множество вещественных, непрерывных, 2л-периодических функций т переменных, определённых для всех zeEm, ^ - т - мерный тор.
Положим 2к = Ю|Д, к = 1,т, если F(ю1t, ... ют) = С(ю4, ... ю^). Можно ли
утверждать [13], что F(z1,..., zm) ^С^,..., zm)?
В силу непрерывности функций F(z) и СФ тождество будет верным тогда и только тогда, когда = 0>(т) для любого ге\л/, где \л/ - множество всюду плотное в множестве К = [0^2л:], т.е. в множестве всех векторов пространства Ет, компоненты которых
могут принимать любое значение из промежутка [0, 2л]. Действительно [15], ш всюду плотно в к, если для любого е> 0 и любого гек существует такой, что ||2-/||<е,
поэтому для любого гек существует последовательность Е IV, что
^ = тогда в силу непрерывности и С(г) существует1нпп_)о0 F(z7г) и
1ПТЦ_:.: 6ч ) ,они равны соответственно F(z) и С(z) и, по предположению, равны между собой, следовательно, F(z) [17].
1 Стрекопытов С.А., доцент кафедры финансов и статистики, кандидат физико-математических наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), г. Санкт-Петербург
Strekopytov S.A., Associate Professor of the Department of Finance and Statistics, PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor; St. Petersburg State Technological Institute (Technical University), St. Petersburg E-mail: [email protected]
2 Стрекопытова О.С., аспирантка, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург Strekopytova O.S., Postgraduate, St. Petersburg State University, St. Petersburg
Теорема 1. Непрерывная функция f(t), определённая при te (-да, +да), тогда и только тогда будет квазипериодической, когда для любой последовательности tn такой,
что lirnn_)+o0 COtn= z(mod 2JT), zeEm,
оз= (оз-i,..., com) существует lim f(tи).
Доказательство. Пусть f(t) = F(coit, ... comt), F(zh ... zm) eC(Jm), тогда в силу
равномерной непрерывности F(z1, ... zm), если linij^+oo COtn= z(mod 2тг), то
Теперь пусть для любой последовательности tn такой, что lim
z(mod 2Jl)zeEm, существует lim /(tn).Тогда, если tn
71—> + »
ut-^такие, что ШПд^+д, ü)tn = lim^+aj ü) tn = z(mod 2n), TO
lim /(t„)= lim f(tn ), в противном случае для последовательности
tn,составленной из tnv\ tn, lim^^+^j ü) tn = z(mod 2л), но не существовало бы
iim /(г;;).
Таким образом, поскольку по теореме для любого zeEm существует такая последовательность tn, что lim^^+j, &)tn= z(mod2Jl) мы можем определить функцию F(z), определённую на всём Ет:
Уже из определения видно, что F(z1, ... zm) - 2л-периодичная функция по всем переменным. Покажем, что F(z) непрерывна во всей области определения. Зададим три последовательности xn—z, sn— 0, Sn— 0
при п->+оо, из сказанного следует, что последовательность tn, для которой
- <^n(mod 2л), i = 1,171, I f(tn) - F(xn) < ,
Тогда lim
о)tn = lim ( ü)tn - хп + хп) = lim ( а)tn - хп)
lim л'5, =
71—» + 30
71-Э + »
= z(mod 2тг),и lim F(xn) = lim (F(xn) -/(£„)) + lim/(tn)=F(z),
71—> + 30 71—> + 30 71—s + 30
т.е. F(z) непрерывна при любом zeEm. Рассмотрим:
F(a-,t, ... comt)= lim /(tn) Iimit^,(OtTi= Wt(mod 2Jl), но если t—>tn,
71—>+00
то тем более Cütn OJt(mod 271) при n^+oo, поэтомуР(ю^,
при n ^+да
am
t)= lim /(t„) — /(t),4To и требовалось доказать.
Tl-i + зе
Теорема 2. Для того чтобы производная квазипериодической функции f(t) также была квазипериодической функцией, необходимо и достаточно, чтобы производная была равномерно непрерывной функцией на промежутке (-да,+да).
Необходимость ясна, т.к. уже было показано, что квазипериодическая функция равномерно непрерывна.
Для доказательства достаточности условия, следуя теореме 1, нужно показать,
что для любой последовательности tn такой, что НгПд^+д, 0)tn= z(mod27r), zeEm, существует lim f (£n), а для этого достаточно показать, что для любого е> О
71-Э+ОО
существует такое N, что при n>N, k>N,
\ fX*n> fXtJ\<4
Поскольку ОД равномерно непрерывна, независимо от Ъ для любого е> 0 существует такое 5> 0, что при |а|<5 выполняется условие
I- ~~ I С'п )1 <-> Функция ---- при фиксированном а
а 3 а
квазипериодическая, поэтому для уже выбранного е> 0 существует такое N1, что при п,
, /С*п+дО-/С*гО С^З I , £
к>Ы выполняется --- < —.
а а 1 3
Возьмём теперь указанное Ы, а, меньшее по абсолютной величине чем 5, п, к>Ы и
рассмотрим:
ГЮ-Пь) ^ /хи - Мглы
а
а
I + + I
а
а
г г г S —I---1— — с, что и требовалось
3 3 3
доказать.
Теорема 3. Для того чтобы первообразная квазипериодической функции f(t) была квазипериодической функцией, необходимо и достаточно, чтобы первообразная была ограниченной функцией на промежутке
Необходимость следует из того, что квазипериодическая функция ограничена.
Лемма. Если ОД квазипериодическая функция и
Slip /о /(О = 771, Slip /J/(О = М,te (-оо+оо) te (-оо+оо), то для любого е> 0 существует такое L, что любой промежуток [а, а + L] содержит t1 и t2, для которых М- J^/COdl <eJ*2 f(l)dl - Ш < С.
Действительно, пусть Т1 и Т2 такие, что
M-J^/COdT < J, U fif)dz -т т^ы =d.
Для любого е> 0 существует такое Ц> 0, что любой промежуток [а, а + Ц] содержит т, для которого] (»¿Т| < <5(тос1 2л), I = 1,771. Выберем 5 так, чтобы] /(£ + т) — /(£)| ПРИ всех1е (-оо,+оо), и рассмотрим:
rlL-T т гГ2+Т rl i-гт
/(£) dt - /(£) dT = fit) d т = I /(£ + т) d£ = 'O Jo JT2+t Jr2
г TL Г TL
/(£) d£ + [/(t + т ) — /(£ )]dt >M-m-£,
J TL JTL
7"1 Н~Т i 1
Поэтому М — 1 /(С С <е, и/02 £ — 777 <е, следовательно,
в качестве 1! можно взять любое из чисел Т + т, а в качестве 12 любое из чисел Т2 + т, и значит любой промежуток [а, а + Ц] содержит и то, и другое, т.е. 1_ = Ц.
Лемма доказана.
Из доказательства леммы также следует, что если Т Е- Т £
м— ^{11 < —, и /(1 )(И —тп < — , то существует такое 5>0, что
Тп+т
для любого т, удовлетворяющего системе неравенств | (OiT| < <5(mod2Jr)j i — 1,777,
будет М — J^1 +Т / (t ) dt<E и J^^/CO dt - m < £ .
Г,+т
Теперь перейдём к доказательству достаточности условия теоремы. Покажем, что при выполнении этого условия будет выполнено условие теоремы 1.
Если последовательность ^ такова, что Нт7г_)+.э0 £п= г(тос12л),то существует 1нп /(£)(#.
В силу леммы для любого е>0 существует такое 1_>0, что всякий промежуток 1_,
С £
У содержит Бп, для которого М— ^ /(£)£2£ < -.
Как было отмечено раньше, существует такое 5>0, что для любого т, удовлетворяющего системе неравенств которого | < <5(п^2л),
I = 1,771 будет М- {¡^^/(^ )(1 t<E , \ f(t + т) - f(t )| I е (-оо,+оо)
и, наконец, существует такое N1, что при т, к>Ы | — £й)| < 5"(п^27г). Возьмем
сколь угодно малое е>0, по нему укажем Бп и 5, далее найдём N и при п, к > N1, Г., — Г;, = Г рассмотрим
Это означает, что рассматриваемый предел существует и, поэтому, первообразная функции ОД является квазипериодической функцией. Теорема доказана.
В заключение этого параграфа нужно сказать об одном важном свойстве несоизмеримых чисел.
Теорема 4. Если юч,...^ - несоизмеримые положительные вещественные числа, то множество чисел, представимых в виде
кчют+ ... + ктют, где кч, ..., кт - целые числа, всюду плотно в множестве вещественных чисел.
Доказательство. Пусть юч наибольшее из юч,.,ют. Разобьём всё множество вещественных чисел на промежутки [1юч, (1+1) юч], I - целое число, каждый из этих промежутков, в свою очередь, разделим на п равных частей. Если вещественное число а принадлежит 1-му отрезку промежутка [1юч, (1+1) юч], то поставим ему в соответствие индекс 1|. Так как чисел, которые можно представить в виде к2ю2 + ■■ + ктют, где к2, ..., кт - целые числа, бесконечное множество, найдутся, по крайней мере, два различных набора целых чисел - к2, ..., кт и к'2...к'т таких, что числа к2ю2 + ... + ктют и к'2ю2...к'тют будут иметь одинаковую вторую часть индекса, а тогда существует такое целое к-ь
поэтому, какое бы вещественное число с мы ни взяли, найдётся такое целое число р, что I с ~ РУ\ — —п - может быть любым, число ру представляется в виде к1оэт+ ... +
ктют, поэтому теорему можно считать доказанной.
Замечание. Чисел, представимых в виде кчют+ ... +ктют, кч, ..., кт - целые числа, счётное множество, т.е. их можно перенумеровать, если теперь число под номером п
£
покрыть интервалом длины —, е - любое положительное число, то всё множество этих
2п
чисел будет покрыто интервалами, сумма длин которых равна е. Список использованных источников
1. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. - Л.: Изд. "Суд-промгиз", 1962. - 632 с.
2. Зубов В.И. Устойчивость движения. - М.: Изд. "Высшая школа", 1973. - 272 с.
3. Зубов В.И. Периодические динамические системы: учебное пособие. - Саранск: Изд. Мордовского ун-та, 1982. - 88 с.
4. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. - М.: Изд. "Наука", 1987. - 304 с.
5. Зубов В.И. Колебания и волны: Учеб. пособие. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1989. - 416 с.
6. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний: В 2 ч. - Ч. 1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1992. - 368 с.
7. Стрекопытова М.В. Качественный анализ равновесных траекторий: Учебное пособие. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1997. - 80 с.
8. Стрекопытов С.А. Аналитическая динамика квазипериодических систем / Под ред. В.Н. Щенникова. - СПб.: Мобильность-плюс, 2007. - 92 с.
9. Стрекопытов С.А., Стрекопытова М.В. Устойчивость по Пуассону / Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2008. - № 63. - С. 113-114.
10. Стрекопытов С.А., Королёва О.А., Ерёмин Д.С. Анализ динамических квазипериодических систем / Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2008. - № 63. - С. 108-110.
11. Зубов А.В., Стрекопытова О.С., Стрекопытов С.А. Орбитальная устойчивость равновесного решения / Журнал средневолжского математического общества. - 2012. -Т. 14(2). - С. 143-147.
12. Зубов А.В., Стрекопытова О.С., Стрекопытов С.А. Метод малого параметра А. Пуанкаре / Вестник Мордовского университета. - 2012. - № 2. - С. 38-40.
13. Зубов В.И., Зубов И.В., Зубова А.Ф., Стрекопытова О.С. Существование автоколебаний в динамических системах, устойчивых по Лагранжу / Журнал средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15. - № 3. - С. 166-168.
14. Зубов С.В., Стрекопытова М.В., Стрекопытова О.С. Обобщение рёберной теоремы / Журнал средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15. - № 3. - С. 169-172.
15. Стрекопытов С.А. Теория квазипериодических систем. Монография - СПб.: ВВМ, 2014. - С. 175.
16. Стрекопытова М.В. Анализ равновесных движений. Монография. - СПб.: СПбГУ. - 2014. - С. 176.
17. Стрекопытов С.А., Стрекопытова М.В. Интегральные кривые на т-мерном торе / Журнал "Экономический вектор". - СПб.: Изд-во СПбГТИ(ТУ). - 2016. - № 1(4). - С. 51-60.
