ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ НА M-МЕРНОМ ТОРЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК.517.925.51

S.A. Strekopytov, M.V. Strekopytova

INTEGRAL CURVES IN THE M-DIMENSIONAL TORUS

We consider an autonomous system of differential equations in the m-dimensional torus and the geometric structure of integrated sets. The problem of constructing a system of differential equations in the m-dimensional torus on a given integral curve everywhere dense on the m-dimensional torus.

Keywords: system of differential equations in the m-dimensional torus, invariant sets, the limit points of the integral curves.

С.А. Стрекопытов1, М.В. Стрекопытова2

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ НА МЕРНОМ ТОРЕ

Рассматриваются автономные системы дифференциальных уравнений на т-мерном торе. Изучается геометрическая структура их интегральных множеств. Решена задача построения системы дифференциальных уравнений на т-мерном торе по заданной интегральной кривой всюду плотной на т-мерном торе.

Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений на т-мерном торе, инвариантные множества, предельные точки интегральных кривых.

1. Общие свойства интегральных кривых на т-мерном торе

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

= = А г), (1.1)

аг

векторная функция р(г) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица всюду Еп, кроме того, р(г) = р(г + Ф), Ф = 2л (к1, ..., кт), к1, ..., кт - целые числа, тогда для любого г0 е Ет существует единственное решение г0) системы (1.1), определённое для всех 1 е (-да,+о>) и такое, что г(о, г0) = г0, функция г0):

1) определена для любых 1 е (-да,+да) и е Ет, г0) е Ет, г(0, г0) =

2) непрерывна по совокупности своих аргументов;

3) для любых 1 и ^ е (-да,+да):

г(г + гх, го) = г(г, г(гх, г0)),

4) для любых 1 е (-да,+да) и г0 е Ет:

г(г, го + Ф) = г (?, г0) + Ф,

При фиксированном г0 е Ет функция г0) задаёт в фазовом пространстве системы (1.1) интегральную кривую.

Теорема 1.1. Для любых е > 0 и Т > 0 существует такое 5(е, Т) > 0, что при 1К —будет ||г(г,х0) — г(г,^)|| <е для всех /1/ > Т.

Доказательство. В силу свойства (4) функции г0) утверждение теоремы достаточно доказать для г0 и е Ет, компоненты которых принимают значения из промежутка [0, 2л], обозначим множество таких элементов пространства Ет через s.

Предположим, что утверждение теоремы неверно, тогда существуют е > 0, Т > 0, последовательности 5к, гк, ), к) такие, что 5к > 0,

" (кЛ^Х Л*Л*

при k ^ +«,, /tk/ < T, \\z0k) -zH <Sk и \z(tk,z(k))-z(tk,zH = e.

1 Стрекопытов С.А., доцент кафедры финансов и статистики, кандидат физико-математических наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), г. Санкт-Петербург

Strekopytov S.A., Associate Professor of the Department of Finance and Statistics, PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor; St. Petersburg State Technological Institute (Technical University), St. Petersburg

E-mail: [email protected]

2 Стрекопытова М.В., старший научный сотрудник, кандидат физико-математических наук; Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург

Strekopytova M.V., Senior Researcher, PhD in Physical and Mathematical Sciences; St. Petersburg State University, St. Petersburg

Выделим из последовательности tk сходящуюся подпоследовательность tn ^ to, из

(к) (к) (п) (п) последовательностей z( ) и z( ) последовательности z( и z( ) такие, что

lim z<") = lim z<") = za.

п я^+ад

Теперь рассмотрим:

К,z^)-z(tn,z^H <||z(tn,zOn))-z(to,zo)|| + + 11 z(tn, z1n)) - z(to, zo )||,

т.к. функция z(t, zo) непрерывна по совокупности переменных, то оба слагаемых, а с ними и сумма стремятся к нулю, это противоречит сделанному предположению, поэтому утверждение теоремы верно.

Замечание. Если в утверждении теоремы условие ||zo — zj <8 заменить условием ||zo — zj < 8(mod 2ж), то для всех /t/ < T будет

||z(t, zo) — z(t, z,)\\ <s(mod 2ж),

действительно если ||z0 — zx)|| <8 (mod 2ж), то найдётся z2 = z! + Ф, для

которого ||zo — z2|| <8, тогда по теореме ||z(t, zo) — z(t, z2)|| для всех /t/ < T, откуда согласно свойству (4) функции z(t, zo) получаем

||z(t, zo) — z(t, z)|| <s (mod 2n).

Определение. Множество А e Em называется инвариантным множеством системы (1.1), если для любого zo e A z(t, zo) e A при всех t e (-ад,+ад), т.е. это множество, которое целиком состоит из интегральных кривых системы (1.1).

Опять же в силу свойства (4) функции z(t, zo), если А - инвариантное множество системы (1.1), то множество R = {z e Em: z = z-i +Ф, z4 e А} тоже будет инвариантным множеством системы (1.1).

Теорема 1.2. Замыкание инвариантного множества А системы (1.1) также является инвариантным множеством системы (1.1).

Доказательство. Пусть zo e A, замыкание множества А, если z e А, то z(t, zo) e А при всех t e (-ад,+ад), и поэтому z(t, z0) e A при всех t e (-ад,+ад).

Пусть теперь zo e A \ A, тогда существует последовательность z(n) e A такая, что lim z(n) = za, а поскольку функция z(t, zo) непрерывна по совокупности переменных,

п^+ад

z(t,z0) = lim z(t,z(n)) для любых t e (-ад,+ад), следовательно, z(t, z ) e A .

п^+ад o

Следствие. Граница открытого инвариантного множества есть инвариантное множество.

Действительно, в доказательстве теоремы показано, что если zo e A \ A, то z(t, z0) e A при всех t e (-ад,+ад). Предположим, что существует такое t-ь что z(t-5 zo) e A, тогда

z(t, z(t, za)) e A при всех t e (-ад,+ад), но z(t, z(tx, za)) = z(o, za) = z0 e A, получим противоречие z(t, zo ) e A \ A.

Следствие. Если А инвариантное множество, то A1 = A\A также инвариантное

множество.

Доказательство повторяет предыдущее.

Следствие. Если А и В инвариантные множества, то A\Jß, A[\ß, A\ß, ß \ A, СА тоже инвариантные множества.

Выделим в множестве A точки, которые могут быть представлены в виде предела сходящийся последовательности точек, принадлежащих одной и той же интегральной кривой из инвариантного множества.

Определение. Точка q называется ю-предельной (а-предельной) точкой интегральной кривой z(t1, zo), если существует такая последовательность t ^ (tn ^ -

»), что q = lim z(tn, zo).

Теорема 1.3. Множество Р всех ю-предельных (a-предельных) точек интегральной кривой z(t1, zo) инвариантно и замкнуто.

Доказательство. Пусть Р - множество всех ю-предельных точек интегральной кривой z(t1, zo) и q е P, тогда существует последовательность tn ^ такая, что lim z(tn, zo) = q, поэтому:

z(t, q) = lim z(t, z(tn, z0)) = lim z(t + tn, zo ),

n n

и так как t + tn ^ при любом t е z(t, q) - ю-предельная точка

интегральной кривой z(t, zo) при любом t е (-да,+о>). Инвариантность доказана.

Докажем замкнутость Р. Пусть zn е Р и zB ^ z при n ^

Зададим последовательность en ^ при n ^ тогда для любого n найдется tn такое, что ||zH — z(tn, z0)|| < s„, причем tn можно выбрать так, чтобы tn ^ при n ^ Рассмотрим теперь:

|z - z(tn , zo0 - IIz " z\ + II zn - z(tn , zo0| ,

оба слагаемых, а с ними и сумма, стремятся к 0 при n ^ Значит,

z - ю-предельная точка интегральной кривой z(t, zo) и Р - замкнутое множество. Для множества Р всех a-предельных точек доказательство аналогично. Замечание. Если функция z(t, zo) ограничена при t > 0 (t - 0), а множество Р всех ю-предельных (a-предельных) точек будет связным множеством, т. е. множеством которое нельзя представить в виде объединения двух множеств, таких, что каждое из них не содержит предельных точек другого.

Прежде чем доказывать утверждение, введём понятия, необходимые в дальнейшем. Пусть А и ß е Em, х е Em, тогда величина R(A, x) = mf\q - x|| называется

qeA

расстоянием от х до множества А, а величина R(A, ß) = mf ||q - p|| расстоянием от

qе A, pеß

множества А до множества ß. Функция F(x) = R(A, x) равномерно непрерывна, потому, что так как

||q-x|| - q-x +x-x и q-x'||<||q-x||+x-x'||, то

x + x - x и

-x + x - x

откуда

т/\д " 4 - -

деЛ деЛ

т/\д - 4 - т/||д

деЛ деЛ

(4) -^(х )| —|х -4 || для любых х, х е Ет, следовательно, если Цх -х || <£, то (х) -Р(х )| <£, непрерывность Р(х) доказана.

Для любых q, р и х е Ет имеет место ||д-р|| <||д-х|| +||х-р||, пусть q е А, р е р, х е Ет, тогда получим:

т/ ||д - р||- т/\\д - х||+т/||х - р|| ,

деЛ< рер деЛ Фер

Р) - Р(А, х) + Р(Р, х).

Докажем теперь высказанное ранее утверждение. Предположим, что оно неверно: Р = Аи Д Аир - ограниченные, замкнутые множества, потому Р(А, р) = с1 > 0.

Найдутся такие две последовательности ^ ^ и 1;п ^ при п ^ что

R(A,z(tn,zo)) < d, R(ß,z(tn,zo)) < d, 0 < tx < tn<... < tn < tn<..., Функция R(A, z(t, zo)) непрерывна для t e^tH, tn J и

R(A, z(tn, z0)) > R(A, ß) - R(ß, z(tn, z0)) > d - -j = —, поэтому существует такое xn, что

< хи < tn и R(A, z(xB, zo)) =d. Последовательность xn ^ +да при n ^ +да, а из

последовательности z(tn, z0) можно выделить сходящуюся к некоторому qo e Em подпоследовательность z(хк, za), т. е. qo будет ю-предельной точкой интегральной

кривой z(t, z0), но R(A, qo) = d, а R(ß, qa) > R(A, ß) - R(A, qo) = d и значит, qoeA и

qo eß, полученное противоречие показывает, что высказанное утверждение верно.

Замечание. Если Р - множество ю-предельных (а-предельных) точек интегральной кривой z(t, z0), то R = jz e Em : z = x + Ф, x e Pj множество го-

предельных (а-предельных) точек интегральной кривой z(t, z0 + Ф).

Действительно, если tn ^ +да, (-да) при n ^ +да, и lim z(tn, za) = x, то

lim z(tn, zo + Ф) = lim z(tn, za ) + Ф = x + Ф

n n

Определение. Точка q e Em называется х-предельной (^-предельной) точкой интегральной кривой z(t, z0), если существуют такие последовательности tn ^ +да, (-да) при n ^ +да и

Фп = 2л(^(п),...,^п)), что lim z(tn,zo) + Фп = q, т. е.

n^+да

lim z(tn, zo) = q (mod 2л).

n^+да

Понятно, что любая ю-предельная (а-предельная) точка интегральной кривой является ее х-предельной (^-предельной) точкой, но не наоборот.

Пусть tn ^ +да, (-да) при n ^ +да, для любого n можно найти такое Фп, что

z(tn,zo) + Фп = Zn e ^ = {z e Em :0 < zt < 2л, i = \mj,

поэтому из последовательности zn можно выделить сходящуюся к некоторой точке q e s подпоследовательность zk, очевидно, что q есть х-предельная (у-предельная) точка интегральной кривой z (t, z0), следовательно, любая интегральная кривая z (t, z0)

имеет как х-предельные, так и у-предельные точки и по свойству (4) функции z (t, z0),

если q e Em - х-предельная (у-предельная) точка интегральной кривой z(t, z0), то q +Ф

также будет х-предельной (у-предельной) точкой этой кривой.

Теорема 1.4. Множество 8 всех х-предельных (у-предельных) точек интегральной кривой z (t, z0) инвариантно и замкнуто.

Доказательство. Пусть q - х- предельная точка интегральной кривой z(t, z0), тогда существуют такие две последовательности tn и Фп, что tn ^ +да при n ^ +да, а

lim z(tn, zo) + фп = ^ но

z(x, q) = lim z(x, z(tn, zo ) + Фп ) = lim z(x + tn, Zo ) + Фп ,

n^+да n

при всех x e (-да, +да). Так как х + tn ^ +да при n ^ +да, то z(x, q) является х-предельной точкой интегральной кривой и при всех х e (-да, +да). Инвариантность доказана.

Докажем замкнутость 8. Пусть qn е 8 и lim = q. Зададим последовательность

положительных чисел 0 при n ^ +вд, тогда для любого n найдутся такие tn и Фп, что \\qn — z(tn, za) — Фи|| <еи, причем tn можно выбрать так, чтобы tn ^ +вд при n ^ +вд. Рассмотрим теперь:

||q — z(tn,zo) — Ф„| <|\q—qj qn — z(t„,zo) — ф||,

т.к. оба слагаемых стремятся к 0 при n ^ +вд, то и сумма стремится к нулю, следовательно, lim z(tn,zo) + Фп = q, поэтому q е 8.

Доказательство для у-предельных точек аналогично. Теорема доказана.

Заметим, что если функция z(t, z0) ограничена при t > 0(< 0), то %-предельная

(у-предельная) точка q интегральной кривой z(t, z0) либо сама будет ю-предельной (а-предельной) точкой интегральной кривой z(t, z0), либо таковой будет при некотором Ф точка q +Ф.

2. Интегральные кривые всюду плотные на m-мерном торе

Будем называть интегральную кривую z(t, z0) системы (1.1) всюду плотной на m-

мерном торе, если любая точка пространства Em является либо %-предельной, либо у-предельной точкой этой кривой.

Предположим, что в системе (1.1) ß(z) = Q, Q = (rnx,...,am), ю-i,..., ют = несоизмеримые вещественные числа, тогда интегральной кривой, проходящей через точку z0 е Em при t = 0, будет кривая z(t) = Qt + za. Каждая из этих кривых обладает

следующим свойством: для любых е > 0, z е Em существует Т > 0 такое, что всякий промежуток [а — Т,а + T] содержит х, для которого zi (х, za) — zi <е (mod 2ж),

i = 1,m, поэтому, какую бы точку z е Em мы не взяли, она будет и %-предельной и у-предельной точкой интегральной кривой

z (t, zo ) = Qt + zo.

Теорема 2.1 Если множество всех %-предельных и у-предельных точек любой интегральной кривой z (t, z0) системы (1.1) совпадает с пространством Ет, то для каждой

такой кривой, любых е > 0, z е Em существует T > 0 такое, что всякий промежуток [а — Т,а + Т ] содержит х, для которого

z (х, za) — zi <е (mod 2ж), i = 1, m. Доказательство. Допустим, что утверждение теоремы неверно, тогда для некоторой интегральной кривой z(t, z0) должны существовать такие е > 0, z е Em и последовательности an е (-вд, +вд), Tn ^ +вд при n ^ +вд, что для всякого х из промежутка

\а%„ — Тап + Tj хотя бы при одном i, 1 <i <m, zi(х,z0) — zi >е (mod 2ж).

Из последовательности z(ап,za) выделим подпоследовательность z(ак, za) ^ хо(mod2ж) при k ^ + вд, и рассмотрим:

^ (t, Xo ) — z = lim ^ (t, z(ak , zo )) — z =

z v э o ->

= lim

n^+вд

zi (t + ak , zo ) — z

i = 1, m,

если теперь предположить существование такого t, что при i = 1, m, Z (t, x0) - zi <s (mod 2ж), то при достаточно больших k будет

zi (t + ак, za) - Zi <s (mod 2ж), i = 1, m, а это противоречит выбору

последовательностей ak и Tk, следовательно, при любом t е (-да, +да), хотя бы для одного i, 1 < i < m, будет zi(t, xo) - zt >е (mod 2л), поэтому тогда z е Em не может быть ни

%-предельной, ни у-предельной точкой интегральной кривой z(t, xo), а это противоречит условию теоремы, значит утверждение теоремы верно. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Если одно решение z (t, z0) системы (1.1) обладает тем свойством,

что для любых е > 0 и z е Em существует такое Т > 0, что всякий промежуток

[a-T,a + T] содержит г, для которого zi (г, za) - zt <е (mod 2л), i = 1, m, то этим

свойством обладают все решения системы (2.1).

Доказательство. Возьмём любое решение z(t,zx) системы (1.1), любую точку

zеEm и е > 0, найдём T > 0 такое, что всякий промежуток [a-T,a + T] содержит т, для которого

zi (т, za) - zt < е (mod 2л), i = 1, m. Пусть a - произвольное вещественное число, по теореме 1.1 существует такое 5 >

е

0, что при z(a,z)-x| <5 (mod 2л) будет \zi(t,z(a,z))-z(t,x)| < — (mod 2л), для всех t e[-T, +T], i = 1, m. Поэтому выберем такое t, zi (a, z) - zi (t, zo)| <5 (mod 2л), тогда для всех t e[-T, +T] будет

zi(t,z(a,zj)-zi(t,z(t,zo)) <е(mod 2л), i = 1,m, а это равносильно

z (t + a, z) - z (t +1, zc) <е (mod 2л), i = 1, m,

что

но в промежутке

t - T, t + T

существует г = ^ +1, для которого

\zi (т, za) - z,| < — (mod 2л), i = 1, m, следовательно для принадлежащего промежутку

[a-T,a + T] г = t +a получаем zi (г, z) - zi <е (mod 2л), i = 1, m, теорема доказана.

Рассмотрим теперь определённую и непрерывную при всех t е (-да, +да) функцию z(t) такую, что z(t) е Em при всех t е (-да, +да) и для любых е > 0 и z е Em существует Т > 0 такое, что каждый промежуток [a- T,a + T ] содержит г, для которого

z (г) - zi <е (mod 2л), i = 1, m.

Какие свойства должна иметь z(t), чтобы быть решением системы (1.1)?

Прежде, чем перейти к ответу на вопрос, заметим, что Т можно выбрать

независящим от z , т.е. в любом промежутке [a-T,a + T] для любого z еEm найдётся такое г, что zi(г) - zi <е (mod 2л), i = 1, m, действительно, предположим, что это не

так, тогда должны существовать е > 0, последовательности zn, an и Тп, такие, что Тп ^ +да при n ^ +да, для каждого t е[^-T,a„ + T] хотя бы для одного i, i = 1,m, \zi(t) -z\n)\>е (mod 2л) , причём можно считать, что 0 < z(n) < 2л, i = 1,m. Тогда

выделим из последовательности

-(n)

сходящуюся к точке z е E"

z

подпоследовательность z( \ Для точки z е Em существует такое Т > 0, что всякий

промежуток [a — T,a + T ] содержит т, при котором

z, (т) — z

s -

< — (mod 2ж), i = 1, m, если k достаточно велико, то Tk > T и

z (k) — Zi

zi(т)—zi

< —, потому любой промежуток [ак — Тк,ак + Тк ] будет содержать такое т, что ^ -

< — (шоё2л), ' = 1, т, в результате

zt(т) — z(

(к)

<

z(т) — z

+

Z(i) — Zi

<s(mod2^), i = 1, m, а это противоречит

сделанному предположению, значит, оно неверно.

Вернёмся к поставленному вопросу. Если функция z(t) является решением системы (1.1), то компоненты производной этой векторной функции должна представляться в виде

F(z(t),...,zm(t)), где функция F(z-i,..., zm) определена и непрерывна для всех z е Em , а

также 2ж-периодична по всем Zj, i = 1, m, т. е. F(z) eC(Jm), остановимся на свойствах таких функций.

Если f (t) = F(zi(t),...,zm(t)) = G(zx(t),...,zm(t)) при всех t е (-да, +да), F(z) и G(z) принадлежат C(Jm), то F(z) = G(z), т.к. непрерывные функции F(z) и G(z) совпадают на всюду плотном в пространстве Ет множестве.

Если f(t) = F(z(t)), F(z) е C(Jm), то для любого s > 0 существует такое Т > 0, что для каждого t е (-да, +да) любой промежуток [a — T,a + T] содержит т, при котором

|f (t)—f (т)| <s , действительно, функция F(z) равномерно непрерывна в Em, т.е. для

любого s > 0 существует 5 > 0 такое, что при ||х — y|| < 5, |F(x) — F(y)\ < s, поэтому для

5 найдём такое Т > 0, что всякий промежуток [a — T,a + T] будет содержать т, при

котором \zi(t) — zi(т)| <5 (mod2^), следовательно, |F(z(t)) — F(z(t))| <s. Доказанное

свойство функций f(t) = F(z(t)), F(z) е C(Jm) называется рекуррентностью.

Теорема 2.3. Для того чтобы определённая и непрерывная при всех t е (-да, +да) функция f(t) могла быть представлена в виде F(z(t)), F(z) е C(Jm), необходимо и

достаточно, чтобы для любой последовательности tn такой, что z(tn) ^ z(mod2^) при n ^ +да, существовал lim f (tn).

Необходимость. Пусть f(t) = F(z(t)), F(z) е C(Jm) z(tn) ^ z(mod2^) при n ^ +да, тогда lim F(z(tn)) = F(z).

и^+да

Достаточность. Из того, как была определена функция z(t) следует, что для любой точки z е Em существует такая последовательность tn, что z(tn) ^ z(mod2^) при n ^ +да,

тогда в пространстве Em можно определить функцию F(z) = lim f (tn), т.к. если есть две

и^+да

последовательности tn и tn, для которых z(tn) ^ z(mod2^) и z(tn) ^ z(mod2 ж), то lim f (tn) = lim f (tn), в противном случае из последовательностей tn и tn составим

п п

одну последовательность тп, для нее z(тп) ^ z(mod2^) при n ^ +да, но lim f(Tn) не

существует, а это противоречит условию теоремы. Таким образом, функция F(z) определена, и в силу определения она будет 2ж-периодична по всем своим аргументам.

Докажем теперь непрерывность F(z). Пусть z(k} — z 0 при k ^ +да,

построим последовательность tk так, чтобы

Ыk ) - z.

i = 1, m,

\F (z(k)) - F (z(tk ))|

<е

k>

\zt -Zi(tk)| <Ы -z(k)| + |z(k) -Zi(tk)| < 2sk (mod2^), i = 1,m, т. е. z(tk) n z(mod2^) при k n +да, поэтому \F(z(tk))-F(z)| < Sk n 0, при k n +да, следовательно,

|F(z)-F(z(k))| <|F(z)-F(z(tk))| + |F(z(k))-F(z(tk))| + е = ßk n0, при k

П +да,

и значит lim F(z(k)) = F(z) - непрерывность доказана.

wn+да

Покажем, наконец, что f(t) = F(z(t)) при всех t е (-да, +да). Рассмотрим последовательность tn n t при n n +да, t - любое вещественное число, тогда

z(tn) n z(t) при n n +да, тем более z(tn) n z(t) (mod2^) при n n +да, откуда

F(z(t)) = lim f (tn) = f (t). Теорема доказана.

Теорема 2.4. Пусть векторная функция z(t) определена и непрерывно дифференцируема при всех t е (-да, +да), для любых е > 0 и z е Em существует такое Т >

0, что каждый промежуток содержит т, при котором

zf (т) - zi < е (mod 2ж), i = 1, m,

тогда для того, чтобы функция г© входила во множество решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

dz -

— = ß( z), b (z) = С (Jm ), i = 1, m, dt

(2.1)

обладающих свойствами (1-4) решений системы (1.1), необходимо и достаточно,

чтобы:

1) производная z(t) была равномерно непрерывной функцией,

2) существовало такое Т > 0, что из сходимости по mod2n последовательности z(tn) следовала бы равномерная по t при |t| < T сходимость последовательности z(tn + t) по mod2x.

Необходимость. Каждая компонента производной z(t) представляется в виде F(z(t)), F(z) е C(Jm) поэтому z(t) равномерно непрерывная функция, покажем, что любая функция f(t) = F(z(t)) равномерно непрерывна. Допустим обратное, тогда существуют е > 0

и такие две последовательности tB utn, что tH -tn =ynn 0 при n n +да и

\f (tn) - f (t'n) = е.

Выделим подпоследовательности tk и tk, так, чтобы к одному и тому же пределу сходились по mod2n последовательности z(tk) и z(tk), это возможно в силу равномерной непрерывности z(t). По теореме 2.3 будет f (tk) - f (tk) n 0 при k n +да, получили противоречие.

Если z(t) = z(t, zo), то когда z(tn, za) n z(mod2^), z(tn +1, za) n z(t, z)(mod2^), причём по теореме 1.1 сходимость равномерная по t, если |t| < T, где Т - любое

вещественное, положительное число. Необходимость доказана.

Достаточность. Докажем, что если последовательность tn такова, что

последовательность z(t ) nz(mod2^), то существует lim z (tn), для этого покажем,

nn+да

что для любого е > 0 существует такое натуральное число N, что при k и l > N будет z (tk) - z (tj) <е, действительно, рассмотрим:

||z (tk ) - z (t, )||

<

z'(tk ) -

z(tk + а) - z(tk )

а

+

z'(t,) -

z(tl +а) - z(t,)

а

+

z(tk +а) - z(tk ) z(t, +а) - z(tl)

а а

т. к. 2 (?) равномерно непрерывна, при достаточно малых по модулю а, первые

а I |

два слагаемых меньше чем — для всех к и I, если а достаточно малое число, то

3 1 1

последовательность х =

z (*„ + а) - z(tn у

сходится, поэтому существует такое

а

натуральное число Ы, что при достаточно малом по модулю а и к, I > N, третье слагаемое

также меньше, чем —. Следовательно, ||z (tk) — z(tl)|| <s, если k и l > N, значит, существует lim z (tn) и по теореме 2.3 функция z(t) является решением системы типа

n^+да

(2.1).

Покажем теперь, что эта система имеет семейство решений, обладающих свойствами (1-4) решений системы (1.1). По условию теоремы, если сходится по mod2n последовательность z(tn), то последовательность z(t + tn) сходится по mod2n равномерно, относительно t при условии, что |t| < T , где Т - некоторое вещественное, положительное

число. Следовательно, сходятся по mod2n последовательности z(tn + T) и z(tn - T), а значит, сходятся по mod2n и последовательности z(tn + T + t) и z(tn +t - T), причём равномерно относительно t, если |t| < T, это означает, что последовательность z(tn + t)

сходится по mod2x равномерно относительно t, если < 2T. Приведённые

рассуждения, можно повторить сколько угодно раз, в результате чего, мы получим, что последовательность z(tn + t) сходится по mod2n при всех t е (-да, +да), и эта сходимость

равномерная относительно t, если |t| < T , где Т - любое вещественное, положительное

число.

Пусть tn и tn две последовательности, такие, что z(tn) и z(tn) сходятся по mod2лк одному и тому же пределу, тогда последовательности z(tn + t) и z( t п +1) также сходятся по mod2n к одному пределу, если бы это было не так, то сходилась бы последовательность z(xn + t), xn составлена из tB и tn, тогда как последовательность z(xn) сходилась бы, что противоречит условию теоремы.

Итак, если z(tn) ^ z(mod2^) при n ^ +да, то z(tn +t) ^ z(t, z)(mod2^), при

n ^ +да и z(o, z) = z, следовательно, для любых z е Em и t е (-да, +да) определена функция z(t, z) так, что z(t, z) е Em, z(o, z) = z и z(t, z + Ф) = z(t, z) + Ф, Ф = 2ж(кхkm ), k-i,..., km - целые числа.

Покажем непрерывность z(t, z) по всем своим аргументам. Пусть тп^т,

zn ^ z при n ^ +да и |г| = T, найдём такие tn, что z(t, zn) — z(t + tB) — ф

< sn ^ 0 при

n ^ +да и q < 2T, тогда z(tn) ^z(mod2^), и поэтому z(t + tw) ^ z(t,z)(mod2^). Теперь рассмотрим:

z<X , z« ) — z(r, z) < z(Jn , zn ) — z(tn +Tn ) — фп|| +

+

z(T, z) — z(tn + т) — Фп +1|z(tn + Tn) — z(tn + T)\\,

первые два слагаемых, как только что было показано, стремятся к нулю при п ^ +да, третье слагаемое стремится к нулю при п ^ +да в силу равномерной непрерывности,

следовательно, lim z(tn, zn) = z(t, z), т.е. z(t, z) непрерывна по совокупности своих

nn+да

аргументов.

Осталось свойство (3) решений системы (1.1): для любых t, т е (-да, +да) и z е Em имеет место z(t + т, z) = z(t, z(t, z)), действительно, если z(tn) n z(mod2^), то

z(tn +т) nz(t,z) z(mod2rc), поэтому z(tn +т +1) n z(t,z(t,z))(mod2^), но

z(tn +т +1) n z(t + t,z)(mod2^) и z(т, z) = z(o, z(t,z)), откуда

z (t + т, z) = z (t, z (т, z)).

Наконец, докажем, что при любом z е Em z(t, z) является решением системы

(2.1). Пусть z(tn) nz(mod2^), т.к. z(t + tn) есть решение (2.1) при любом tn, то

t

z(t + tn) = z(tn) + jß( z(т + tn )Ут, (2.2)

o

поскольку сходимость z(t + tn) равномерная относительно t при |t| < T , где Т -

любое вещественное, положительное число, можно перейти в равенстве (2.2) к пределу под знаком интеграла, тогда получим:

t

z(t, z) = z + jß( z(t, Z))dт, - что и требовалось доказать.

o

Список использованных источников

1. Зубов В.И. Колебания и волны: Учеб. пособие. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1989. - 416 с.