CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №7_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Н.Н.Назрублоев
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ
Г.ВЕЙЛЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.05.2014 г.)
Для интеграла от тридцать второй степени модуля короткой тригонометрической суммы Г.Вейля пятой степени найдена правильная по порядку оценка. Полученный результат является обобщением теоремы Хуа Ло-кена для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля пятой степени.
Ключевые слова: короткая сумма Г.Вейля - интеграл от тригонометрической суммы - функция делителей - диофантово уравнение.
Г.Вейль построил метод, с помощью которого, в частности, им впервые была получена нетривиальная оценка тригонометрических сумм вида
Т (а; х) = £ е {апт),
п< х
которые в его честь И.М.Виноградов [1] назвал суммами Вейля. Глубоким усилением метода Вейля является метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова, применившим его к решению многих проблем теории чисел. Хуа Ло-кен [2] для средних значений сумм Вейля доказал следующую оценку
\\Т{а-,х)( <^х2"-к+\ \<к <т.
о
В работе для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля пятой степени вида
Т(а; х, у) = ^ е {ап5 ]
х-у<п<х
получена оценка типа оценки Хуа Ло-кена. Подобная оценка для кубических сумм и сумм четвёртой степени получена в работах [3, 4] и была приложена в работах [5-7] при решении проблемы Варинга с почти равными слагаемыми.
Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, у[х < у < 0,01х, тогда имеет место оценка
1
\\Т(а-х,у)\2с1а«у21+\
о
Доказательство. 1. Имеем
Адрес для корреспонденции: Назрублоев Насруло Нурублоевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт матема-тики АНРТ. E-mail: [email protected]
I Т(а, х, у) I2 = Е Е е(а(щ - т)/(щщ)),
х-у<т<х х-у-т<т1 -т<х-т
где /(т,т) = т:4 + т^т + т2т2 + щщ3 + т4. Обозначая переменную суммирования щ через т + Л и воспользовавшись соотношением
/ (т, щ ) = / (т, т + Л ) = Л4 + 5тк3 +1 0т2^2 +1 0тъ\ + 5т4,
правую часть которого обозначим через / (т, Л ), получим
1 Т (а х у) |2 = Е Е е(аК/1(Щ Л)) = ЕЕ е(аИг/1(m, ^ (!)
-у<^1<у х-у<т<х |^|<у те/1
х-у-^1 <т<х-^1
/1 = /А) = (х - у,х) о (х - у - Н1,х - ЛД
Обозначая через Г (Л) - число решений диофантова уравнения Л/ (т, \) = Л, относительно переменных т и \ , | Л |< у, т е / , найдём
| Т(а; х, у) |2 = Е Г (К)е(аИ), (2)
Л
Заметим, что если И фО. то /](//) <2т(И.) <зс/Г . Из условий т е /,. следует, что
/ (т,Л) ^ -5ху3 -10х3у + 5(х - у)4 > 0. Поэтому диофантово уравнение (т, Л) = 0 имеет только решения вида (0, т), т е /, количество которых Г (0) < у . С другой стороны,
| Т(а;х,у)|2 = Е Е е(а(«5 -т5)) = Е51(И)е(-аИ\ (3)
х-у<п<х х-у<т<х Л
где 5, (Л) - число решений уравнения т5 - п5 = Л с х - у < т, п < х. В частности, ^ (0) = у, так как
для положительных т и п уравнения т5 = п5 и т = п эквивалентны. Далее в (3), полагая а = 0, находим
Е = Т2(0; х, у) = у2. (4)
н
Умножая (2) и (3), интегрируя по а, а затем пользуясь значениями гх (0), 51 (0), оценкой /] (И) <§с // и соотношением (4) найдём
1 1
|| Т(а; х, у) | 4 йа = |Е Г (H)e(аH)Е ^ (^^(-аЛ^йа =
0 0 Л (5)
= г (0)5, (0) + Е г (ЛХ (Л) < у2 + шах г (Л)Е 5 (Л) < у2
й й
2. Возводя обе части равенства (1) в квадрат, затем применяя к сумме по к неравенство Ко-ши, имеем
I Т(а;х, у) |4< 2у £ £ £ е(ак1(/1(т1,к) - /(щк,)).
\Ь\<у те!, т^!,
Пользуясь явным значением функции / (т, к ), найдем
/ (щ, к ) - / (т, к ) = 5(т - т) (к + 2к^(щ + т) +
+2\ (т2 + тщ + т2) + (т\ + т^т + тщ2 + т3')).
Обозначая переменную суммирования щ = к2 + т и имея в виду, что
/ (т + к, к ) - / (т, к ) = 5к (к + 2к2(к + 2т) +
+2к (к\ + 3к2т + 3т2) + (к\ + 4к\т + 6кщ2 + 4т3) ) = 5к2/2 (т, к, к ).
имеем
I Т(а\х,у)\*<&у^ Е Е е(5акк/2 ОЛ А У), (6)
™е/2
/2 = ^ п {т: т + к е ! }.
Обозначая через Г (к) - число решений уравнения 5кк/ (т, к, к) = к относительно к , к и т ; | к |< у, | к \< у , т е !2, представим неравенство (6) в виде
I Т(а;х, у) |4<?С у^г2(К)е(аК). (7)
к
Заметим, что г2(/г) <8С г3(/г) <ЗСпри ¡гфО. Из условий ме/2, |к1<>", ¡кК-У следует, что / (т, к, к ) > 0 . Следовательно, уравнение 5кк/ (т, к, к ) = 0 имеет только решения вида (0, к, т) и (к, 0, т), количество которых г2 (0) < 4у2 . Также имеем
| Т(а;х,у) |4 = £ е(а(п5 + п\ -т5 -т25)) = £$2(к)е(-ак), (8)
|4_
х- у<щ ,п2 < х
где 52 (к) - число решений уравнения тх + т5 - пг - щ = к , х - у < щ , т2, щ, п2 < х. В равенстве (8), полагая а = 0 , находим
£ s2(к) =| Т(0;х,у) |4< у4. (9)
к
Пользуясь соотношением (5), найдём
к
1
52(0) = { | Т(а;х,у) | 4 йа< у2+5.
Здесь так же, как в соотношении (5), умножая (7) и (8), интегрируя по а , а затем, воспользовавшись значениями /*2(0), 52(0) , оценкой г2(И.) «с // и соотношением (9), найдём
|| Т(а; х, у) |8 ёа г2(К)е(аИ.82{к')е{-ак')ёа = уг2{0)52(0) +
О 0 й
« ^2(0>2(0) + такг2(К)у^2(К) « (10)
/^0 ^ /^0
3. Возводя обе части неравенства (6) в квадрат, затем применяя дважды неравенство Коши соответственно по суммам Л и Л , имеем
I Т{а\х,у) |8<^ .у4 Е Е Е Е ^^^/гКЛАЬ/гС^АА)))-
\К\<У \>Ь\<У ™е/2 ™1е/2
В правую часть последней формулы, воспользовавшись тождеством
/ (щ , Л, Л2) - / (т, Л, Л ) = 2(Щ - т) (2Л,2 + ЗЛЛ + 3\ (Щ + т) +
+2Л2 + 3Л2 (Щ + т) + 2(т2 + щт + т2)),
обозначая переменную суммирования Щ = т + Л, найдём
/ (щ , Л, Л ) - / (т, К, Л ) = 2Л3 (2Л,2 + ЗЛЛ + ЗЛ (2т + Л ) + 2Л2
+ 3Л2 (2т + Л ) + 2(3т2 + 3тЛ3 + Л32) ) = 2^/ (т, Л, Л, Л ).
Поэтому
I Д«; Е Оа^АД/з К Л А А )) =
=у4 Е Е Е Е e(l0аHAнз/з(ml, к к, нз)), (11)
| 1 <у | Л21 <у | Лз | <у те/з
4 = о {т: т + Л3 е /2 }.
Обозначая через г3 (Л) число решений уравнения 10HHH/ (Щ, \, Л, Л ) = Л относительно Л , Л, Л и т ; | Л | < у, | Л2 | < у, | Л | < у, т е /3, представим неравенство (11) в виде
й
Аналогично, как в случае /"2(/?), заметим, что если /г Ф 0, то /3(/л) Т4(И) /г . Из неравенства
0
/з(т, к,к,, к) > -3у2 - 3у(2х + у) - 3у(2х + у) + 2(3(х - у)2 - 3ху) > 0
следует, что уравнение 10ккк/ (Щ, к, к,, к ) = 0 имеет только решения вида (0, к, к, т), (к, 0, к, т) и (к, к, 0, т) , количество которых г3 (0) < 12у3. С другой стороны,
Ы2;| Т(а;х,у) |8= £ е(а(п5 +... + п45-щ5 -...-т4)) = £sъ(h)(гаh), (13)
х-у<п щ1 < х
где 53 (к) - число решений уравнения
П +...+ п\ -т\ -...-т\ = h, х - у < п,щ,...,пА,т4 < х. В равенстве (13), полагая а = 0, находим
£ Sз(h) = | Т(0;х, у) | 8< у8. (14)
к
Пользуясь соотношением (10), найдем
5
*з(0) = | | Т(а; х, у)|8 йа< у5+е.
Здесь так же, как в соотношениях (5) и (10), умножая (12) и (13), интегрируя по а , а затем, воспользовавшись значениями (0), Л2(0), оценкой !\{И) <$с // и соотношением (13), найдём
1 1
|| Т(а;х,у) |16 с1а «]У £ гз(к)е(ак)Ц =
0 о к к'
Г
= у4
(0)^з(0) + X Гз(/г>з(//) « (15)
V й* 0 )
4. Возводя обе части неравенства (11) в квадрат, затем применяя трижды неравенство Коши соответственно по суммам к , к и к , имеем
\\\<у \hz\Ky \1ц\<у
£ е(10аккк/ (Щ, к, к, к))
2
<
« у11 Л Л е(10«ккк(/з(щ Л к>к) - Л(т> К>к>к)))•
^и^иАзН^ »¡¡е/з
В правую часть последней формулы, воспользовавшись тождеством
/(щ,к,к,к) -/(т,к,к,к) = 6(Щ -т)(к + к + к + Щ + т)),
обозначая переменную суммирования Щ = т + к, найдём
к
| Т(а;х,у) |1б<к у11 ^ ^ ^ е(60а////(/+/+/+/ +2да)) =
1^1,N.1^\<У ™е/3 м+й4е/3
= У11 Е ЕЕ е(60а//// (/ + / + К + К + 2т)). (16)
I /11КI / <У й4е/4 те/4
/4 = /3 о {т: т + / е /3 }.
Обозначая через гА (/) число решений уравнения 60//// (/ + / + / + / + 2т) = / относительно / , /, / , / и т ; | / | < у, | / | < у, | / | < у , | / | < у, т е /3, представим неравенство (16) в виде
| Т(а;х,у) |16« У^гД/К«/). (17)
А
Аналогично, как в случае г2(И) и 1".(И), заметим, что если И ф0 ,то гА(И) <§С г5(/г) «С к8. Из неравенства
/ + / + / + / + 2т > 2. - 6у > 2. - 0.6.x > 0
следует, что уравнение 60//// (/ + / + / + / + 2т) = 0 имеет только решения вида (0. /. /. /. т) , (/. 0. /. /. т) , (/. /. 0. /. т) и (/. /. /. 0. т) , количество которых г4(0) < 32у4. С другой стороны,
|Г(а;х. у)| 16 = Е е(а(п1 + ••• + П -т5 - •-т5)) = Е ^,(К)(-аИ). (18)
у<щ .т <х /
i=1.....8
где £4 (/) - число решений уравнения
п5+•••+п5 -т5 - .-т -= а. х - у < п.т...п.т < х.
В равенстве (17), полагая а = 0, находим
Е = Т (0;.. у) | 16 < у16. (19)
/
Пользуясь соотношением (15), найдём
1
^4(0) = | | Т(а;.. у)| 16 йа< у12+е.
Здесь так же, как в соотношениях (5), (10) и (15), умножая (17) и (18), интегрируя по а , а затем, воспользовавшись значениями г4(0), Л4(0), оценкой /4(/) // и соотношением (18), найдем
1
|| Т(а;х,у) |32 йа « \уп^г4(И)е{аИ)^^фЩ-акг)йа ■
0 0 к К
= у11
(
Г4(0)54(0) + 2>4(Й)54(Й) «/7+е.
Й^о У
Поступило 22.04.2014 г.
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Виноградов И.М. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.
2. Вон Р. Метод Харди - Литтлвуда. —М.: Мир, 1985, 182 с.
3. Мирзоабдугафуров К.И. О среднем значении коротких сумм Вейля. — ДАН РТ, 2008, т. 51, №4, с. 245 - 247.
4. Азамов А.З. Cреднее значение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени. — ДАН РТ. 2011, т. 54, №1, с. 13-17.
5. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми. — ДАН РТ, 2008, т. 51, №2, с. 83-86.
6. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми. — ДАН РТ, 2011, т.54, №3, с. 165-172. .
7. Рахмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля. — Ученые записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки. 2012, №6, Часть 2, с. 194-203.
Н.Н.Назрублоев
ЦИМАТИ МИЁНАИ СУММА^ОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И ДАРАЧДИ ПАНЧ,УМИ Г.ВЕЙЛ
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Барои интеграл аз дарачаи сию дуюми модули суммахои тригонометрии кутохи дарачаи панчуми Г.Вейл бахои тартибаш дуруст гирифта шудаааст. Натичаи гирифташуда теоремаи Хуа Ло - кенро барои суммах,ои тригонометрии кутохи Г.Вейл умумй мекунад.
Калима^ои калиди: суммаи кутохи Г.Вейл — интеграл аз суммаи тригонометри — функсияи тасимшавандауо — муодилаи диофанти.
N.N.Nazrubloev
MEAN VALUE OF THE SHORT WEYL FIFTH DEGREE EXPONENTIAL SUMS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
An estimate for the integral of the thirty second power of absolute value of short Weyl fifth degree exponential sum has been obtained. This estimate is of correct order and generalizes Hua Loo-Keng's theorem for short Weyl fifth degree exponential sums.
Key words: Short Weyl exponential sum — Integral of exponential sums — Divisor function — Diophantine equation.
