Короткие тригонометрические суммы г. Вейля в множестве точек первого класса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №8_

МАТЕМАТИКА

УДК 511.325

Н.Н.Назрублоев, А.О.Рахимов

КОРОТКИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ Г.ВЕЙЛЯ В МНОЖЕСТВЕ

ТОЧЕК ПЕРВОГО КЛАССА

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.05.2014 г.)

Теорема Р.Вона о поведении тригонометрических сумм Г.Вейля обобщена для коротких тригонометрических сумм вида

а 1

Т(а, х, у) = ^ е(ат"), а = - + Л, (а, я) = 1, я <т, \Л\<—.

х-у<т<х я ЧТ

Ключевые слова: тригонометрическая сумма Г.Вейля - тригонометрический интеграл - формула суммирования Пуассона.

Английский математик Р.Вон [1], изучая суммы Г.Вейля вида

а 1

Т(а, х) = ^ е [атп), а = — + Л, я <т, (а, я) = 1, \Л\< —,

т<х Ч ЯТ

воспользовавшись оценкой

9 (пк" +ЬкЛ 1

8ь(а,д) = Хе ^^ «Г+Е(Ь,д\ (1)

к=\ V # )

принадлежащей Хуа Ло-кену [2], методом Ван дер Корпута доказал:

Т(а, х) = ^^ | е [ЛТ)С + О (я1(1 + хп \ Л \)1), £(а, я) = Б0(а, я).

При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем я, то есть при выполнении условия

\л\<- 1

2 щх

он также доказал:

n—1

T(а, x) = xSaq) fе {Atn 1 dt + O iq11

q 0 < J I

Адрес для корреспонденции: Назрублоев Насруло Нурублоевич, Рахимов Алишер Орзухуджаевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]; [email protected]

Работа посвящена изучению коротких тригонометрических сумм Вейля вида

а 1

Т(а, х, у) = £ е(атп ),а = - + Л, (а, д) = 1, q <т,\Л\<—,

х-у<т<х д дт

которые при п = 3,4 были исследованы в работах [3-5] и в [5-7], приложены при выводе асимптотических формул с почти равными слагаемыми в проблеме Варинга (для кубов и четвертых степеней) и кубической задаче Эстермана. Затем при произвольном фиксированном п сумма Т(а, х, у) была изучена в работе [8]. Основным результатом этой работы является упрощение доказательства и уточнение основной теоремы работы [8].

Теорема 1. Пусть т> 2п(п — 1)хп—у и Л> 0, тогда при {пЛхп-1} <-1 имеет место фор-

мула

Т (а, х, у) = ^^ Т (Л; х, у) + 0(д1+е),

д

а при {пЛхп 1} >-1 имеет место оценка

\Т(а,х,у)\<з:д "\пд+тт(уд",Л"х "д ").

2<к<п

Следствие 1.1. Пусть т > 2п(п — 1)хп—у, \ Л \< ^1 , тогда имеет место соотношение Т (а, х, у ) = у Б (а, д)у(Л; х, у ) + 0(д1+£),

д

0,5 ( /■ у ^

у(Л; х, у) =| е 1л^х — у + у^

п-2 1 1

Следствие 1.2. Пусть т > 2п(п — 1)хп у, ——1 п1 <\ Л , тогда имеет место оценка

1-1 ( -1 1-1 1-1

Т(а,х,у)«.д " \пд+ шт \ уд ",х кдк п

2<к <п

Следствия 1.1 и 1.2 являются обобщением результатов Р.Вона [1] для тригонометрических сумм Г.Вейля вида

Т(а,х) = У е{атп 1, а = а + Л, (а,д) = 1, \Л\< 1 п—1. т<х д 2 пдх

Доказательство теоремы 1. Пользуясь ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим

Ч-1 (акп \ 1 1 -1

Т(а; х, у) = ^ е - £ е(Лтп) = - £ Тъ (Л; х, у)Бь (а, д), (2)

к=0 \ д У х—У<т<х д Ъ=0

т=к (modq)

( Ьт Л я (акп + Ък ^

Ъx,у) = У е ЛтП — , ^ъ— я) = Уе-,

х-у<т<х V Ч ) к=1 V Ч )

1 я-1

Я(а; х, у) = - У Ть (Л; х, у)8ь (а, я). (3)

я ъ=1

Имея в виду, что пЛхп~1 — {пЛхп~*} - целое число, представим Ть (Л; х, у) в виде

Ъи

Ть(Л; х, у) = У е (/(т, Ъ)), /(и, Ъ) = Лип — (пЛхп—1 — {пЛхп—1})и--.

х—у<т<х я

Пользуясь монотонностью /'(и, Ъ) , условием т > 2п(п — 1)хп—у и неравенством

п—1

Ж = У (—\)кСкк—1хп—1—кук > 0, п > 3, 3х > (п — 3)у,

к=2

имеем

/'(и, Ъ) < /'(х, Ъ) = {пЛхп—1} — Ъ < 1,

я

/'(и,Ъ) > /'(х — у,Ъ) = —п(п — 1)Лхп—2у + пЛЖ + {пЛхп—1} — Ъ >

я

1Ч, п—2 Ъ п(п — 1)хп—2 у Ъ л 1

>—п(п — 1)Лхп 2у —->—^--^- — ->—1 +—.

я ят я 2я

Поэтому, применяя к сумме Т(Л; х, у) формулу суммирования Пуассона ([9], с. 204.) при а = —1 . 3 = 1, 8 = 0,5, получим

Ть (Л; х, у) = I(—1, Ъ) +1(00, Ъ) +1(1, Ъ) + О(1), (4)

х

I(Н, Ъ) =| е(/к (и, Ъ))Си, / (и, Ъ) = /(и, Ъ) — Ни.

х—у

Функция /'к(и, Ъ) = пЛ(ип—1 — хп—1) + {пЛхп— } — Ъ — Н в отрезке и е [х — у, х] является неубывающей функцией, поэтому

/'н(х — у, Ъ) < /'н(и, Ъ) < /'н(х, Ъ),

что можно представить в виде

{пЛхпп} — - — Н — г!< /\(и,Ъ) < {пЛхпп} — - — Н, (5)

ч ч

г] = п(п — 1)Лх"-2у — пЛЖ < п(п — 1)Лх"-2у < пп — 1х у < —.

цт 2я

Далее, подставляя (4) в (2) и (3), найдём

Т(а; х, у) = Т—1 + Та + Т + 0 {1 £ \ Б (а, д) \ ^

д

Ъ=0

(6)

Я(а; х, у) = Я—1 + Я + Я + 0 Г1 £ \ Б (а, д) \ ^

V д ъ=1

(7)

Тн = "Г £ I(И, Ъ)Бъ (а, д), Я, = £ £ I(И, Ъ)БЬ (а, д).

д Ь=0 д Ь=1

Пользуясь оценкой (1), оценим остаточный член:

1 9-1 ; 9-1

1« (*>«о = ^ Е 1 *

Ь=1

1<ъ<д—1 (Ъ ,д)=г

Оценим каждую сумму Т и Я отдельно.

Оценка Т и Я1. Полагая И = 1 в (5), имеем

/\(и, Ъ) < {пЛхп—1} — Ь — 1 <— Ь < 0.

д д

Оценивая интеграл по величине первой производной, имеем

\1 (1, Ъ)\=

I е(1г(и,Ъ)^и

х—у

д

Отсюда и из (1), имеем

ях = - £ /(1, Ъ)8Ь (а, д)« £' « д2 £ ^-г^ « д2

" Ы Ъ £1 Ъ

д~ ~ ъ

В случае Ъ = 0, воспользовавшись неравенством

(и,д) > п(п -1)... (п - к + \)Л(х - у)"'" » Ах"'*, к = 2,3,...,п,

к . ^ о /7 I:

оценивая интеграл I(1,0) по величине к - ой производной ([10], стр.15), найдём

|/(1,0) шт у,Л7х 1 \.

2<к<п

1_1

Отсюда и воспользовавшись оценкой | 5(а,д) д " ([10], с. 61), с учётом оценки Яг получим

„ ,0| | /(1,0) || 8{а, д) | 1+2е .( Тл <\Я 1+ <^д2 +Ш1П\удп,Лкх "д " \.

q 2<к<п К.

Ч Н"1

Оценка Т ] и Я_1. Полагая И = —1 в (5), имеем

Ъ

/' (и,Ъ) >{пЛхп—1} + — ]>.

я я

Интеграл I (—1, Ъ) также оценим по величине первой производной. Имеем

\1 (—1, Ъ)\=

| е(/—1(и, Ъ))Си

х—у

Ч

д-Ь

Поступая аналогично, как в случае оценки , получим

1 ч ъ=1 д-ь ь=1 ъ

Ъ=1

Оценка ^ . Если {пЛхп , то, полагая Н = 0 в (5), имеем

Ъ 1 — 2Ъ Ъ / 'о(и, Ъ) < {пЛх-1} — - < -— <—— < 0.

я 2 я 2 я

Интеграл I(0, Ъ), также оценивая по величине первой производной, найдём

\1 (0, Ъ)\=

х

| e(/оku, Ъ))Си

х—у

ч Ь

Поступая аналогично как в случае оценки , получим

^ = ^ 1(0,Ь)8ь(а,ч) <<; ^ \8ь(а,ч)\ ^ «

Ч 6=1 Ь 6=1 ь

Ъ=1

Отсюда, из оценок Я^ и с учётом (7), получим первое утверждение теоремы.

Оценка Т0. При {пЛх" 1} >-1, определим натуральное число г соотношением

— < {^Лхп-1} < —, 1 < г < 2я — 1. 2 д 2я

Отсюда, из неравенств (5) при Н = 0 и условия ] < , найдём

^ Ъ г — 2Ъ — 1

/\(и, Ъ) > {пЛх } — ]>

2д

(8)

- г - 2Ь +1

/'0(и, Ь) < {пЯхп-1} - - < —--. (9)

q 2д

Пусть г = 2г - чётное (1 < г < q - 1). Отрезок суммирования 0 < Ь < q — 1 в сумме Г0 разобьем на следующие три множества:

о < - < г -1, - = г, г+1 < - < q -1»

соответственно в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть

„ , 7Ч 2г -2Ь -1 г - -/'о(и, Ь) > -> -г—-, 0 < Ь < г -1,

2 q 2 q

2r -2b +1 r - b л 7

f'0(u, b) < -rL--< rL__, r +1 < b < q -1.

2q 2 q

Воспользовавшись этими неравенствами, оценивая интеграл I(0, b) по величине первой производной, найдём

X

l(0,b)= f e(/0(u,b))du«-^—, Ъ*гх.

x-y I 1 I

В случае b = r, оценивая аналогично как в случае оценки интеграла I (1,0), найдём

11(0, г,) I« min i у 1

2<к<п \ )

Воспользовавшись этими оценками и оценкой | S(a,q) |<SC q " ([10], с. 61), получим

( \ У—-— + «с

b=0

^ — Jy | 2<к<п

I-1 { -- -1 1-ж

q " \nq + min\yq Ä кх kq

2<k <n

6=0, | V _=i

1 1 in 1

Пусть теперь г = 2г +1 - нечётное (0 < г < q -1). Отрезок суммирования 0 < Ь < q -1 в сумме ^ разобьём на следующие три множества:

0 < ь < г -1, ь = г,г+1, г+-< ь < q-1,

соответственно в первом из которых правая часть неравенства (8) больше нуля, а в третьем - правая часть неравенства (9) меньше нуля, то есть

г, , 2r +1 - 2b -1 r - b Л 7

f >, b) > -= #-, о < b < #1 -1,

2q q

2r +1 - 2b +1 r - b „ 7

f o(u, b) < -< , #1 + 2 < b < q -1.

2 q -q

Следовательно,

1(0, Ъ) = f e(f0(u, b))du « 4 b * rY -1, rv

ly W-b\

В случае b = r ~ 1, Г, поступая аналогично как в предыдущем случае оценки I(0, r), найдем

11(0, b) I«; min [у, /Г**1-* ], b = r1,r1 +1. Из этих оценок для I (0, b) получим

2<к<п

1 <Н

T0<-Y,\I(0,b)\\Sb(a,q)\«q

Чь=о

f Л

У —---h mini у./ГЪс1"1] «:

f^ \гх-Ь\ )

V ,#1 +1 ,

«:q1 "In<7+min (yg п,Л kxl kq*

2<к<п I

Подставляя оценки для Т , Т] и Т0 в (6), получим второе утверждение теоремы.

Замечание. Случай Л < 0 сводится к случаю Л> 0, если формуле (2) придадим форму

q-l д-1

i-lVT /Э-v -.ЛС 1

T (ai X У) = "T £ Tq_ b (-Л; x, y )Sq_ b (q - a, q) = j- £ Ть (-Л; x, y)Sb (q - a q).

Ч ь=о Ч ь=о

Поступило 15.04.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums. - Colloquia Mathematica Societatss Janos. Bolyai v. 34, Budapest, 1981, pp. 1585-1602.

2. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. - М.: Мир, 1964, 190 с.

3. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких кубических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2008, т.51, 1, с. 5-15.

4. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени. - ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

5. Rakhmonov Z.Kh. The Estermann cubic problem with almost equal summand. - Mathematical Notes. 2014, v. 95, Issue 3-4, pp 407-417.

6. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2008, т.51, №2, с.83-86.

7. Рахмонов З.Х., Азамов А.З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми. - ДАН РТ, 2011, т.54, №3, с. 34-42.

8. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2011, т.54, №4, с. 257-264.

9. Карацуба А.А., Королёв М.А. Теорема о замене тригонометрической суммы более короткой. -Известия РАН, сер. матем., т.71, №2, с.123-150.

10. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. - М.: Наука, 1987.

Н.Н.Назрублоев, А.О.Рахимов

СУММАХОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И Г.ВЕЙЛ ДАР МА^МУИ

НУЦТА^ОИ СИНФИ ЯКУМ

Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон Теоремаи Р.Вон оиди рафтори суммах,ои тригонометрии Г.Вейл барои суммах,ои кутохд намуди

a 1 T(a, x, y) = У e(am"), а = - + Я, (a, q) = 1, q <т, \Л\< —

x-y<m< x q

умуми карда шудааст.

Калима^ои калиди: суммаи тригонометрии Г.Вейл ронии Пуассон.

- интеграли тригонометри - формулаи сумми-

N.N.Nazrubloev, A.O.Rahimov SHORT WEYL EXPONENTIAL SUMS IN THE SET OF THE FIRST CLASS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

R. Vaughan theorem on the behavior of Weill exponential sums is generalized for short exponential sums of the form

a 1

T(a, x, y) = ^ e(am"), a = - + A, (a, q) = 1, q <t, \X\<—.

x-y<m<x q qT

Key words: Weyl exponential sums - Exponential integral - Poisson summation formula .