CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №9-10_
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Н.Н.Назрублоев
ОЦЕНКА КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ Г.ВЕЙЛЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ В МНОЖЕСТВЕ ТОЧЕК ВТОРОГО КЛАССА
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 27.05.2014 г.)
В множестве точек второго класса найдена нетривиальная оценка коротких тригонометрических сумм Вейля пятой степени.
Ключевые слова: короткая сумма Г.Вейля - интеграл от тригонометрической суммы - функция делителей - диофантово уравнение.
Основным моментом изучения аддитивных задач с почти равными слагаемыми, к которым относятся проблема Варинга и проблема Эстермана, является поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида
а 1
Т(а, х, у) = £ е(ат"),а = - + Л, (а, д) = 1, q <т,\Л\<—,
х-у<т<х д
в множестве точек первого класса и их оценка в множестве точек второго класса. Поведение Т (а, х, у) в множестве точек первого класса последовательно изучено в работах [1-6]. В настоящей работе воспользовавшись методом Г.Вейля, найдена нетривиальная оценка короткой тригонометрической суммы Вейля пятой степени.
Лемма 1. Пусть х и у - вещественные числа, 1 < у < х,
Т(а, х, у) = £ в(аш5),
х-у<т<х
Ж (к, г, г, и) = £ е(120акггит).
х-у<т< х-к-г-г-и
Тогда имеет место соотношение
\ Т(а,х,у) \16< 227у11 X £ £ £ Ж(к,г,г,и)\ + 227у15.
0<к<у 0<г<у-к 0<г<у-к-г 0<и<у-к-г-г
Доказательство. Воспользовавшись тождеством
(т + к)5 - т5 = ^(т) + к5, (т) = 5т4 + 10кт3 + 10к2т2 + 5кЗт,
имеем
Адрес для корреспонденции: Назрублоев Насруло Нурублоевич. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
| Т(а; х, у) |2 < 2
= 2
2 е а -™5))
х-у<т<х т<п<х
2 е(ак5) 2 е(ак/1(т))
0<к <у х-у<т<х-к
+ 2 у = + 2 у <
< 2 2 Ж (к )\ + 2 у, Ж (к) = 2 е(ак/ (т)).
0<к < у х-у<т< х-к
Возводя обе части полученного неравенства в восьмую степень, затем трижды последовательно воспользовавшись соотношением (а + Ъ) < 2а2 + 2Ъ2 и неравенством Коши, найдём
I Т (а; х, у) | 16 < 211 у7 £ |Ж (к )| 8 +217 у8.
0<к < у
Далее, воспользовавшись тождеством
/ (т + г) - / (т) = 10г/2 (т) + 5кV +10к2г2 + 10кг3 + 5г4,
/ (т) = 2тъ + (3к + 3г)т2 + (2к2 + 3кг + 2г 2)т,
(1)
имеем
|Ж {к) | 2 < 2
2 2 е(ак(Ш - А(т)))
х-у<т<х-к т<п<х-к
+ 2 у =
= 2
2 2 е(ак(А (т + г) - / (т)))
0<г<у-к х-у<т<х-к-г
+ 2 у =
< 2 2 Ж (к, г)\ + 2 у, Ж (к, г) = 2 е(10ак/(т)).
0<г<у-к х-у<т<х-к-г
Далее, поступая аналогично и воспользовавшись тождеством
/(т + {) - /2(т) = 6/ъ(т) + 213 + (3к + 3г>2 + (2к2 + 3кг + 2г2>,
/ (т) = т2 + (к + г + 1)т,
(2)
найдем:
|Ж (к, г)| 2 < 2
2 2 е(10акг(/2(п) - /2(т)))
х-у<т<х-к-г т<п<х-к-г
+ 2 у =
= 2
2 2 е(10акг(/2(т + Г) - /2(т)))
х-у<т<х-к-г 0<1<х-к-г-т
+ 2 у <
< 2 2 Ж (к, г, Г) + 2 у, Ж (к, г, I) = 2 е(60аЫ/з(т)).
0<<у-к-г х- у<т< х-к-г-
Воспользовавшись тождеством / (т + и) - / (т) = 2ит + и2 + (к + г +1)и, получим
I W(k, r, t) I2 < 2
^ ^ e(60akrt(f3(n) - f3(m)))
x-y<m<x-k-r-t m<n<x-k-r-t
+ 2 y =
= 2
£ £ e(60akrt(f3(m + u) - f3(m)))
x-y<m<x-k-r-t 0<u<x-k-r-t-m
< 2 £ \W(k,r,t,u)\ + 2 y.
0<u<y-k-r-t
+ 2 y <
(4)
Последовательно подставляя в (1) значения Ж (к), Ж (к, г) и Ж( к, г, г) соответственно в (2), (3) и (4), каждый раз воспользовавшись соотношением (а + Ъ)2 < 2а2 + 2Ъ2 и неравенством Коши, найдём
\Т (а, х, у) \16 < 217 у7 £\Ж (к) \8 +217 у8 <
0<k < y
Л2
< 223 y7 £ y £ |W(k, r)[ + y2
0<k<y [ 0<r<y-k
+ 217 y8 <
< 226y9(y -1)2 £ £ £ |W(k,r, t)|2 + 226y14 + 217y8 <
0<k<y 0<r<y-k 0<t<y-k-r
< 227 y11 £ £ £ £ \W(k, r, t, u)| + 227 y15.
0<k<y 0<r<y-k 0<t<y-k-r 0<u<y-k-r-t
Теорема 1. Пусть x > x0 > 0, y0 < y < 0,01x, а - вещественное число,
a
а--
q
< -1, (a, q) = 1.
q
Тогда справедлива оценка
\T(a;x,y)\«y
l+e
1 1 q
K.q У У )
Доказательство. Согласно леммы 4 монографии [7], имеем
IT (а; x, y )|16 < 227 y11 £ £ £ £ min
0<k<y 0<r<y 0<t<y 0<u<y
(
1
v у, ||120akrtu|| j
+ 227 y15 =
f
= 227 y11 £ T](n) min
0<n< y4
1
v У,| |120anN j
27 ,,15
+ 227 y
п(р) = £ £ £ £ 1 < )•
0<к<у 0<г<у-к 0<г<у-к-г о<и<у-к-г-г п=120 кгги
Далее воспользовавшись соотношением Т4(п) пе , затем леммой 5 монографии [7], найдём
\T(a-x,y)\l6«yu+s £ min
О<n<y4
f
y>]
1
< y11+e 2 min
0<и<120 y 4
Л,4 л
|120аи|| 1 Л
+y15 <
y»i
+ У5«
v 4 j
{1 1
—+ —+ -
U у У)
(y + q\nq) + y «
ln g.
Отсюда следует утверждение теоремы.
Поступило 10.11.2014 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми. - Математические заметки, 2003, т. 74, вып. 4, с. 564-572.
2. Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2008, т.51, №1, с. 5-15.
3. Рахмонов З.Х., Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени. - ДАН РТ, 2010, т. 53, №10, с. 737-744.
4. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. - ДАН РТ, 2011, т. 54, №4, с. 257-264.
5. Рахмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля. - Учёные записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки, 2012, №6, часть 2, с. 194-203.
6. Рахмонов З.Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми. - Математические заметки, 2014, т. 95, вып. 3, с. 445-456.
7. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. - М.: Наука, 1983, 239 с.
Н.Н.Назрублоев
БА^ОИ СУММА^ОИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И ДАРА^АИ ПАН^УМИ Г.ВЕЙЛ ДАР МАЧ,МУИ НУЦТА^ОИ СИНФИ ДУЮМ
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар мачмуи нуктахои синфи дуюм бахри гайритривиалии суммахои тригонометрии кутохи дарачаи панчуми Г.Вейл ёфта шудааст..
Калима^ои калиди: суммаи кутохи Г.Вейл - интеграл аз суммаи тригонометри - функсияи тацсимшаванда^о - муодилаи диофанти.
N.N.Nazrubloev
ESTIMATE OF SHORT WEYL SUMS OF FIFTH DEGREE ON MINOR ARCS
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
A non-trivial estimate for the short Weyl sums of fifth degree on minor arcs is obtained. Key words: short Weyl exponential sum - integral of exponential sums - divisor function - diophantine equation.
