Среднее значение коротких тригонометрических сумм г. Вейля четвертой степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2011, том 54, №1_____________________________________

МАТЕМАТИКА

А.З.Азамов

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ КОРОТКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ Г.ВЕЙЛЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Институт математики АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 24.11.2010 г.)

В статье для интеграла от шестнадцатой степени модуля тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов, получена правильная по порядку оценка.

Ключевые слова: тригонометрическая сумма Г.Вейля - функция делителей - диофантово уравнение

- тригонометрический интеграл.

Г.Вейль [1] построил метод, с помощью которого, в частности, впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм вида

Т (а; х) = 2 е [anm),

n <х

которые в его честь И.М.Виноградов [2] назвал суммами Вейля. Глубоким усилением метода Вейля является метод тригонометрических сумм И.М.Виноградова, применившим его к решению многих проблем теории чисел. Хуа Ло-кен [3] для средних значений сумм Вейля доказал следующую оценку

| \Т(а;х)|2 х2—k+s, 1 < k < m.

0

В этой работе для тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов, то есть для сумм вида

Т(а;х,у) = 2 е[апА),

х—у<п<х

получена оценка типа оценки Хуа Ло-кена. Для кубических тригонометрических сумм Г.Вейля, переменная суммирования которых принимает значения из коротких интервалов, подобная оценка получена в работе [4].

Теорема. Пусть х и у — натуральные числа, Гх < у < 0,01х, тогда имеет место оценка

i

| |Т (а; х, y)|16<ia yu+s.

0

Доказательство. Переменную суммирования n, обозначая n = m + h, имеем

Адрес для корреспондентции: Азамов Аслиддин Замонович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

| Т(а,х,у) |2 = 2 2 е(а(п -т)(п3 + п2т + пт2 + т3)) =

х-у<ш<х х-у-т<п-т<х-т

= 2 2 в(ак1 (к + 4тк + 6т2к + 4т3)). (1)

- у <И < у х-у<т<л

х-у-!\ <т<х-И[

Обозначим интервал изменения т через I = (х — у, х) о (х — у — к, х — к ) . Обозначая через г (к) -число решений диофантова уравнения к (к + 4тИ2 + 6т2 к + 4т3) = к относительно переменных т и к , I к |< У, т е I, найдем

| Т(а; х, у) |2 = 2 г1(И)в(ак). (2)

к

Заметим, что если к Ф 0, то г (к) < 2г(к) ^ к. Из неравенства к + 4тк2 + 6т2к + 4т3 > 0 следует, что диофантово уравнение к (к + 4тк2 + 6т2к + 4т3) = 0 имеет только решения вида (0, т) ,

т е I, количество которых равно г (0) =| I |< у С другой стороны,

| Т(а;х,у) |2 = 2 2 е(а(п4 — т4)) = 2^(к)в(—ак), (3)

х—у<п<х х—у<т<х к

где ^ (к) - число решений уравнения т4 — п4 = к с х—у < т, п < х и, в частности, ^ (0) = у. Далее в (3), полагая а = 0 , находим

2 ^(к) = Т2(0; ^ у) = у2. (4)

к

Умножая (2) на (3), интегрируя по а, а затем пользуясь значением г(0), ^(0), оценкой Г (к) ^ кЕ и соотношением (4), найдем

1 1

11Т(а; х, у) |4 йа = \2 Г (к)е(ак)2 ^ (к')е(—ак') йа =

0 0 к к'

= 2 Г (кМ(к) < Г (0Н(0) + тах г (к)2 ^(к) < у2+£. (5)

ъ кф0 ъ

Возводя обе части равенства (1) в квадрат, применяя к сумме по к неравенство Коши, затем переменную суммирования щ обозначая щ = т + к , имеем

1Т (а х у) |4 < 2 у 2

1І< у

2 е(ак (4тИ2 + 6т2к + 4т3))

тєІ

=2у 22 2 е(ак(щ - т)(4к2 + 6к(Щ + т) + 4(щ2 + щт + т2)) =

\к |<у Щ&І Щ є І

2

=2 у 2 2 2 e(aJ\h. (4h2 + 6hh + 12h™ + 4h^ + ИНщ. + 12m2)), (6)

I hi<У I h\<У me/2

где /2 = / о {m : m + h2 e / }. Обозначая через r2 (h) - число решений диофантова уравнения

hh (4h2 + 6hh + 12hm+4h? + 12h2m+12m2) = h (7)

относительно h , h и m ; \h I < У, Ih I < У , m e /2, представим неравенство (6) в виде

\Т(а;x,У)\ 4< 2у2 r2(h)e(ah). (8)

h

Заметим, что r2 (h) ^ тъ (h) ^ h£ при h Ф 0 . Легко можно показать, что в (7) выражение в скобке положительно, поэтому это уравнение при h = 0 имеет только решения вида (0, h2, m) и (h, 0, m), поэтому их количество r (0) = 4У | /2 | < 4У2. Также имеем

IТ(а;х,у) |4 = 2 e(a(n4 + n4 — щ4 — m24)) = 2 s2(h)——ah), (9)

х—у<п ,n2 ,m ,m2<х h

где s2 (h) - число решений уравнения щ4 + m4 — щ4 — n4 = h, х—y < щ, щ, щ, n2 < х. В равенстве (9), полагая а = 0 , находим

2 s2(h) = \Т (0; х у)\ 4 < у4 . (10)

h

Пользуясь соотношением (5), найдем

i*1 s(0) = £ \Т (а; х у) \ 4 dа < у 2+Е.

Здесь так же, как в соотношении (5), умножая (8) на (9), интегрируя по а, а затем воспользовавшись значениями r2 (0), s2 (0) , оценкой r2 (h) ^ hs и соотношением (10), найдем

1 1

£ \ Т(а; х, у) \ 8 da < £ 2 У2 r2(h)e(ah)2 s2 (h')e(—ак') da =

0 0 h h

f Л

= 2у2 r2(h)s2(h) < 2У r2(0)s2(0) + maxr2(h)2s2(h) « У^ (11)

\ h^0

h V h^0 J

Возводя обе части неравенства (6) в квадрат, затем применяя дважды неравенство Коши соответственно по суммам h и h2, имеем

\Т(а;ху)\ 8< 16у42 2

l\ <У \ h2\<У

2 e(12«hh (hm + h2m + m2))

=16/ 2 2 2 2 е(\2аТ\к> (Щ — т)(к + к + Щ + т)) =

| к\<у | кг|<у те1г иг^

=16у4 2 2 2 2 е(12аккк (к + к + к + 2т)), (12)

| \\<у | к2| <у| кз| <у те1з

где 13 = I о {т : т + к е 12} , и обозначая через г3 (к) - число решений диофантова уравнения

12ккк (к + к + к + 2т) = к относительно к , к , к и т ; |к | < у, |к |< у , |к |< у , т е 13, представим неравенство (12) в виде

| Т(а; х, у) | 8 < 16у42 Г (Ь)е(аЬ). (13)

к

Аналогично, как в случае г2 (к) , заметим, что если к Ф 0, то г (к) ^ г4 (к) ^ к. Из неравенства к + к + к + 2т > 0 следует, что уравнение ккк (к + к + к + 2т) = 0 имеет только решения вида (0, к, к, т) , (к, 0, к, т) и (к, к, 0, т), для количества которых имеет место соотношение Г (0) < 12у2 113 | < 12у3. С другой стороны,

| Т(а;х,у) |8 =2 ВъШтаО), (14)

к

/7\ »-* 4444447

где *3 (к) - число решений уравнения пг + п'2 + п — щ — т^ — = к,

х — у < п, п, П, Щ, Щ, Щ < х . В равенстве (14), полагая а = 0 , находим

2 5з(к) = | Т(0;x,у)| 8< у6. (15)

к

Пользуясь соотношением (11), найдем

*3(0)=£| Т (а;x, у)| 8 йа< у5+е •

Здесь так же, как в соотношениях (5) и (11), умножая (13) на (14), интегрируя по а, а затем воспользовавшись значениями тъ (0) , s2 (0) , оценкой r (h) ^ hE и соотношением (15), найдем

1 1

J | T(а; х, у) | 16 da < J16у4^ r3 (h)e(ah)2 S (h')e(-ah') da =

0 0 h h

( \

= 16у4 2 Г (h)s3 (h) < 16у4 r (0)s3 (0) + max r3 (h)£ S3 (h) « y12+5.

l h^0 “T

& V &^0 /

Теорема доказана.

Поступило 24.11.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Weyl H. - Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.

2. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - М.: Наука, 1980, 160 с.

3. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. - М.: Мир, 1985, 182 с.

4. Мирзоабдугафуров К.И. - ДАН РТ, 2008, т. 51, 4, с.245-247.

А.З.Азамов

ЦИМАТИ МИЁНАИ СУММАИ ТРИГОНОМЕТРИИ КУТО^И ДАРА^АИ ЧОРУМИ Г.ВЕЙЛ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Дар макола барои интеграл аз дарачаи шонздахуми модули суммаи тригонометрии дарачаи чоруми Г.Вейл, ки тагйирёбандаи суммирониаш аз интервали кутох кимат кабул меку-над, бахои тартибаш дуруст гирифта шудааст.

Калима^ои калиди: суммауои тригонометрии Вейл - функсияи тацсимшавй - муодилаи диофанти

- интеграли тригонометри.

A.Z.Azamov

THE AVERAGE VALUE OF SHORT EXPONENTIAL WEYL’S SUMS FOURTH DEGREE

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In the article an well-odered estemate is abtained for the integral of the sixteenth degree of absolute value of exponential Weyl’s sums of the fourth degree, which summution variable takes its values in short intervals

Key words: Exponential Weyl ’s sums - divisor function - Diophantine equation - exponential’s integral.